ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES-CONVERSIÓN SEXAGESIMAL , CENTESIMAL Y RADIAL EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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ANGULO TRIGONOMÉTRICO.
Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

L.I.: Lado inicial
L.F.: Lado Final

1.1 CONVENCIÓN :
Angulos Positivos
Si el rayo gira en sentido Antihorario

Angulos Negativos
Si el rayo gira en sentido horario.

Ejemplo:

Nótese en las figuras:
• “” es un ángulo trigonométrico de medida positiva.

• “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa.
 Se cumple: x=-
Observación:
a) Angulo nulo
Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero.

b) Angulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez.

c) Magnitud de un ángulo
Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo.

2. SISTEMAS ANGULARES
Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición.

2.1 Sistema Sexagesimal
Su unidad ángular es el grado sexagesimal(1º); el cual es equiva-lente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta.

 1V 360º
Equivalencias:

1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’

2.2 Sistema Centesimal
Su unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta.

 1V= 400g

Equivalencias:

1g=100m 1m=100s 1g=10000s
2.3 Sistema Radial o Circular o Internancional
Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva.

 1V=2rad  6,2832

Nota
Como  = 3,141592653…
Entonces:

3. CONVERSION DE SISTEMAS
Factor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes.

Magnitudes angulares equivalentes

1 vuelta : 1 v 360º=400g=2rad
Llano : 1/2v 180º=200g=rad
Grados : 9º =10g
Ejemplos:
• Convertir a radianes la siguiente magnitud angular =12º
Resolución:

Magnitud Factor de
equivalente Conversión
rad = 180º

• Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: =15º
Resolución:

Magnitud Factor de
equivalente Conversión
rad = 200g

• Convertir a sexagesimal la sgte. magnitud angular: =40g

Magnitud Factor de
equivalente Conversión
9º = 10g

• Hallar:

Resolución:
Recordando: 1º=60’
1g = 100m
9º = 10g

Reemplazando en:

E = 60 +100 + 2 =162

• Hallar: a+b sabiendo
Resolución:
Equivalencia: rad = 180º

 22,5º = 22º+0,5º + =22º30’

Luego:

Efectuando:
a=22
b=30

Entonces : a+b = 52

Nótese que para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión.

• Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular. =16g

Resolución:
A) 16g a sexagesimales

Factor de conversión =

Luego:

B) 16g a radianes

Factor de conversión =

Luego:

4. FORMULA GENERAL DE
CONVERSION
Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números.

De la fig. Sº = Cg = Rrad … (1)
Además 180º = 200g = rad … (2)

Dividiendo (1) entre (2) tenemos:

Fórmula particulares:

Ejemplos:
• Convertir a grados sexagesimal.

Resolución:

Sabemos que:
  S=36
 = 36º

• Convertir 60g a radianes.

Resolución:

Sabemos que:

• Convertir 27º a grados centesimales.
Resolución:

Sabemos que:

 C=30

 27º=30g
• Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el números de sus grados centesimales es 222. ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo?

Resolución:
Si S, C y R son números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos.

6S + 2C = 222 …. (1)

Además:

Reemplazando en (1):

Nota: Para solucionar este tipo de problemas también podríamos hacer:

Reemplazando en (1):

6(180K)+2(200K) = 222
1480K = 222

 EJERCICIOS

1. Calcular: J.C.C.H.

Si: 68g <> JCºCH’

a) 6 b) 12
c) 24
d) 30 e) 22
2. Dada la figura:

Calcular:

a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25

3. La medida de los ángulos iguales de un triángulo isósceles son (6x)º y (5x+5)g. Calcular el ángulo desigual en radianes.

a) b)
c)
d) e)

4. Determinar la medida circular de un ángulo para el cual sus medidas en los diferentes sistemas se relacionan de la siguiente manera:

a) b)
c)
d) e)
5. Las media aritmética de los números que expresan la medida de un ángulo positivo en grados sexagesimales y centesimales, es a su diferencia como 38 veces el número de radianes de dicho ángulo es a 5. Hallar cuanto mide el ángulo en radianes.

a) b)
c)
d) e)

6. Del gráfico, hallar una relación entre ,  y .

a)  –  +  = -360º
b)  +  –  = 360º
c)  +  +  = 360º
d)  –  –  = 360º
e)  +  –  = -360º

7. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para el cual se cumple:

Hallar el número de grados sexagesimales.

a) 10 b) 81 c) 72
d) 9 e) 18

8. Sabiendo que: y además:
Sx=9x, Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

9. Del gráfico, calcular y/x

a) –1/6
b) –6
c) 6
d) 1/3
e) –1/3

10. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas “S” y “C”, son números pares consecutivos. El valor del complemento del ángulo expresado en radianes es:

a) b)
b) c)
d) e)

11. Siendo “y” el factor que convierte segundos centesimales en minutos sexagesimales y ”x” el factor que convierte minutos centesimales en segundos sexagesimales. Calcular x/y.

0a) 2000 b) 4000 c) 6000
d) 8000 e) 9000

12. Siendo “S” el número de grados sexagesimales y “c” el número de grados centesimales que mide un ángulo menor que una circunferencia, calcular dicho ángulo en radianes sabiendo que .
C = x2-x-30 ; S = x2+x-56

a) b) c)
d) e)

13. Si se cumple que:

Hallar:

a) 9/5 b) 8/3 c)6/5
d) 5/2 e) 7/5

14. Sabiendo que a, b y R son los números que expresan la medida de un ángulo en minutos sexagesimales, segundos centesimales y radianes respectivamente. Calcular:

a) b) c)
d) 10 e) 20
15. Reducir:

a) 10 b) 40 c) 50
d) 70 e) 80

16. Si “S”, “C” y “R” son los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas convencionales. Hallar dicho ángulo en grados “S” si “R” es entero:

Rtpa. …….
17. En un cierto ángulo, se cumple que:
.
Calcular el complemento del ángulo en radianes.

a) b) c)

d) e)
18. Al medir un ángulo positivo en los sistemas convencionales, se observó que los números que representan dichas medidas, se relacionan del siguiente modo:
“La diferencia del triple del mayor con el doble del intermedio, resulta ser igual a treinta veces el número menor entre , aumentado todo esto en 70, obtener la medida circular”.

a) b) c)

d) e)
19. Sabiendo que la suma de los números que representan la medida de un triángulo en grados sexagesimales es 133. Entonces la medida de dicho ángulo es:
a) b) 70g
c) 63º d) 133º

f) “a”, “b”, y “c” son correctas

SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR

1. Del gráfico adjunto, halle “  ”.

A) 180º B) 360º C) 270º
D) 450º E) 540º

2. Reducir:

A) 82 B) 80 C) 37
D) 2 E) 17

3. Convertir 37g al sistema sexagesimal.

A) 33º B) 33º C)
D) E)

4. El factor que convierte cualquier número radianes en minutos centesimales es:

A) 3436,36 B) 3436,63
C) 6363,63 D) 6334,34
E) 4637,43

5. En la figura mostrada, halle la medida del ángulo AOB en radianes.

A) B) C)
D) E)

6. De la figura mostrada, calcule:

A) B) C)
D) E)

7. En un triángulo ABC la suma de las medidas de A y B es 90 grados centesimales y la suma de las medidas de B y C en el sistema radial es rad. Halle la diferencia de los ángulos internos C y A.

A) 36º B) 99º C) 54º
D) 63º E) 9º

8. Cuatro veces el número de grados centesimales de un cierto ángulo se diferencian de su número de grados sexagesimales en 155. ¿Cuál es ese ángulo en radianes?

A) B) C)
D) E)

9. Si los números “S”, ”C” y “R” representan lo convencional para un mismo ángulo. Determine el valor de “R”, si “S” y ”C” están relacionados de la siguiente manera:
S = 6xx + 9 , C = 8xx  6

A) B) C)
D) E)

10. La mitad del número que expresa la medida en grados sexagesimales de un ángulo excede en 52 al quíntuplo de su medida en radianes. Calcule dicho ángulo en grados centesimales.

A) 120g B) 130g C) 140g
D) 150g E) 160g

11. Si al número de grados sexagesimales que contiene un ángulo se le resta 13, y a su número de grados centesimales se le resta 2, se obtienen dos cantidades en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

A) B) C)
D) E)

12. Se crea un nuevo sistema de medida angular “Asterisco”, tal que su unidad (1*) equivale a 1,5 veces el ángulo llano. Halle el equivalente de 5 ángulos rectos en este nuevo sistema.

A) B) 3* C)
D) 5* E) 1*

13. Si sumamos al complemento de un ángulo expresado en grados sexagesimales con el suplemento del mismo ángulo en grados centesimales se obtiene 195. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

A) B) C)
D) E)

14. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal que la diferencia de su número de segundos sexagesimales y de su número de minutos centesimales sea 15700.

A) B) 2 C)
D) 40 E)
15. Si la diferencia de segundos centesimales y segundos sexagesimales que mide un ángulo es 27040. Calcule la medida (en rad.) de dicho ángulo.

A) B) C)
D) E)

16. Siendo “S”, “C” y “R” los números de grados sexagesimales, centesimales y números de radianes de un mismo ángulo respectivamente. Reducir la expresión:

M = S(  200) + C(180) + 20R

A) 0 B) 0,0016 C) 1
D) 0,246 E) 2,1416

17. Sabiendo que “S” y “R” son los números de grados sexagesimales y radianes de un ángulo, donde:

Halle “R”.

A) 5 B) 3 C) 4
D) 1 E) 2

18. Halle “C” a partir de la ecuación:
siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un mismo ángulo.

A) 20 B) 25 C) 40
D) 50 E) 10

19. A partir del gráfico mostrado, determine la medida del ángulo AOB, si “” toma su mínimo valor.

A) 52g B) 30º C) 45g
D) 45º E) 135º

20. Se inventan 2 sistemas de medición angular “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g , además 80y < > 90º.
Determinar la relación de conversión entre estos 2 sistemas x/y.