ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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CIRCUNFERENCIA:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto del mismo plano llamado centro.
Lugar geométrico
Es el conjunto de puntos que gozan de una misma propiedad.
La circunferencia divide al plano en tres subconjuntos de puntos:
 Puntos interiores a la circunferencia
 Puntos exteriores a la circunferencia
 Puntos de la circunferencia.

CÍRCULO
Es la figura formada por los puntos de la circunferencia y los puntos interiores a la circunferencia.
ELEMENTOS

1. Radio:
Es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia(figura ).

2. Arco:
Es aquella parte de circunferencia limitada por dos puntos de dicha circunferencia (figura: AB)
3. Cuerda:
Es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia (figura ).
4. Diámetro o Cuerda Mayor:
Es la cuerda que pasa por el centro y es el doble del radio. (figura ).
5. Recta Secante:
Es cualquier recta que corta a la circunferencia en dos puntos (figura ).
6. Recta Tangente.
Es aquella recta que tiene un sólo punto en común con la circunferencia (figura: PQ).
7. Flecha o Sagita.
Es el segmento que une a los puntos medios de la cuerda y el arco de menor longitud que subtiende dicha cuerda. (figura: )
TEOREMAS FUNDAMENTALES

a) El radio trazado con respecto al punto de tangencia, es perpendicular a la recta tangente que la contiene.

OT RT

b) En toda circunferencia, un diámetro o radio es perpendicular a una cuerda. Si y solo si pasa por el punto medio de dicha cuerda.

Si: AB MN
Entonces

MH = HN

c) En toda circunferencia a cuerdas congruentes se oponen arcos congruentes y viceversa.

Si: AB  CD

AB  CD

d) En toda circunferencia, los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes (miden iguales).

Si AB // CD
Entonces

AD  BC

e) Si AC es diámetro de una semicircunferencia y B es un punto cualesquiera de dicha semicircunferencia, entonces mABC = 90º

Demostración

ABC  +  +  +  = 180º
2 + 2 = 180º
Mitad  +  = 90º

l.q.q.d. mABC = 90º

MEDIDA DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

CLASIFICACIÓN:
Según la posición del vértice del ángulo:
1. Angulo Central:
Cuando tienen su vértice en el centro de la circunferencia

2. Angulos Excéntricos:
Cuándo no tienen su vértice en el centro de la circunferencia. Estos se clasifican en periféricos, internos y externos.

2.1 Angulos Periféricos:
Son los que tienen sus vértices en la circunferencia. Pueden ser inscrito, semiinscrito y exinscrito

2.2 Angulos internos:
Son los que tienen sus vértices en el interior de la circunferencia.

2.3 Angulos externos:
Son los que tienen su vértice en el exterior de la circunferencia.

DEFINICIONES:
1. ANGULO CENTRAL
Es aquel ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, sus lados contienen cada uno un radio y su medida es igual al arco comprendido entre sus lados; siempre y cuando esta medida del arco sea angular.

O = Centro

 = mAB

2. ANGULO INSCRITO
Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia, sus lados contienen cada uno una cuerda y su medida es igual a la mitad de la medida del arco que subtiende sus lados.

 =

3. ANGULO EXINSCRITO
Es el suplemento de un ángulo inscrito, su vértice se encuentra en la circunferencia, un lado contiene una cuerda y el otro lado la parte exterior de una secante y su medida es igual a la mitad de la medida de todo el arco que no corresponde al ángulo inscrito.

2

 = Angulo
Exinscrito

 =

Demostración
 +  = 180º
2 + 2 = 360º
2 + mAC = 360º
2 = 360º – mAC
2 = mABC

4. ANGULO SEMINSCRITO:
Su vértice se encuentra en la circunferencia, un lado es una tangente y el otro contiene una cuerda y su medida es igual a la mitad de la medida del arco que subtienden sus lados.

o = Centro

L: tangente

5. ANGULO INTERIOR
Su vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, está formado por dos secantes que contienen dos cuerdas que se cortan y su medida es igual a la semi suma de los arcos interceptados por él y por su opuesto por el vértice.

6. ANGULO EXTERIOR
Su vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados dos secantes, una secante y una tangente o dos tangentes. En éste último caso se llama ángulo circunscrito.
La medida del ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que subtienden sus lados.

a) Lados Secantes

 =

b) Lados tangentes y secantes

c) Lados tangentes (Angulo circunscrito)

 = (1)

De la figura:

AnC = 360º – AC

Reemplazando en la fórmula tenemos:

 + AC = 180º (2)

Análogamente:

 = AnC – 180º (3)

De las tres fórmulas para ángulo circunscrito, la más utilizada es la fórmula (2).

ARCO CAPAZ
Es el lugar geométrico de todos los puntos que unidos a dos puntos fijos determinan ángulos constantes e iguales al ángulo dado. El arco capaz es un arco de circunferencia y el segmento que une a los puntos fijos se denominan cuerda capaz o segmento capaz.

CUERDA CAPAZ

NOTA
• ACDEFB: Arco capaz de todos los ángulos que miden º
• AB: Cuerda capaz
• El arco capaz de los ángulos de 90º es una semicircunferencia.

PROPIEDADES
1. Las medidas de los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito suman 180º

Demostración:
Por ángulo inscrito

 =

 =

Suma: + =

+ =

+ = 180º

2. En dos circunferencias tangentes interiores cumple: mAB = mBC

P y T: Puntos de Tangencia

Demostración:

 = (Angulo Seminscrito)

 = (Angulo Interior)

Igualando

l.q.q.d. AB = BC

3. En dos circunferencias tangentes exteriores cumple:

mABC = 90º

A, B y C: Puntos de Tangencia

Demostración:

ABC  +  +  +  = 180º

2 + 2 = 180º

Mitad  +  = 90º

l.q.q.d. mABC = 90º

4. El lado de un pentágono regular subtiende un arco de 72º

AB =

AB = 72º

5. Si una cuerda mide igual que el radio entonces dicha cuerda subtiende un arco de 60º

Demostración
1) Por hipótesis
AB = Radio

2) Trazamos los radios OA y OB

3) El triángulo AOB es equilátero
mAOB = 60º

4) Angulo Central

l.q.q.d. mAB = 60º

6. El lado de un hexágono regular subtiende un arco de 60º y la medida del lado del hexágono regular es igual a la medida del radio.

EJERCICIOS

1. En la figura Hallar “”

A) 18º B) 20º C) 36º D) 48º E) 72º

2. Si AC = I: Incentro.
Hallar IQ

A) 2 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

3. En el gráfico mostrado. Hallar el valor de “x”

A) 80º B) 90º C)100º D) 110º E) 120º

4. En la figura mostrada, hallar el valor de “x”.

A) 100º B) 120º C) 140º
D) 150º E) 160º

5. Según el gráfico
m DTC = m CE = 2x. Hallar “x”

A) 30º B) 40º C) 50º
D) 60º E) 70º

6. Hallar “x” si A, B y T son puntos de tangencia.

A)  – 2 B) – C)+
D) 2 E) 2

7. Hallar , si AP = 4m, “P” es punto de tangencia

A) 2m B) 3m C) 4m
D) 5m E) 6m

8. Calcular “x”, si A y B, son puntos de tangencia.

A) 80° B) 60° C) 70°
D) 40° E) 50°

9. Calcular “x”, si: P, R, S, T y M. Son puntos de tangencia.

A) 10° B) 15° C) 35°
D) 30° E) 20°

10.Calcular la mEF, si y “O” es centro.

A) 50° B) 60° C) 80°
D) 40° E) 30°

11.Calcular “x”, si mAB = 150° (“T” punto de tangencia)

A) 15° B) 20° C) 30°
D) 45° E) 60°

12. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB; en el arco AB se ubican los puntos D y C tal que la distancia de dichos puntos hacia el diámetro son 4 y 3; calcule la medida del ángulo entre y si: m DC = 90°
A) 16° B) 20° C) 37°/2
D) 53°/2 E) 8°

13. Dado un paralelogramo ABCD la circunferencia que contiene a los puntos B, A y D interseca a en M. Calcular la m  BAD, si AB = 5 y MC = 6
A) 37° B) 53° C)74°
D) 100° E) 78°

CIRCUNFERENCIA I

1. En la figura, calcule m ; si .

A) 70º B) 145º C) 72,5
D) 140º E) 90º

2. Del gráfico, Calcule x.

A) 25º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 15º

3. Según el gráfico, . Calcule :

A) 120º
B) 150º
C) 90º
D) 130º
E) 180º
4. Según el gráfico, calcule la diferencia entre las medidas del mayor y menor

A) 90º B) 45º C) 180º
D) 270º E) 135º

5. Según el gráfico, calcular x, si ABCD es un paralelogramo.

A) 120º B) 60º C) 70º
D) 90º E) 80º

6. En un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia , su altura mide H. Calcule la longitud de la base media del trapecio, si: .

A) B) C)
D) E)

7. Según el gráfico, A, B y T son puntos de tangencia. Calcule “x”.

A) 60º B) 30º C) 45º
D) 37º E) 53º

8. En el gráfico, calcule x, si AE=2(BC) y 20º

A) 130º
B) 120º
C) 110º
D) 150º
E) 160º

9. En el gráfico: y T es punto de tangencia “m”. Calcule .

A) 60º B) 30º C) 50º
D) 80º E) 40º

10. Según el gráfico; calcule , si ABCD es un paralelogramo (D es punto de tangencia).

A) 60º
B) 70º
C) 140º
D) 120º
E) 35º
11. Del gráfico, Calcule la
Siendo T y P son puntos de tangencia, TB = 4 y r = 5

A) 37º B) 53º C) 30º
D) 60º E) 45º

12. Calcule x, si AB=BC =DE=FE y m .

A) 60º B) 70º C) 40º
D) 30º E) 50º

13. Del gráfico, P y T son puntos de tangencia, además R=3r. Calcule m .

A) 60º B) 105º C) 100º
D) 120º E) 90º

14. Según el gráfico, calcule si

A) 120º B) 150º C) 180º
D) 100º E) 90º

15. En la figura, Calcule PS, si T,Q y S son puntos de tangencia.

A) 5
B) 3
C) 2,5
D) 4
E) 6

16. Según el gráfico; AB = 1, BC = CD = 2, además B, C y T son puntos de tangencia.
Calcule “x”.

A) 30º B) 37º C) 53º
D) 60º E)

17. Si “O” es el centro del cuadrado ABCD y PA =AD=8. Calcule AM.

A) 6 B) C)
D) E)

18. En la figura, calcule ; si T, Q y P son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ).

A) 53º B) C) 37º
D) E) 45º

19. Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, en el arco BC se ubica el punto P, tal que , luego se traza perpendicular a en H. Calcule la si la y = .

A) 53º B) 35º C) 10º
D) 20º E) 30º

20. En la figura y . Calcule “x”.

A) B)
C) D)
E)