ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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Áreas de regiones poligonales
REGION TRIANGULAR
Es una figura geométrica (conjuntos de puntos) que consiste en un triángulo más su interior.

2. REGION POLIGONAL
Es una figura geométrica formada por la reunión de un número finito de regiones triangulares en un plano, de modo que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento.

3. POSTULADO
A toda región poligonal, le corresponde un número real positivo único.

4. AREA DE UNA REGION POLIGONAL
El área de una región poligonal es el número real positivo que se le asigna según el postulado anterior.

5. UNIDAD DE AREA
Por costumbre se escoge como unidad de área a la unidad longitudinal al cuadrado; o sea:
U = 1u2

u: unidad de longitud
U: unidad de Area
1u

1u

6. OBSERVACIONES
* Entendemos el área de un triángulo, área de un cuadrilátero, área de un polígono, como el área de la región correspondiente.
* Dos regiones cualesquiera que tienen igual área se llaman equivalentes, independiente de la forma que tenga cada región. Ejemplo: el triángulo y el rectángulo que tiene igual área, son equivalentes.

FIGURAS EQUIVALENTES
* Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares tienen la misma área.
* Es a partir del postulado de la unidad de área (área del cuadrado) que se de muestran las fórmulas básicas para el cálculo de área de las diferentes regiones elementales: rectángulo, triángulo, trapecio, etc.

7. AREA DEL CUADRADO
El área de un cuadrado es igual a la longitud de su lado al cuadrado; o sea:

S = L2

8. AREA DEL RECTANGULO
El área de un rectángulo es el producto de su base por la altura.

S = a.b

Demostración
En la figura, A, = a2, A2 = b2
S +S+A1+A2 = Stotal
2S+a2+b2 =(a+b)2
2S+a2+b2 =a2+2ab+b2

Cancelando a2 y b2
2S = 2ab
Mitad
S =a.b L.q.q.d.

9. AREA DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO
El área de un triángulo rectángulo es igual al semiproducto de las longitudes de los catetos.

S =

Demostración
Por área del rectángulo
2S = a.b

S =
10. AREA DE UN TRIANGULO CUALQUIERA
El área de todo triángulo es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la altura relativa a dicho lado.

S = Area (ABC) S =
m+n = b

Demostración
S = Area (AHB) + Area (BHC)

S =

S =

S = L.q.q.d.

11. AREA DE UN TRIANGULO EQUILATERO
El área de todo triángulo equilátero es igual al cuadrado de la longitud del lado multiplicado por el factor .

S = Area (ABC) S =

Demostración
1. S = ……………(I)
2. 30º y 60º
h = …………….(II)

3. (II) en (I)

S =

S = L.q.q.d.

12. AREA DEL TRIANGULO EN FUNCION DE SUS LADOS
(Teorema de Herón)

S = Area (ABC)

S =
p : semiperimetro
p =

Demostración
1. S = .h………………………..(I)
2. Teorema de Heron
h = ….(II)

3. (II) en (I)

S = L.q.q.d.

13. FORMULA TRIGONOMETRICA
En todo triángulo, el área se puede expresar como el semiproducto de dos lados, por el seno del ángulo comprendido entre ellos.

S=Area(ABC)
S =

Demostración
1. S = ……………………..(I)
2. …….(II)
3. (II) en (I)
S = L.q.q.d

14. AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO
El área de todo triángulo es igual al producto del semiperimetro y el inradio.

S = Area (ABC)
r : Inradio S = p.r
P: semiperimetro

Demostración

S = Area (A+B)+Area(BIC)+ Area(AIC)
S =
S =

S = p.r L.q.q.d.

15. AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCION DEL CIRCUNRADIO
El área de todo triángulo es igual al producto de las longitudes de los tres lados, divido por el cuádruple del circunradio

S = Area (ABC) S =
R : Circunradio

Demostración
1. S = ………..(I)
2. h = ………..(II)
3. (III) en (I)

S =  S = L.q.q.q

16. AREA DE UN TRIANGULO EN FUNCION DE UN EXRADIO
El área de todo triangulo es igual al producto del exradio relativo a un lado y la diferencia entre el semi perímetro y dicho lado.

S = (p-a)ra

ra: Exradio relativo al lado a
p: semiperimetro
b+c-a =b+c+a-2a = 2p-2a
17. RELACIONES FUNDAMENTALES EN EL TRIANGULO
Consideremos un triangulo ABC cualquiera de área S, de inradio r, circunradio R, exradios, ra,rb,rc y altura ha,hb,hc. entonces:
I. El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto del inradio y los tres exradios.
S =
II. La inversa del inradio es igual a la suma de las inversas de los exradios

III. La inversa del inradio es igual a la suma de las inversas de las alturas.

IV. Exradios en función de las alturas

V. Además recordemos el teorema de Steiner

18. TEOREMA DE BURLET
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los dos segmentos determinadas por la circunferencia inscrita sobre la hipotenusa.
S = Area (ABC)
S = m. n

Demostración
1. Del gráfico: BC = r+n y
AB = r+m

2. S =  2S = (r+n)(r+m)

2S = r2 +rm + nr +mn …….. (1)
3. S = p.r  S = (m+n+r).r……(2)

4. Restando (1) y (2):

S = mn Lq.q.d.
19. Sea ABC un triángulo rectángulo ABC recto en B. (ver figura). Se dibuja la circunferencia exinscrita relativa a uno de los catetos que es tangentes a la prolongación de la hipotenusa en F. Entonces cumple:

S = Area(ABC) S = FC. FA
Demostración
1. Capitulo de circunferencia
FC = P
FA = r
2. S = p.r
3. 1. en 2.
S = FC. FA L.q.q.d
20. El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los exradios relativos a los catetos
S = ra.rc
21. El área de un triángulo rectángulo es igual al producto del inradio y el exradio relativo a la hipotenusa.

S = r.rb
Demostración
1. S = p.r ….(1)
2. Capitulo de circunferencia
rb = p ….(2)
3. Reemplazando (2) en (1)
S = rb .r
S = r.rb L.q.q.d
22. El área de un triangulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los dos segmentos que determina en la hipotenusa, la respectiva circunferencia exinscrita.
S = m.n

23. COMPARACION DE REGIONES TRIANGULARES, PROPIEDADES
I. Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son proporcionales a sus respectivas bases.

a)

b) Relación de áreas al trazar una
ceviana

: Ceviana
S1 = Area(ABD)
S2 = Area(DBC)
L.q.q.d.

II. Si dos triángulos tienen igual base, sus áreas son proporcionales a sus respectivas alturas.

S1 = Area(ABC) ;
S2 = Area(DEF)
L.q.q.d.
III. Si dos triángulos tienen un lado congruente y las respectivas alturas congruentes entonces son equivalentes.

S1 = S2 =
IV. En todo triángulo, una mediana cualquiera determina dos triángulos parciales equivalentes.
= Mediana
S1 = Area (ABM) S2 = Area (MBC)

S1 = S2 =
V. En todo triángulo, al unir los puntos medios de los tres lados, se determinan cuatro triángulos parciales equivalentes.

S1 = Area (MBN); S2 = Area (AMP)
S3 = Area (MNP); S4 = Area (NPC)
* Por ser congruentes los triángulos MBN, AMP, MNP y NPC se tendrán:
S1 = S2 = S3 = S4 =
Observación
El área del trapecio AMNC es igual al triple del área del triángulo MBN.

VI. En todo triángulo, al trazar las tres medianas se determinan seis triángulos parciales equivalentes
G: BARICENTRO

1. 2x +z = 2y + z
MITAD x = y
2. 2y+x = 2z + x
MITAD y = z
3. Luego:
x = y = z
VII. En todo triángulo, si se une el baricentro con los tres vértices se determina tres triángulos parciales equivalentes

G: BARICENTRO
S1 = S2=S3 =
S1 = 2x , S2 = 2y , S3=2z
VIII. En todo triángulo, al unir el baricentro con los puntos medios de los tres lados, se determinan tres regiones equivalentes.

G: BARICENTRO
S1= S2=S3 =

S1 = x+y , S2 = x+z , S3= y+z
IX. En todo triángulo, al unir el baricentro con los puntos medios de dos lados cualesquiera, se determina una región triangular cuya área equivale a la doceava parte del área total.

12S = Area (ABC)

S = L.q.q.d.
X. Si dos triángulos tienen un ángulo congruente o ángulos suplementarios entonces sus áreas son proporcionales a los productos de los lados que forman ese ángulo que mide igual o esos ángulos suplementarios.

XI. Si dos triángulos son semejantes entonces sus áreas son proporcionales a los cuadrados del cualquier par de elementos homólogos.

1. Sea K la razón de semejanza de los triángulos ABC y A´B´C:
………..(1)
2.  ….(2)
3. Reemplazando (1) en (2)

EJERCICIOS

1. Encontrar el área de un triángulo cuyos lados miden 10, 12 y 14cm.
A) 10 B) 24 C) 12
D) 14 E)

2. Calcular el área de triángulo equilátero, sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita mide 2cm.
A) 12 B) 6 C)4
D) 2 E) 6

3. En un triángulo ABC las alturas se cortan en “0”. Si AC x OB = 42. Calcular el área del cuadrilátero ABCO
A) 42 B) 21 C)18
D) 38 E) 14

4. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se trazan la mediana y la bisectriz interior . Calcule el área de la región triangular MBN, si AB=6cm y BC=4cm.
A) 1,2cm2 B) 1,4cm2 C) 1,5cm2
D) 1,6cm2 E) 1,8cm2

5. En un cuadrado ABCD se traza la tangente BT a la semicircunferencia interior de diámetro AD. En el arco AT se ubica un punto por el cual se traza una tangente a la semicircunferencia mencionada, cortando a en P y a en Q. Si AP.QT=6cm2. Calcule el área de la región triangular PBQ.
A) 6cm2 B) 9m2 C) 12cm2
D) 18m2 E) 20cm2

6. Dos catetos de un triángulo rectángulo miden AB = 7m y AC = 24m. Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos vértices son el ortocentro, el circuncentro y el incentro del triángulo indicado.
A) 12m2 B) 12,75m2 C) 15m2
D) 20m2 E) 25m2

7. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 21m, AC = 28m y BC = 35m. Se trazan las bisectrices CP y AQ, las cuales se cortan en el punto I. Calcular la el área del triangulo CIQ.
A) 20m2 B) 30m2 C) 45m2
D) 70m2 E) 75m2

8. Los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo miden 8m y 6m respectivamente. M y N son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de centro “O” y la exinscrita relativa al lado AC. Hallar el área del triángulo OMN.
A)1m2 B) 2m2 C)3m2
D)4m2 E) 5m2

9. Los lados de un triángulo rectángulo miden: AB = 30m, AC = 40m y BC = 50m. Se traza la bisectriz BL y la altura AH cortándose ambas en el punto M. Calcular el área del triángulo ABM.
A) 60m2 B) 80m2 C)90m2
D)120m2 E) 135m2

10. En un triángulo rectángulo ABC recto en A, se traza AH altura relativa a la hipotenusa y las bisectrices BP y CE cortándose en F y cortando a la altura en G y M. Si la distancia de F a GM es de 2m. Calcular el área del triángulo FGM, si AE = 5m y AP = 6m.

A) 1m2 B) 2m2 C) 3m2
D) 2,5m2 E) 3,5m2

11. El triángulo ABC tiene como lados AB = 20m, AC = 6 m, BC= 10m. Se traza la altura CE y por E se traza EM perpendicular a AC. Calcular el área del triangulo EMC.
A) 10m2 B) 5,5m2 C) 8m2
D) 7,2m2 E) 6,2m2

12. En un triángulo ABC sus lados miden AB = 12m, BC = 16m y AC = 20m. Por el punto medio M del lado AC se levanta una perpendicular que corta al lado BC en N. Tomando como diámetro MN se construye una circunferencia que corta a BC en Q. Calcular el área del triángulo MQN.
A) 11m2 B) 12,5m2 C) 9m2
D) 13m2 E) 13,5m2

13. Se da un triángulo isósceles ABC (AB = BC) en donde AC = 5m y la altura AH mide 4m. Calcular el área del triángulo BOH siendo “O” la intersección de las alturas AH y BP
A) 25/6m2 B) 7m2 C)7/8m2
D) 49/96m2 E) 14m2

14. Se tiene dos circunferencias exteriores de radios 1 y 8 metros respectivamente cuyas tangentes interiores son perpendiculares. Calcular el área del triángulo formado por dichas tangentes y una de las exteriores común a las dos circunferencias.
A) 4m2 B) 8m2 C) 9m2
D) 10m2 E) 12m2

1. En un triángulo rectángulo BAC recto en A, el ángulo B mide 75° y la distancia de A a la hipotenusa mide cm. Calcule el área de la región ABC.

A) 100 cm2 B) 36 cm2
C) 84 cm2 D) 144cm2
E) 72cm2

2. Los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo ABC recto en A, miden 21cm y 28cm. Se trazan las bisectrices CP y AQ, las cuales se cortan en el punto I. Calcule el área de la región CIQ.

A) 20cm2 B) 30 cm2
C) 45 cm2 D) 70cm2
E) 75 cm2

3. El triángulo ABC tiene como lados AB = 20cm, AC = 6 cm y BC = 10cm. Se traza la altura CE y por E se traza perpendicular a . Calcule el área de la región EMC.

A) 10 cm2 B) 5,5 cm2
C) 8 cm2 D) 7,2 cm2
E) 6,2 cm2

4. Se da un triángulo isósceles ABC (AB = BC), en donde AC = 5m y la altura AH mide 4m. Calcule el área de la región BOH siendo “O” la intersección de las alturas AH y BP

A) 25/6 m2 B) 7 m2
C) 7/8 m2 D) 49/96 m2
E) 14m2

5. En un triángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior AP y en se ubica el punto Q, de modo que mAPQ = 45°. Calcule el área de la región QPC, si (BP)(PC)=20 u2.

A) 5 u2 B) 10 u2
C) 12,5 u2 D) 15 u2
E) 20 u2

6. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, de modo que m BMA = 45°. Calcule el área de la región ABC, si BC2 – AB2 =20 u2

A) 5 u2 B) 7,5 u2 C) 10 u2 D) 12,5 u2
E) 15 u2

7. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD y en el triángulo DBC se traza la ceviana BM, de modo que m  CBM = m  BAC. Si el área de la región MBC es 5 cm2 y AC = 2(BC), calcule el área de la región BMA.

A) 5 cm2 B) 10 cm2
C) 15 cm2 D) 20 cm2
E) 25 cm2

8. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se inscribe un cuadrado el cual tiene un lado contenido en la base AC del triángulo; calcule el área de la región ABC si el baricentro de este es el centro del cuadrado y la base del triángulo mide 6m.

A) 16 m2 B) 14 m2 C) m2 D) 9m2
E) 18m2

9. Se tiene un cuadrado ABCD; en la región interior se ubica un punto P tal que mBPC = 90º; y en la prolongación de se ubica al punto Q tal que m PQD = 90º. Si BP = 4u y PC = 6u, calcule el área de la región AQD.

A) 4 u2 B) 8 u2 C) u2 D) u2
E) u2

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. La mediatriz de es tangente a la circunferencia inscrita cuyo centro es 0; calcule el área de la región AOC si AB = 6u

A) 20 u2 B) u2
C) u2 D) u2
E) 10 u2

11. En un triángulo ABC, se ubican los puntos “M” en y “N” en la prolongación de . y se interceptan en “P” tal que las regiones MBP y PCN tienen igual área y AM = MB. Calcule:

A) 1/2 B) 1/4 C) 1
D) 1/6 E) 1/5

12. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto medio M de la diagonal AC. Calcule el área de la región MBD sabiendo que las áreas de los triángulos ABD y BDC miden 50m2 y 30m2

A) 10 m2 B) 9 m2 C) 8 m2 D) 15 m2
E) 20 m2

13. En un triángulo ABC se traza la altura BH y en el triángulo BHC se traza la bisectriz interior BD. Siendo 3 (AD) = 4 (DC), HD = 4u y BC = 12u; calcule el área de la región ABD.

A) 8 2 B) 16 2
C) 32 2 D) 24 2
E) 40 2

14. En la figura, m = m , encuentre la razón entre las área de las regiones AGO y OFE.

A) 2/3
E)
F) 4/3
G) 3/5
E)

15. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en se ubica el punto “P” y en el interior de la región PBC el punto “D”. Siendo mABP = mPCD, BC = PC y BP = PD = 4cm; calcule el área de la región BPD.

A) cm2 B) 4 cm2
C) cm2 D) cm2
E) 8 cm2

16. En la figura, CO = 6 . Calcule al área de la región sombreada.

A) 18 2
F) 9 2
G) 13,5 2
H) 21 2
I) 27 I 2