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MONOTONÍA Y CURVATURA – DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

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1. Dada la funcio´n f (x )  :
1
x 2  1
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) Calcula los puntos en los que alcanza un ma´ximo o un mı´nimo relativo.
2. Dada la funcio´n f (x )  , se pide:
4x
x 2  4
a) Sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) Sus intervalos de concavidad y convexidad.
c) Los ma´ximos y mı´nimos relativos y los puntos de inflexio´n.
3. Estudia la curvatura de la funcio´n f (x )  x · e determinando sus intervalos de concavidad y convexidad y los x2
puntos de inflexio´n.
4. La funcio´n f (x )  a · e2x  b · x 2  c tiene un punto de inflexio´n en (0, 3) y la pendiente de la recta tangente
en ese punto es igual al valor L  . Calcula los valores de a, b y c.
2x
lim
xA0 2 sen x  x
5. ¿Cua´les deben ser las dimensiones (altura y radio de la base) de un depo´sito de agua cilı´ndrico de volumen
ma´ximo, si su superficie total, incluidas las dos tapas, es de 300 m2?
y
x
6. Halla la ecuacio´n de la recta que pasa por el punto (1, 3) y corta los ejes de coordenadas determinando un
tria´ngulo de a´rea ma´xima.
Y
O 1
1
X
7. Considera la funcio´n f (x )  x 3  bx 2  cx  d.
a) ¿Que´ valores deben tomar b, c y d para que la funcio´n tenga un punto de inflexio´n en x  1 y la recta
tangente a la gra´fica de f (x ) en ese punto sea y  2x  3?
b) Para esos valores, estudia el crecimiento y la curvatura de la funcio´n.
SOLUCIONES
1. Dominio: R  {1, 1}; f  (x )  
2x
(x 2  1)2
se anula en x  0. Signo de f (x ):
+ –1 + 0 – 1 –
La funcio´n es creciente en (, 1) y (1, 0) y es
decreciente en (0, 1) y (1, )
Ma´ximo: (0, 1)
2. Dominio: R
f  (x ) 
16  4x 2 4 · (2  x ) · (2  x )
(x 2  4)2 (x 2  4)2
Se anula en x  2 y x  2
– –2 + 2 –
La funcio´n es creciente en (2, 2) y es decreciente
en (, 2) y en (2, ).
Mı´nimo relativo: (2, 1). Ma´ximo relativo: (2, 1)
f (x ) 
8x 3  96x 8x · (x 2  12)
(x 2  4)3 (x 2  4)3
Se anula en x  0, x  23 y en x  23
– –2 3 + 0 – 2 3 +
f (x) es c´oncava en (, 23) y en (0, 23) y es
convexa en (23, 0) y en (23, ).
Puntos de inflexio´n:
, (0, 0) y
3 3 23,  23,  2 2
3. f  (x ) e (1 2x 2) x2
f (x )  2x · (2x 2  3) · e x2
La derivada segunda se anula en x  0
y en x  
6
2
Signo de f (x ):
– + 0 – 6 +
2
6
– 2
f (x) es co´ncava en 
6 6 ,   0,  2 2
y convexa en 
6 6  , 0  ,  2 2
Puntos de inflexio´n: ,  e , (0, 0)
6 6 3    2 2 2
y
6 6 3    , e 2 2 2
4. f  (x )  2a · e2x  2bx y f (x )  4a · e2x  2b
Aplicando la regla de L’Hoˆpital:
L 2 f  (0)  2
2
lim
xA0 2 cos x  1
2a  2 a  1
Como (0, 3) es punto de inflexio´n:
f (0)  3 a  c  3 c  2
f (0)  0 4a  2b  0 b  2
La funcio´n es: f (x )  e2x  2x 2  2
5. Superficie: 2x 2  2xy  300
y 
300  2x 2
2x
Volumen: C (x, y )  x 2 y V (x )  150x  x 3
Se busca el ma´ximo de V (x ) anulando la derivada
primera, V (x )  150  3x 2
V (x )  0 x   . La solucio´n negativa
52

no tiene sentido. Como V 0, se alcanza
52 
el volumen ma´ximo para x   4 m
52

y   8 m
102

6. La recta es de la forma y  3  m (x  1)
Los puntos de corte con los ejes son:
3  m
 , 0 m
y (0, m  3). El a´rea del tria´ngulo depende de la
pendiente m, A (m)  · (m  3)
1 3 m
  2 m
La derivada A (m)  se anula en
1 9
1  2 2 m
m  3. Como A (m)   A (3)  0, el
9
m3
a´rea es ma´xima para m  3.
La recta buscada es: y  3  3(x  1)
7. f (x )  3x 2  2bx  c y f (x )  6x  2b
a) f (1)  0 6  2b  0 b  3; la
pendiente de la tangente es m  2: f  (1)  2
3  2b  c  2 c  5; f (1)  1
1  b  c  d  1 d  4, la
funcio´n es f (x )  x 3  3x 2  5x  4.
b) Como f  (x )  3x 2  6x  5
0, la funcio´n
es siempre creciente. Estudiando el signo de
f (x )  6x  6 vemos que la funcio´n es co´ncava
en (, 1) y convexa en (1, ), ya que el u´nico
punto de inflexio´n es (1, 1).
1. Considera la funcio´n f (x )  ax 3  bx 2  cx  d :
a) ¿Que´ valores deben tomar a, b, c y d para que la funcio´n tenga un ma´ximo en el punto (1, 2) y un mı´nimo
en el punto (1, 2)?
b) Estudia la curvatura (concavidad, convexidad y puntos de inflexio´n) de la funcio´n para los valores obtenidos
en el apartado anterior.
2. Estudia el crecimiento de la funcio´n f (x )  esen x · cos x y determina sus ma´ximos y mı´nimos relativos para
x  [0, 2].
3. ¿Para que´ valores de x es ma´ximo el valor del determinante de la matriz A  ?
a b c
a x c ¿Para qu´e valores es m´ınimo este determinante? a b x
4. En una circunferencia de radio r se consideran dos arcos consecutivos cuya suma es un cuadrante y cuyos a´ngulos
centrales respectivos miden  y   con 0    .
 
2 2
a) Calcula el valor de  que hace que la suma de los cuadrados de las longitudes de sus cuerdas sea ma´xima.
¿Cua´nto vale ese ma´ximo?
b) Calcula el valor de  que hace que el a´rea del tria´ngulo determinado por los extremos de dichos arcos sea
ma´xima. ¿Cua´l es esa superficie ma´xima?
5. Desde un punto P, que se mueve por una semicircunferencia de dia´metro AB con A(4, 0) y B(4, 0), se trazan
las perpendiculares PC y PD a la tangente a la circunferencia en el punto B y al dia´metro AB, respectivamente.
Determina las coordenadas del punto P que hacen que el a´rea del trapecio APCB sea ma´xima.
O B
A
O D
P
A B
C
SOLUCIONES
1. Calcula los ma´ximos y los mı´nimos de las siguientes funciones:
a) f (x ) 
x
x 2  4
c) f (x )  xe x e) f (x ) 
1  x
1  x
b) f (x ) 
x 2
x  1
d) f (x )  L(x 2  2x) f) f (x ) 
e x
x 2
2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:
a) f (x )  x 4  2x 2 c) f (x ) 
x
x  1
e) f (x )  (x  1)e x
b) f (x )  x 4  x 3 d) f (x )  L(x  2) f) f (x ) 
1
x 2  4
3. Calcula los puntos de inflexio´n de las siguientes funciones:
a) f (x )  x 3  6x 2 b) f (x )  L(x 2  1) c) f (x ) 
x  2
x 2
d) f (x )  x 2e x
4. Estudia la curvatura de las siguientes funciones:
a) f (x )  (x  1)2 b) f (x )  x 3  x 2  x  2 c) f (x )  x  1 d) f (x ) 
x  1
x  1
5. Considera la funcio´n f (x )  . Calcula:
x
x 2  4
a) Su dominio.
b) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Sus ma´ximos y sus mı´nimos.
d) Sus puntos de inflexio´n.
e) La ecuacio´n de la recta tangente en su punto de inflexio´n.
6. Halla el valor de a para que la funcio´n f (x )  x 3  ax  1 tenga un extremo en x  1. Halla dicho extremo
y determina si es ma´ximo o mı´nimo.
7. Considera la funcio´n f (x )  x 3  ax 2  bx  1. Se sabe que tiene dos extremos en x  1 y en x  ,
1
respectivamente. 3
a) Halla el valor de a y b.
b) Clasifica el tipo de extremos que tiene en x  1 y en x  .
1
3
c) Halla los puntos de la curva donde la pendiente de la recta tangente es 5.
8. Considera la funcio´n f (x )  ax 3  bx. Sabiendo que tiene un extremo en (1, 4), halla el valor de a y b.
9. Encuentra dos nu´meros sabiendo que su producto es ma´ximo y que la suma del primero con el cuadrado del
segundo es 48.
1. Halla el nu´mero x que hace que el valor del determinante de la matriz A  sea mı´nimo.
x  1 x  1 1 x
2. De todos los tria´ngulos recta´ngulos tales que la suma de su hipotenusa y un cateto sea 12 cm, halla el que
tiene a´rea ma´xima.
3. Halla las dimensiones del recta´ngulo de a´rea ma´xima que se puede inscribir en una circunferencia cuyo radio
mide 2 cm.
4. Se quiere construir una piscina con forma de paralelepı´pedo rectangular tal que su anchura sea doble que su
altura y que la suma del largo, ancho y alto sea 24 m. Halla las dimensiones que debe tener la piscina para
que su capacidad sea ma´xima.
5. De una chapa circular de radio 10 cm se recorta un sector circular y con la lata restante se construye un
embudo. Halla el sector que debe cortarse para que el embudo tenga capacidad ma´xima.
6. Descompo´n el nu´mero 45 en suma de dos nu´meros tales que el producto del cubo del primero por el cuadrado
del segundo sea ma´ximo.
7. La comisio´n que cobra un agente de seguros viene dada por la funcio´n:
f (x )  60 000  270x  , donde x representa el importe, en euros, de la po´liza contratada.
63x 2 3x 3
20 500
¿Cua´l es el importe de la po´liza que le garantiza una comisio´n ma´xima?
8. La cotizacio´n de las acciones de una empresa a lo largo del pasado an˜o vino dada por la expresio´n
f (t )  1,8  0,57t  0,11t 2  0,006t 3, donde t representa el mes del an˜o (0  t  12).
a) Halla los periodos del an˜o durante los cuales crecio´ la cotizacio´n de las acciones y durante los cuales
decrecio´.
b) ¿Cua´ndo la cotizacio´n fue ma´s alta y cua´ndo fue ma´s baja? ¿Que´ valor alcanzaron las acciones en esos
momentos? Fı´jate que esta´s hallando extremos en el intervalo cerrado [0, 12].
9. Los gastos anuales en publicidad de una empresa, en euros, vienen dados por la expresio´n
f (x )  120 200  , donde x representa el nu´mero de an˜os que lleva funcionando
6 010x 2  24 040x  6 010
e x  2 la empresa.
a) ¿Cua´nto dinero se gasto´ la empresa en publicidad en el momento de su creacio´n?
b) ¿En que´ periodos de tiempo los gastos en publicidad crecieron? ¿En cua´les decrecieron?
c) ¿En que´ an˜o se produjeron los mayores gastos en publicidad? ¿A cua´nto ascendieron?
d) ¿En que´ an˜o se produjeron los menores gastos en publicidad? ¿A cua´nto ascendieron?
e) Con el paso de los an˜os, ¿cua´l tiende a ser el gasto publicitario anual de esta empresa?
10. La relacio´n entre los beneficios obtenidos por la venta de un determinado producto y el tiempo en an˜os que
esta´ en el mercado viene dada por la funcio´n B(t )  , medida en miles de euros.
600t
t 2  100
a) Estudia los perı´odos en los que los beneficios crecen y en los que decrecen.
b) Indica a cua´nto ascienden los beneficios ma´ximos anuales.
c) ¿En que´ perı´odos de tiempo los beneficios son menores que 18 000 euros anuales?
d) ¿Hay algu´n momento en que la venta de este producto ocasione pe´rdidas?