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FUNCIONES DERIVABLES-PROPIEDADES LOCALES Y GLOBALES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

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1. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a la curva de ecuaci´on y  32×2  1 en el punto de abscisa x  0.
2. Halla la ecuacio´n de la tangente a la curva y  x 2  5x  6 en el punto de abscisa x  1 y comprueba si
es paralela a la recta de ecuacio´n 2x  3y  1  0.
3. Determina la ecuacio´n de una para´bola que pase por los puntos A (0, 1) y B (2, 3) y halla un punto en el
segmento de para´bola comprendido entre ellos en el que la tangente a la curva sea paralela a la cuerda
determinada por A y B.
4. Comprueba que la funcio´n f (x )  L(e  sen x ) verifica las hipo´tesis del teorema de Rolle en el intervalo
[0, 5] y halla los puntos en los que la recta tangente a la gra´fica de f (x ) es horizontal.
5. Determina el valor de k para que la funcio´n f (x )  3x 2  4x  4 verifique las hipo´tesis del teorema de Rolle
en el intervalo [2, k] y halla el valor x  c establecido por dicho teorema.
6. Dada la funcio´n f (x )  3x 2  4x  3, halla el valor medio establecido por el teorema de Lagrange en el
intervalo [1, 3].
7. Determina los valores de a y b para que la funcio´n f (x )  cumpla las hipo´tesis del teorema
a
si x  1
x  3 x 2  b si x  1
de Lagrange en el intervalo [1, 2] y halla el valor intermedio correspondiente.
8. Calcula los lı´mites siguientes:
a)
x 3  4x 2  12x
lim xA0 x 2  6x
b)
x 3  1
lim xA1 x 2  1
9. Calcula los lı´mites siguientes:
a)
ex  1
lim
xA0 sen x
b)
tg x  x
lim
xA0 x  sen x
10. Calcula los lı´mites siguientes:
a)
ex  cos x
lim 2 xA0 1  cos x
b)
1  cos x
lim xA0 (e x  1)2
11. Calcula el valor del siguiente lı´mite: A  (1  x 2)
1
lim 1  cos x
xA0
12. Estudia la continuidad de la funcio´n f (x ) 
1  sen x  ex
si x  0  ex  1 0 si x  0
1. Df (x )  4x · 32×2  1 · L3 f  (0)  0
Adema´s, f (0)  3, el punto de tangencia es (0, 3).
La ecuacio´n de la tangente es y  3  0.
2. Df (x )  2x  5 f  (1)  3
Adema´s, f (1)  2, el punto de tangencia es (1, 2)
La ecuacio´n de la tangente es y  23 · (x  1)
3x  y  5  0, que no es paralela a la recta
2x  3y  1  0.
3. La para´bola f (x )  x 2  x  1 verifica las hipo´-
tesis del teorema de Lagrange en el intervalo [0, 2];
el valor intermedio nos da el punto en que la tangente
es paralela a la cuerda AB:
f  (c ) 1
f (2)  f (0)
2  0
Df (x )  2x  1; f  (c )  2c  1  1 c  1
El punto buscado es C (1, 1).
4. Como e  sen x
0 y es continua, la funcio´n f (x )
esta´ definida y es continua en [0, 5]; es derivable
con derivada Df (x )  ; adema´s
cos x
e  sen x
f (0)  f (5)  1, por lo que cumple las hipo´tesis
del teorema de Rolle. Existe c  (0, 5) tal que:
f  (c )  0  0 cos c  0; por
cos c
e  sen c
tanto, c k con k  0, 1, …, 4.

2
5. f (x ) es continua y derivable en todo R por ser un
polinomio, luego lo es en [2, k]; por tanto:
f (2)  f (k ) 3k 2  4k  4  0 k 
2
3
El valor c tal que f  (c )  0 es 6c  4  0
c  
2
3
6. f (x ) es continua y derivable en [1, 3] por serlo
en R existe c  (1, 3) tal que:
f  (c )  6c  4  c  2
f (3)  f (1) 36  4
3 1 2
7. Para que sea continua en x  1:
f (1)  f (x )  f (x )  1  b
a
lim lim
xA1 xA1 2
Para que sea derivable en x  1:
f  (1)  f  (1)  2
a
4
Resolviendo el sistema a  8 y b  3.
La funcio´n f (x ) 
8
si x  1
x  3 x 2  3 si x  1
es continua y derivable en [1, 2]; por el teorema
de Lagrange, existe c  (1, 2) tal que:
f  (c ) 
f (2)  f (1) 5
2  (1) 3
Df (x )  , igualando la deri-
8
si x  1 (x  3)2 2x si x  1
vada el u´nico valor va´lido es c   .
2
30 5
8. a)  2
x 34x 212x 3x 28x 12
lim  lim xA0 x 26x (1) xA0 2x 6
b)  
x 3  1 3x 2 3x 3 lim  lim lim xA1 x 2  1 (1) xA1 2x xA1 2 2
9. a)  1
ex  1 ex
lim  lim xA0 sen x (1) xA0 cos x
b)
tg x  x tg2 x
lim  lim  xA0 x  sen x (1) xA0 1  cos x (1)
  2
2 tg x (1  tg2 x) 2 (1  tg2 x)
lim lim
xA0 sen x xA0 cos x
10. a)  
ex  cos x ex  sen x
lim  lim xA0 1  cos2 x (1) xA0 2 cos x sen x
b)
1  cos x sen x
lim  lim  xA0 (ex  1)2 (1) xA0 2 (ex  1) ex (1)
 
cos x 1
lim xA0 4e2x  2ex 2
11. Tomando logaritmos:
LA 
L(1  x 2) 2x
lim  lim  xA0 1  cos x (1) xA0 (1  x 2) sen x (1)
 2 A  e2 2
lim xA0 2x sen x  (1  x 2) cos x
12. Para que sea continua en x  0: f (0)lim f (x )
xA0
 0  f (0)
1  sen x  ex cos x  ex
lim  lim xA0 ex  1 (1) xA0 ex
por tanto, la funcio´n es continua en x  0.
Nota: (1) Aplicando la regla de L’Hoˆpital.
1. Halla la ecuacio´n de la tangente a la gra´fica de la funcio´n f (x )  sen x  L(tg x ) en el punto de abscisa
x  .

4
2. Halla los puntos de la curva f (x )  x 2  2 en los que la tangente a esta pasa por el punto P(0, 1). Escribe
las ecuaciones de dichas rectas tangentes.
3. Estudia para que´ valores de a, b y c la recta que une los puntos A(1, 1) y B(1, 3) es tangente en el punto
B a la gra´fica de la funcio´n f (x )  aL(1  x 2)  bx  c.
4. Halla la ecuacio´n de la recta que pasa por el punto (1, 0) y es paralela a la tangente a la curva
f (x )  en su punto de interseccio´n con la recta x  2.
x 3
x 2  3
5. Calcula el valor de m, n y k para que la funcio´n f (x )  cumpla las hipo´tesis
3x 2  3 si x  0
3  x  mx  n si x  0
del teorema de Rolle en el intervalo [k, 1] y determina el valor x  c que predice este teorema.
6. Calcula el valor de a, b y k para que la funcio´n f (x )  cumpla las
3x si x  1
2  ax  b (x  1)  4 si x  1
hipo´tesis del teorema de Rolle en el intervalo [2, k] y determina el valor x  c que predice este teorema.
7. Demuestra que para cualquier nu´mero real p, la ecuacio´n 2x 5  x  p  0 no tiene nunca dos soluciones
reales.
8. Sin calcular la derivada de la funcio´n f (x )  x · (x 2  1) · (x  3), estudia cua´ntas raı´ces reales tiene la
ecuacio´n f
(x )  0 y determina los intervalos a los que pertenecen.
9. Escribe la fo´rmula de los incrementos finitos para cada una de las siguientes funciones en los intervalos que
se indican.
a) f (x )  cos x en [,   h ]
b) f (x )  sen 2x en [2, 2  h ]
10. Calcula el valor del siguiente lı´mite: x (e  1)
1
lim x
xA0
1. D f (x )  cos x 
1  tg2 x
tg x
f
cos    2
 1  tg2
  4 2 4 4  2
tg
4
Adema´s, f  sen  L tg  : el punto
   2 4 4 4 2
de tangencia es . La ecuacio´n de la tan-
 2  ,  4 2
gente es y  ·
2 2    2 x   2 2 4
2. Los puntos de tangencia son:
A(a, f (a ))  A(a, a 2  2)
Las ecuaciones de las tangentes son:
y  1  mx con m  f
(a ) m  2a
Como A pertenece a la tangente a2  2  1  (2a) · a
y resolviendo la ecuacio´n a  1. Los puntos de
tangencia son A1(1, 3) y A2(1, 3) y las tangentes
t1: y  3  (x  1) y t2: y  3  (x  1).
3. La gra´fica pasa por B: f (1)  3 aL2  b  c  3
la recta que pasa por A y B tiene pendiente m  1
y es tangente en B, f
(1)  1; como
f
(x ) b 1  a  b. Por tanto,
2ax
1  x 2
a 1, c 3b  (1  b) L2 y b es un para´metro
que se puede elegir de forma arbitraria.
4. La pendiente de la recta buscada es f
(2):
f
(x )  f
(2)  20
x 2(x 2  9)
(x 2  3)2
Por lo tanto, la recta pedida es:
y  0  20(x  1) 20x  y  20  0
5. Para que sea continua en x  0:
f (0)  lim f (x )  lim f (x ) n  3
xA0 xA0
Para que sea derivable en x  0, f
(0)  f
(0)
m  0
Para que f (x ) 
3x 2  3 si x  0
3  x  3 si x  0
continua y derivable en [k, 1], verifique las hipo´tesis
del teorema de Rolle f (1)  f (k ) f (k )  4.
Para k  0: 3k2  3  4 k  
3
3
D f (x ) f
(c )0 c 0
6x si x  0
2  3x si x  0
6. Para que sea continua en x  1:
f (1)  lim f (x )  lim f (x ) 3  a  4
xA1 xA1
a  1
Para que la funcio´n:
f (x )  sea continua
3x si x  1
2  x  5x  1 si x  1
y derivable en [2, k] y verifique las hipo´tesis
del teorema de Rolle: f (2)  f (k )  6; si
k  1;  k2  5k  1  5 k 
535
2
D f (x ) 
 3 si x  1 2x  5 si x  1
f
(c )  0 2x  5  0 c 
5
2
7. Por reduccio´n al absurdo: sean x1 y x2 soluciones
reales distintas de la ecuacio´n x1  x2.
La funcio´n f (x )  2x 5  x  p verifica las hipo
´tesis del teorema de Rolle en [x1, x2] y, por
tanto, existe c, x1  c  x2 tal que f
(c )  0; es
decir, 10c 4  1  0 10c 4  1, imposible
si c es real.
Por tanto, la ecuacio´n no puede tener dos soluciones
reales.
8. f (x ) es continua y derivable en R y, adema´s,
f (3)  f (1)  f (0)  f (1)  0.
La funcio´n cumple las hipo´tesis del teorema de
Rolle en los intervalos [3, 1], [1, 0] y
[0, 1] y, por tanto, f
(x )  0 tiene al menos una
solucio´n en el interior de cada uno de ellos.
Como f
(x ) es de grado tres, tiene exactamente
tres raı´ces, una en cada intervalo.
9. a) cos (  h )  cos  h sen c con
  c    h
b) sen [2(2  h )]  sen 4  2h cos 2c con
1. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a la curva f (x )  1  x 2 en el punto (1, 0).
2. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a la curva f (x )  x en el punto de abscisa x  4.
3. Halla los puntos en los que la recta tangente a la curva y  en el punto de abscisa x  2 corta a los
1  x
1  x
ejes coordenados.
4. Dada la funcio´n f (x )  ax 2  bx, halla el valor de a y b para que la recta tangente a esta curva en el punto
(1, 1) sea paralela a la recta 4x  y  7  0.
5. ¿Existe algu´n punto en el que la curva f (x )  e x  1 tenga una recta tangente paralela al eje OX? Razo´nalo.
6. Razona por que´ la curva f (x )  Wx  3W no tiene recta tangente en x  3.
7. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la funcio´n f (x )  y escribe su funcio´n deri-
1
si x  0
x  1 x 2  1 si x 0
vada.
8. Determina m y n para que la funcio´n f (x )  sea continua y derivable en todo .
 x 2  n si x  1 mx  2 si x  1
9. Estudia la derivabilidad de la funcio´n f (x )  y escribe su funcio´n derivada.
x 2 si x  0
x  e  1 si x  0
10. Estudia el dominio de definicio´n, la continuidad y la derivabilidad de la funcio´n:

1. Considera el tria´ngulo que forman los ejes coordenados con la recta tangente a la curva f (x )  xLx en el punto
de abscisa x  1.
a) ¿Que´ tipo de tria´ngulo es?
b) Halla su a´rea.
2. Considera la funcio´n f (x )  . Halla el valor de a y de b sabiendo que la funcio´n es derivable
 e x  a si x  0 bx  3 si x  0
en x  0.
3. Dada la funcio´n f (x )  estudia su continuidad y su derivabilidad en la recta real y escribe
1  x si x  0
x  e si x  0
su funcio´n derivada.
4. Considera la funcio´n definida de la siguiente manera: f (x ) 
x
si x  1
2
x 2  1  si x  1
a) Estudia su continuidad. 4
b) Estudia su derivabilidad.
c) Escribe su funcio´n derivada.
d) ¿Es continua f en x  1?
5. Se tiene un recipiente meta´lico de forma cu´bica de 10 cm de lado. Al calentar el recipiente, el lado experimenta
una dilatacio´n del 1 %.
a) Halla la tasa de variacio´n absoluta (incremento) de su volumen.
b) Halla el valor de la diferencial en ese momento.
c) Halla el error cometido.
6. Considera la funcio´n f (x )  x 2  3x, calcula:
a) El incremento de la funcio´n en x  2 para un incremento de la variable independiente de 0,02.
b) El valor de la diferencial y el error que se comete al estimar dicho incremento a trave´s de la diferencial.
c) El punto de la gra´fica de f en el cual la recta tangente tiene de pendiente 5.
7. Si se calienta un disco meta´lico, se observa que su radio, medido en cm, sufre un aumento en funcio´n de la
temperatura que viene dado por la fo´rmula r  10  0,002t, donde t representa la temperatura en
C.
a) ¿Cua´l es la superficie del disco a 0
C?
b) Escribe la expresio´n que da la superficie del disco en funcio´n de la temperatura.
c) Calcula el incremento del a´rea cuando la temperatura pasa de 90
C a 100
C.
d) Calcula el valor de la diferencial del a´rea en ese momento.
e) Halla el error que se comete al estimar la tasa de variacio´n de la superficie del disco por medio de la
diferencial.
f) ¿Cua´nto ha aumentado la temperatura si teniendo el disco a 0
C se le ha calentado y se ha observado que
la superficie se ha incrementado 2 cm2?
g) Estima este incremento de temperatura por medio de la diferencial.
8. Halla las tres primeras derivadas de la funcio´n f (x )  L(x 2  1).