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INTEGRALES INDEFINIDAS – MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

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1. Calcula la primitiva de la funcio´n f (x )  que cumple la condicio´n de que su gra´fica pasa por el punto
x
x 2  1 (0, 3).
2. Halla la ecuacio´n de una curva y  f (x ) sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que la pendiente de
la recta tangente en el punto gene´rico de abscisa x es m (x )  3x 2  1.
3. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
ex · (ex  1)4 dx b) x · e dx
x2  2
4. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a) dx
L2x
x
b) dx
1
x · Lx
5. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
x · sen x dx b)
x 2 · 2x dx
6. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a) dx
2x  5
x 2  1
b) dx
x  1
9  x 2
7. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a) dx
x 4  x 3  x 2  x  3
x 2  x
b) dx
x 2  4
x 3  x 2  x  1
8. Determina todas las primitivas de la funcio´n f (x ) 
x  3
x 3  3x 2  4x  12
9. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
ex · 1  e2x dx b)
sen x · sen 2x dx
SOLUCIONES
Nota: Siguiendo el criterio del libro, la constante C
se sobrentiende, por lo que solo se escribe cuando
se pide su valor.
1. F (x )  dx C
x
x 2  1 x 2  1 
Como F (0)  3 C  2 y F (x )  x 2  1  2
2. f (x ) 
m(x ) dx 
(3x 2  1) dx  x 3  x  C
f (0)  0 C  0 y f (x )  x 3  x
3. a) Cambio de variable: t  ex  1; dt  ex dx
t 4 dt  (ex  1)5
t 5 1
5 5
b) Cambio de variable: t  x 2  2; dt  2x dx
et dt  et  e
1 1 1
x2  2 2 2 2
4. a) Si t  Lx ; dt  t 2 dt  L3x
dx t 3 1
x 3 3
b) Si t  Lx ; dt  dt  Lt  L (Lx )
dx 1
x t
5. a) Integracio´n por partes:
u  x, dv  sen x · dx du  dx, v  cos x
I  x cos x 
(cos x) dx  x cos x  sen x
b) u  x 2, dv  2x dx du  2x dx, v 
2x
L2
I 2x · dx  x · 2x dx
x 2 · 2x 2x x 2 · 2x 2

L2 L2 L2 L2
Integrando de nuevo:
u  x, dv  2x dx du  dx, v 
2x
L2
I   
x 2 · 2x 2 x · 2x 2x

dx L2 L2 L2 L 2
  
x 2 · 2x x · 2x  1 2x  1
L2 (L2)2 (L2)3
6. a) I  dx  dx 
2x 5
2
x  1 x 2  1
 L Wx 2  1W  5 arctg x
b) I  dx  dx 
x 1
2
9  x 9  x 2
 dx  dx 
1
1 2x 1 3
2
2
2 9 x 3 x
1    3
 L W9  x 2 W  arctg
1 1 x
2 3 3
7. a) Haciendo la divisio´n entera:
I  dx
3
x 2  1  2  x  x
Descomponiendo en fracciones simples:
 
3 A B
x 2  x x x  1
es decir, 3  A (x  1)  Bx
Dando valores a x se obtiene A  3 y B  3
I  dx 
3 3
x 2  1    x x  1
 x  3 LWxW  3 LWx  1W
x 3
3
b) x 3  x 2  x  1  (x  1) (x  1)2
Descomponiendo en fracciones simples:
I   
3 dx 7 dx 3 dx

4 x  1 4 x  1 2 (x  1)2
  L Wx  1W  L Wx  1W 
3 7 3 1
4 4 2x  1
8. x 3  3x 2  4x  12  (x 2  4) (x  3)
Descomponiendo en fracciones simples:
I  dx 
6 dx 6 x 5 dx

2
13 x  3 13 x  4 13 x 2  4
 L Wx  3W  L Wx 2  4W  arctg
6 3 5 x
13 13 26 2
9. a) Cambio de variable ex  sen t, exdx  cos t dx
I 
1  sen2 t · cos t dt 
cos2 t dt 
 dt  t  sen t · cos t
1  cos 2t 1 1
2 2 2
Deshaciendo el cambio de variable:
I  arcsen ex  ex 1 1 1  e2x 2 2
b) I  dx 
cos (2x x )  cos (2x x )
2
 cos x dx  cos 3x dx 
1 1

2 2
 sen x  sen 3x
1 1
2 6
1. Calcula la siguiente integral indefinida : x 2 · cos2 x dx
2. Calcula la siguiente integral indefinida : x · arcsen x dx
3. Calcula la siguiente integral indefinida : sen2 x · cos2 x dx
4. Calcula la siguiente integral indefinida : cos5 x dx
5. Calcula la siguiente integral indefinida : xn · Lx dx
6. Calcula la siguiente integral indefinida : x 3 · 3x dx
7. Utiliza el cambio de variable x  1  t 6 para obtener todas las primitivas de la funcio´n:
f (x ) 
1
3 1  x  1  x
8. Busca un cambio de variable adecuado y calcula la integral indefinida : 32x  1 dx
9. Halla todas las primitivas de la funcio´n f (x )  empleando el siguiente cambio de variable: tg  t
1 x
1  cos x 2
10. Para integrar funciones de la forma  deben encontrarse las constantes A y B que
f (x ) a sen x  b cos x 1 1
g (x ) a sen x  b cos x 2 2
cumplen la condicio´n f (x )  Ag (x )  Bg
(x ). Ası´ se obtiene:
dx  dx  dx  Ax  BL Wg (x )W  C 
a sen x  b cosx f(x ) g (x ) 1 1 A  B  a sen x  b cosx g(x ) g
(x ) 2 2
 Ax  BLWa 2 sen x  b 2 cos x W  C
Aplica el procedimiento anterior para calcular la siguiente integral indefinida:
dx
sen x  cos x sen x  2 cos x
SOLUCIONES
Nota: Siguiendo el criterio del libro, la constante C se
sobrentiende, por lo que solo se escribe cuando se pide
su valor.
1. u  x 2, dv  cos2 x dx du  2x dx,
v  cos2 x dx  dx 
1  cos 2x 2
 x  sen 2x, I  x 2 
1 1 1 1
x  sen 2x
2 4 2 4
 2x dx  
1 1 x 3 x 2 sen 2x
 x  sen 2x 2 4 2 4
 x 2 dx  x sen 2x dx
1 2
calculando por partes la u´ltima integral, se obtiene:
I    
x 3 x 2 sen 2x x 3 x cos 2x sen 2x
2 4 3 4 8
2. u  arcsen x, dv  xdv du  , v 
dx x 2
1  x 2 2
I  arcsen x  dx; hacemos un
x 2 1 x 2 2 2 1  x 2
cambio de variable para calcular la nueva integral
J : x  sen t, dx  cos t · dt
J  cos t dt  sen2 t dt  dt 
sen2 t 1  cos 2t cos t 2
 t  sen 2t, y por tanto:
1 1
2 4
I  arcsen x  arcsen x  sen (2 arcsen x)
x 2 1 1
2 4 8
3. I  (sen x · cos x)2 dx  dx 
2 sen 2x   2
 sen2 2x dx  dx 
1 1 1  cos 4x 4 4 2
 x  sen 4x
1 1
8 32
4. I  cos x · (1sen2 x )2 dx, t sen x, dt cos x dx
I  (1  t 2)2 dt  (1  2t 2  t 4) dt 
 t  , deshaciendo el cambio
2t 3 t 5
3 5
I  sen x 
2 sen3 x sen5 x
3 5
5. u Lx, dv xn dx du  dx, v 
1 xn  1
x (n  1)
I  Lx  dx  Lx 
xn  1 xn xn  1 xn  1 n  1 n  1 n  1 (n  1)2
6. Integrando por partes tres veces con el cambio
u  xp (p  3, 2, 1), dv  3x, se obtiene:
I  3x
x 3 3x 2 6x 6
   2 3 4
L3 (L3) (L3) (L3)
7. x  1  t 6 dx  6t 5 dt, F (x )  f (x ) dx 
 · (6t 5) dt  6 dt 
1 t 5
3 6 6 t  t t 3  t 2
 6 dt ; efectuando la divisio´n entera:
t 3 t  1
F (x )  6 dt 
1 t 2  t 2  1   t  1
 6
t 3 t 2
  t  LWt  1W
3 2
F (x )  2  3 6  3 6 1  x 1  x 1  x
6 LW  1W 6 1  x
8. Haciendo t  , dt  dx
2dx 1
2x  1 22x  1 t
I  t · 3t dt du  dt, v 
3t L3
I  t  . Deshaciendo el cambio:
3t 3t
L3 (L3)2
I 
32x  1 32x  1
2x  1 2 L3 (L3)
9. Empleando las identidades trigonome´tricas:
1  tg2  y cos2  con
1 1 cos 2
cos2  2
 , tg t, cos x  , dx  dt;
x x 1  t 2 2
2 2 1  t 2 1  t 2
F (x )  f (x ) dx  · dt 
1 2 1  t 2 1  t 2
1  1  t 2
 dt  t  tg
x 2
10. Buscamos A y B que verifiquen: sen x  cos x 
 A(sen x  2 cos x)  B(cos x  2 sen x )
 (A  2B) sen x  (2A  B) cos x; debe ser
A  2B  1, 2A  B  1
A  , B  . Ası ´: dx 
1 3 sen x cos x 5 5 sen x 2 cos x
  x  LWsen x  2 cos x W
10. Halla a para que la integral de la funcio´n f (x )  3x 2  2x  a en el intervalo [1, 4] sea igual a 6.
11. f (x )  ax  ax 2 encierra con el eje OX y las abscisas x  0 y x  1 un a´rea de 2 unidades cuadradas. Halla
el valor de a.
12. Se sabe que 4 x dx  x 2 dx. Halla el valor de b.

1. Calcula las siguientes integrales definidas:
a) dx
7 1 x  2 2 
b) (cos x  sen x ) dx

4 0
c) dx
e L2x x 1
2. Calcula las siguientes integrales definidas:
a) dx

4 x cos2 x 0
b) dx
4 1 x 2  4x  4 0
c) dx

2 sen x 1  tg2 x 0
3. Halla la funcio´n cuya gra´fica es tal que la recta pendiente en cada punto de abscisa x sigue la ecuacio´n
y  6x  4, y el a´rea encerrada por la curva pedida, el eje OX y las abscisas x  1 y x  2 es 5 unidades
cuadradas.
4. Se sabe que f (x ) dx  3. ¿Cua´l es el valor de (f (x )  2) dx?
5 5 2 2
5. La para´bola f (x )  x 2  ax  b verifica que su gra´fica pasa por el punto (0, 3) y que f (x ) dx  2. Halla
1 los valores de a y b. 0
6. Demuestra, utilizando la integral definida, que el a´rea del recta´ngulo de la figura es S  b · h
7. Demuestra, utilizando la integral definida, que el a´rea del tria´ngulo recta´ngulo de la figura es S