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FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

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Para pasar de centímetros a pulgadas se multiplica por 2 y se divide por 5.
a) ¿Es una función?
b) Escribe su expresión algebraica.
c) Confecciona una tabla y representa la gráfica de la función.
a) En efecto, ya que a cada medida en centímetros le corresponde otra en pulgadas.
b) Si representamos por x la medida en centímetros y por y la medida en pulgadas, tenemos: y  
2
5 x.
c)
Nastia y Yago han ido al museo de ciencias de su ciudad. La entrada general les ha costado 3 euros y,
por cada actividad adicional, han pagado 2 euros más. Crea una tabla de valores para la función,
representa la gráfica y escribe su expresión algebraica.
Si representamos por x el número de actividades y por y el precio final:
La expresión algebraica es y  3  2x.
Dadas las siguientes funciones, calcula el dominio y el recorrido de cada una de ellas.
a) y  x 2 b) y  x2  2
a) Dom (f )  R; Rec (f )  R b) Dom (f )  R; Rec (f )  [2, )
Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
a) y  3 b) y  x2  4
a) Dom (f )  R; Rec (f )  R b) Dom (f )  R; Rec (f )  [4, )
Representa la siguiente función lineal definida a trozos f(x)  x  1, x  2
10.5 3, x  2
10.4
10.3
10.2
10.1
x cm y pulgadas
1 0,4
5 2
10 4
12 4,8
x yeuros
0 3
1 5
2 7
3 9
1
O 1 X
Y
N.º actividades
Precio (€)
2
O 2
1
O 1 X
Y
Representa la siguiente función lineal definida a trozos f (x)  
Halla los puntos de corte con los ejes y el signo de la siguiente función: y  3x  6.
Corte con el eje x:  ⇒ 3x  6  0 ⇒ x  2 ⇒ A(2, 0)
Corte con el eje y:  ⇒ y  8 ⇒ C(0, 8)
Signo de la función: la función es negativa en el intervalo (, 2) y positiva en (2, ).
Estudia el signo y encuentra los puntos de corte con los ejes de esta función: y  x2  6x  8.
Corte con el eje X:  ⇒ x2  6x  8  0
x  
6  
2
36  3 2
  
6
2
 2
 ⇒
Corte con el eje Y:  ⇒ y  8 ⇒ C(0, 8)
Signo de la función: f(x)  (x  2)(x  4)
Por lo que la función es negativa en el intervalo (, 4), y positiva en (4, ).
Estudia la simetría de las siguientes funciones:
a) b)
a) Es función impar. b) Es función par.
Indica si es periódica la siguiente función y, en caso afirmativo, determina cuál es su período.
Se trata de una función periódica. El período es el tramo que va desde el origen hasta la quinta vez que corta al eje OX
(incluido el origen).
0
Y
1 X
1
10.10
O 1
1
y = x2 – 4
Y
X
O 1
1
y = –4x3 + 2x
Y
X
10.9
x  0
y x2 6x  8
x  4 ⇒ A(4, 0
 x  2 ⇒ B(2, 0)
y  0
y x2 6x  8
10.8
x  0
y  x2  6x  8
y  0
y  3x  6
10.7
X
2
O 2
Y
x 1
1  x 3
x
3
si
si
si
x,
2x  1,
x  10
10.6
x  4   
x  2   
f (x)   
 4 2 
Dada la función f (x)  x2  1, calcula su tasa de variación en los intervalos:
a) [1; 1,3] b) [2; 2,4]
a) TV[1; 1,3]  f(1,3)  f(1)  0,69  0  0,69 b) TV[2; 2,4]  f(2,4)  f(2)  4,76  (3)  1,76
Calcula las tasas de variación media en los intervalos [0,5; 1] y [2; 3,5] de la función f (x)  2×2  2.
¿En qué intervalo varía más rápidamente?
TVM[0,5; 1]  
f (1
1
) 

f
0
(
,
0
5
,5)
 
4 
0,5
2,5
 3 TVM[2; 3,5]  
f (3
3
,5
,5
) 

f
2
(2)

26,5
1,

5
10
 11
Por consiguiente, la función f(x) tiene una variación mucho más rápida en el intervalo [2; 3,5] que en el [0,5; 1].
Estudia si son continuas o discontinuas las siguientes funciones dadas por sus gráficas.
a) b)
a) Es continua. b) No es continua en x  0.
Representa las siguientes funciones dadas por su expresión algebraica, y estudia si son continuas o
discontinuas.
a) y  x 2 b) f (x)  
a) b)
Es continua. Es discontinua en x  1.
a) b)
Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en el intervalo 0, —1
2
—:
a) f (x)  2 b) g(x)  3x  4
a) TV0, 
1
2  2  (2)  0 ⇒ f(x) es constante. b) TV0, 
1
2  
3
2  4  4  
3
2  0 ⇒ f(x) decreciente.
Explica cómo es el crecimiento o decrecimiento de estas funciones en el intervalo [2, 0].
a) f (x)  x2 1 b) g(x)  x3
a) TV[2, 0]  f(0)  f(2)  1  (3)  4 ⇒ f(x) creciente.
b) TV[2, 0]  g(0)  g(2)  8 ⇒ g(x) creciente.
Un globo aerostático ascendió a las 7.00 y tomó tierra a las 17.00. Observa la gráfica de la función e
indica los máximos y mínimos de la función.
La gráfica tiene un máximo relativo en el punto (8, 400), un mínimo absoluto en el punto (10, 200), un máximo absoluto en
el punto (12,5; 600) y un mínimo relativo en el punto (14, 300).
O 1
100
Tiempo (h)
Altura (m)
7
10.17
10.16
10.15
2
O 2 X
Y
1
O 1 X
Y
x si x  1
x si x  1
10.14
O 1
1
Y
X
O 1
1
Y
X
y = x – 1
10.13
10.12
10.11
Dibuja una función continua que tenga las siguientes características.
a) Presenta un mínimo en x  1,5.
b) Tiene un máximo en x  3.
c) Posee un máximo absoluto en x  0.
d) No presenta ningún mínimo absoluto.
e) Corta al eje OX en cuatro puntos.
R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S
La compañía de Isabel le ofrece una conexión algo mejor que la que tiene al siguiente precio: 12 euros
fijos más 0,4 euros por cada hora de conexión, con un máximo de 40 euros al mes. Compara esta oferta
con la que tiene ahora.
Recordamos la expresión de la función anterior:
(t)  
La nueva oferta se expresa mediante esta función:
f1 (t)   (Obtenemos el 70 resolviendo la ecuación 12  0,4t  40.)
Representamos ambas gráficas:
Por 20 horas se paga lo mismo. Si está conectada menos de 20 horas, le conviene la que ya tiene, y si está conectada entre
20 y 70 horas, le conviene la nueva oferta. Si está conectada más de 70 horas, ambas ofertas cobran lo mismo.
La empresa de Julia también le propone un cambio, con un fijo mensual de sólo 6 euros y un precio
por hora de 50 céntimos, manteniendo el gasto máximo de 40 euros. Compáralo con su contrato
actual.
La función anterior era:
g(t)  
La nueva será:
g1 (t)   (Obtenemos el 68 resolviendo la ecuación 6  0,5t  40.)
Representamos ambas gráficas:
Por 36 horas se paga lo mismo con las dos ofertas. Si está conectada menos de
36 horas, le conviene la nueva oferta, y si está conectada entre 36 y 100 horas, le
conviene la que ya tiene. Si está conectada más de 100 horas, ambas ofertas
20 cobran lo mismo.
O 20 X
Y
6  0,5t si t  68
40 si t  68
15  0,25t si t  100
40 si t  100
10.20
10
O 20 X
Y
12  0,4t si t  70
40 si t  70
10  0,5t si t 60
40 si t
60
10.19
Y
O 1 X
1
10.18
A C T I V I D A D E S
E J E R C I C I O S P A R A E N T R E T E N E R S E
Formas de expresar una función
Construye una tabla de seis valores para las funciones:
a) y  5x 3 b) y  x2  2x c) y  —2x
x
 4— d) y  x 1
a) c)
b) d)
Representa gráficamente las funciones:
a) f (x)  1  3x b) g(x)  5x
a) b)
Observa la siguiente tabla de valores de una función.
¿Cuál de las siguientes es su expresión algebraica?
a) y  x2  4 b) y  |2x|  3 c) y  |1  4x|
La función del apartado b.
Un aficionado al ciclismo realiza un trayecto en línea recta a una velocidad constante de 25 km/h.
a) Construye una tabla de valores que indique el espacio que ha recorrido a los 15 minutos, 30 minutos,
45 minutos y 1 hora.
b) Representa gráficamente los datos del apartado anterior.
c) Escribe la fórmula para hallar el espacio que recorre el aficionado a lo largo del tiempo.
a)
b)
c) Si representamos por x el tiempo empleado y por y la distancia recorrida, tenemos: y  25x.
O 0.1 Tiempo (h)
0.1
Velocidad (Km/h)
10.24
10.23
O 2 X
2
Y
O 2 X
2
Y
10.22
10.21
x 2 1 0 1 2 3
y 7 2 3 8 13 18
x 4 2 1 1 2 4
y 1 0 2 6 4 3
x (h) 
1
4 
1
2 
3
4 1
y (km) 6,25 12,5 18,75 25
x 2 1 0 1 2 3
y 0 1 0 3 8 15
x 2 1 1 2
y 7 5 5 7
x 1 2 3 4 5 6
y 0 1 2 3 2 5
Por liquidación, todos los artículos de una tienda de regalos se venden con un 30% de descuento.
a) ¿Es una función? ¿Cuáles son las variables?
b) Calcula el precio al que se venderá un producto de 42,50 euros con el descuento.
c) ¿Cuál es el precio original de un artículo que se vende por 19,32 euros?
d) Escribe la fórmula que permite calcular el nuevo precio de venta después del descuento a partir del
anterior.
e) Halla la expresión para calcular el precio de los regalos antes del descuento sabiendo el precio de
venta final.
a) Sí. La variable independiente es el precio del artículo antes del descuento, y la dependiente, el precio después del descuento.
b) 0,7 42,5  29,75 € d) y  0,7x
c) 
19,32
70
100
 27,60 € e) y  0
x
,7
Dominio y recorrido
Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.
a) y  3x 9 c) y  —1
2
—x2
b) y  x2 d) y  x3
a) Dom y  R Rec f(x)  R c) Dom y  R Rec f(x)  R
b) Dom y  R Rec f(x)  R d) Dom y  R Rec f(x)  R
Dibuja una función que cumpla estas condiciones.
a) Que su dominio sea R  {2}, y su recorrido, R.
b) Que su dominio sea (, 0].
c) Que su dominio sea [6, 6], y su recorrido, [0, 12].
Halla el dominio de:
a) y  3×4  2x  1 b) y  —
2 
x
4x — c) y  —
6 
1
x2 — d) y  —
5
x
x
3


1
1
0 —
a) Dom y  R b) Dom y  R  
1
2 c) Dom y  R d) Dom y  R  {2}
Escribe la expresión algebraica de una función:
a) Cuyo dominio sea R.
b) Cuyo dominio sea R  {0}.
c) Cuyo recorrido sea {5}.
a) y  x b) y  
1
x c) y  5
Calcula el dominio de:
a) y  —
x
2—
b) y  x  5  c) y  —
x 2
1
 1
— d) y  x2  4
a) Dom y  R  {0} b) Dom y  [5, ) c) Dom y  R d) Dom y  R
10.30
10.29
10.28
2
2
O
Y
X
c)
1
1
O
Y
X
b)
1
1
O
Y
X
a)
10.27
10.26
10.25
Funciones definidas a trozos
Considera la función f (x)   , y calcula f (3), f (10), f (0), f (1) y f—3
4
— .
f(3)  3 3  9  18
f(10)  3 10  9  39
f(0)  3 0  9  9
f(1)  
2
3  

3
1
 
1
3
f
3
4  3 
3
4  9  
4
4
5
Dibuja las siguientes funciones definidas a trozos.
a) f (x)   b) g(x)   c) h(x)  
Calcula la imagen de x  2 en cada una de las funciones siguientes.
a) f (x)   b) g(x)   c) h(x)  
a) f(2)  2 b) f(2)  0 c) f(2) no se puede calcular.
Dibuja f (x)  |2x  9| y g(x)  |6  3x|. Para ambas:
a) ¿Qué valores de x tienen por imagen 1?
b) ¿Cuáles tienen por imagen 0?
c) ¿Y cuáles son los que tienen por imagen 2?
a) x  4 y x  5 en f(x); x  
5
3 y x  
7
3 en g(x).
b) x  

2
9
en f(x), y x  2 en g(x).
c) Ningún valor de x puede tener como imagen 2 porque el valor absoluto de un número nunca es negativo.
2
2
O
Y
X
y = g (x)
2
2
O
Y
X
y = f (x)
10.34
8x3  1 si x  2
2  7x si x
2
6x  3 si x  2
0 si x  2
2x2  1 si x
2
x3  2 si x  2
4  3x si x  2
10.33
2
O 2 X
c) Y
O 2 X
5
b) Y
2
2
0
Y
X
y = f (x)
a)
— 8

2
x—
si x  0
4  7x si x
0
x  6 si x  1
—3
4
x—
si x  1
3  x si x  4
2x  1 si 4 x  2
5 si x  2
10.32
—2
3
—  —x
3
— si x 1
3x  9 si x
1
10.31
Signo y puntos de corte con los ejes. Simetría y periodicidad
Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones.
a) y  x2  4x 4 c) y  x3  2x
b) y  x2  x 1 d) y  — x 
x
2—
a) Con el eje OY: x  0 ⇒ y  4 ⇒ A(0, 4). Con el eje OX: y  0 ⇒ x2  4x  4  0 ⇒ x  2 ⇒ B(2, 0).
b) Con el eje OY: x  0 ⇒ y  1 ⇒ C(0, 1). Con el eje OX: x2  x  1  0 ⇒ No tiene solución. No corta el eje OX.
c) Con el eje OY: x  0 ⇒ y  0 ⇒ D(0, 0). Con el eje OX: y  0 ⇒ x3  2x  0 ⇒ x  0 ⇒ E(0, 0).
d) Con el eje OY: x  0 ⇒ No está definida para x  0. Con el eje OX: y  0 ⇒ x  2  0 ⇒ x  2 ⇒ F(2, 0).
Observa la gráfica siguiente:
a) Si es una función periódica, indica su período.
b) ¿Qué valor toma la función cuando x es par? ¿Y cuándo x es impar?
a) Es periódica de período T  2.
b) Cuando x es par, f(x)  0, y cuando x es impar, f(x) es 1.
Estudia la simetría de las siguientes funciones.
a) f (x)  x2 1 c) f (x)  2x3  4x
b) f (x)  x4  x2 1 d) f (x)  —
x 2
x
 1

a) f(x)  (x)2  1  x2  1  f(x). Por tanto, es par.
b) f(x)  (x)4  (x)2  1  x4  x2  1  f(x). Por tanto, es par.
c) f(x)  2 (x)3  4 (x)  2x3  4x  f(x). Es impar.
d) f(x)  
(x

)2
x
 1
  x2 
x
1 
 f(x). Es impar.
Tasa de variación media, continuidad y crecimiento
Calcula la tasa de variación media de las funciones f (x)  2x  8 y g(x)  x2  3 en los intervalos
[0, 3] y [1,8; 2].
f(x): TVM[0, 3]  
f (3
3
) 

f
0
(0)

14
3
 8
  2;
TVM[1,8; 2]  
f (2
2
) 

f
1
(
,
1
8
,8)

12 
0,2
11,6
 2
g(x):TVM[0, 3]  
g(3
3
)

 g
0
(0)
 
6 
3
3
3;
TVM[1,8; 2]  
g(2
2
) 

g
1,
(
8
1,8)
 
1 
0,2
0,24
 3,8
Halla la tasa de variación media de la función y  x2  2x en los intervalos [3; 3,5] y [6,5; 7]. ¿En cuál
de ellos varía más rápidamente?
TVM[3; 3,5]  
f (3
3
,5
,5
) 

f
3
(3)

19,25
0,5
 15
 8,5 TVM[6,5; 7]  
f (7
7
) 

f
6
(
,
6
5
,5)

63 
0,5
55,25
 15,5
Como TVM[6,5; 7]
TVM[3; 3,5], varía más rápidamente en el intervalo [6,5; 7].
10.39
10.38
10.37
1
O
1
Y
X
10.36
10.35
Dibuja las siguientes funciones:
f(x)  x  3 g(x)  2  4x h(x)  1
¿Qué tipo de crecimiento presentan?
f(x) es creciente; g(x), decreciente, y h(x), constante.
Estudia si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el intervalo [4, 3].
a) f(x)  2x  9
b) g(x)  3×2  6x
c) h(x)  1  x2
d) j(x)  4  5x
a) TV[4, 3]  f(3)  f(4)  3  1  2 ⇒ Es creciente.
b) TV[4, 3]  g(3)  g(4)  9  24  15 ⇒ Es decreciente.
c) TV[4, 3]  h(3)  h(4)  8  (15)  7 ⇒ Es creciente.
d) TV[4, 3]  j(3)  j(4)  19  24  5 ⇒ Es decreciente.
Dibuja una función que tenga un mínimo relativo en (5, 0), un máximo relativo en (0, 4) y que sea par.
Representa las siguientes funciones y di si son continuas. En caso contrario, indica sus puntos de
discontinuidad.
a) y   b) y  
a) b)
Es continua. No es continua en x  1.
a) b)
Define y estudia la continuidad de la función f(x)  |4x  8|.
f(x)  |4x  8|  
Es una función continua.
4x  8 si x 2
4x  8 si x  2
10.44
X
Y
2
2
O
2 X
2
O
Y
x  3 si x  1
4x si x  1
2x  1 si x  5
x  4 si x  5
10.43
1
1
O
Y
X
10.42
10.41
1
1
O
Y
X
y = 1
y = x – 3 y = –4x + 2
10.40
–2 X
2
O
Y
Para la función representada a continuación, estudia:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Los máximos y mínimos relativos y absolutos.
c) La simetría.
d) Los puntos de corte con los ejes.
a) Creciente en (1,5; 0)  (1,5; ) y decreciente en (; 1,5)  (0; 1,5).
b) Máximo relativo en (0,0).
Mínimos (relativos y absolutos) en (1,5; 4) y en (1,5; 4).
c) Es función par.
d) Corta los ejes en (2, 0), (0, 0) y (2, 0).
C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E
Si una función es periódica de período 4, ¿es suficiente conocer su gráfica en el intervalo [2, 2] para
poder representarla en toda la recta real?
Sí, ya que la amplitud del intervalo es 4 y, si es periódica, basta conocer su gráfica en un intervalo de amplitud igual al
período para dibujarla en R.
Una función continua está definida en R, es creciente en (, 3) y en (4, ), y decreciente en
(3, 4). ¿Tiene máximos y/o mínimos relativos?
Sí. Tiene un máximo relativo en x  3 y un mínimo relativo en x  4.
Razona si son ciertas las siguientes afirmaciones. En caso contrario, pon un ejemplo que lo demuestre.
a) Si el dominio de una función es R, su recorrido también es R.
b) Todas las funciones definidas a trozos son discontinuas.
c) Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen sustituyendo x por 0.
d) El crecimiento o decrecimiento de una función depende del signo de la tasa de variación.
a) Falso. y  x2. c) Falso. Se obtiene cuando y  0
b) Falso. f(x)  |x| d) Verdadero.
Dibuja una función cuyo recorrido esté acotado por un número real.
Cualquier función constante. Por ejemplo, y  5.
Sabemos que la función f(x)  pasa por el punto (3, 5).
a) Si fuese par, ¿por qué otro punto pasaría?
b) ¿Y si fuese impar?
a) Por el punto (3, 5)
b) Por el punto (3, 5)
Contesta a las siguientes cuestiones.
a) Una función par tiene un máximo en el punto (2, 1). ¿Qué podemos decir del punto (2, 1)?
b) Una función impar posee un máximo en el punto (4, 2). ¿Qué tipo de punto es (4, 2)?
a) Es otro máximo de la función.
b) Un mínimo de la función.
10.51
10.50
1
1
O
Y
X
y = 5
10.49
10.48
10.47
10.46
10.45
1
O
1
y = x4 – 4×2
Y
X
La función f(x)  | x |, ¿es creciente en todo su dominio? ¿Y continua?
Es decreciente en (, 0) y creciente en (0, ). Es continua.
¿Se puede afirmar que si la tasa de variación media de una función es positiva, la función es creciente?
Sí, puesto que es más precisa que la tasa de variación cuando se quiere estudiar la rapidez con la que crece o decrece una
función en un intervalo, y, por tanto, también informa sobre el tipo de crecimiento de la función.
Si una función es creciente en (, 0) y decreciente en (0, ), ¿se puede afirmar que tiene un
máximo en x  0?
No, porque puede ser que no esté definida en x  0.
P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R
Julia ha abierto una tienda de ropa. A cada prenda que compra le aumenta un 70% su precio inicial,
obteniendo así el precio de venta.
Como en el último mes no vendía mucho, decidió aplicar a todas las prendas un descuento del 18%.
a) Construye una tabla de valores que indique el importe actual de cada prenda en función del precio
inicial, teniendo en cuenta que la más cara le costó 235 euros.
b) Realiza una gráfica con los datos obtenidos.
c) Escribe la expresión algebraica que representa el precio de venta actual de cada prenda en función
del importe al que la compró.
d) Halla el dominio y el recorrido de la función.
e) ¿La función corta el eje de coordenadas?
f) ¿Es una función continua?
a)
b)
c) y  1,7 0,82x  1,394x
d) Dom y  (0, 235]; Rec y  (0; 327,59]
e) No corta ninguno de los ejes.
f) Sí es continua.
Calcula la expresión algebraica que permite obtener el diámetro que debe tener una lata de 500
mililitros, de forma cilíndrica, en función de su altura.
Si la altura de la lata puede oscilar entre 12 y 16 centímetros, ¿cuáles son el dominio y el rrecorrido
de esa función?
Si d es el diámetro, r el radio y h la altura, entonces d  2 r  2

5

0
h
0
.
Dom y  [12, 16]; Rec  [6,31; 7,28]
10.56
Precio final (€)
50
O 50 Precio inicial (€)
10.55
10.54
10.53
10.52
Precio inicial (x) 10 100 200 235
Precio final (y) 13,94 139,4 278,8 327,59
Juan está estudiando dos ofertas de trabajo como comercial de electrodomésticos que sólo se
diferencian en el sueldo.
Oferta A: 1050 euros mensuales y 10 euros por cada aparato vendido, hasta un máximo de 20 al mes.
Oferta B: 600 euros al mes y 20 euros por cada electrodoméstico vendido.
a) Escribe, para cada caso, la expresión algebraica que representa el sueldo mensual de Juan en
función del número de electrodomésticos vendidos.
b) Calcula el dominio y el recorrido de cada una de las funciones.
c) ¿Son funciones crecientes o decrecientes?
d) ¿Tienen algún máximo o mínimo?
a) Oferta A: f(x)  1050  10x
Oferta B: g(x)  600  20x
b) Dom f(x)  [0, 20]; Rec f(x)  [1050, 1250]
Dom g(x)  [0, ); Rec g(x)  [600, ]
c) a  b ⇒ TV[a, b]  f(b)  f(a)  10b  10a
0 ⇒ Es creciente.
a  b ⇒ TV[a, b]  g(b)  g(a)  20b  20a
0 ⇒ Es creciente.
d) La función f(x) tiene un mínimo absoluto en (0, 1050) y un máximo absoluto en (20, 1250).
La función g(x) solo tiene un mínimo absoluto en (0, 600).
Un aljibe tiene una fisura y pierde 2 litros de agua cada hora. A la vez, recibe agua a razón de
6 litros por hora. Por la mañana tenía 750 litros y durante toda la jornada no han conseguido
arreglarlo.
a) Estudia el crecimiento de la función que expresa los litros del aljibe en función de las horas del día.
b) Escribe sus máximos y mínimos.
a) Si llamamos x al número de horas e y al número de litros del aljibe, y  750  4x.
a  b ⇒ TV[a, b]  f(b)  f(a)  4b  4a
0 ⇒ Es creciente.
b) Mínimo en (0, 750) y máximo en (24, 846)
El coste de producción de un número x de DVD viene dado por la siguiente expresión.
C(x)  —1
2
— x2  25x  15
El precio de venta de cada uno de ellos es P(x)  75  —x
2
—.
¿Cuál es la función que expresa el beneficio obtenido con la venta de x DVD?
B(x)  C(x)  x P(x)  
1
2x2  25x  15  75x  
x
2
2
  x2  50x  15
Expresa, mediante una función definida a trozos, la distancia al lugar de partida a la que se encuentra
un grupo de amigos que realiza la siguiente excursión.
a) Durante la primera hora y media caminan a una velocidad constante de 3 km/h.
b) Descansan durante la media hora siguiente.
c) Regresan a una velocidad constante de 4,5 km/h.
Sea x el tiempo transcurrido desde la salida.
f(x)  
En la función del problema anterior, calcula su dominio y su recorrido, estudia los intervalos de
crecimiento y decrecimiento, e indica sus máximos y mínimos, si los tiene.
Dom f(x)  [0; 3] y R(f )  [0; 4,5]
Crece en (0; 1,5), decrece en (2, 3) y es constante en (1,5; 2).
Máximos son todos los puntos del segmento de extremos A(1,5; 4,5) y B(2; 2,5).
10.61
3x si 0 x 1,5
4,5 si 1,5 x  2
13,5  4,5x si 2 x 3
10.60
10.59
10.58
10.57
Laura quiere vallar un terreno de forma cuadrada y de área desconocida en el que ha plantado unas
flores. Encuentra la expresión algebraica que permite obtener el lado del cuadrado en función del área.
a) Si el área oscilase entre 120 y 180 m2, ¿cuáles serían el dominio y el recorrido de la función?
b) La función, ¿es creciente o decreciente?
c) ¿Tiene máximos o mínimos?
Sea l el lado del cuadrado y A su área, entonces: l  A.
a) Dom f(x)  [120, 180]; R(f )  230, 65
b) a  b ⇒ TV[a, b]  f(b)  f(a)  b  a
0 ⇒ Es creciente.
c) Mínimo 120, 230 y máximo 180, 65
R E F U E R Z O
Formas de expresar una función. Dominio y recorrido
Para cada una de las siguientes funciones, construye una tabla de valores y represéntala gráficamente.
a) f(x)  —1
2
—  —x
4
— b) g(x)  — 5
6
x—
a)
b)
Escribe la expresión algebraica de la función que asocia a cada número real su cuadrado menos su
doble. Construye una tabla de valores y representa gráficamente la función.
f(x)  x2  2x
Halla el dominio de las siguientes funciones.
a) y  x2 4 c) y  —
x 
5
1 —
e) y  —
x 2
3
 1

b) y  3x  —7
8
— d) y  —
4 
x
x —
f) y  —
3
2
x
x


1
1
2 —
a) Dom y  R c) Dom y  R  {1} e) Dom y  R
b) Dom y  R d) Dom y  R  {4} f) Dom y  R  {4}
10.65
O 1 X
1
Y
10.64
1 X
1
O
Y
1 X
1
O
Y
10.63
10.62
x 2 1 0 1 2
y 
5
3 
5
6 0 
5
6 
5
3
x 2 1 0 1 2
y 
5
3 
5
6 0 
5
6 
5
3
x 2 1 0 1 2
y 1 
3
4 
1
2 
1
4 0
Funciones definidas a trozos
Calcula f(3), f(0) y f(4) en la función f(x)  
f(3)  9 (3)  (3)2  36
f(0)  0
f(4)  3 4  12
Dibuja las siguientes funciones.
a) f(x)   b) g(x)  
Características de las funciones
De las siguientes funciones, indica cuáles son periódicas y los puntos de corte con los ejes.
a) f(x)  sen (x) b) g(x)  x4  6×2  2x  9
a) Es periódica de período T  2. b) No es periódica.
Cortes con OX: (x, 0), con x  Z Cortes con OX: (1,19; 0), (2,1; 0)
Cortes con OY: (0, 0) Cortes con OY: (0, 9)
Indica si las siguientes funciones son simétricas y el tipo de simetría que presentan.
a) f(x)  x2 4 b) g(x)  x3  x
a) Es simétrica respecto del eje OY, o sea, par. b) Es simétrica respecto del origen, o sea, impar.
Calcula la tasa de variación media de la función h(x)  8  4x en el intervalo [3, 1].
TVM[3, 1]  
h(

1
1
)


(
h

(
3)
3)

12 
2
20
 4
10.70
O 1
1
y = x3 – x
Y
X
O 1
2
y = x2 + 4
Y
X
10.69
O
2
Y
1 X
O π
1
y = sen(πx)
Y
X
10.68
O 2 X
2
b) Y
2
2
O
Y
X
a)
2x si x  1
3x  4 si x  1
1  x si x  3
2x  1 si x 3
10.67
9x  x2 si x  4
10.66 3x si x  4
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función f (x)  4x  x2 en los intervalos [2,2; 2] y
[2; 1,8].
TV[2,2; 2]  f(2)  f(2, 2)  4  3,96  0 ⇒ Es decreciente.
TV[2; 1,8]  f(1,8)  f(2)  3,96  4
0 ⇒ Es creciente.
Estudia la continuidad de:
f(x)  
No es continua en x  0.
A M P L I A C I Ó N
Teniendo en cuenta su gráfica, estudia la función f (x)  x2 en los intervalos [0,5; 0] y [0; 0,5].
¿Es creciente o decreciente? ¿Qué se puede afirmar del punto (0, 0)?
TV[0; 0,5]  f(0,5)  f(0)  0,25  0  0,25
0 ⇒ Es creciente.
TV[0,5; 0]  f(0)  f(0,5)  0  0,25  0,25  0 ⇒ Es decreciente.
El punto (0, 0) es un mínimo de la función.
Dada la función f (x)  —2×2
x


x
4
 2—. Halla su dominio, calcula sus puntos de corte con los ejes, y
estudia si es creciente o decreciente en los intervalos [0; 0,5] y [3; 3,2].
Dom f(x)  R  {4}
Cortes con OX: 2×2  x  2  0 ⇒ x  
1 
4
17  ⇒ P
1 
4
17
, 0 y Q 
1 
4
17
, 0
Cortes con OY: 0, 
1
2
TV[0; 0,5]  f(0,5)  f(0)  0,286  0,5  0,214  0 ⇒ Es decreciente.
TV[3; 3,2]  f(3,2)  f(3)  27,1  (19)  8,1  0 ⇒ Es decreciente.
10.74
1
1
O
Y
X
y = x2
10.73
2
O 2 X
Y
6x  4 si x  0
3 si x  0
1  x si x
0
10.72
10.71
Realiza la representación gráfica de las siguientes funciones e indica si son continuas.
a) f(x)   b) g(x)  
a) b)
No es continua en x  2. No es continua en x  1 ni en x  1.
Halla el dominio de las siguientes funciones y sus puntos de corte con los ejes.
a) y  x3  4x c) y  x4  6×2  8
b) y  —
5
x
x
2 

1
9 —
d) y  —
x 2 
7 
3x
x

4
2 —
a) Dom y  R
Cortes con OX: x3  4x  0 ⇒ x(x2  4)  0 ⇒  ⇒  ⇒ A(0, 0), B(2, 0) y C(2, 0)
Cortes con OY: (0, 0)
b) Dom y  R  
9
5
Cortes con OX: x2  1  0 ⇒ x  1 ⇒ A(1, 0) y B(1, 0)
Cortes con OY: 0, 
1
9
c) Dom y  R
Cortes con OX: x4  6×2  8  0 ⇒ x2  
6 
2
4   ⇒  ⇒ A(2, 0), B(2, 0), C(2, 0) y D(2, 0)
Cortes con OY: (0, 8)
d) x2  3x  2  0 ⇒ x  
3  
2
9  8   
3 
2
1
  ⇒ Dom y  R  {1, 2}
Cortes con OX: no lo corta, pues 7  x4  0.
Cortes con OY: 0, 
7
2
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función f(x)  4×3  x en los intervalos
[2, 1], —1
4
—, —1
4
— y —3
2
—, 2.
TV[2, 1]  f(1)  f(2)  3  30  27
0 ⇒ Es creciente.
TV
1
4, 
1
4  f
1
4  f
1
4  1
1
6 
 
1
4  1
1
6 
 
1
4  
1
8  
1
2  
3
8  0 ⇒ Es decreciente.
TV
3
2, 2  f(2)  f
3
2  30  12  28
0 ⇒ Es creciente.
10.77
21
x  2
x  2
x  2
x  2
4
2
x  0
x  2
x  2
x  0
x2  4
10.76
2
2
O
Y
X
1
1
O
Y
X
x2  2x si 1  x  1
3  x si 1 x  2
1 si x  2
4  x2 si x  2
6x  15 si 2  x 4
10.75
Define y —x
2
—1 como una función a trozos y represéntala gráficamente. Realiza un estudio completo
de la función: continuidad, puntos de corte con los ejes, crecimiento en los intervalos [0, 1] y [3, 4],
máximos y mínimos.
f(x)  
Es continua.
Cortes con OX: (2, 0)
Cortes con OY: (0, 1)
En (2, ) es creciente, y en (, 2), decreciente.
Tiene un mínimo relativo y absoluto, (2, 0).
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
La excursión
Beatriz quiso hacer una excursión para visitar un lago de un parque natural cerca de su casa. En
principio pensó hacerla a pie, pero, cuando ya había comenzado, decidió volver a su casa para coger
la bicicleta.
La siguiente gráfica representa la distancia a la que se encontraba de su casa en cada momento,
desde que salió de ella por primera vez hasta que llegó después de haber terminado la excursión.
a) ¿Cuántos kilómetros recorrió andando? ¿Cuánto tardó? ¿Y en bicicleta?
b) ¿Cuánto tiempo estuvo parada visitando el paraje?
c) ¿A qué hora recogió la bicicleta en su casa?
d) ¿El viaje de ida en bicicleta le llevó más o menos tiempo que el de vuelta? Halla la velocidad
media de la vuelta en km/h. ¿Qué indica el signo negativo de esta velocidad?
a) Anduvo dos kilómetros de ida y otros dos de vuelta. Tardó en total 60 minutos.
En bicicleta recorrió 10 kilómetros de ida y otros 10 de vuelta. Tardó 60 minutos en la ida y 30 en la vuelta.
b) Hora y media.
c) Una hora después de haber salido de casa por primera vez.
d) Le llevó más tiempo el de ida:
TVM[210, 240] 24
0
0


1
2
0
10  
1
3
0
0 
 
1
3 km/min  
1
3 : 6
1
0 
 20 km/h.
El signo negativo indica que se está acercando a casa.
O 30
1
Tiempo (min)
Distancia (km)
10.79
O 1 X
1
Y
2
x
  1 si x  2
2
x
  1 si x  2
10.78
Pantalla del ordenador
Un programa informático permite realizar dibujos geométricos. La pantalla del ordenador tiene una
resolución de 32  20 puntos.
Los dibujos se hacen mediante las siguientes instrucciones:
• SEG [(a, b); (c, d)], que dibuja un segmento de extremos los puntos (a, b) y (c, d).
• CIRC [(a, b); r ], que dibuja una circunferencia de centro (a, b) y radio r.
Al acabar cada instrucción se debe colocar un punto y coma.
Así, por ejemplo, el dibujo de la figura se ha realizado mediante las instrucciones:
SEG [(1, 4); (6, 4)]; CIRC [(9, 4); 3]; SEG [(12, 4); (17, 1)];
Realiza el dibujo correspondiente a las siguientes instrucciones:
SEG [(5, 5); (11, 16)]; CIRC [(15, 16); 4]; CIRC [(19, 16); 2]
A U T O E V A L U A C I Ó N
Una colección consta de 60 libros de 9,95 euros cada uno.
a) Escribe la expresión algebraica que relaciona el dinero invertido en función del número de libros.
b) Construye una tabla de valores para la función y represéntala gráficamente.
c) Calcula su dominio y su recorrido.
d) ¿Cuántos libros se han comprado si el gasto es de 159,20 euros?
a) Si llamamos x al número de libros e y al dinero invertido: y  9,95x.
b)
c) Dom y  {x  N / x  (0, 60]}; R(f )  {9,95k / k  1, 2, 3… 60}
d) Si y  159,20 ⇒ x  159,20  9,95  16 libros
10
O 1 N.º de libros
Precio (€)
10.A1
X
3
O 3
Y
O 1
1
Y
X
10.80
x 0 1 2 3 4
y 0 9,95 19,90 29,85 39,80
Calcula el dominio de las siguientes funciones.
a) f(x)  x3  2x  3
b) g(x)  —
2x
9
 6

a) Dom f(x)  R
b) Dom g(x)  R  {3}
Halla los puntos de corte con los ejes en las siguientes funciones.
a) y  7x  1
b) y  —8
3
—x
c) y  x2  9x  20
a) Con el eje OX: 7x  1  0 ⇒ x  
1
7 ⇒ A
1
7, 0 .
Con el eje OY: (0, 1)
b) Con el eje OX: A(0, 0).
Con el eje OY: B(0, 0)
c) Con el eje OX: x2  9x  20  0 ⇒ x  
9
2
 1
  ⇒ A(4, 0) y B(5, 0).
Con el eje OY: (0, 20)
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las funciones en los intervalos que se indican.
a) f(x)  x  x2 en [1,5; 1] y en [0,2; 1]
b) g(x)  2x  9 en [2; 1,8]
a) TV[1,5; 1]  f(1)  f(1,5)  0  0,75  0,75  0 ⇒ Es decreciente.
TV[0,2; 1]  f(1)  f(0,2)  2  0,24  1,76
0 ⇒ Es creciente.
b) TV[2; 1,8]  f(1,8)  f(2)  12,6  (13)  0,4
0 ⇒ Es creciente.
Observa la gráfica de la siguiente función.
a) Encuentra el dominio y el recorrido.
b) Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c) Halla sus máximos y mínimos e indica de qué tipo son.
d) ¿Es simétrica? ¿Y continua?
a) Dom f(x)  R; Rec f(x)  [4, )
b) Decrece en (, 2) y en (1, 0).
Crece en (2, 1) y en (0, ).
c) (2, 0) es mínimo relativo, y (0, 4), mínimo absoluto. Máximo relativo en (2,5; 0,5).
d) No es simétrica. Sí es continua.
O
1
Y
1 X
10.A5
10.A4
4
5
10.A3
10.A2
Representa gráficamente las siguientes funciones y estudia su continuidad.
a) f(x)   b) g(x)  
a) b)
Discontinua en x  1 Discontinua en x  0
M A T E T I E M P O S
Nombres y apellidos
El apellido representa la familia a la que perteneces y el nombre te identifica entre sus componentes. Juan
Pérez, Jordi Castellet, Carmen Martínez, Pavel Iovanescu y Amal Kasar son algunos alumnos de una clase de
4.º de ESO. Si relacionamos el nombre de cada uno con su apellido, ¿esta relación es una función? Si cada
alumno tuviera dos nombres, ¿la relación seguiría siendo una función? ¿Y si utilizasen los dos apellidos?
Si relacionamos el nombre de cada persona con su apellido, tendremos una relación biunívoca en la que a todo nombre (elemento del
primer conjunto) le corresponda un apellido (imagen del segundo conjunto), y solo uno. Luego la relación es una función.
Si se tienen dos nombres, también será una función, ya que cada nombre tiene una imagen, y una sola.
Si se utilizan los dos apellidos, dejará de ser función, ya que a cada nombre le corresponderán dos apellidos (imágenes).
10 FUNCIONES
E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S
Halla el dominio y el recorrido de estas funciones.
a) f (x)  3x 1 b) g(x)   x  c) h(x)  x3
a) D(f)  R; Recorrido (f)  R b) D(g)  R; Recorrido (g)  [0, ) c)D(h)  R; Recorrido (h)  R
Calcula el dominio de estas funciones.
a) f (x)  x 2
5

x
1 
b) g(x)  x2  x  6  c) h(x)  x
2
(x
x
2


3
1)  d) j (x)  x2  2x  1
a) D(f)  R  {1, 1} b) D(g)  (, 2)  (3, ) c) D(h)  R  {0} d) D(j)  R
Estudia el crecimiento o decrecimiento de la función f(x)  x3.
La función f(x)  x3 es constantemente creciente, pues TV [x, x  h]  (x  h)3  x3  0,
ya que si h  0, x  h  x, y, en consecuencia, (x  h)3  x3.
Indica en qué intervalos es creciente o decreciente la función y  x4  2×2.
A la vista de la gráfica se observa que:
f(x) es creciente en: (1, 0)  (1, ).
f(x) es decreciente en: (, 1)  (0, 1).
Señala los máximos y mínimos de estas funciones.
a) La función presenta máximos relativos en los puntos (0, 2), (2, 1)
y (5, 3); un máximo absoluto en (5, 3); mínimos relativos en (1, 0),
(3, 1) y (7,0) y un mínimo absoluto en (3, 1).
b) La función presenta máximos relativos en los puntos (2, 1) y
(2, 2); un máximo absoluto en (2, 2); un mínimo relativo en (0, 1)
y un mínimo absoluto en (0, 1).
Indica los máximos y mínimos de estas funciones.
a) y  3x 2 b) y   x  c) y  (x  2)2 3 d)y  x2  4
a) b) c) d)
No tiene ni máximos Presenta un mínimo Presenta un mínimo Presenta un mínimo
ni mínimos. absoluto en el origen. absoluto en (2, 3). absoluto en (0, 4).
1
1
O
Y
X
y = x2 – 4
d)
1
1
O
Y
X
y = (x – 2)2 + 3
c)
1
1
O
Y
X
y = x
b)
1
1
O
Y
X
y = 3x + 2
a)
10.6
1
1 X
Y
O
1
1 X
Y
O
a) b)
10.5
1
1 X
Y
O
f (x) = x 4 _ 2×2
10.4
1
1 X
Y
O
f (x) = x3
10.3
10.2
10.1
Indica si es periódica la siguiente función. En caso afirmativo, calcula su período.
La función dada por su gráfica es periódica, de período 2,
ya que f(x)  f(x  2).
Estudia si están acotadas y qué tipo de acotación presentan las siguientes funciones.
a) y 5 b) y  x2  3
Está acotada superior e inferiormente. Está acotada inferiormente.
Comprueba si están acotadas y qué tipo de acotación presentan las siguientes funciones.
a) y  —
x
1
2 —
b) y    x  3 
Está acotada inferiormente. Está acotada superiormente.
La función f(x) asocia a cada número real su parte decimal. Por ejemplo: f (2, 6)  0,6; f(4, 2)  0,2.
a) Dibuja su gráfica.
b) ¿Es periódica? En caso afirmativo, indica su período.
c) ¿Está acotada?
a) b) No es periódica. c) Está acotada superior e inferiormente.
¿Presentan algún tipo de simetría estas funciones?
a) y  3x b) y  3x 2 c) y  5×2  3
a) f(x)  3(x)  3x  f(x). Simetría impar.
b) f(x)  3(x)  2  3x  2. No presenta ninguna simetría.
c) f(x)  5(x)2  3  5×2  3  f(x). Simetría par.
10.11
1
1
O
Y
X
10.10
1
1
O
Y
X
y = – x + 3
1
1
O
Y
X
y = 1—x 2
10.9
1
1
O
Y
X
y = x2 – 3
1
1
O
Y
X
y = 5
10.8
–1 O 1 2 3 4 5 6 X
Y
10.7
Estudia la simetría de las siguientes funciones.
a) y   x  b) y  3×2 1 c) y  2×3  2
a) f(x)  x|  x   f(x). Simetría par.
b) f(x)  3(x)2  1  3×2  1. Simetría par.
c) f(x)  2(x)3  2  2×3  2. No presenta simetrías.
Si f(x)   x , g(x)  3x y h(x)  x2  4, calcula las siguientes funciones.
a) 3f b) f  2g c) g  h d) —g
h

a) 3f(x)  3  f(x)  3 x  c) (g  h) (x)  3x  (x 2  2)  3x 3  6x
b) (f  2g) (x)  f(x)  2g(x)   x   2  3x   x   6x d) 
g
h(x)  x 2
3

x
4 
Dadas las funciones f (x)  5×2  3 y g(x)  x  7:
a) Calcula las funciones g  f y f  g.
b) ¿Es conmutativa la composición de funciones?
a) (g  f) (x)  g[f(x)]  g(5×2  3)  5×2  3  7  5×2  10
(f  g) (x)  f[g(x)]  f(x  7)  5 (x  7)2  3  5 (x2  14x  49)  3  5×2  70x  248
b) Como g  f  f  g, se deduce que la composición de funciones no es conmutativa.
Considera la función f (x)  y  2x  2.
a) Halla la función recíproca de f.
b) Representa la función f y su recíproca. ¿Cómo son respecto de la recta y  x?
a) y  2x  2 ⇒ 2x  y  2 ⇒ x  
y 
2
2
⇒ y  
x 
2
2
b)
Son simétricas respecto de y  x.
Dada la función f (x)  3×2  5:
a) Halla la función f1.
b) Calcula la composición de estas funciones: f1
f f  f1
a) y  3x 2  5 ⇒ 3x 2  y  5 ⇒ x 2  
y 
3
5
⇒ x  
y 
3
5
⇒ y   
x 
3
5
⇒ f1 (x)   
x 
3
5

b) (f1 o f) (x)  f1 (f(x))  f1 (3×2  5)   
3×2 3
5  5
   x2  x
(f o f1) (x)  f (f1 (x))  f 
x 
3
5
  3 
x 
3
5
2
 5  3 
x 
3
5
 5  x
10.16
1
1
O
Y
X
y = 2x + 2
y = —x –2— 2–
10.15
10.14
10.13
10.12
Representa estas funciones definidas a trozos.
a) y  b) y 
a) b)
Observa estas dos representaciones gráficas y escribe las fórmulas de las funciones a las que corresponden.
a) Ecuación de recta que pasa por (6, 2) y (2, 3):
m  
2
3


(
2
6)  
1
4; y  2  
1
4 (x  6); y  
1
4 x  
7
2
Ecuación de recta que pasa por (2, 3) y (1, 5):
f (x) 
m  
1
5


(
3
2)  2; y  3  2 (x  2); y  2x  7
Ecuación de recta que pasa por (1, 5) y (4, 0):
y  x  4.
b) Función constante  3:
y  3
Ecuación de recta que pasa por (0, 3) y (3, 1):
f (x) 
m  
1
3


(
0
3)
 
4
3; y  3  
4
3 x; y  
4
3 x  3
Ecuación de la recta que pasa por (3, 1) y (4, 0):
y  x  4
3 x 1

4
3 x 3 1
x 3
x  4 x 3

1
4 x  
7
2 x
2
2x  7 2 x 1
x  4 x 1
1
1 X
Y
O
1
O 1 X
a) Y b)
10.18
2
2
O
Y
X
1
1
O
Y
X
4 x 2
x2 2
x 4
2x  3 x 4
x2 si x 1
x  2 si 1
x
1
2 si x  1
10.17
R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S
Un automóvil parte desde Logroño hacia Palencia a 100 km/h. Simultáneamente, otro sale desde Palencia
hacia Logroño a 60 km/h.
Sabiendo que ambas capitales distan 200 kilómetros, ¿a qué distancia de Logroño se producirá el encuentro?
Representamos las gráficas distancia-tiempo de cada vehículo, considerando la distancia de los vehículos a Logroño. Para ello
solo necesitamos calcular dos valores en cada caso.
Se encuentran a 125 km de Logroño.
Resuelve de nuevo la situación del ejercicio anterior si la velocidad de cada coche aumentase en 20 km/h
por hora.
¿A qué distancia de Logroño se cruzarían en este caso?
Se encuentran a 120 km de Logroño.
A C T I V I D A D E S
E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E
Concepto de función
Construye una tabla de 6 valores para las funciones:
a) f (x)  5x 3 b) g(x)  x 2  2x c) y  — 2
x
x


1
3—
d) y  10  x
a) c)
b) d)
10.21
1
20
O
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Distancia a Logroño (km)
2 3
Tiempo (h)
Palencia
Logroño
Vehículo que sale
desde Palencia
t  d
0  200
2   20
Vehículo que sale
desde Logroño
t  d
0  0
1   120
10.20
1
20
O
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Distancia a Logroño (km)
2 3Tiempo (h)
Palencia
Logroño
Vehículo que sale
desde Palencia
t  d
0  200
2   80
Vehículo que sale
desde Logroño
t  d
0  0
2   200
10.19
x 0 1 2 3 4 5
y 3 8 13 18 23 28
x 2 1 0 1 2 3
y 0 1 0 3 8 15
x 15 6 1 6 9 10
y 5 4 3 2 1 0
x 2 1 0 1 2 3
y 
1
3 

2
1
3 7 
9
2 18
Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.
a) f (x)  4x  6 c) y  x2  2 e) h(x)  3  2x
b) y  x2  3 d) g(x)  15  3x f) y  8x  6
a) D(f)  R; R(f )  R c) D(f)  R; R(f )  [2, ) e) D(h) 

3
2, ; R(h)  [0, )
b) D(f)  R; R(f )  [3, ) d) D(g)  (, 5]; R(g)  [0, ) f)D(f) 

3
4, ; R(f)  [0, )
Dibuja una función:
a) Que su dominio sea R  {2} y su recorrido R.
b) Que su dominio sea (, 0].
c) Que su dominio sea [6, 6] y su recorrido [0, 12].
Calcula el dominio de estas funciones.
a) f (x)  — 2
4
x
x2


x
6
3—
c) g(x)  —
3
x
x2


2
3 —
e) h(x)  —
2x
x
 8

b) y  —
x 3
1
 8
— d) y  —
2 
1
x —
f) y  —
x 2
3

x2
5

x 
6
4 —
a) D(f)  R c) D(g)  R  {1, 1} e) D(h)  R  {4}
b) D(f)  R  {2} d) D(f)  R  {2} f) D(f)  R  {4, 1}
Escribe la fórmula de una función:
a) Cuyo dominio sea [3, ).
b) Cuyo dominio sea R, y su recorrido, R.
c) Cuyo dominio sea [0, ), y su recorrido, R.
a) f(x)  x 3 b) g(x)  x2 c) h(x)  x
Halla el dominio de estas funciones.
a) y  —
2x2
x

2 
x 
1
10
— b) y  —
x
1
3


5
3
x
x2


x
4
2
x

x
c) y  —
x 2 
x 
5x
3
 4
— d) y 
a) D(f)  R  
5
2, 2 b) D(f)  R  {4, 0, 1} c) D(f)  R  {1, 4} d) D(f)  (7, )
10.26
10.25
10.24
2
2
O
Y
X
c)
1
1
O
Y
X
b)
1
1
O
Y
X
a)
10.23
10.22

134
2
5444

x 7
Características de las funciones
Dibuja las funciones y  x  3, y  2  4x e y  1. A la vista de la gráfica, ¿qué tipo de crecimiento
presenta cada una de ellas?
y  x  3, creciente
y  2  4x, decreciente
y  1, constante
Teniendo en cuenta su gráfica, estudia la función y  x2 en los intervalos [0; 0,5] y [0,5; 0].
a) ¿Es creciente o decreciente?
b) ¿Qué se puede afirmar del punto (0, 0)?
a) La función es creciente en [0; 0,5] y decreciente en [0,5; 0].
b) El punto (0, 0) es un mínimo de la función.
Para cada una de las funciones representadas a continuación, estudia:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Los máximos y mínimos relativos y absolutos.
c) La simetría.
d) Si están acotadas y, en su caso, el tipo de acotación que presentan.
f (x)  x4  2x 2
a) Crece en (1, 0)  (1, ∞). Decrece en (∞, 1)  (0, 1).
b) (1, 1) y (1, 1) son mínimos relativos y absolutos.
(0, 0) es máximo relativo. No tiene máximos absolutos.
c) Presenta simetría par.
d) Está acotada inferiormente.
g(x)  x3  6×2  9x  8
a) Decrece en (1, 3) . Crece en (∞, 1)  (3, ∞).
b) (3, 8) es un mínimo relativo, y (1, 4) es un máximo relativo.
No tiene máximos ni mínimos absolutos.
c) No presenta simetrías.
d) No está acotada.
2
1 X
Y
0
1
1 X
Y
O
10.29
1
1
O
Y
X
y = x2
10.28
1
1
O
Y
X
y = 1
y = x – 3 y = –4x + 2
10.27
Dibuja una función con las siguientes características: tiene un mínimo relativo en (3, 1); un máximo
relativo en (0, 4), y es par.
Estudia la simetría de las siguientes funciones, indicando en caso afirmativo de qué tipo de simetría se
trata.
a) f (x)  x3  4x b) g(x)  2  x4 c) h(x)  —
x 
3
1 —
d) j (x)  1  x3
a) f(x)  (x)3  4(x)  x3  4x  f(x) ⇒ Es impar.
b) f(x)  2  (x)4  2  x4  f(x) ⇒ Es par.
c) f(x)  
x
3
 1   f(x) ⇒ No es par. f(x)  
x
3
 1   f(x) ⇒ No es impar.
d) f(x)  1  (x)3  1  x3  f(x) ⇒ No es par. f(x)  1  (x)3  1  x3  f(x) ⇒ No es impar.
Observa la gráfica siguiente:
a) Si es una función periódica, indica su período.
b) ¿Qué valor toma la función cuando x es par? ¿Y cuando
x es impar?
c) Indica una cota superior y una cota inferior de la función.
a) Es periódica de período T  2.
b) Cuando x es par, f(x)  0, y cuando x es impar, f(x)  1.
c) 0 es una cota superior, y 1 es una cota inferior.
Operaciones con funciones
Dadas f (x)  3x  6 y g(x)  x2  2x  4, calcula:
a) (2f  g)(x) b)—g
f
—(x) c)(4g  3f)(x) d)(g  f)(x) e) (f  g)(x) f) f1(x)
a) (2f  g)(x)  6x  12  x2  2x  4  x2  8x  16
b) (4g  3f)(x)  4×2  8x  16  9x  18  4×2  x  2
c) (f  g)(x)  3×3  6×2  12x  6×2  12x  24  3×3  24x  24
d) 
g
f(x) = x 2 
3x
2

x 
6
4 
e) (g  f)(x)  g[f(x)]  g(3x  6)  (3x  6)2  2 · (3x  6)  4  9×2  36x  36  6x  12  9×2  30x  24
f) y  3x  6 ⇒ 3x  y  6 ⇒ x  
y 
3
6
⇒ f1(x)  
x 
3
6
10.33
Y
1
O 1 X
10.32
10.31
1
1
O
Y
X
10.30
Si f (x)  —
x 
3
5 —
y g(x)  — x 2
x
 1—, calcula:
a) (2f  4g)(x) b) (f  g)(x) c) —g
f
—(x)
a) (2f  4g)(x)  x 
6
5 
 
4×2
x
 4
  
b) (f · g)(x)  
3
x
x
2
2


5
3
x 
c) 
g
f(x)  
x 2 
x
1
x 
3
5 
 
(x2  1
3
)
x
(x  5)
 
x 3  5×2
3x
 x  5

Comprueba si f (x)  2×2  4 y g(x)  
x 
2
4 
son funciones recíprocas.
(g  f)(x)  g[f(x)]  g(2×2  4)  
2×2 
24  4
  x
(f  g)(x)  f[g(x)]  f 
x 
2
4
  2  
x 
2
4
2
 4  x
Son recíprocas porque su composición es la identidad.
Calcula las imágenes de x  0, x  1 y x  2 mediante las funciones (g  f)(x) y g1(x), siendo
f (x)  3×2  4x y g(x)  x 9.
(g  f)(0)  g(f(0))  g(0)  0  9  3
(g  f)(1)  g[f(1)]  g(1)  1  9  8
(g  f)(2)  g[f(2)]  g(20)  20  9  29
y  x  9 ⇒ y2  x  9 ⇒ x  y2  9 ⇒ g1(x)  x2  9
g1(0)  02  9  9 g1(1)  (1)2  9  8 g1(2)  22  9  5
Si f (x)  — x
x


1
3 —
y g(x)  5  2x, calcula:
a) f1(x) c) f1(3)
b) g1(x) d) g1(2)
a) y  
x
x


1
3 
⇒ yx  3y  x  1 ⇒ yx  x  1  3y ⇒ x (y 1)  1 3y ⇒ x  
1
1


3
y
y
⇒ f1 (x)  
1
1


3
x
x
b) y  5  2x ⇒ y2  5  2x ⇒ 2x  5 y2 ⇒ x  
5 
2
y2

c) f1(3)  
1
1


3
3
3
  

10
2 
 5
d) g1(2)  
5 
2
22
 
5 
2
4

1
2
Calcula (g  f)(2) y (f  g)(1), siendo f (x)  2×2  9 y g(x)  —
2x
1
 1
—.
(g  f)(2)  g[f(2)]  g(1)  

3
1
(f  g)(1)  f[g(1)]  f(1)  7
10.38
10.37
10.36
10.35
4×3  20×2  2x  20
 x2  5x
6x  4×3  20×2  4x  20
 x2  5x
10.34
Funciones definidas a trozos
Considera la función f (x)  y calcula f (3), f (10), f (0), f (1) y f —3
4
—.
f(3)  3  32  9  36 f(10)  3 · 10 2  9  309 f(0)  3 · 0 2  9  9
f(1)  8  (1)2  7 f
3
4 8  
3
42
 
2
1
3
6 
Dibuja las siguientes funciones definidas a trozos.
a) f (x)  b) g(x) 
Calcula la imagen de x  2 en cada una de las funciones siguientes.
a) f (x)  b) g(x)  c) h(x) 
a) f (2)  2 b) g (2) 0 c) h (2) no se puede calcular.
Dibuja f (x)   2x  9  y g(x)   6  3x . Indica para cada una de ellas:
a) ¿Qué valores de x tienen por imagen 1?
b) ¿Cuáles tienen por imagen 0?
c) ¿Y cuáles son las que tienen por imagen 2?
a) x  4 y x  5 en f(x); x  
5
3 y x  
7
3 en g(x).
b) x  

2
9
en f(x), y x  2 en g(x).
c) Ningún valor de x puede tener como imagen 2 porque el valor absoluto
de un número nunca es negativo.
C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E
Si una función es periódica de período 4, ¿es suficiente conocer su gráfica en el intervalo [2, 2] para
poder representarla en R?
Sí, ya que la amplitud del intervalo es 4, y si es periódica, basta conocer su gráfica en un intervalo de amplitud igual al período
para dibujarla en R.
10.43
2
2
O
Y
X
y = g (x)
2
2
O
Y
X
y = f (x)
10.42
8×3  1 si x 2
2  7x si x  2
6x 3 si x 2
0 si x  2
2×2  1 si x  2
x3  2 si x 2
4  3x si x 2
10.41
2
2
0
Y
X
y = g (x)
b)
2
2
0
Y
X
y = f (x)
a)
1  x2 si x 1
2  5x si x 1
3  x si x 4
2x  1 si 4
x 2
5 six 2
10.40
8  x2 si x
1
3×2 9 si x  1
10.39
Si la imagen de 0 mediante una función, f, es 3, ¿qué se puede afirmar de la imagen de 3 respecto de
la función recíproca de f, f1?
Que es 0.
¿Qué relación tienen dos funciones que son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante?
Son recíprocas.
Una función continua está definida en R, es creciente en (, 3) y en (4, ), y decreciente en
(3, 4). ¿Tiene máximos y/o mínimos relativos?
Sí. Tiene un mínimo relativo en x  3 y un máximo relativo en x  4.
El recorrido de una función es (1, 1). Razona si está acotada superior y/o inferiormente.
Está acotada superior e inferiormente, ya que por su recorrido se observa que la función no toma valores menores e iguales
que 1 ni mayores o iguales que 1.
Si una función es creciente en (, 0) y decreciente en (0, ), ¿se puede afirmar que tiene un máximo
en x  0?
No, porque puede ser que no esté definida en x  0.
Demuestra si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) y   x  es una función impar.
b) y  x2  4 es creciente en R.
c) y  1  x2 está acotada superiormente.
d) y  —
x 3
2

x
x —
es una función par.
a) Falsa. f(x)  x  x  f(x)
b) Falsa. Es creciente solo en (0, ).
Si 0 a b, entonces TV[a, b]  f(b)  f(a)  b2  4  a2  4  (b  a)  (b  a)  0.
Si a b 0, entonces TV[a, b]  f(b)  f(a)  b2  4  a2  4  (b  a)  (b  a) 0.
c) Verdadera. 1 es una cota superior de la función, puesto que 1  x2  1.
d) Verdadera. f(x)   (
2
x
(
)

3 
x)
x 
 
(x

3
2

x
x)   f(x).
El dominio de una función f (x) es R, y el de otra, g(x) es R  {2}. ¿Se puede calcular (f  g) (2)?
¿Y (f  g)(2)?
No se puede calcular ninguno de los dos valores, ya que en ambos casos es necesario hallar g(2), y la función g no está definida
para ese valor de x.
La función f (x) se anula cuando x  1, x  0 y x  3. Halla el dominio de —1
f
—(x).
D(f)  R  {1, 0, 3}
Demuestra que son ciertas las siguientes afirmaciones:
a) Si dos funciones son pares, su suma también es par.
b) El cociente de dos funciones impares es par.
a) (f  g)(x)  f(x)  g(x)  f(x)  g(x)  (f  g)(x)
b) g
f
 (x)  g
f(
(


x
x
)
) 
 


g
f(
(
x
x
)
) 
 g
f(
(
x
x
)
) 
 g
f
(x)
10.52
10.51
10.50
10.49
10.48
10.47
10.46
10.45
10.44
P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R
Juan está estudiando dos ofertas de trabajo como comercial de electrodomésticos, A y B, que solo se
diferencian en el sueldo.
Oferta A: 1050 euros mensuales y 10 euros por cada aparato vendido hasta un máximo de 20 al mes.
Oferta B: 600 euros al mes y 20 euros por cada electrodoméstico vendido.
a) Escribe la fórmula que expresa el sueldo mensual de Juan en cada caso en función del número de
electrodomésticos vendidos.
b) Calcula el dominio y el recorrido de cada una de las funciones correspondientes.
c) ¿Aumentará siempre el sueldo en función del número de aparatos que venda?
d) ¿Tienen las funciones algún máximo o mínimo?
a) Oferta A: f(x)  1050  10x
Oferta B: g(x)  600  20x
b) D(f)  [0, 20]; R(f)  [1050, 1250]
D(g)  [0, ); R(g)  [600, )
c) Si a b
20 ⇒ TV[a, b]  f(b)  f(a)  10b  10a  0 ⇒ Es creciente.
Si a  b  20, la función f es constante, ya que no recibe más dinero por electrodoméstico vendido.
a b ⇒ TV[a, b]  g(b)  g(a)  20b  20a  0 ⇒ Es creciente.
d) La función f(x) tiene un mínimo absoluto en (0, 1050) y un máximo absoluto en (20, 1250).
La función g(x) solo tiene un mínimo absoluto en (0, 600).
En su movimiento de rotación, la Tierra da una vuelta completa alrededor de su eje en un día.
a) Representa la gráfica de la función que indica el número de grados que gira en función del tiempo
durante un día.
b) ¿Cuál sería la gráfica anterior a lo largo de una semana?
c) ¿Está acotada la función semanal?
d) ¿Es una función periódica? ¿Y simétrica?
a) La velocidad de giro de la Tierra es constante, la gráfica que representa el número de grados en función del tiempo es un
recta.
b)
c) Sí, una cota superior es 360o.
d) La función semanal es periódica, y no simétrica.
24
(L)
180
O
360
Tiempo (h)
Grados
48
(M)
72
(X)
96
(J)
120
(V)
144
(S)
168
(D)
6
180
O 12 18 24
360
Tiempo (h)
Grados
10.54
10.53
Una empresa fabrica DVD y sus costes de producción, en euros, vienen dados por la expresión
C(x)  —1
2
—x2  25x  15, donde x es el número de DVD producidos. El precio de venta por unidad es
P(x)  75  —x
2
—. ¿Cuál es la función que expresa el beneficio obtenido con la venta de x DVD?
B(x)  x  P(x)  C(x)  75x  
x
2
2
  
1
2 x2  25x  15  x2  50x  15
Cuando dejas caer una pelota desde una altura cualquiera, el espacio que recorre, h, viene dado por
la expresión h  9,8  t 2, siendo t el tiempo.
Calcula la fórmula que permite obtener el tiempo transcurrido desde que se lanzó la pelota, t, en función
de la altura a la que se encuentra.
t  9
h
,8
Un aljibe tiene 750 litros de agua al comienzo del día. Por una fisura pierde 2 litros cada hora. A la
vez, está recibiendo agua a razón de 6 litros a la hora.
a) Estudia el crecimiento de la función que expresa el volumen de agua en el aljibe durante ese día.
b) ¿A qué hora estará más lleno? ¿Y más vacío? Indica las cantidades de agua almacenadas en esos
momentos.
a) y  750  2x  6x; y  750  4x; a b ⇒ TV[a, b]  f(b)  f(a)  4b  4a  0 ⇒ Es creciente.
b) Mínimo en (0, 750), y máximo en (24, 846)
Un jardinero quiere vallar un terreno de forma cuadrada y área desconocida en el que ha plantado
unas flores. Encuentra la fórmula que permite obtener el lado del cuadrado en función de su área.
a) Si el área estuviera comprendida entre 120 y 180 metros cuadrados, ¿cuáles serían el dominio y el
recorrido de la función?
b) La función descrita, ¿es creciente o decreciente?
c) ¿Tiene máximos o mínimos?
El lado en función del área viene dado por l  A
a) D(f)  [120, 180]; R(f) 
120,180

b) a b ⇒ TV[a, b]  f(b)  f(a)  b  a  0 ⇒ Es creciente.
c) Mínimo (120,120) y máximo (180,180)
Calcula la fórmula que permite obtener el diámetro de una lata cilíndrica de zumo en función de su altura
para que contenga 500 mililitros del mismo.
Si la altura de la lata está comprendida entre 12 y 16 centímetros, ¿cuáles son el dominio y el recorrido
de esa función?
Si d es el diámetro, r el radio y h la altura, entonces d  2  r  2 
5

0
h
0
.
D(f)  [12, 16] R(f)  [6, 31; 7, 28]
Expresa mediante una función la distancia al lugar de partida a la que se encuentra un grupo de amigos
que realiza la siguiente excursión.
a) Durante la primera hora y media caminan a una velocidad constante de 3 kilómetros por hora.
b) Descansan durante la media hora siguiente.
c) Regresan a una velocidad constante de 4,5 km/h.
f(x)  3x 0
x 1,5
4,5 1,5
x 2
13,5  4,5x 2
x 3
10.60
10.59
10.58
10.57
10.56
10.55
Considera la función del problema anterior.
a) Calcula el dominio y el recorrido.
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Indica sus máximos y mínimos si los tiene.
d) Explica si es una función acotada.
a) D(f)  [0, 3]; R(f)  [0; 4,5]
b) Es creciente en (0; 1,5) .Es decreciente en (2, 3).
c) No tiene.
d) Está acotada superiormente, ya que la distancia al lugar de partida no es mayor
de 4,5 km.
R E F U E R Z O
Concepto y características de las funciones
Halla el dominio de las funciones:
a) y  x2 4 c) y  —
7
3
x
x
2
3
+
+
5
9
x —
e) y  12  4x
b) y  —
4×2
2x
 1
— d) y  6x  18  f) y  — x
x
2
2


1
1 —
a) D(f)  R c) D(f)  R  0, 

7
5
e) D(f)  (, 3]
b) D(f)  R  
1
2, 
1
2 d) D(f)  [3, ) f) D(f)  R
Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f (x)  4x  x2 en los intervalos [2,2; 2] y
[2; 1,8].
TV[2,2; 2]  f(2)  f(2,2)  4  3,96 0 ⇒ Es decreciente.
TV[2; 1,8]  f(1, 8)  f(2)  3,96  4  0 ⇒ Es creciente.
De las siguientes funciones, indica cuáles son periódicas y cuáles están acotadas.
a) f (x)  sen(x) b) f (x)  x 4  6x 2  2x  9
a) Es periódica de período T  2 y está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 1.
b) No es periódica. Está acotada superiormente por 4.
2
2 X
Y
1 O
1 X
Y
O
10.64
10.63
10.62
1
1
O
Tiempo (h)
Distancia (km)
2 3
2
3
4
5
10.61
Estudia si las siguientes funciones presentan algún tipo de simetría.
a) f (x)  1  2x  x3 b) g(x)  x4  2×2 4 c)h(x)  —
x 2
1
 5
— d) l (x)  6×3  x
a) f(x)  1  2( x)  (x)3  1 2x  x3 ⇒ No es par ni impar.
b) g(x)  (x)4  2(x)2  4  x4  2×2  4  f(x) ⇒ Es par.
c) h(x)   (x)
1
2  5   x 2 
1
5 
= h(x) ⇒ Es par.
d) l(x)  6(x)3  (x)  6×3  x  l(x) ⇒ Es impar.
Operaciones con funciones
A partir de las funciones f (x)  8  x2 y g(x)  —
2
1
x —
, calcula las siguientes funciones.
a) (g  2f)(x) c) (f  g)(x) e) (f  g)(x)
b) (f  3g)(x) d) —
g
f—(x) f) (g  f)(x)
a) (g  2f)(x)  2
1
x 
 16  2×2  
4×3 
2
3
x
2x + 1

b) (f  3g)(x)  8  x2  2
3
x 

16x 
2
2
x
x3  3

c) (f  g)(x)  
8 
2x
x2

d) g
f
(x)  16x  2×3
e) (f  g)(x)  f[g(x)]  f2
1
x


8

4
1
x2 
f) (g  f)(x)  g[f(x)]  g(8  x2) 16 
1
2×2 
Halla la función recíproca de cada una de las siguientes.
a) f (x)  5x 2 b) g(x)  2  x2 c) h(x)  1  3 x d) l (x)  —
4
7
x

a) y  5x  2 ⇒ 5x  y  2 ⇒ x  
y 
5
2
⇒ f1 (x)  
x 
5
2
b) y  2  x2 ⇒ x2  2  y ⇒ x  2  y ⇒ g1 (x)  2  x
c) y  1  3x ⇒ y2  1  3x ⇒ 3x  y2  1 ⇒ x  
y 2 
3
1
⇒ h1 (x)  
x 2 
3
1
d) y  4
7
x 
⇒ x  4
7
y 
 ⇒ l1 (x)  4
7
x 
Funciones definidas a trozos
Calcula f (3), f(0) y f(4) en la siguiente función. f (x) 
f(3)  9  (3)  (3)2  36 f(0)  0 f(4)  3  4  12
9x  x2 si x 4
3x si x 4
10.68
10.67
10.66
10.65
Dibuja las siguientes funciones.
a) f (x)  b) g(x) 
A M P L I A C I Ó N
Halla el dominio de las siguientes funciones.
a) y  — x
x


4
2—
c) y


10

3x

x2
e) y

3
 x
x
3
2

 2
9
x
b) y  x2  4x  3 d) y  (x  2) (x 4) (x 1) f) y 
a) 
x
x


4
2 
0 y x  2  0. D(f)  (, 4]  (2, ) d) (x  2)(x  4)(x  1)
0 D(f)  [ 4, 1]  [2, ∞)
b) x2  4x  3 0. D(f)  (∞, 3]  [1, ∞) e) x 2  9  0. D(f)  R  {3, 3}
c) D(f)  [2, 5] f) x 2  1  0. D(f)  (,1)  (1, )
Si el dominio de una función f(x) es [3, ), y el de otra, g(x), es R  {2, 1, 3}, ¿cuál es el dominio
de (f  g)(x)?
(3, )
Dibuja las siguientes funciones e indica si tienen algún máximo o mínimo y de qué tipo es.
a) f (x)   3x2  12  b) g(x)   x2  2 
• Máximo relativo: (0, 12) • Mínimo absoluto y relativo: (0, 2)
• Mínimos absolutos y relativos:
(2, 0), (2, 0)
El dominio de la función —g
f
—(x) es R. Explica si es posible que exista un valor en el que f (x) sea
igual a 0.
No es posible, puesto que en ese caso el dominio de la función sería R menos esos valores en los que se anula f(x).
Dadas las funciones f (x)  1  5x, g(x)  x
2

x
4 
y h(x)  3x  2, calcula (h  g  f)(x).
(h  g  f)(x)  h(g  f)(x)  h[g(f (x))]  h[g(1  5x)]  h

2
3


10
5
x
x 



3

2
3
 
10
5
x
x 
 2 = 
1

2
3

 2
5
0
x
x
10.74
10.73
1
1
O
Y
X
y = x2 + 2
2
2
O
Y
X
y = 3×2 – 12
10.72
10.71
 x  6 
4 x2  1
10.70
2
2
O
Y
X
b)
2
2
O
Y
X
a)
4  x2 si x 2
6x  15 si 2 x  4
1  x si x 3
2x  1 si x
3
10.69
Estudia la simetría de las siguientes funciones.
a) y   x2  5x  b) y   1  4x  x3  c) y  —
x 2
2

x
1 —
d) y  —
4
3

x2
x4 —
a) f(x)  (x)2  5 (x)  x2  5x  f(x) ⇒ No es par ni impar.
b) f(x)  1  4 (x)  (x)3  1  4x  x3  f(x) ⇒ No es par ni impar.
c) f(x)   (x
2
)2
(

x)
1 
 x 2


2x
1 
 f(x) ⇒ Es impar.
d) f(x)  4
3

(
(
x)
x
2
)4 
4
3

x2
x4   f(x) ⇒ Es par.
Si f (x) es una función impar y g(x) es par, ¿qué tipo de simetría tiene la composición (g  f)(x)?
(g  f)(x)  g [f(x)]  g[f(x)]  g[f(x)]  (g  f)(x). Es par.
Calcula la función recíproca de las siguientes.
a) f (x)  x2  2x b) g(x)   9x  5 
a) y  x2  2x ⇒ x   2  
2
4  4y   1  1  y ⇒ f1(x)  1  1  x; f1(x)  1  1  x
b) y  9x  5 ⇒ y  9x  5 ⇒ 9x  y  5 ⇒ x  
y 
9
5
⇒ g1(x)  
x 
9
5
Representa gráficamente las siguientes funciones e indica si están acotadas.
a) f (x)  b) g(x) 
a) b)
g (x) está acotada superiormente
por 3 e inferiormente por 1
f (x) está acotada superiormente
por 7 e inferiormente por 7
1
1
O
Y
X
1
1
O
Y
X
x2  2x si 1 x 1
3  x si 1
x 2
1 si x 2
4x  1 si 2
x < 1
3 si 1 x
5
x si 5 x
7
10.78
10.77
10.76
10.75
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
Evolución del área
En el trapecio rectángulo ABCD de la figura adjunta se verifica que:
AD  4 cm DC  14 cm BC  8 cm
Un punto x se desplaza por el segmento DC de tal forma que su distancia a D es x centímetros.
a) Escribe, en función de x, el área de la figura sombreada.
b) Halla el valor de x para que las dos zonas en las que queda dividido
el trapecio tengan la misma área.
a) Área de la zona sombreada: área AEE área AEXD
Aplicando el teorema de Tales:
A
BE
E 
 
B
A

E
E


⇒ 1
4
4 
 
B
x
E
 ⇒ B E  1
4
4
x
 
2
7
x
Área  4x  
x
7
2

b) Área de la figura 
(8 
2
4)  14
 84
4x  
x
7
2
  
8
2
4
= 42; x 2  28x  294  0; x  
28 
2
44,26

Consideramos solo la raíz positiva.
Grafos
Un grafo es una representación de una relación entre los elementos de un mismo conjunto. Observa
tres posibles grafos del conjunto {A, B, C, D}.
Un grafo se puede representar mediante una tabla de unos y ceros: un uno indica que el elemento de
esa fila está relacionado con el de esa columna, y un cero, que no lo está.
Observa la tabla correspondiente al primer grafo.
a) Escribe las tablas asociadas a los otros dos grafos.
b) ¿Cuáles de estos grafos pueden considerarse funciones?
a)
b) El tercero
A B C D
A 0 0 0 1
B 0 1 0 0
C 0 1 0 0
D 0 0 1 0
A B C D
A 0 0 0 1
B 0 0 0 1
C 1 1 1 0
D 0 1 0 0
A B C D
A 0 1 1 0
B 0 0 0 1
C 1 0 0 0
D 0 0 0 1
C
B
D
A
B
C
D
A
B
D
C
A
10.80
A
B
D C
E
X
E’
B’
A
B
D x C
10.79
A U T O E V A L U A C I Ó N
Calcula el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.
a) y  x2  4x 5 b) y  x3  2x  3 c) y  3x2 4 d) y  x2  x 6
a) D(f)  R ; R(f)  [9, ∞) c) D(f)  R ; R(f)  [2, ∞)
b) D(f)  R; R(f)  R d) D(f)  (, 2]  [3, ); R(f)  R
Estudia el crecimiento y decrecimiento de las funciones en los intervalos que se indican. Ten presente
cómo es la gráfica de cada una.
a) f (x)  5  6x en [0,5; 1] b) g(x)  x  x2 en [1,5; 1] y en [0,2; 1]
a) TV[0,5; 1]  f(1)  f(0,5)  1  2  3 0 ⇒ Es decreciente.
b) TV[1; 1,5]  f(1)  f(1,5)  0  1,05 0 ⇒ Es decreciente.
TV[1; 0,2]  f(0,2)  f(1)  0,24  0  0 ⇒ Es creciente.
Realiza las siguientes operaciones con las funciones f(x)  4x  2×2 y g(x)  3  x  x2.
a) (5f  2g)(x) b) — 3
f
g—(x) c) (f  g)(x) d) (f  4g)(x)
a) (5f  2g)(x)  20x  10×2  6  2x  2×2  8×2  22x  6
b) (f  g)(x)  12x  4×2  4×3  6×2  2×3  2×4  2×4  2×3  10×2  12x
c) 
3
f
g
(x)  
9 
4x
3

x 
2×2
3×2

d) (f  4g)(x)  4x  2×2  12  4x  4×2  6×2  12
Calcula la función recíproca de cada una de las siguientes.
a) f (x)  7x 1 b) g(x)  —
1 
2
x —
c) h(x)  6x  9 d) j (x)  x2  9
a) y  7x  1 ⇒ 7x  y  1 ⇒ x  
y 
7
1
⇒ f1(x)  
x 
7
1
b) y  1 
2
x 
⇒ (1  x) y  2 ⇒ y  xy  2 ⇒ xy  2  y ⇒ x  
y 
y
2
⇒ g1(x)  
x 
x
2
c) y  6x  9 ⇒ y2  6x  9 ⇒ 6x  y2  9 ⇒ x  
y 2 
6
9
⇒ h1(x)  
x 2 
6
9
d) y  x2  9 ⇒ x2  y  9 ⇒ x  y  9 ⇒ j1(x)  x 9
Para las funciones del ejercicio anterior, calcula:
a) (f  g)(x) b) (g  h)(x) c) (g  f)(0)
a) (f  g)(x)  f[g(x)]  f1 
2
x 
  7 1 
2
x 
1 
14
1


1
x
 x
  
1
1
3


x
x
b) (g  h)(x)  g[h(x)]  g(6x  9) 
c) (g  f)(0)  g[f(0)]  g( 1)  1 
2
(1)  1
1
 
2
6x  9

10.A5
10.A4
10.A3
10.A2
10.A1
Observa la gráfica de la función f.
a) Encuentra el dominio y el recorrido.
b) Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c) Halla sus máximos y mínimos e indica de qué tipo son.
d) ¿Qué tipo de acotación tiene?
a) D(f)  R; R(f)  [8, ∞)
b) Es creciente en (4, 2)  (0, ∞). Es decreciente en (∞, 4)  (2, 0).
c) La función tiene mínimos relativos en (4, 2) y (0, 8); un mínimo absoluto en (0, 8), y un máximo relativo en (2, 4).
d) Está acotada inferiormente.
Dibuja las siguientes funciones.
a) f (x)  24  8x  b) g(x) 
Estudia si son simétricas y, en su caso, de qué tipo son las siguientes funciones.
a) f (x)  5×3  4x b) g(x)  —
1 
x4
x2 —
a) f(x)  5(x)3  4(x)   5×3  4x  f(x). La función es impar.
b) g(x)  1
(

x
(
)
x
4
)2   1 
x4
x2  g(x). La función es par.
M U R A L D E M A T E M Á T I C A S
M A T E T I E M P O S
Nombres y apellidos
El apellido representa la familia a la que perteneces y el nombre te identifica entre sus componentes. Juan
Pérez, Jordi Castellet, Carmen Martínez, Pavel Iovanescu y Amal Kasar son algunos alumnos de una clase de
4.º de ESO. Si relacionamos el nombre de cada uno con su apellido, ¿esta relación es una función? Si cada
alumno tuviera dos nombres, ¿la relación seguiría siendo una función? ¿Y si utilizasen los dos apellidos?
Si relacionamos el nombre de cada persona con su apellido, tendremos una relación biunívoca en la que a todo nombre (elemento del
primer conjunto) le corresponda un apellido (imagen del segundo conjunto) y solo uno. Luego la relación es una función.
Si se tienen dos nombres, también será una función, ya que cada nombre tiene imagen y una sola.
Si se utilizan los dos apellidos, dejará de ser función, ya que a cada nombre le corresponderán dos apellidos (imágenes).
10.A8