Archive for matematico

PROPIEDADES MÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

Share Button


1. Determina el a´ngulo formado por las rectas r :   y s :
x  1 y  3 z  1 x  1  2t
y  1  t 1 1 2 z  2  t
2. Determina el a´ngulo formado por los planos : 2x  3y  z  6  0 y
: 2y  z  5  0.
3. Determina el a´ngulo que forma la recta r :   con el plano : 2x  y  0.
x  1 y z 10
1 1 2
4. Escribe la ecuacio´n de la recta perpendicular al plano : 2x  y  z  3 y que pasa por el punto P(1, 0, 3).
5. Halla la ecuacio´n del plano perpendicular a la recta r : y que pasa por el punto P (0, 1, 2).
x  1  t
y  2  3t z  t
6. Calcula la distancia que separa al punto P (1, 2, 3) del plano : 2x  y  z  3  0.
7. Calcula la distancia que separa al punto P (1, 0, 3) de la recta r :
x  1  t
y  2  t z  t
8. Dadas las rectas r :   y s:
x y z  1 x  1  t
y  1  2t 1 2 1 z  t
a) Demuestra que son paralelas.
b) Calcula la distancia que separa a ambas rectas.
9. Dados los planos : x  y  z 0 y
: 2x  2y  2z  3  0:
a) Demuestra que son paralelos.
b) Calcula la distancia que separa a ambos planos.
10. Dadas las rectas r :   y s :
x y z x  1  t
y  t 1 1 1 z  t r
P
s
α
β
a) Demuestra que se cruzan.
b) Escribe la ecuacio´n del plano
que contiene a s y es paralelo a r.
c) Demuestra que P (2, 2, 2) es un punto de r y calcula la distancia
que separa a P de
. ¿Co´mo sera´ esta distancia en relacio´n a la distancia
que separa a las rectas r y s?
SOLUCIONES
1. Vectores directores de r y de s:
ur  (1, 1, 2) y us  (2, 1, 1)
cos (rr, s )   
Wu · u W 1 1 r s
Wu W · Wu W 6 · 6 6 r s  
(rr, s )  arccos  80 24
1
6
2. Vectores normales de  y de
:
n  (2, 3, 1) y n
 (0, 2, 1)
cos (r,
)   
Wn · n W 7 7 

Wn W · Wn W 14 · 5 70 
  
(r,
)  arccos  33 13
7
70
3. Vector normal de : n  (2, 1, 0)
Vector director de r : ur  (1, 1, 2)
sen (r, r )   
Wn · u W 1 1  r
Wn W · Wu W 5 · 6 30  r   
(r, r )  arcsen  10 31
1
30
4. El vector normal del plano es un vector director de
la recta.
Por tanto: r :  
x  1 y z 3
2 1 1
5. El vector director de la recta es un vector normal
del plano. Por tanto:
: x  3y  z  D  0
Como P   3  2  D  0 D  1
: x  3y  z  1  0
6. Punto del plano: A (0, 0, 3)
Vector normal del plano: n  (2, 1, 1)
AP  (1, 2, 6)
d (P, )  
WA P · n W 6   6 Wn W 6  
7. Punto de la recta: Ar (1, 2, 0)
Vector director de la recta: ur  (1, 1, 1)
ArP  (0, 2, 3)
d (P, r )  
WA P · uW W1W 3 r r 
Wu W 3 3 r 
8. a) Vectores directores de r y de s:
ur  (1, 2, 1) y us  (1, 2, 1)
Al ser iguales, las rectas son paralelas o coincidentes.
Como el punto A (0, 0, 1) pertenece a r pero
no a s, se deduce que r y s son paralelas.
b) Si P (1, 1, 0) es un punto de s:
d (r, s )  d (A, s )  
WPA · u W 2 6 s 
Wu W 6 3 s 
9. a) Los vectores normales a los planos son proporcionales;
por tanto, los planos son paralelos ya
que no son coincidentes ( pasa por el origen
y
no).
b) Si O (0, 0, 0) es uno de los puntos de  y
A
un punto de
:
3
0, 0,   2
d (,
)  d (O,
)  
WA O · n W 3 3


Wn W 12 2

10. a) Ar (0, 0, 0) As (1, 0, 0)
ur  (1, 1, 1) us  (1, 1, 1)
ArAs  (1, 0, 0)
rango (ur, us)  2 y rango (ArAs, ur, us)  3
Las rectas se cruzan.
b)
(As, ur, us)  0
x  1 y z
1 1 1
1 1 1

: x  y  1  0
c)   P  r
2 2 2
1 1 1
d (P,
) 
W1W 2
12  12  02 2
d (P,
)  d (r, s )
1. Dados los planos no paralelos : Ax  By  Cz  D  0 y
: A
x  B
y  C
z  D
 0, calcula las
coordenadas de un vector de direccio´n de la recta r determinada por la interseccio´n de dichos planos.
2. a) Demuestra que la distancia que separa a los planos paralelos : Ax  By  Cz  D  0 y

: Ax  By  Cz  D
 0 se puede calcular mediante la fo´rmula: d (,
) 
WD  D
W
A2  B2  C2
b) Aplica la fo´rmula anterior para calcular la distancia entre los planos paralelos : 2x  y  z  3  0
y
: 4x  2y  2z  3  0.
3. a) Escribe las ecuaciones de la recta r de la figura sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que forma
con los ejes coordenados OX y OY a´ngulos de 60 y 45, respectivamente. ¿Existe una sola recta que verifique
estas condiciones?
b) Calcula el a´ngulo que forma dicha recta con el eje OZ.
4. Calcula las coordenadas de los ve´rtices del tria´ngulo A
B
C
que se obtiene al proyectar ortogonalmente el tria´ngulo
de ve´rtices A(1, 2, 1), B(1, 2, 2) y C(1, 2, 3) sobre el plano : 2x  y  z  4  0. Calcula las
a´reas de ambos tria´ngulos.
5. Un rayo parte del punto P(1, 0, 2) y se refleja en el plano : x  y  2. Calcula el punto donde el rayo toca
al plano sabiendo que el rayo reflejado pasa por Q(2, 2, 0).
6. a) Escribe la ecuacio´n del plano  que pasa por el punto A(1, 5, 4)
y contiene a la recta de ecuaciones:
r :
 y  z  9 z  0
b) Escribe la ecuacio´n de un plano  que pase por los puntos
P(1, 0, 1) y Q(1, 1, 0) y forme con el plano  un a´ngulo de 60.
u
w
v
α
β
O
r
60º 45º
Z
X
Y
B’
A’
C’
B
A
C
α
i r
P
Q
α
π
Q
P
60º α
1. El vector director de la recta determinada por  y

se puede calcular mediante el producto vectorial
de los vectores normales de los dos planos:
ur  n n

i j k
A B C
A
B
C

2. a) Sea P(a, b, c )   y Q(q, r, s ) 
:
d (,
)  d (P,
) 
WQP · n W

Wn W

 
WA(q  a )  B(r  b )  C(s  c )W
A2  B2  C2
 
WAq  Br  Cs  (Aa  Bb  Cc )W
A2  B2  C2

WD  D
W
A2  B2  C2
b) Los planos son : 2x  y  z  3  0
y
: 2x  y  z 0
3
2
d (,
)  
3
 3   2 3 6
4  1  1 26 4
3. a) La recta buscada es: r :   . Para que
x y z
1 a b
cumpla las condiciones indicadas:
1 W(1, a, b ) · (1, 0, 0)W
cos 60   
2 W(1, a, b )W · W(1, 0, 0)W
2 W(1, a, b ) · (0, 1, 0)W  cos 45    
2 W(1, a, b )W · W(0, 1, 0)W
1
 1  a 2  b 2 a 2  b 2  3
2 2  a a  b  1  1  a 2  b 2
a   2 , b  1
Una de las cuatro soluciones es la recta:
r :  
x y z
1 2 1
b) (r,rOZ)  arccos 
W(1, 2, 1) · (0, 0, 1)W
W(1, 2, 1)W · W(0, 0, 1)W
 arccos  60
1
2
4.
AA
: A

x 12t 8 13 5
y 2t  , ,  z 1t 6 6 6
BB
: B

x12t 1 7 7
y2t  , ,   z2t 3 3 3
CC
: C

x12t 8 19 11
y 2t  , ,  z 3t 6 6 6
S(A, B, C )  WAB ACW  W(0, 10, 0)W  5
1 1
2 2
S(A
, B
, C
)  WA
B
A
C
W 
1
2
 
1 20 10 10 56   , ,    2 6 6 6 6
5. Sea Q
el sime´trico de Q respecto del plano . La
recta que pasa por P y Q
corta al plano  en el
punto T buscado:
QQ
:
x  1  t
 y  2  t z  0
M 
3 1
 , , 0 2 2
M es el punto medio de QQ
Q
 (4, 3, 0)
PQ
: T 
x  1  3t 3 1 5
 y  3t  , ,   z  2  2t 2 2 3
6. a) Haz de planos cuya arista es la recta r :
t · (y  z  9)  s · z  0
Como el plano debe pasar por el punto A
0 · t  4s  0 s  0
: y  z  9  0
b) Recta que pasa por P y por Q:
 
x  1 y z  1  x  1 0 1 1 y  z  1
Haz de planos cuya arista es la recta PQ:
t · (x  1)  s · (y  z  1)  0
tx  sy  sz  t  s  0
cos (n, n)  
1 1 W2s W
2 2 2 · t 2  2s 2
Ya que solo se pide una solucio´n se toma por
ejemplo: 2t 2  4s 2  16s 2 t  6 · s y
entonces: : 6x  y  z  1  6  0
i T r
P
Q
Q’
M
α