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CÁLCULO DE DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

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1. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x )  b) f (x )  (2x  1) · c) f (x ) 
2x  1 sen x  cos x
2x  1 3x  1 sen x
2. Calcula la primera, segunda y tercera derivadas de la funcio´n f (x )  dando las expresiones corres-
2x
x 2  1 pondientes de la forma ma´s simple posible.
3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x )  tg
x 2  6x  5   x  3
b) f (x )  arctg
ex  x  x  e  x
4. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x ) 
x 2  1
x 2  1
b) f (x ) 
x2
e (x 1)2
5. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x ) 
x 1
1   x
b) f (x )  x x3
6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x )  arctg ex  L
e2x
1  e2x
b) f (x )  L(L2(x · L3x))
7. Deriva la funcio´n f (x )  y calcula el valor de la funcio´n derivada en x  0 y en x  1.
ex  ex
ex  ex
8. Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de la funcio´n f (x )  sen x · sen 2x.
9. Calcula las cuatro primeras derivadas de la funcio´n f (x )  .
ex
x
10. Halla la expresio´n de la derivada de orden n de la funcio´n f (x )  para a y b constantes.
1
ax  b
11. Halla la expresio´n de la derivada de orden n de la funcio´n f (x )  L (x  1).
12. Obte´n la expresio´n de la derivada de orden n de la funcio´n f (x ) 
1
x
13. El espacio, en metros, recorrido por un mo´vil en funcio´n del tiempo, en segundos, viene dado por la expresio´n:
s  0,05t 3  0,3t 2  3t
a) Halla la velocidad de mo´vil en cada instante.
b) Halla la velocidad cuando han transcurrido 5 segundos.
c) Halla la aceleracio´n cuando han transcurrido 10 segundos.
14. Los lados de un recta´ngulo crecen a razo´n de 20 y 30 centı´metros por minuto, respectivamente. Halla la
velocidad con la que crece el a´rea de dicho recta´ngulo en el momento que su lado ma´s pequen˜o mide 800 cm.
SOLUCIONES
1. a) D f (x ) 
(3x 1) · 2(2x 1) · 3 5
(3x 1)2 (3x 1)2
b) D f (x )  2  
2 · (2x  1)
2x  1 22x  1
 2   
2x 1 2(2x 1)2x 1
2x 1 2x 1 2x 1
   3
6x  3 3(2x  1) 2x  1 2x  1 2x  1 2x  1 3x  1
c) f (x )  1 
cos x
sen x
D f (x ) 
sen x · (sen x )  cos x · cos x
sen2 x
 
1
sen2 x
2. D f (x ) 
(x 2  1) · 2  2x · 2x 2x 2  2
(x 2  1)2 (x 2  1)2
D2 f (x ) 
(x 21)2 (4x )(2x 22) ·2(x 21) ·2x
(x 21)4
 
(x 21) · (4x )(2x 22) · 2 · 2x 4x 312x
(x 21)3 (x 21)3
D3f (x ) 

(x 21)3(12x 212)(4x 312x )·3(x 21)2·2x
 (x 21)6
 
(x 2  1) · (12x 2  12)  (4x 3  12x ) · 3 · 2x
(x 2  1)4

12x 4  72x 2  12
(x 2  1)4
3. a) Df (x )  ·
1 x 2  6x  13
x 2  6x  5 (x  3)2 cos2   x  3
b) Df (x )  · 
1 2ex (1  x )
ex  x 2 (ex  x)2
1   x  e  x

ex (1  x )
e2x  x 2
4. a) Df (x ) 
2x
x 2  1 (x 2  1)2 · x 2  1
b) Df (x )  · e
2x x2 (x 1)2
(x  1)3
5. a) Df (x ) 
x 1 1 1
1   L1    x x x  1
b) Df (x )  x · x 2 · (1  3 Lx ) x3
6. a) Df (x ) 
ex  1
e2x  1
b) Df (x ) 
6  2 Lx
x · Lx · L(x · L3x)
7. Df (x ) 
(ex  ex)2  (ex  ex)2 4
(ex  ex)2 (ex  ex)2
f  (0)  f  (1) 
1 4e2
4 (e2  1)2
8. Df (x )  2 sen x cos 2x  cos x sen 2x
D2f (x )  4 cos x cos 2x  5 sen x sen 2x
D3f (x )  14 sen x cos 2x  13 cos x sen 2x
9. Df (x )  ex 1 1
  2 x x
D2f (x )  ex 1 2 2
   2 3 x x x
D3f (x )  ex 1 3 6 6
    2 3 4 x x x x
D4f (x )  ex 1 4 12 24 24
     2 3 4 5 x x x x x
10. Df (x )  
a
(ax  b )2
D2f (x ) 
2a 2
(ax  b )3
D3f (x )  
6a 3
(ax  b )4
Dnf (x )  (1)n
n! · an
(ax  b)n  1
11. Df (x ) 
1
x  1
D2f (x )  
1
(x  1)2
D3f (x )  …
2
(x  1)3
Dnf (x )  (1)n  1 (n  1)!
(x  1)n
12. D f(x ) 
1
x 2
D2 f (x )  ,
2
x 3
D3 f (x )  …
6
x 4
Dn f (x )  (1)n1 n !
xn1
13. a) v  s  0,15t 2  0,6t  3
b) v (5)  3,75 m/s
c) a  v  0,3t  0,6 a (10)  2,4 m/s2
14. Los lados miden, en funcio´n del tiempo:
a  20t b 30t
El a´rea medira´: S  600t 2
La velocidad con la que crece el a´rea es:
v  S  1 200t
Cuando el lado pequen˜o mide:
a  20t  800 t  40
Por tanto:
v (40)  48 000 cm2/min  4,8 m2/min
Ht H
25 cm
1. El lado de un tetraedro crece a razo´n de 5 cm cada minuto.
a) ¿A que´ velocidad crece el a´rea de la base cuando el lado mide 25 cm?
b) ¿A que´ velocidad crece el volumen cuando el lado mide 25 cm?
2. a) Escribe una expresio´n para el logaritmo en base x de un nu´mero N, utilizando u´nicamente logaritmos
neperianos.
b) Calcula la derivada de la funci´on f (x )  logx x  1
3. Calcula la derivada de las funciones:
a) f (x )  x · x · x · x b) f (x )  sen (sen (sen (x )))
4. Las funciones f y g son continuas y derivables en todo el conjunto de los nu´meros reales. Se sabe que
f (3)  4, f
(3)  3 y que g
(4)  4. Calcula el valor de (g  f )
(3).
M
B C
F
R A 30º
5. Un ciclista recorre, partiendo del punto A, la pista de forma circular que aparece en
la figura. En el centro de la pista hay un foco luminoso F, por lo que el ciclista
proyecta, en cada instante, una sombra sobre el muro AM. Calcula la velocidad de la
sombra cuando el ciclista ha recorrido la doceava parte del circuito sabiendo que la
velocidad a la que pedalea es constante e igual a 40 km/h.
6. Una escalera de 5 m de longitud esta´ apoyada en la pared de forma que el pie de la escalera se va desplazando
aleja´ndose del muro a una razo´n de 10 cm por minuto. Calcula la velocidad a la que desciende la parte superior
A de la escalera cuando el pie B esta´ a 2 m de la pared.
7. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x ) e b) f (x )  xx x x
8. Calcula la derivada de los cinco primeros o´rdenes de la funcio´n f (x )  x · [sen (Lx )  cos (Lx )]
9. Calcula la derivada de orden n de las siguientes funciones:
a) f (x )  xm , m  n b) f (x )  x · Lx
10. La fo´rmula de Leibniz nos facilita una expresio´n para hallar la derivada de orden n de un producto de funciones
que sean n veces derivables:
Dn (f (x) · g (x ))  Cn,i · Dif (x) · Dni g (x )
ni

0
siendo Cn,i el nu´mero de combinaciones de n elementos tomados de i en i, D0f (x )  f (x) y D0g (x )  g (x ).
Aplicando la fo´rmula de Leibniz, halla la derivada de orden n de la funcio´n f (x) y xn · ex y comprueba su
validez calculando directamente las derivadas de orden n para los casos n  1, n  2 y n  3.
SOLUCIONES
1. a) La medida de cada arista es L  5t, donde L se
mide en cm y t en minutos.
La altura del tria´ngulo equila´tero de la base es:
H  
5t 2 75t 2 5t 3 (5t )2      2 4 2
El a´rea de dicho tria´ngulo es:
S 
5t3 5t · 2 25t 2 3
2 4
Cuando el lado mide 25 cm, han pasado 5 minutos.
La velocidad de crecimiento del a´rea es:
S
(5) 270,6 cm2 por minuto.
25 · 25 · 3
4
b) La altura del tetraedro es: Ht 
5t 6
3
El volumen es: V 
S · H 125t 3 2 t 
3 12
La velocidad de crecimiento del volumen es:
V
(5)  1 104,8 cm2 por minuto.
2. a) Haciendo los siguientes cambios de variable:
N  aA x  e B xC  N
LN  A
Lx  B  log N  C x
(eB)C  e BC  e A BC  A
Lx · logx N  LN logx N 
LN
Lx
b) f (x )  logx 
Lx  1 x  1 Lx
f
(x ) 
1 1
Lx ·  Lx  1 · 2x  2 x
(Lx )2
3. a) f (x )  x 16 15 x · x · x · x x 15 16
f
(x )  x  x 
15 15 15 1 15  1 
16 16
16 16 16 16x
b) f
(x )  cos (sen (sen (x )) · cos (sen (x ))) · cos x
4. Aplicando la regla de la cadena para la composicio´n
de funciones derivables:
(g  f )
(3)  g
(f (3)) · f
(3)  g
(4) · f
(3) 
 4 · (3)  12
5. Sea R el radio del cı´rculo del circuito y  el
a´ngulo recorrido en radianes.
La longitud del arco AB es  · R  40t
Por otra parte
tg  AC  R · tg   Rtg
AC 40t   R R
AC
 R· · 
40 1 40
R 40t cos2  cos2  R
En el momento en que   30  rad:

6
v  AC
  53,3 km/h
40
 cos2
6
6. El espacio, en metros, recorrido por el pie de la
escalera es: SP(t )  0,1t donde t se mide en
minutos y Sp(t ) en metros.
El espacio recorrido por el extremo que se apoya
en la pared es:
SE(t )  25  0,01t 2
v (t )s (t ) 
0,02t 0,01t

E
2250,01t 2 250,01t 2
Como:
SP(t )  2 t  20 minutos
S (20) 0,043 m/min4,3 cm/min
0,2

E
21
7. a) D f (x )  e · x · [1  Lx] xx x
b) D f (x )  ·
1  Lx x x 2 x
8. D f (x )  2 cos (Lx ), D2 f (x )  
2 sen (Lx )
x
D3 f (x ) 
2 sen (Lx )  2 cos (Lx )
x2
D4 f (x ) 
6 cos (Lx )  2 sen (Lx )
x3
D5 f (x )  
20 cos (Lx )
x4
9. a) D f (x )  mxm1, D2 f (x )  m(m  1) xm2,
D3 f (x )  m(m  1) (m  2) xm3 …,
Dn f (x )  x(m  n) m!
(m  n)!
b) D f (x )  1  Lx, D2 f (x )  ,
1
x
D3 f (x )   , D4 f (x )  …,
1 2
x 2 x 3
Dn f (x )  (1)n2 si n  2
(n  2)!
xn1
10. Dn (xn · ex )  Cn,i · Di (xn) · Dni (ex ) 
ni

0
 · n (n 1) … (n i 1)xni · ex
n n! i0 (n  i ) ! · i !
 ex xn2  … n!
n 2(n  1)2 xn  n 2xn1 
2!
n  1, D (xe x)  ex [x  1]; n  2, D (x 2ex) 
 ex [x 2  2x ], D2 (x 2 e x)  ex [x 2  4x  2];
n  3, D (x 3ex)  ex [x 3  3x 2];
D2 (x 3ex)  ex [x 3  6x 2  6x ];
D3 (x 3ex)  ex [x 3  9x 2  18x  6]