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CURVAS Y SUPERFICIES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

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1. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la recta que pasa por los puntos A (0, 2, 1) y B (1, 2, 4).
2. Escribe las ecuaciones parame´tricas del plano que pasa por los puntos A (1, 2, 3), B (1, 3, 2) y
C (1, 1, 0).
3. Halla la ecuacio´n implı´cita del plano que tiene por ecuaciones parame´tricas :
x  1  t  s
y  t  2s z  2  3t  s
4. Determina las coordenadas cil´ındricas del punto P (3, 3, 3).
5. Determina las coordenadas cartesianas de un punto P cuyas coordenadas cilı´ndricas son P (2, 30, 3).
6. Determina las coordenadas esfe´ricas del punto P (0, 1, 1).
7. Determina las coordenadas cartesianas de un punto P cuyas coordenadas esf´ericas son P (22, 270, 135).
8. Halla la ecuacio´n implı´cita de la superficie cilı´ndrica de directriz la curva C: y de generatrices
x  2 cos t
y  2 sen t paralelas al vector v  (1, 0, 1). z  2
9. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la superficie co´nica formada por todas las rectas que pasan por el
ve´rtice V (1, 0, 2) y se apoyan en la directriz C:
x  2t
y  2 sen t z  2 cos t
10. Dadas las curvas C1: y C2: , halla la ecuacio´n implı´cita de la superficie de traslacio´n
x  2 t x s
y  2  t y  s z  t 2 z  0
engendrada por C1 cuando se mueve sobre C2.
11. Escribe la ecuacio´n de la esfera cuyo centro esta´ situado en el punto C (2, 0, 3) y cuyo radio mide r  4.
12. Escribe la ecuacio´n de la esfera que tiene por dia´metro el segmento de extremos A (1, 2, 0) y B (3, 2, 4).
13. Dada la esfera de ecuacio´n x 2  y 2  z 2  2z  3  0
a) Calcula las coordenadas de su centro y la medida de su radio.
b) Calcula la ecuacio´n del plano tangente a la esfera en el punto P (0, 0, 3).
SOLUCIONES
1. Vector director de la recta: AB  (1, 0, 3)
Ecuaciones parame´tricas: r :
x  t
y  2 z  1  3t
2. Vectores directores: AB  (0, 1, 1) y AC  (2, 3, 3)
Ecuaciones parame´tricas:
x  1  2s
y  2  t  3s z  3  t  3s
3. A (1, 0, 2) es un punto del plano.
u  (1, 1, 3) y v  (1, 2, 1) son vectores de
direccio´n.
La ecuacio´n implı´cita del plano es:
 0 7x  4y z  5  0
x 1 y z2
1 1 3
1 2 1
4.
r x 2y 2 r 32(3)21223
y 3  arctg arctg  rad30
x 3 6   z z z3
P  (2 , 30, 3)

23, rad, 3 3 6
5.
x r cos  x 2 cos 303
y r sen  y 2 sen 301 z z z3
P (3, 1, 3)
6.
rx 2y 2z 2 r0212122
y 1
arctg arctg 90
x 0   x 2y 2 1
arctg
arctg 45
z 1
P (2, 90, 45)
7.
2 x  r sen
cos  x  22 · · 0  0 2
2 y  r sen
sen  y  22 · · 1  2 2   2 z  r cos
z  22 ·  2 2
P (0, 2, 2)
8. Ecuaciones parame´tricas de la superficie:
x  2 cos t  s
y  2 sen t z  2  s
sen2 t  cos2 t  1
y 2 (x  s )2
4 4
 1
y 2 (x  z  2)2
4 4
9. Ecuaciones parame´tricas de la superficie:
x  1  s (2t  1)
y  s · 2 sen t z  2  s (2 cos t  2)
x  2st  s  1
y  2s sen t z  2s cos t  2s  2
10. El punto comu´n a las dos curvas es el A (2, 2, 0).
Las ecuaciones parame´tricas de la superficie de
traslacio´n son:
x  2  t  s  2 x  s  t
y  2  t  s  2 y  s  t z  t 2  0  0 z  t 2
2t  x  y 2  x  y z 
(x  y )2
z 4
11. (x  2)2  y 2  (z  3)2  42
x 2  y 2  z 2  4x  6z  3  0
12. El centro de la esfera es el punto medio del segmento
AB: M (1, 0, 2)
El radio coincide con la distancia que separa al
centro de A: r  d (M, A)
r (1  1)2  (0  2)2  (2  0)212
(x  1)2  y 2  (z  2)2  (12)2
x 2  y 2  z 2  2x  4z  7  0
13. a)
D  02a a 0
E  02b b 0
F 22c c 1  G  3  a 2b 2c 2r 2 r  4  2
Centro: (0, 0, 1), radio: 2
b) El vector CP  (0, 0, 1) es un vector normal
al plano tangente. Por tanto, dicho plano tendra´
por ecuacio´n: z  D  0. Como debe pasar por
P 3  D  0 D  3 z  3  0
1. Dados los puntos A(1, 2, 1), B(1, 2, 1), C(3, 0, 1) y D(1, 0, 3):
a) Demuestra que no son coplanarios.
b) Escribe la ecuacio´n de la esfera que pasa por los cuatro puntos.
c) Indica las coordenadas del centro y la medida del radio de la esfera anterior.
2. Dada la esfera de ecuacio´n x 2  y 2  z 2  2x  4y  4  0 y el
plano : x  2y  2z  18  0:
a) Determina el haz de planos paralelos a .
b) Escribe las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera y que son
paralelos a .
3. Dadas las rectas r: y s: y la esfera
x  2t
y  z  7
 y  0 x  0  z  7  t
x 2  y 2  z 2  2x  6y  2z  2  0, halla las ecuaciones de los
planos tangentes a la esfera y que sean paralelos a las rectas r y s.
4. Escribe la ecuacio´n de la superficie formada por todos los puntos pertenecientes a las rectas que se apoyan en
el eje OZ y en la recta de ecuaciones r : y cuya direccio´n es perpendicular al vector
x  4  t
 y  12  3t u  (0, 0, 1). z  t
5. La circunferencia de la figura esta´ determinada por la interseccio
´n de la esfera de ecuacio´n x 2  y 2  z 2  4z  6  0 con
el plano de ecuacio´n : 2x  y  2z  13  0.
a) Calcula el centro C y el radio R de la esfera.
b) Determina las ecuaciones parame´tricas de la recta que pasa
por C y por el centro T de la circunferencia.
c) Calcula las coordenadas de T.
d) Calcula la medida del radio r de la circunferencia.
6. Consideramos la curva C:
 4y 2  z 2  4 x  0
a) Di que´ tipo de curva es e indica sus elementos ma´s importantes.
b) Escribe unas ecuaciones parame´tricas de dicha curva.
c) Escribe la ecuacio´n implı´cita de la superficie que se genera
al girar la curva alrededor del eje OZ.
α π
π’
C
r
s
π
π’
C
π
T
C
O
Z
X
Y
SOLUCIONES
1. a) AB  (0, 4, 0), AC  (2, 2, 0),
AD  (0,2, 2) rango (AB, AC, AD)  3
A, B, C y D no son coplanarios.
b) Sea x 2  y 2  z 2  Ex  Fy  Gz  H  0
Los puntos han de verificar la ecuacio´n:
E  2F  G  H  6
E  2F  G  H  6
3E  G  H  10 E  3G  H  10
E  2, F  0, G  2, H  2
x 2  y 2  z 2  2x  2z  2  0
c) Centro de la esfera:
C C(1, 0, 1)
2 0 2
 ,  ,   2 2 2
Radio de la esfera:
R  12  02  12  (2)  2
2. a) Haz de planos paralelos a :
x  2y  2z  D  0
b) Los planos buscados deben pertenecer al haz anterior
y adema´s deben verificar que la distancia
del centro de la esfera a ellos coincida con la
medida del radio.
La esfera es: (x  1)2  (y  2)2  z 2  9
Centro: C(1, 2, 0)
Radio: r  1  4  4  3
d (C, plano) 3
W1  4  DW
1  4  4
 D  12 : x  2y  2z  12  0 D  6 
: x  2y  2z  6  0
3. El vector n normal de los planos buscados debe ser
perpendicular a los vectores ur  (0, 1, 1) y
us  (2, 0, 1) de direccio´n de las rectas r y s; por
tanto, n  ur us  (1, 2, 2). Los planos
tienen por ecuacio´n x  2y  2z  D  0.
Centro de la esfera: C(1, 3, 1)
Radio: r  1  9  1  2  3
d (C, plano) 3
W1  6  2  DW
1  4  4
 D  4 : x  2y  2z  4  0 D  14 
: x  2y  2z  14  0
4. Se toma un punto gene´rico A del eje OZ y otro B
de la recta r : A(0, 0, s ), B(4  t, 12  3t, t ).
Para que el vector AB sea perpendicular al vector
u  (0, 0, 1): (t  s) · 1  0 t  s.
La superficie esta´ formada por las rectas que pasan
por A(0, 0, t ), B(4  t, 12  3t, t ):
S:
x  s (4  t )
 y  s (12  3t ) z  t
Eliminando los para´metros:
s  t  z
x y
4  t 12  3t

x y
4  z 12  3z
12x  4y  3zx  zy  0
5. a) Centro: C C(0, 0, 2)
0 0 4
 ,  ,   2 2 2
Radio: R  02  02  22  (6)  10
b) El vector normal al plano tiene la misma direccio
´n que la recta buscada. Entonces:
CT: (x  2t, y  t, z  2  2t )
c) T es la interseccio´n de CT con .
2(2t )  (t )  2(2  2t )  13  0
t  1 T (2, 1, 4)
d) Sea r el radio de la circunferencia:
(d (C, T ))2  r 2  R2
r  10((2)21222)2  109  1
6.
a) C:
z 2 y 2 1  22 x0 La curva es una elipse contenida
en el plano YOZ y de semiejes
1 y 2.
b) C:
x0
 ycos t z2sen t
c)
xcos t sen s
 ycos t cos s z2sen t
sen2 s  cos2 s  1
x 2y 2 x 2y 2
cos2t z 2
1
4
x 2  y 2 1
z 2
4