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NUMEROS RACIONALES Y POTENCIAS EJERCICIOS RESUELTOS DE PRIMERO DE SECUNDARIA PDF

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• Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan situaciones descriptibles por adición iterada.
• Multiplican y dividen potencias de base racional y exponente entero, en contextos numéricos. Relacionan el cambio de signo en el exponente con el valor inverso de una potencia.
• Conjeturan acerca de resultados y procedimientos
que dan cuenta de regularidades
numéricas presentes en determinados problemas.
• Resuelven problemas que involucran operaciones
aritméticas con enteros, decimales
y fracciones, describiendo y analizando sus
procedimientos de resolución.
• Estiman y analizan resultados en la realización
de cálculos y en la resolución de problemas
y los ajustan a sus características.
• Interpretan la información que proporciona
la calculadora.
Diferencian entre números enteros, racionales
e irracionales; los caracterizan, los expresan
en notación decimal y señalan su ubicación
relativa en una recta numérica.
• Conocen algunos antecedentes históricos de
números irracionales.
• Transforman números racionales en su forma
decimal a su forma fraccionaria y viceversa.
Actividades orientadas al
aprendizaje de algoritmos
o procedimientos rutinarios,
así como la aplicación de leyes
y principios.
Actividades orientadas a la
resolución de problemas y
pensamiento lógico.
Desarrollo de actitudes de
rigor y perseverancia
Las capacidades de recibir y
aceptar consejos y críticas.
Interés y capacidad de conocer
la realidad.
Esta unidad retoma conceptos acerca de los números enteros, fraccionarios y decimales y plantea
fundamentalmente una profundización; se propone un trabajo que tiene como columna vertebral
la resolución de problemas. Esta se orienta hacia el conocimiento de características y propiedades
de los números racionales e irracionales, de la presencia de regularidades o patrones numéricos
en la realidad y la forma en que las potencias facilitan la descripción de situaciones numéricas
relativas a crecimientos o decrecimientos.
Objetivos fundamentales
verticales
- Comprender que los números
racionales constituyen un conjunto
numérico en el que es posible
resolver problemas que no
tienen solución con los números
naturales y enteros, y caracterizarlos
como aquellos que pueden
expresarse como un cuociente
de dos números enteros
con divisor distinto de cero.
- Representar números racionales
en la recta numérica,
aproximar números racionales,
aplicar adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones de
números racionales en situaciones
diversas y reconocer algunas
propiedades
- Caracterización de los números
racionales y de los tipos de problemas
que permiten resolver.
- Representación de los números
racionales en la recta numérica y
establecimiento de algunas propiedades
de los números racionales
y de las operaciones, tales
como: entre dos números racionales
siempre existe por lo menos
un número racional; la suma, la
diferencia, el producto y el cuociente
de dos números racionales
es siempre un número racional.
- Transformación de números decimales
infinitos periódicos y semiperiódicos
a fracción.
- Sistematización de procedimientos
de cálculo escrito y con ayuda
de herramientas tecnológicas de
adiciones, sustracciones, multiplicaciones
y divisiones con números
racionales y su aplicación en la resolución
de problemas.
- Aproximación de racionales a través
del redondeo y truncamiento,
y el reconocimiento de las limitaciones
de la calculadora para
aproximar decimales.
- Interpretación y cálculo de potencias
de base racional y exponente
entero. Determinación y aplicación
de propiedades.
- Resolución de problemas en contextos
diversos que involucran números
racionales o potencias de
base racional y exponente entero,
enfatizando el análisis crítico de
los procedimientos de resolución y
de los resultados obtenidos.
El desarrollo de esta unidad, lo mismo que las actividades propuestas, tiene la meta de que el estudiante
descubra estrategias, analice y compare resultados propios o entre los de sus compañeros y
compañeras, para luego argumentar respecto de la elección de una estrategia o resultado. Es importante
destacar las actividades tendientes a mostrar la Matemática como un modelo de la realidad y
diferenciarla de ésta.
Muchas actividades son preguntas abiertas, del tipo, ¿es cierto que…?, de modo que necesariamente
los estudiantes tendrán que investigar entre los ejemplos que poseen, para hacer una conjetura de la
respuesta y luego dar un argumento que permita asegurar que sus afirmaciones son ciertas. Se sugiere
en esos casos darles tiempo para reflexionar, y permitir la discusión en la sala de clases. Si después de un
tiempo prudente no se vislumbra una respuesta, el profesor debiera darles algunas pistas que encaminen
a la respuesta, por ejemplo: piensen en tal o cual caso, o qué pasaría si fuese falso. Es importante
estar muy pendiente a los argumentos incorrectos, por ejemplo, conclusiones generales deducidas de
casos particulares.
Ejemplos de actividades.
• La Matemática sólo es un modelo de la realidad.
En la actividad de los computadores infectados se propone un modelo exponencial para explicar la
propagación de un virus. Una de las preguntas al respecto es:
Explica por qué este modelo de propagación es real para valores pequeños de n, pero no
se ajusta demasiado a la realidad, para grandes valores de n.
Estas preguntas se refieren a que la propagación exponencial es un buen modelo para tiempos
cortos, pero en el largo plazo no puede serlo. Por ejemplo, si tenemos un cultivo bacteriológico que
se duplica cada 1 hora, si continúa este crecimiento tarde o temprano llenará todo el planeta y el
sistema solar completos; y esto es bastante poco probable. Se sugiere pedir un informe explicando
por qué el modelo exponencial no puede modelar el crecimiento de la población enferma debido
a una epidemia.
• Conjetura y argumenta.
Existen varios problemas que requieren conjeturar y luego argumentar, por ejemplo:
¿Cuál es la cifra de las unidades de 624?
Muchos estudiantes intentarán calcular esa potencia. Calcularán 62, 63, y así sucesivamente, pero
pronto se sentirán frustrados o aburridos sólo de pensar que les tomará demasiado trabajo llegar al
resultado. Si esto ocurre, y los estudiantes no notan una generalidad, preguntarles:
En las primeras potencias de 6, ¿cuál es la cifra de las unidades?
Si la respuesta es 6 preguntar: ¿será cierto siempre?
Un argumento podría ser: si se multiplica 6 por un número cuya cifra de las unidades es 6, el resultado
también tendrá en el lugar de las unidades un 6.
Como 6⋅6 = 36 , y por el argumento anterior, se cumple siempre que, cualquier potencia natural
de 6 tiene en el lugar de las unidades al 6.
Si un estudiante utilizó la calculadora y responde que la cifra de las unidades es 6, pues de hecho
el número es 4 738 381 338 321 616 896.
Pedirle ahora que calcule 6123 ; en este caso la calculadora falla, entonces hacer las mismas preguntas
que en el caso anterior.
El mismo desarrollo es válido para la pregunta, ¿cuál es la cifra de las unidades de 5100? De hecho,
todas las potencias de 5 tienen en el lugar de las unidades a 5.
La pregunta: ¿cuál es la cifra de las unidades de 284? es más interesante que las anteriores, debido
a que las potencias de 2, tienen distintas cifras en el lugar de las unidades. De hecho, en
el lugar de las unidades, pueden estar 2, 4, 6, y 8. Una forma de conjeturar es la siguiente:
Las cifras de las unidades de las potencias de 2 se repiten en ciclos, y el ciclo es 2, 4, 8, 6.
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16
25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256
Por lo tanto, si 2 es elevado a una potencia que es múltiplo de 4, el resultado tendrá en el lugar de
las unidades el 6. Por lo tanto, 284 = 24⋅21 tiene a 6 en el lugar de las unidades. Luego habría que
probar que esta conjetura sea cierta.
Otra estrategia que un estudiante puede utilizar es la siguiente: 284 es multiplicar 2 por sí mismo
84 veces, es decir:
284 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅… ⋅2

Pero si juntamos cuatro de esos productos, resulta 24 = 16, por lo tanto:
284 = 16⋅16⋅16⋅16⋅16⋅16⋅… ⋅16
Varias actividades se pueden realizar al respecto. Por ejemplo: con una tabla que tenga la medida
en metros de diferentes distancias, la distancia de la Tierra a la Luna, la distancia de la Tierra a los
otros planetas, la distancia de la Tierra al Sol, la distancia a la galaxia más cercana, la altura a la que
vuela un avión comercial, la altura a la que puede volar un helicóptero, etc. La tabla puede estar en
diferentes unidades (kilómetros, años luz, etc.). Pedirle al estudiante, cuál de las vistas mostradas
corresponde a las distancias de la tabla, así por ejemplo, la imagen que muestra la Tierra desde una
distancia de 107 m, ¿corresponde a la imagen tomada desde un avión?, ¿desde un satélite? o ¿es
una imagen tomada desde la Luna?
Pero como vimos antes, si un número terminado en 6 se multiplica por otro terminado en 6 el resultado
también termina en 6. Por lo tanto, la cifra de las unidades de 284 es 6.
En el caso de que aparezca más de una estrategia, compararlas y encontrar ventajas y deficiencias
a cada una de ellas. Decidir en cuáles casos una estrategia es más conveniente que otra. Siempre
dejando que cada estudiante, personalmente, elija la que más le acomode. Se sugiere que en grupos
entreguen una hoja destacando una estrategia sobre las otras y argumentando el por qué de
la elección.
ERRORES FRECUENTES
• La suma de dos números irracionales es un número irracional.
Por lo general, los estudiantes creen que la suma de dos números irracionales es un número irracional.
La verdad es que esa afirmación no es cierta en general, en algunos casos es cierto y en
otros no lo es.
Mostraremos un ejemplo, que evidencia que la afirmación es falsa. Se demostró en el texto del estudiante
que 2 es un número irracional. Demostremos que 2− 2 también es un número irracional.
De hecho, si no lo fuera, sería racional. Supongamos que r = 2− 2 es racional, entonces:
2− r = 2
Pero como la resta de números racionales es racional, implicaría que 2 es racional, lo cual es una
contradicción. Por lo tanto, 2− 2 es irracional.
Ahora si consideramos los números irracionales: x = 2 e y = 2− 2 , se tiene que su suma es 2, un
número racional. Entonces, es falso que la suma de dos números irracionales es irracional.
• El producto de dos números irracionales es irracional.
Esta afirmación también es falsa, y el error, igual que en el caso anterior, se debe a dos cosas:
Primero: en todos los conjuntos numéricos que conocen, si satisfacen estas dos propiedades, es
decir, para ,, y ahora  , se cumple que la suma y el producto de cualquier par de elementos
de esos conjuntos pertenece al conjunto. Por lo tanto, creen que todos los conjuntos debieran
cumplirla.
Segundo: pertenece a los estudiantes, sólo prueban unos casos particulares, y si la propiedad es
cierta en esos casos particulares, infieren que la propiedad es cierta en todos los casos. Por ejemplo:
2 + 3 y 2 ⋅ 3 corresponden a números irracionales, que son la suma y el producto de dos
números irracionales.
Por esta razón, es muy importante, que los estudiantes no infieran nada a partir de casos particulares,
respecto al caso general. Sin embargo, la estrategia de utilizar casos particulares para
conjeturar el caso general es siempre una muy buena idea, pero sin perder de vista que luego se
necesita una demostración.
Un ejemplo de que el producto de dos números irracionales puede ser racional es el siguiente:
Sea a = 2 y b = 8 , ambos son números irracionales.
Sin embargo,
ab = 16 = 4 ∈
Luego, el producto de dos números irracionales puede ser racional.
Este error es muy común, de hecho existen libros de matemáticas que lo fomentan. Por ejemplo, si
en una calculadora se encuentra el número
0,0057803468208092485549132947976879
no podemos decir si el que la estaba usando, hizo un cálculo que da como resultado un número
racional o no; de hecho, este número son los primeros 34 decimales del número racional
1
173
. Más
aún, no es un problema fácil decidir cuán largo es el periodo de ese número.
• La potencia de un número irracional es irracional.
Este es un caso particular del error “el producto de dos números irracionales, es un número irracional”.
Un ejemplo de que la afirmación es falsa, es el siguiente: a = 2 ; sin embargo, a2 = 2∈ .
ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN
Si las actividades del texto del estudiante, resultan de fácil acceso a los estudiantes de su curso, invite a
dar argumentos de sus conclusiones, pues el texto está diseñado para cubrir diferentes ritmos de aprendizaje
del alumnado y existen preguntas profundas, que requieren un pensamiento claro y ordenado,
que no todos los estudiantes logran a esta edad.
Si aún así, sus estudiantes sobrepasan en un tiempo corto estos temas, siempre existen actividades
que permiten ampliar los conocimientos de esta unidad. A continuación presentamos unos ejemplos:
1. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua; 90 L son de alcohol y 10 L son de agua. Cada 10
minutos se sacan 10 L de mezcla e inmediatamente se rellena con 10 litros de una mezcla de 50%
de agua y 50% de alcohol. ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de una hora? ¿Cuánto alcohol
tendrá el tanque después de 10 n minutos? ¿Qué pasará en el largo plazo?
Este problema generaliza el Problema Resuelto del texto del estudiante, con la diferencia que ahora
al tanque entra una cantidad significativa de soluto, en cambio en el caso del texto, no entraba al
tanque soluto. La coincidencia de estos problemas está en que el volumen del tanque se mantiene
constante. La idea del problema es que el estudiante descubra una generalidad utilizando potencias
y así valorar la notación de potencias que le permite resumir grandes multiplicaciones.
Un asunto más interesante, pero más difícil, es crear otro problema similar donde el volumen del
tanque no se mantenga constante. Por ejemplo:
2. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua: 90 L son de alcohol y 10 L de agua. Cada
10 minutos se sacan 10 L de la mezcla e inmediatamente se rellena con 8 litros de una mezcla de
50% de agua y 50% de alcohol. ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de una hora? ¿Cuánto
alcohol tendrá el tanque después de 10 n minutos? ¿Qué pasará en el largo plazo? ¿Qué parte de
alcohol tendrá la última muestra de mezcla en el tanque?
3. ¿Es 3 racional?
La idea de esto es repetir la demostración que se hizo para probar que 2 es irracional. Para ello
basta tener en cuenta que si a2 es múltiplo de 3, entonces a lo es, así la demostración resulta
idéntica a la mostrada en el texto del estudiante.
4. Imagina que das un paso de un metro, luego das un paso la mitad del largo del anterior, luego das
un paso la mitad del anterior y así sucesivamente, das pasos del largo de la mitad del paso anterior.
¿Es cierto que a lo más recorrerás una distancia de dos metros?
Se espera que un estudiante avanzado, encuentre una regularidad para la suma
1
1
2
1
2
1
2
1
2 3 2 + + + + … +
n
el valor de esa suma es 2
1
2
− n
. Si el estudiante no logra responder la pregunta, puede darle el
valor de la suma para valores pequeños de n. Si aún así no conjetura la solución pueden invitarlo
a investigar en la bibliografía.
En el caso de que el alumno o alumna se sienta demasiado demandado por las actividades del texto
del estudiante, se sugiere investigar a qué se debe este abrumamiento. Es posible que el estudiante
no se sienta cómodo con los conocimientos previos a la unidad; en ese caso se sugiere hacer actividades
de cálculo numérico relativos a operaciones con números racionales y propiedades de las
potencias. Si es difícil seguir algunas actividades del texto, a continuación mostramos unos ejemplos
que permiten acercarse a esas actividades.
1. Si los problemas relativos a procesos iterados, como el de la amigdalitis de Antonia resulta
agobiante para algunos estudiantes, se sugiere introducir el siguiente problema a modo de acercamiento:
Tu papá se sirve un café en la mañana, que tiene una cucharada de café en polvo. Se toma
la mitad y se va corriendo al trabajo. A tu mamá no le gusta tan cargado como a tu papá,
y rellena la taza con agua caliente, y se toma la mitad. ¿Qué parte de la cucharada inicial
de café tomó tu mamá?
Motivar al estudiante a preguntarse, ¿qué parte de la cucharada inicial tomó el papá? Luego, si la
taza contiene sólo la mitad del café inicial, cuando lo tomó la mamá, y se tomó la mitad de lo que
había, ¿qué parte del café inicial tomó la mamá? Luego invitar al estudiante a resolver el problema
de Antonia. Si la incursión da resultados negativos, seguir intentando con el problema del café,
agregando personas a la historia. Por ejemplo, “después vino tu hermano y rellenó la taza con
agua y se tomó la mitad”, ¿qué parte del café inicial se tomó tu hermano? y repetir el proceso.
Puede intentarse también, cambiando las fracciones de pérdida de mezcla; puede suponer que el
papá se tomó 2/3 de la taza, y luego la mamá tomó 2/3 de lo que quedaba y así sucesivamente,
hasta obtener, que el estudiante logre descubrir la recurrencia en potencias.
MODELOS DIDÁCTICOS
A continuación se darán ejemplos concretos y actividades que ayudarán a que los alumnos
y alumnas logren los aprendizajes esperados en esta primera unidad.
• Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan con situaciones
descriptibles por adición iterada.
El siguiente problema propuesto en las actividades para aplicar, en el tópico de potencias
dice:
El padre de Yael, le presenta dos alternativas para juntarle su dinero quincenal: la primera
consiste en abonarle $1 000 cada día. La segunda en que el primer día le abona un
peso, el segundo día dos pesos, el tercer día el doble del anterior, y así sucesivamente,
cada día duplica la cantidad del día anterior. ¿Cuál propuesta le conviene más a Yael?
Para calcular la cantidad de dinero, utilizando la primera propuesta, es necesario resolver
una adición iterada, de hecho quince veces mil; en cambio; si utilizamos la segunda
propuesta el ritmo de crecimiento es muy rápido y lo describe la potencia 2k. En este
problema los alumnos, al principio, creerán que la primera propuesta es más conveniente
por la cantidad de dinero con la que se inicia, que es bastante superior que en la
segunda propuesta, pero después van a comparar las cantidades y verán que la primera
propuesta el crecimiento es constante día a día, en cambio, en la segunda propuesta, el
crecimiento se va duplicando.
• Estiman y analizan resultados en la realización de cálculos y en la resolución de
problemas y los ajustan a sus características.
El siguiente problema corresponde al tema de aproximaciones tratado en la unidad.
Supón que Ramón midió mal. La cancha mide realmente 25,1 m de ancho y 59,9 m de
largo, ¿el área real es distinta o igual que si la hubiésemos calculado con los datos de
Ramón? ¿Cuán diferentes? ¿Nos hubiésemos pasado o quedado cortos?
Según Ramón las medidas iniciales eran de 25 m y 60 m. Notar que en una medida se
equivocó por exceso y en otra por defecto, lo cual puede llevar a pensar a los estudiantes,
que el área se mantiene igual. Por lo tanto, es importante invitar a los estudiantes
a hacer los cálculos y comprobar sus conjeturas.
• Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades
numéricas presentes en determinados problemas.
El siguiente problema se encuentra en las actividades tratadas en el tema de regularidades
numéricas de la unidad:
1+ 2 = 22 −1, 1+ 2+ 22 = 23 −1, 1+ 2+ 22 + 23 = 24 −1, 1+ 2+ 22 + 23 + 24 = 25 −1
Conjetura cuál es el valor de 1+ 2+ 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 . ¿Cómo crees que
será el caso general?
Es importante que se explicite que una conjetura es muy distinta a una demostración. Que sólo
con conjeturar y comprobar que una generalidad se satisface en algunos casos particulares no es
posible decir que nuestra conjetura es cierta.
• Diferencian entre números enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan
en notación decimal y señalan su ubicación en la recta numérica.
1. Considera los números racionales
1
3
y
1
4
·
a) Ubica los números en la recta numérica.
b) Encuentra el punto medio M entre esos números. ¿Es un número racional?
c) Encuentra el punto medio entre 1
3
y M y el punto medio entre M y
1
4
. ¿Son esos puntos
números racionales?
En este problema se pide que encuentre números racionales cumpliendo cierto orden y discrimine
si estos números son o no racionales. Además, la actividad apunta a descubrir la propiedad que
entre dos números racionales, existen infinitos números racionales.
2. ¿Es 2+ 2 racional? ¿Es 2 ⋅ 2 racional?
En este problema se desea analizar y generalizar, si producto de dos irracionales es irracional, y si
la suma de un número racional con un irracional resulta irracional.
3. Ordena los siguientes números de menor a mayor: 1 2 0 2 3 1
2
, , , , , . Ordenar números
reales puede ser una tarea difícil para el estudiante, por ello se sugiere apoyar esta actividad
muy fuertemente y sobretodo evaluar y corregir los argumentos.
• Interpretan la información que proporciona la calculadora.
Después de que Juan realizó una serie de cálculos, le apareció el siguiente resultado en la calculadora:
0,063583815028901734104046242774566.
¿Qué dirías tú acerca de este número? ¿Es racional o irracional? En ese momento se acerca el
hermano de Juan y le pregunta en qué ocupa ese número irracional que aparece en la calculadora,
pero Juan le comenta que es el racional
11
173
con sólo 33 decimales. Con esto el hermano de Juan
se percató que utilizando la calculadora es imposible verificar si un número es irracional o no, ya
que el periodo de un número, en caso de que lo tenga, puede aparecer muy tarde y la calculadora
no lo mostrará. Así ambos se preguntaron, ¿después de cuántos decimales aparece el periodo de
11
173
? ¿Podrías ayudarlos a resolver su problema?
El objetivo de esta actividad es que el estudiante se convenza de que con la calculadora no puede
decidir si un número es irracional o no, de hecho la calculadora solo trabaja con aproximaciones racionales.
La actividad considera un número racional de un periodo bastante largo, para que no crea
que se trata solo de lo acotado del número de decimales de nuestra calculadora en particular.
mis conocimientos previos
Repaso
Los números naturales corresponden al
conjunto  = {1, 2, 3, 4, …}
Los números cardinales corresponden al
conjunto = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Los números enteros corresponden al
conjunto = {…−2, −1, 0, 1, 2,…}.
El valor absoluto de un número a es la
distancia que existe entre dicho número y
el 0. Se define como: a = {
a, si a 0
–a, si a< 0
Para comparar números enteros
negativos, será mayor aquel número que
esté más cerca del 0. Al comparar un
número positivo y un número negativo,
siempre será mayor el número positivo.
El orden de los números positivos
sigue las mismas relaciones que en los
números naturales.
Para representar números enteros
en la recta numérica debes ordenarlos
de menor a mayor y ubicarlos según
la posición en que se encuentre el
número 0.
Caracterizar números enteros
1 Identifica si los siguientes números o resultados son enteros. Si lo son, calcula
su valor absoluto.
a. −3
b. 5
c. 25
5
d. −2 −1
e. −(5 + 3)
f. −2
g. 3 • 5
h. −2 • 10
Ordenar y comparar números enteros
2 Compara y escribe >, < o = según corresponda.
a. −2 −3
b. −10 1
c. −82 −83
d. 0 −4500
e. 3500 0
f. −8000 −500
g. 103 − (−103)
h. 81
–9
−8
i. 5
5
−1
3 Compara los siguientes números y ordénalos de menor a mayor.
a. −2, −6, 100, −10, 5, 0
b. –[–(99)],−99, 100, −100, 101, −(101)
c. –3
–3
, 5, −5, −22, −23, |8|, 8
2
Representar números enteros
4 Representa los números en la recta numérica.
a. −12, 1, −6, −10, 2.
0
b. −9, −18, 3, −21, −12.
−24 0
Repaso
1 2 3 4
La prioridad de las operaciones es la
siguiente:
1° Paréntesis
2° Potencias
3° Multiplicación y/o división de izquierda
a derecha.
4° Adición y/o sustracción de izquierda
a derecha.
Para multiplicar o dividir números
enteros la regla de los signos es:
+ • + = +
− • − = +
+ • − = −
− • + = −
Una potencia se define de la siguiente
manera:
an = a• a• ... • a con n ∈ .
n veces
Para resolver problemas que involucren
potencias puedes utilizar sus
propiedades.
• Sean m y n números naturales y
a  0, entonces se cumple que:
(an)m = an • m
am • an = am + n
am ÷ an = am − n
• Si a ∈  y m ∈ entonces:
(−a)m = am cuando m es par.
(−a)m = −am cuando m es impar.
Operar con números enteros
5 Calcula las operaciones.
a. 7 − [5 − 4 • (3 − 2) +1]
b. 25 + 2 • [3 − (−9)]÷ (−2)
c. − {(−2) + (−9) • 5 − 80 ÷ (−4) − (2 − 3)}
d. (−1) • {(−1) + 1 − 1+ [(−1) − 1 + 1 • ((−1) ÷ 1)] + 1}
Calcular potencias de base entera y exponente natural
6 Calcula las siguientes potencias.
a. –5 3 ( )
b. –6 2 ( )
c. −16
d. 10000
e. 36
3
2 
 
 
f. –4 4 −( )
Calcular potencias utilizando sus propiedades
7 Aplica las propiedades de las potencias.
a. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
–1 • –5 • –1
–5 • –1 • –5
2 13 10
8 9 2
b. 12 • 36 •
4
12
2 •9 • 6
7
2
7 2
c. 3 • –2 • 3 • –2
3 • –2
10 3 2 4
15 5
( ) ( )
( )
d. 3 5 8 0 ((( ) ) )
e. { } ( ) 

–2 2 2 2
f. 2 •5 •25
5 •– 2
2 6
2 32
3
( )
Resolver problemas que involucran números enteros y potencias
8 Resuelve los problemas.
a. En mi cuenta corriente tengo un saldo a favor de $25 000. Si me cobran un
cheque de $60 700, ¿qué saldo quedará en mi cuenta?
b. Un submarino desciende 3000 m desde la superficie del mar, pero su tripulación
es alertada de un peligro, y asciende rápidamente 1560 m. Luego de que
la alerta fuera levantada, desciende nuevamente 650 m. ¿A qué profundidad
se encuentra el submarino?
c. Un comerciante guarda 20 dulces en cada bolsa, 20 bolsas en cada caja y
20 cajas en cada cajón. ¿Cuántos dulces se guardarán en dos cajones?
Lección
Taller
Reúnanse en grupos de tres estudiantes, resuelvan las siguientes ecuaciones y
completen la tabla.
Ecuación Solución ¿Es un número entero?
a) 2x + 8 = 7 x = –1
2
No
b) 3x = 7
c)
x
20
=2
d) 4x + 16 = 2
e) 16 x = −48
f) 7x + 3 = 5
§ Si cada una de estas ecuaciones representara un problema, ¿tendrían todas solución
en los números enteros? ¿Qué tipo de números obtuviste como solución?
§ ¿Qué puedes concluir acerca de la necesidad de ampliar el ámbito numérico que ya
conoces?
Razonen
y comenten
¿Qué problemas no tienen solución en los números
enteros, pero sí en los números racionales?
• Si la solución de una ecuación fuese −0,1, ¿a qué conjunto numérico correspondería este
número?
Existen ecuaciones y problemas que no tienen solución en los números enteros,
pero sí en los números racionales, en este conjunto están contenidos los números
enteros positivos, negativos, fracciones y decimales positivos, y además las fracciones
y decimales negativos.
Palabras clave
Ü Números racionales.
En resumen
El conjunto de los números racionales  está compuesto
por todos los números que se pueden escribir como una
fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero), son
números enteros.
a
b
, a y b ; b 0    



=  

 
: Números naturales
: Números enteros
: Números racionales
Relaciona
§ ¿Cómo podrías escribir un
número entero como fracción?
Da un ejemplo.
§ ¿Conoces números decimales
que se pueden escribir
como fracción? ¿Cuáles?
Da un ejemplo.
Repasa
§ Un problema o ecuación
tiene solución en los números
enteros siempre y cuando se
obtenga una cantidad entera
positiva o negativa o bien el
cero. Por ejemplo:
§ 2x + 8 = 4 → x = −2
1
Practica
1 2 3 4
Repaso
1. Identifica cuál de los siguientes números corresponden
a un número entero.
a) 3
b) −2
c) 0,4
d) 0
e)
4
2
f) 0,3
g)
1
3
h) 1
2
7
i) 1,537
2. Resuelve los siguientes problemas con números
enteros.
a) Un día la temperatura, a las 4:00 horas, era de
3 grados bajo cero y a las 15:00 horas de 4 °C.
¿Cuál fue la variación de temperatura?
b) Jaime quiere comprar un teléfono de $25 000,
pero el saldo de su cuenta es de −$9000. Si ese
día realiza un trabajo y gana $18 000, ¿cuánto
dinero le faltaría para comprar el teléfono?
Práctica guiada
3. Resuelve los siguientes problemas planteando
la ecuación y determinando si la solución es un
número entero o no lo es.
a) Jaime leyó los 3
5
de un libro. Si este tiene
125 páginas en total, ¿cuántas páginas no ha
leído aún?
b) Bernardita compró un computador en $200 000
que corresponden a un tercio del dinero que
tenía ahorrado. Luego realiza un trabajo y recibe
la novena parte del dinero que tenía ahorrado.
¿Cuánto dinero ganó por el trabajo?
c) Martín comió un postre y dejó un octavo de él. Si
pesaba 100 gramos, ¿cuántos gramos del postre
comió Martín?
4. Identifica si los siguientes números se pueden
escribir como fracción. De ser así, exprésalos como
en el ejemplo.
a) 18
b) 1,4
c) 6,59
d) 28,0
e) 5,64567
f) ¿Cuáles de los números anteriores son racionales?
Aplico
5. Identifica si los siguientes problemas tienen solución
en los números enteros o solo en los números
racionales.
a) Para rodear un cono se necesitan 100 cm de
cinta y esta se debe cortar en tres trozos de
igual longitud. ¿Cuál es la medida de cada trozo
de cinta?
b) Jaime donará la cuarta parte de sus ahorros a una
fundación y además, su amiga se sumará aportando
$10 000. Si el monto total de la donación
es de $48 000, ¿cuánto dinero aportó Jaime?
6. Conecta. Marta dice que los números naturales
son un subconjunto de los números racionales,
¿es cierto lo que dice Marta?
7. Describe el procedimiento. Explica cómo expresar
un número decimal finito en fracción.
8. Argumenta. ¿Es posible hacer una representación
gráfica del número –
3
5
? Justifica tu respuesta.
Integro Refuerzo
1. Escribe dos ejemplos de números racionales.
2. Escribe dos ecuaciones: una que tenga solución en los
enteros y otra en los racionales no enteros.
3. Escribe dos problemas: uno que tenga solución en los
enteros y otro en los racionales no enteros.
§ ¿Eres capaz de reconocer problemas que no tienen
solución en los enteros, pero sí en los racionales?
§ ¿Por qué piensas que son importantes los números
racionales? Ejemplifica con dos situaciones.
Lección Tres amigos comparten una pizza
de manera equitativa. El primero dice
que le corresponden 0,3 partes de la
pizza; el segundo dice que le corresponde
1
3
de esta; el tercero dice que
ambos están en lo correcto. ¿Es cierto
lo que afirma el tercer amigo?
Si es cierto lo que afirma el tercer
amigo, habría que verificar que:
0,3
1
3
= .
Luego:
Paso 1 Sea x = 0,33…
Paso 2 Al multiplicar por 10 a ambos lados de la igualdad, se tiene:
10 • x = 3,33…
Paso 3 Al restar los valores obtenidos en el paso 2 y en el paso 1, se tiene que:
10x − x = 3,33...− 0,33...  9x = 3 / •  =  =  =
1
9
9 •
1
9
x 3•
1
9
x
3
9
x
1
3
Entonces, el tercer amigo sí estaba en lo correcto. Por lo tanto, los números decimales
finitos e infinitos periódicos son números racionales, ya que pueden ser expresados
como fracción.
¿Y los números decimales semiperiódicos, son números racionales?
Si no se comieron 0,16 partes de la pizza, ¿qué fracción de la pizza sobró?
Observa los pasos para transformar el número decimal semiperiódico a fracción:
Paso 1 Sea x = 0,1666…
Paso 2 Al multiplicar por 10 a ambos lados de la igualdad, se tiene:
10x = 1,666…
Paso 3 Al multiplicar por 100 a ambos lados de la igualdad, se tiene:
100x = 16,66…
Palabras clave
Ü Números decimales periódicos
y semiperiódicos.
Los números decimales periódicos y
semiperiódicos, ¿son números racionales?
• Toda fracción puede escribirse como número decimal. ¿Se puede escribir cualquier número
Repasa decimal como fracción?
Existen números decimales:
§ Finitos: en los cuales su parte
decimal tiene un número finito de
cifras decimales. Ejemplo: 7,56.
§ Infinitos periódicos: en los
cuales una o más cifras de la
parte decimal (llamado periodo)
se repite. Ejemplos:
En 3,1 la cifra 1 es el periodo.
§ Infinitos semiperiódicos: en
los cuales no todas las cifras de
la parte decimal se repiten. La
parte decimal que no se repite
se llama al anteperiodo, y la
parte decimal que se repite corresponde
al periodo. Ejemplo:
En 5,25 la cifra 5 es el periodo y
la cifra 2 el anteperiodo.
Relaciona
§ ¿Por qué en el paso 2 la ecuación
se multiplicó por 10?
§ ¿Por cuánto se debería
multiplicar si la ecuación fuese
x = 0,272727…?
§ En la situación inicial, ¿qué
tipo de representación es más
adecuada para interpretar lo
que le corresponde a cada
amigo? ¿Por qué?
2
1 2 3 4
Practica
1. Representa las fracciones como un número decimal
y clasifícalo en finito, periódico o semiperiódico.
a)
7
11
b)
5
99
c)
4
45
d) –
8
3
e) –
1
225
f) 2
6
9
g) 7
2
3
h)
25
4
Práctica guiada
2. Transforma cada número decimal finito
en fracción.
a) 0, 515
b) 7, 11
c) 6, 01
d) 33, 96
e) 20, 999
f) 29, 2
g) −134, 67
h) − 800, 231
§ ¿Todos los números decimales infinitos pueden ser representados como fracción? ¿Por qué?
§ Observa el decimal: 0,1010010001… Si se mantiene el patrón de aumentar cada vez la
cantidad de ceros en la parte decimal, este número infinito, ¿se podrá expresar como
fracción? ¿Por qué?
§ Los números infinitos que no se consideran periódicos ni semiperiódicos ¿son números
racionales? ¿Por qué?
Razona
y comenta
En resumen
Dentro de los números racionales existen números decimales finitos e infinitos. Los
números decimales infinitos pueden ser periódicos o semiperiódicos. Los números
decimales infinitos que no sean periódicos ni semiperiódicos pertenecen a otro conjunto
numérico, denominado conjunto de los números irracionales.
3. Transforma cada número decimal periódico en
fracción de acuerdo a la justificación revisada en la
lección.
a) 5,21
b) 0,5
c) 0,09
d) 4,13
e) 2,153
f) 0, 47
g) −1,001
h) − 320,8
4. Transforma cada número decimal semiperiódico
en fracción de acuerdo a la justificación revisada
en la lección.
a) 1,57
B 23, 456
c) 1,2472
d) 0,376
e) 31, 47
f) 4,25
g) 102,07
h) −10,3602
Repaso
Observa
§ Al transformar un número
decimal periódico o semiperiódico
negativo a fracción
se realiza el procedimiento
considerando el valor absoluto
del número decimal.
Links
Para profundizar en la caracterización
de los números racionales
visita:

http://www.educando.edu.do/

articulos/estudiante/nmero-racional/
Paso 4 Al restar los valores que se tienen en el paso 3 y en el paso 2 se tiene que:
− = −  =  =  =
 =
100x 10x 16, 66... 1, 666... 90x 15/ •
1
90
90•
1
90
x 15•
1
90
x
15
90
x
1
6
Entonces, la fracción de pizza que quedó es
1
6
. Por lo tanto, un número decimal
infinito semiperiódico también es un número racional, ya que puede ser expresado
como fracción.
Practica
5. Analiza la siguiente tabla. Luego complétala.
Número Tipo Representación decimal Representación fraccionaria
1, 023 Decimal infinito periódico 1, 023023023…
1022
999
2
33
–2,98
Decimal finito 0, 56
6. Observa el procedimiento para transformar números decimales periódicos a fracción y luego transforma a
fracción los decimales que aparecen a continuación.
Para transformar a fracción un decimal periódico se realiza lo siguiente:
Se escribe el número sin comas y se
le resta lo que está antes del período.
El denominador tendrá tantos 9
como cifras tenga el período.
23,81= 2381− 23 = =
99
2358
99
23 9
11
a) 1,8
17
9
=
b) 37,2
335
9
=
c) 300,1
2701
9
=
d) 5,03
166
33
=
e) 16,29
1613
99
=
f) 84,27
927
11
=
g) 300,36
3304
11
=
h) 33,300
11 089
333
=
7. Observa el procedimiento para transformar números decimales semiperiódicos a fracción y luego transforma
a fracción los decimales que aparecen a continuación.
Para transformar a fracción un decimal semiperiódico se realiza lo siguiente:
Se escribe el número sin comas y se
le resta lo que está antes del período.
El denominador tendrá tantos 9 como cifras tenga el
período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.
Anteperíodo
17,265 = − = =
17265 172
990
17093
990
17 263
990
a) 0,03 =
3
90
b) 1,14
103
90
=
c) 23,32
2099
90
=
d) 66,02
2971
45
=
e) 2,332
2309
990
=
f) 9,121
8209
900
=
g) 1,724
569
330
=
h) 6,130
2023
330
=
8. Explica a un compañero o compañera el procedimiento utilizado para justificar las igualdades anteriores.
Practica
1 2 3 4
9. Analiza las siguientes situaciones.
a) Si m =
1
18
y n =
18
11
, ¿es cierto que m • n = 1?
b) Si n =
18
11
y r = 1,63 , ¿es cierto que 5n = 5r?
c) Si n =
18
11
y r = 1,63 , ¿es cierto que n ÷ r = 0?
d) Si m =
1
18
; n =
18
11
; q = 0,54 y r = 1,63 ,
¿es cierto que mn + 1
2
> qr?
e) Si m =
1
18
y q = 0,54 , ¿es cierto que m < q?
f) Si n =
18
11
, ¿es cierto que 11n + 180 = k; k ∈ ?
10. Resuelve los siguientes problemas.
a) Carlos necesita 1,3 metros de género para confeccionar
una cartera. ¿Es posible comprar 1,3
metros? ¿Es la mejor forma de representar una
medida? ¿Cómo le recomendarías que solicitara
la cantidad de género que necesita?
b) María necesita 1,6 metros de alambre para
cercar una huerta. ¿Es posible comprar 1,6 m?
¿Es la mejor forma de representar una medida?
¿Cómo le recomendarías que solicitara la cantidad
de alambre que necesita?
c) Alex necesita 0,3 kg de harina para preparar un
queque. ¿Cómo podría obtener esta cantidad?
d) A Paula le encargaron pintar una pared de la
siguiente manera: 0,2 de la superficie con color
blanco, 0,6 con color amarillo y 0,1 con color
azul. ¿Es posible que Paula realice este encargo?
¿Cómo sabría exactamente cuál es la parte de la
pared que debe pintar de cada color?
e) Para viajar en bus los pasajeros pueden llevar
equipaje con una masa de 20 kg como máximo,
ya lleven una, dos o más maletas o bolsos. La
tabla muestra las masas de cada maleta que
llevan tres pasajeros:
Pasajero Equipaje Masa total Masa de exceso
Pasajero 1
Maleta: 18, 3 kg
Bolso: 5,8 kg
Pasajero 2
Maleta 1: 6,2 kg
Maleta 2: 12, 01kg
Pasajero 3
Maleta: 3,8 kg
Bolso 1: 5,23 kg
Bolso 2: 15,9 kg
• Calcula la fracción correspondiente al exceso
de masa que llevan los pasajeros que superan
el máximo.
• ¿Cuál es la fracción de masa que les falta a los
pasajeros para alcanzar el máximo?
11. Conecta. ¿Cuál es el valor de (0,06)
3
?
12. Descubre el error. Pamela escribió la siguiente
igualdad: 4,53 =
453
90
. ¿Cuál es el error que
cometió?
13. Describe el procedimiento. Explica el procedimiento
para transformar un número decimal de
la forma a,b, c en fracción. Considera que a, b y c
son números enteros mayores o iguales a cero, y
menores o iguales a 9.
14. Desafío. Demuestra, utilizando el procedimiento
de la página 12, que 0,9 = 1.
15. Argumenta. ¿Es posible ubicar en la recta
numérica el número decimal 3,06 ? Justifica tu
respuesta.
Aplico
Integro Refuerzo
1. Describe el procedimiento para justificar la transformación
de un número decimal finito a fracción.
2. ¿El número π = 3,1415926... es un número racional?
¿Por qué?
§ La justificación de la transformación de un número
decimal periódico negativo a fracción es la misma que
para uno positivo. ¿Por qué? Explica con un ejemplo.
§ ¿Por qué piensas que es importante justificar los procedimientos
matemáticos?
Lección
¿Cómo comparar números racionales?
• ¿Cómo comparabas números enteros? ¿Y números decimales? ¿Y fracciones? ¿Piensas que
se utilizan las mismas estrategias para comparar números racionales?
Palabras clave
Ü Orden y comparación
de racionales.
María recibió los siguientes resultados de un examen de sangre:
PARAMETRO RESULTADOS UNIDADES VALORES REF.
HEMATOLOGÍA
HEMATÍES 5,38 10 E12 / L ( 4,20 - 5,90 )
HEMOGLOBINA 16,3 G/6L ( 13,5 - 17,0 )
HEMATOCRITOS 50,5 % ( 40,0 - 45,0 )
PLAQUETAS 215 10E9 / L ( 150 - 400 )
LEUCOCITOS 5,1 10E9 / L ( 4,5 - 11,0 )
Para interpretarlo, María debe comparar sus resultados con los valores referenciales,
es decir, comprobar si cada resultado está entre los valores referenciales. Para ello
siguió los pasos:
Paso 1 Identificar qué tipo de racionales aparecen, en este caso son números
decimales finitos.
Paso 2 Los decimales finitos o infinitos periódicos o semiperiódicos, se compara
primero por su parte entera, en caso que estas sean iguales, se compara
su parte decimal cifra a cifra comenzando por las décimas, centésimas,
milésimas hasta comparar cifras diferentes.
• En el caso del resultado de la Hemoglobina:
16,3 13,5 16,3 17,0
1 = 1 1 = 1
6 > 3 6 < 7
16,3 > 13,5 16,3 < 17,0
• En el caso de números decimales periódicos o semiperiódicos:
24,81 24, 815 24,81818181… 24,815151515…
=
=
=
=
8>5
24,81 > 24, 815
Por lo tanto, María puede concluir que solo el valor del hematocrito se escapa del
valor referencial, ya que 50,5 > 45,0.
Relaciona
§ ¿Cómo se comparan números
naturales? Utilízalo para comparar
el valor de las plaquetas.
§ ¿Cómo escribirías un número
entero como decimal?
Repasa
Orden en enteros
Sean a y b números enteros.
§ Si a > 0, entonces:
–a < 0
a > –a
§ a > b si y solo si (a – b) > 0
a < b si y solo si (a - b) < 0
§ Ejemplos:
–5 > –8
–11 < –7
3
Las decenas de los números
son iguales a 1, por lo tanto, se
compara la siguiente cifra.
Al comparar las unidades
6 > 3 y 6 < 7.
Practica
1 2 3 4
1. Compara los números enteros, escribiendo los
signos <, > o =.
a) –2 2
b) –9 0
c) 0 –72
d) –56 –40
e) –78 –87
f) –130 –128
g) 500 523
h) –1000 –1001
i) 23 –23
j) 168 –138
2. Compara los números decimales, escribiendo los
signos <, > o =.
a) 1,03 1,3
b) 0,6 0,06
c) 78,6 7,86
d) 8,59 8,32
e) 0,33 0,3
f) 2,3 2,33
g) 1,5 1,55
h) 12,63 12,62
i) 23,899 23,8989
j) 93,005 93,0505
3. Compara las fracciones, escribiendo los signos
<, > o =.
a) 1
3
2
5
b) 4
7
4
8
c) 8
9
3
5
d) 13
25
11
20
e) 1
2
3
32
25
f) 2
5
10
11
2
4. Resuelve los problemas.
a) Jaime compra 3
8
kg de uvas el lunes y 7
9
kg el
martes. ¿Qué día compró más kg de uvas?
b) Rocío trota durante la mañana 0,3 km y durante
la tarde 1
3
de km más. ¿Durante qué periodo del
día Rocío trota menos?
¿Cómo se comparan números racionales en forma fraccionaria?
Para ello puedes seguir uno de los siguientes pasos:
Paso 1 Transformar las fracciones a números decimales y seguir los pasos
anteriores.
Paso 2 Igualar los denominadores de las fracciones, asegurándose que ambos
denominadores sean positivos, y luego comparar numeradores.
Paso 3 Utilizar la forma abreviada del paso anterior, que es multiplicar en forma
cruzada las fracciones con ambos denominadores positivos y comparar
los resultados, es decir:

5
9

8
11
→ –(5 • 11) –(9 • 8)
→ –55 > –72 → –
5
9
> –
8
11
En resumen
Para comparar números racionales puedes:
• Si están en su forma decimal, comparar primero la parte entera, en caso que sean iguales
comparar la parte decimal cifra a cifra, de izquierda a derecha.
• Si están en su forma fraccionaria, y sus denominadores son enteros positivos, puedes
utilizar las siguientes estrategias:
a) Igualar los denominadores de las fracciones y comparar los numeradores.
b) Sean a
b
y
c
d
con a, c ∈, b, d ∈+. Si a • d > b • c, entonces
a
b
c
d
> .
Praáctica
Repaso
Repasa
Orden en fracciones
3
8
7
9

3• 9
8 • 9
7 8
9 8



27
72
56
72
→ 27 < 56

27
72
<
56
72
§ ¿Aplicaste las mismas estrategias
que ya conocías
para comparar números
racionales? ¿Por qué?
§ Si tuvieras que comparar
una fracción con un
número decimal, ¿qué
estrategia utilizarías? ¿Por
qué?
§ Si tuvieras que comparar
un número racional positivo
con uno negativo,
¿necesitarías utilizar alguna
de estas estrategias?
¿Por qué?
Razona
y comenta
Practica
Práctica guiada
5. Compara los números racionales y completa con
los signos >, < o =.
a) –2,9 –2,99
b) –0,123 –0,123
c) 1
2
1
8
d) 5
2
2
5
e) 12
3
− 12
–3
f) 7
3
2,3
g) 11
2
11,2
h) –2,02 –
21
9
i) 75,3
220
3
j) –2
6
–0,3
6. Ordena los números racionales de forma creciente.
a) 0;0,7;−0,7;0,07;−7;7;0,7
b) 1,76;17,6;1,76;–1,76;–17,6
c) –
1
2
;
–1
4
;
5
4
;
–8
3
;
3
2
;
1
3
d) 25
99
;
25
10
;–
23
9
;–
52
10
;
5
3
;
2
5
;
42
100
e) 0,189; –
92
10
;1,198; –0,99;
7
5
f) 0,04; –2,243;
1
2
; –
56
25
; –
4
7
; 0,5
7. Analiza las siguientes situaciones a partir de la
actividad anterior.
a) ¿Qué número racional existe entre el penúltimo y
último término en b)? ¿Por qué?
b) ¿Qué número racional existe entre el tercer y
cuarto término en f )? ¿Por qué?
8. Identifica tres números racionales que cumplan
las siguientes condiciones:
a) Números racionales entre 1
10
y 1
3
.
b) Números racionales entre −0,6 y
1
2
− .
c) Números racionales entre 31,24 y 31,24
d) Números racionales entre 1
9
− y 1
5
− .
e) Números racionales entre 6
5
y 1,3 .
f) Números racionales cuya distancia a 8
9
sea
mayor que 1
5
y que sean menores que 8
5
.
g) Números racionales cuya distancia a 16
5
sea
mayor que 1
3
y que sean menores que 17
3
.
h) Números racionales cuya distancia a −2,3 es
mayor que 0,5 y que sean menores que 2,3.
Aplico
9. Resuelve los siguientes problemas.
a) Un estudiante prepara un examen durante la
mitad de un mes de 30 días. Un tercio de los días
que restan se dedica a limpiar su habitación, los
tres quintos de los restantes hace deporte y el
resto es tiempo libre. ¿Cuál es el orden creciente
de las actividades que realiza ese mes según el
tiempo que le dedica a cada una?
b) Dos automóviles A y B, recorren un mismo trayecto
de 279 km. El automóvil A lleva recorridos los
7
12
del trayecto y el automóvil B los 5
8
del mismo.
¿Cuál de los dos ha recorrido una mayor distancia?
c) Al repartir una herencia entre tres personas, la
primera recibió dos novenos del total, la segunda,
tres octavos y la última, el resto. ¿Quién
recibió más dinero?
Practica
1 2 3 4
d) Javier y Andrea leen el mismo libro. Javier lleva
15
22
del libro y Andrea lleva 3
5
. ¿Cuál de los dos
ha leído una menor cantidad de páginas? Si el
libro tiene 198 páginas, ¿cuántas páginas leídas
lleva el que ha leído más?
e) Una arquitecto dibujó
19
23
del diseño de una casa
durante la mañana y durante la noche termina su
diseño, dibujando los 4
23
de él. ¿En qué periodo
avanzó más con su diseño?
f) Luisa, técnico en sonido, está chequeando el
cableado de un escenario para un concierto
folclórico. Para ello, 9,1 m del cableado debe estar
conectado a teclados y guitarras eléctricas, y
23
3
m a baterías y bombos. ¿A qué instrumentos
se le asigna una mayor cantidad de cable?
g) Don Juan cocina pan amasado y ocupa 10,8 kg
de harina para el pan de la mañana y 98
9
kg
para el de la tarde. ¿En qué momento ocupa una
mayor cantidad de harina?
h) Fabián debe leer un libro, cumpliendo las siguientes
metas: Un décimo de el lo debe leer a
más tardar el 10 de enero, un quinto del libro,
hasta el 15 de enero, tres décimos, hasta el
25 de enero y dos quintos, hasta el 30 de enero.
¿En qué fecha Fabián leyó la menor cantidad
de páginas?
i) Sean a, b, c y d números enteros negativos tal
que d > b, a > b, c > d y
a
d
= 1. Completa con
> o < según corresponda y justifica tu respuesta.
• c
b
a
b
• d
c
a
b
10. Conecta. Para una mezcla homogénea se necesitan
entre 0,4 g y 1
2
g de bicarbonato sólido. Si
Paula cuenta con 1
3
g de este, ¿le alcanza para
formar la mezcla?
11. Descubre el error. Felipe ordenó en forma creciente
la lista con la cantidad de frutas y verduras
que tiene que comprar:
✓ 0,25 kg de mandarinas
✓ 1
3
kg de porotos verdes
✓ 1
2
kg de zapallo
✓ 15
9
kg de tomates
✓ 3,25 kg de limones
✓ 3,2 kg de papas
Lista de frutas y verduras
¿Cuál es el error que cometió Felipe?
12. Describe el procedimiento. Escribe otro procedimiento,
diferente al visto en la lección, para
comparar y ordenar los siguientes números:
0,7;
16
9
;–1,7;–
7
10
;–1,7;1,7
13. Desafío. Verifica que si a
b
<
c
d
con a, b, c y d ∈,
b y d  0, entonces:
a
b
<
a+c
b+d
<
c
d
14. Argumenta. ¿Es cierto que si a y b son números
enteros positivos, tales que a > b, entonces
1
a
>
1
b
?
Justifica tu respuesta.
Integro Refuerzo
1. Escribe 3 racionales que estén entre 1,5 y 1,71.
2. Escribe 3 racionales que estén entre
11
45
y
3
10
.
3. Escribe 3 racionales que estén entre 7
8
y 0,89 .
§ ¿Por qué piensas que es importante establecer relaciones
de orden en los números racionales? Ejemplifica
con dos situaciones.
§ En matemática siempre hay más de un método. ¿Qué
efecto piensas que tiene esto en tu aprendizaje?
Lección
Ejemplo 1: Repres entación de números decimales en la recta numérica.
En el desierto de Atacama se registran temperaturas
bajo cero. La tabla muestra las temperaturas mínimas registradas
en los meses de otoño. ¿Cómo representarías
estas temperaturas en la recta numérica? ¿Entre qué intervalos
se ubican?
Para representar en la recta numérica estos números racionales
puedes realizar lo siguiente:
Paso 1 Determinar los números enteros entre los que se ubican las
temperaturas.
4,4 se ubica entre 4 y 5 –0,7 se ubica entre –1 y 0
2,2 se ubica entre 2 y 3 –0,5 se ubica entre –1 y 0
Paso 2 Para representar números decimales hasta la décima cada entero se
divide en 10 tramos iguales.
−0,5 2,2
−0,7 4,4
−1 0 1 2 3 4 5
Por lo tanto, las temperaturas registradas en otoño se encuentran entre –1 °C y 5 °C.
¿Cómo representar números racionales
en la recta numérica?
• Si tuvieras que representar – 1
2
en la recta numérica, ¿cómo lo harías? Describe tu
procedimiento y coméntalo con un compañero o compañera.
Palabras clave
Ü Recta numérica.
§ ¿Por qué –0,7 quedó ubicado a la izquierda de –0,5 en la recta numérica?
§ ¿Entre qué valores quedaron ubicadas las temperaturas negativas? ¿Y las positivas?
Razona
y comenta
Mes T (°C)
Marzo 4,4
Abril 2,2
Mayo –0,7
Junio –0,5
Repasa
§ Al representar los números
–4, 5, –6, 3 y 0 en la recta
numérica se obtiene:
−6 −4 0 3 5
–6 < –4 < 0 < 3 < 5
§ Al representar los números 0,3;
0,6; 0,8; 0,1 y 1,0 en la recta
numérica se obtiene:
0 0,1 0,3 0,6 0,8 1,0
0,1 < 0,3 < 0,6 < 0,8 <1,0
Relaciona
§ ¿En cuántos tramos dividirías la
recta numérica para representar
centésimas?
4
Practica
1 2 3 4
1. Representa los siguientes números enteros en
una recta numérica.
a) –8, 0, –5, 10, 12, –3
b) –87, –88, 89, 90, 91, –92
c) 100, –95, 56, –48, 32, –101
d) 700; –900; 100; 500; –300; –200
e) 2000, –800, 500, –1500, –300, 4000
2. Representa los siguientes números decimales en
una recta numérica.
a) 0,1; 0,9; 0,5; 0,2; 0,8; 0,4
b) 0,02; 0,12; 0,04; 0,10; 0,08; 0,15
c) 0,11; 0,1; 0,22; 0,2; 0,12; 0
d) 0,07; 0,03; 0,071; 0,04; 0,042; 0,035
e) 3; 3,2; 3,35; 3,3; 3,4; 3,25
Practica
§ ¿Aplicaste estrategias que conocías para representar números racionales en la recta
numérica? ¿Cuáles?
§ ¿Es posible determinar la ubicación exacta de un decimal periódico en su representación
decimal? ¿Cómo? Comenta con tus compañeros o compañeras.
§ Si tuvieras que estimar la ubicación de un número decimal periódico en la recta numérica,
¿qué estrategia utilizarías? ¿Por qué?
§ ¿En qué casos es más adecuado expresar los racionales en fracciones para ubicarlos en la
recta? ¿En qué casos no es lo más adecuado? Fundamenta tu respuesta.
Razona
y comenta
Repaso
Ejemplo 2: Representación de números decimales y fracciones en la recta numérica.
Lucía y Jaime tienen que ubicar los racionales –
2
3
, 0,16 y 1,3. Lucía opina que
deben transformar los decimales a fracción, pero Jaime dice que no es necesario.
¿Qué opinas tú?
Para representar en la recta numérica estos números racionales puedes realizar
lo siguiente:
Paso 1 Transformar los números decimales periódicos y semiperiódicos a
fracción.
0,16 =
16–1
90
=
15
90
=
1
6
1,3 = = = =
13–1
9
12
9
4
3
1
1
3
Paso 2 Se dividen los trazos unitarios según el denominador y se ubica la
fracción tantos lugares desde el cero a la derecha o izquierda, según el
signo de la fracción, como lo indique el numerador.
Links
Para reforzar la comparación de
números racionales visita:

http://www.profesorenlinea.cl/

matematica/
FraccionesRepresentar.htm
Repasa
§ Al representar los números
1
10
;
3
10
;
1
5
;
3
5
y
1
2
en la recta
numérica se obtiene:
0 1
10
3
10
3
5
1
5
1
2
1
1
10
<
1
5
<
3
10
<
1
2
<
3
5
Relaciona
§ ¿Por qué es conveniente
transformar una fracción
impropia a número mixto,
para representarla en la recta
numérica?
−1 0 1 2
1
1
3
1
6

2
3
Las subdivisiones rojas
corresponden a sextos.
Las subdivisiones verdes
corresponden a tercios.
Practica
m) −0,10
n) 0,56
o) 2,03
p) −1,01
q) −2,36
r) 12,34
s) −0,808
t) −2,303
u) –18,214
7. Identifica y escribe el número que se ubica en la
posición marcada en la recta numérica.
a)
1 2
b)
5 6
c)
0,2 0,3
d)
0,01 0,02
e)
−1,9 −1,8
f)
1
2
3
5
g)

9
10

4
5
h)

1
4
5
4
i)
228
25
913
100
Aplico
8. Calcula el número que se encuentra a la misma distancia
de los números ubicados en la recta numérica.
a)
8 9
b)
−5 3
c)
−3,28 8,6
d)
5
8
4
5
3. Representa las siguientes fracciones en una recta
numérica.
a) 1
3
;
1
4
;
1
2
;
1
8
;
1
7
;
1
5
b) 2
3
;
4
15
;
5
9
;
4
9
;
7
15
;
1
3
4. Estima los números indicados por los puntos
M, N y O .
a) –2 M 2
b) 0,4 N 0,5
c)
1 O 2
Práctica guiada
5. Representa los siguientes números racionales en
una recta numérica.
a) 0,2; –0,6; –0,4; 0,1; 0,5; –0,8
b) 1,4; –2,5; 3,1; –4,6; 2,8; –1,9
c) 0,02; –0,06; –0,04; 0,01; 0,05; –0,08
d) 0,12; –0,16; –0,14; 0,11; 0,15; –0,18
e) 1,02; –2,06; –3,04; 1,01; 4,05; –2,08
f) 4;
7
14
;
14
7
;
47
10
;
21
5
;
23
5
g) 1
8
;
1
3
;
1
2
;
1
6
;
1
8
;
1
4
− − −
h) 8
5
;
5
3
;
4
15
;
1
3
;
1
15
;
1
5
− − − − − −
6. Identifica entre qué números decimales finitos se
encuentran los siguientes números.
a) −0,7
b) 3,67
c) 0,5
d) −0,6
e) −0,8
f) −1,3
g) 1,7
h) − 1,6
i) 0,10
j) 5,9
k) −0,01
l) 0,05
Practica
1 2 3 4
9. Resuelve los siguientes problemas.
a) Se estima que la Tierra tiene aprox. 4600 millones
de años de antigüedad. Actualmente vivimos en
lo que se llama el eón Fanerozoico que constituye
alrededor de 7
60
del tiempo de existencia de
la Tierra. El primer eón llamado Hadeano constituye
aprox. 0,175 del tiempo de existencia de la
Tierra. ¿Qué eón representa más tiempo?
b) Carla va a la feria, una vez por semana, para
abastecerse de frutas y verduras. La tabla muestra
la masa del carro que cargó en un mes luego de
ir a la feria.
N° de semana Masa (kg)
1 20,5
2
77
4
3 18,2
4 20
1
4
• Representa en una recta numérica las masas
del carro que cargó Carla durante el mes.
• ¿En qué semana, Carla cargó con menos masa
en su carro luego de ir a la feria?
• Si el carro soporta a lo más 20 kg, ¿en cuántas
semanas sobrepasó esa masa?
c) El IMC (índice de masa corporal) se utiliza como
indicador de sobrepeso y obesidad de una
persona, y se calcula mediante la expresión:
IMC = Masa
Estatura2 donde la masa se mide en
kilogramos y la estatura en metros.
Completa la tabla utilizando la información anterior.
Nombre Masa (kg) Estatura (m) IMC
Carla 45,3 1,60
Ignacio 76,5 1,72
Tomás 68,8 1,76
• Representa en una recta numérica las masas de
las personas.
• Representa en una recta numérica las estaturas
de las personas.
• Representa en la siguiente recta numérica el
IMC de cada persona.
Bajo Peso Peso Normal Sobre Peso
18 25
• Según su IMC, ¿qué personas puedes clasificar
con peso normal?
• Según su IMC, ¿qué personas puedes clasificar
con bajo peso?
• Según su IMC, ¿qué personas puedes clasificar
con sobrepeso?
10. Conecta. Al construir distintos tipos de gráficos,
estos están formados por dos rectas numéricas
que se intersectan. En ellos, ¿puedes representar
números racionales? Justi ca.
11. Descubre el error. ¿Cuál es el error cometido en la
representación de los siguientes números racionales
en la recta numérica: –
9
4
; –1
2
3
; –2; –1,5; –
11
5
?

9
4

11
5
–1
2
−2 3 −1,5 0
12. Describe el procedimiento. ¿Cómo se representan
en la recta numérica las temperaturas registradas
en la tabla? Descríbelo.
Día Temperatura (°C)
Lunes –2,6
Martes –3
Miércoles –3,5
Jueves 1,8
Viernes 2,4
13. Argumenta. ¿Es posible ubicar en la recta numérica
un número decimal periódico entre dos números
enteros dados? Justifica tu respuesta.
Integro Refuerzo
1. Ubica 3 números racionales con dos decimales en la
recta numérica, que estén entre 0 y 1.
2. Ubica 3 números racionales con dos decimales en la
recta numérica, que estén entre −1 y 0.
§ ¿Por qué piensas que es importante representar
gráficamente los números racionales? Ejemplifica con
dos situaciones.
Integración
Integro
mis aprendizajes
1 Identifica si los problemas tienen solución en los
enteros o en los racionales y resuélvelos.
a. Un litro de bebida se reparte completamente
en 4 envases pequeños, llenando cada uno de
ellos. ¿Cuántos milímetros cúbicos de bebida
llenan cada envase?
b. Una panadera reparte diariamente 50 kg de pan
entre 20 almacenes de manera equitativa. ¿Cuántos
kilogramos de pan recibe cada almacén?
c. En una fábrica se elaboran 200 cajas de leche en
una hora. ¿Cuántas cajas de leche se elaborarán
en 5 horas y media?
d. Marcos tiene recomendado tomar media pastilla
en la mañana y media pastilla en la tarde,
para controlar la hipertensión arterial. ¿Cuántas
pastillas toma Marcos en 15 días?
e. El perímetro de un rectángulo es de 23 cm. Si el
largo del rectángulo es el triple del ancho, ¿cuál
es su área?
f. Nicole y dos amigos diseñan una maqueta en
5 horas. ¿Cuántas horas demorarán si trabajan
5 personas en la maqueta?
2 Evalúa si las proposiciones son verdaderas (V) o
falsas (F). Justifica las falsas.
a. −5 pertenece al conjunto de los números
naturales.
b. −18 pertenece al conjunto de los números
enteros.
c. 2 pertenece al conjunto de los números
racionales.
d. 25 pertenece al conjunto de los números
racionales.
e. El conjunto de los números naturales es un
subconjunto de los números enteros negativos.
f. 1
2
pertenece al conjunto de los números
enteros.
g. −0,5 no pertenece al conjunto de los
números enteros.
h. El conjunto de los números enteros es un
subconjunto de los números racionales.
3 Identifica si los siguientes números son racionales.
De ser así, exprésalos como fracción.
a. 1
b. 5,96333…
c. −25
d. −2,122322…
e. 0,001
f. 26,07
g. 3,1415…
h. −13,55555…
4 Analiza cómo Juan justifica la igualdad
a,bc =
abc–ab
90
.
Sea x = a,bcccc...
10 • x = ab,ccccc...
1000 • x = abcc,ccc...
1000x − 10x = abcc,ccc... − ab,cccc
990x = abcc − ab
x
abcc –ab
990
=
¿Es correcto el procedimiento que realizó Juan?
¿Por qué?
5 Justifica las igualdades utilizando lo anterior.
a. 0,a =
a
9
b. 0,ab
a(b –1)
90
=
c. 0,00ab =
ab
9900
d. 0,0bc
b(c –1)
900
=
6 Comprueba las igualdades si:
r = –1,16 ; s =1,1 y t = −0, 1
a. r • s =
35
27
b. s t –
100
9
÷ =
c. r •t –
7
60
=
d.
r • s
t
> –3
Caracterizar los números racionales (lecciones 1 y 2).
Integración
Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto.
1 2 3 4
10 Identifica los conjuntos numéricos a los que
pertenece cada uno de los siguientes números
y represéntalos en la recta numérica.
a. 3
b. 0
c. −2
d. 0,9
e. − 1
3
f. 3
4
g. −0,8
h. 9
i. − 15
3
11 Evalúa la relación de orden y marca la fracción
que corresponda a cada intervalo.
Intervalo numérico
a
b
a.
a
b
<–1 –
3
4
–4
3
3
4
b. –1<
a
b
<0
–5
2
2
5
–2
5
c. 0>
a
b
>–1
–3
6
6
–3
3
6
d. 1<
a
b
8
5
5
8
–5
8
12 Identifica y escribe el número que se ubica en
la posición marcada en la recta numérica.
a.
−1,1 −1,02
b.
3
4
7
4
c.
–9
10
–3
10
d.

1
3
0,6
7 Calcula las siguientes divisiones, e identifica si
se obtiene un entero, decimal finito, periódico o
semiperiódico. Luego relaciona el resto obtenido
con el cociente y responde las preguntas.
6 ÷ 2 = 15 ÷ 3 = 14 ÷ 7 =
5 ÷ 2 = 28 ÷ 8 = 13 ÷ 2 =
17 ÷ 3 = 25 ÷ 3 = 11 ÷ 9 =
1 ÷ 6 = 5 ÷ 6 = 35 ÷ 6 =
a. ¿Cómo es el resto de las divisiones en la primera
fila? ¿Cómo es el cociente?
b. ¿Qué sucede con el resto de las divisiones de
la segunda fila? ¿Qué tipo de decimal es el
cociente?
c. ¿Qué sucede con el resto de las divisiones de la
tercera fila? ¿Qué tipo de decimal es el cociente?
d. ¿Qué sucede con el resto de las divisiones de la
cuarta fila? ¿Qué tipo de decimal es el cociente?
Formular estrategias para comparar y representar en la recta numérica
números racionales (lecciones 3 y 4).
8 Representa gráficamente en la recta numérica.
a. 6
7
b. 7
2
c. 1
5
d. 5
8
e. 1
8
f. 3
10
9 Ordena los números racionales de menor a mayor.
a. 0 , 032 ; 0,032 ; 0,032 ; 0,032 ; 0 , 320
b. 3
4
; 0,75 ; 7
5
9
; 1,75 ; 7
4
c. 1
125
999
; 9
8
; 557
495
; 1
8
; 1013
900
Lección ¿
Cómo resolver operaciones con números racionales?
• Las propiedades en las operaciones de números enteros, decimales y fracciones positivas,
¿se cumplirán en el conjunto de los números racionales?
Palabras clave
Ü Adición y sustracción de
números racionales.
Ü Multiplicación y división de
números racionales.
Ejemplo 1: Adición y sustracción de números racionales
Pablo siguió el programa "Elige Vivir Sano" del Ministerio de Salud y el primer mes
bajó 2,25 kg; el segundo, 1,1 kg; el tercer mes subió 3
4
kg y el cuarto mes perdió 1
8
9 kg.
Si su masa era de 68 kg, ¿con cuántos kilogramos quedó después del cuarto mes?
Para sumar o restar números racionales puedes realizar lo siguiente:
Paso 1 Plantear las adiciones y sustracciones involucradas en el problema.
68 –2,25–1,1+ –
3
4
1
8
9
Lo que bajó el 2° mes
Masa de Pablo al inicio
Lo que bajó el 1° mes Lo que subió el 3° mes
Lo que bajó el 4° mes
Paso 2 Como hay números decimales periódicos involucrados, resulta pertinente
transformar los decimales a fracción.
Al sumar o restar fracciones de
igual denominador se suman o
restan los numeradores.
+ = +
= + + +
= + +
= + = +
= + =
= = =
68–2
1
4

10
9
3
4
–1
8
9
68 –
9
4
3
4

10
9

17
9
68
(–9) 3
4
(–10)–17
9
68
(–6)
4
(–27)
9
68
(–6)
4
–3 65
(–6)
4
260
4
(–6)
4
260–6
4
254
4
127
2
63
1
2
La fracción –27
9
equivale al entero –3.
El entero 65 equivale a la fracción
260
4
.
Después del cuarto mes, Pablo quedó con una masa de 63
1
2
kg.
En resumen
Para sumar y restar números racionales se puede utilizar su representación fraccionaria
o decimal. Sin embargo, debes transformar los números decimales infinitos periódicos o
semiperiódicos a fracción para operarlos con otro número racional. En  la adición cumple
con las propiedades de conmutatividad, asociatividad, existencia de un único elemento
neutro aditivo y un elemento inverso aditivo .
Observa
Verifica el resultado usando la
calculadora, para ello usa la tecla:
para colocar fracciones.
Relaciona
§ ¿Por qué 65
1
=
260
4
?
§ ¿Es cierto que –6)
4
= –
6
4
( ?
¿Por qué?
5
1 2 3 4
Tierra y Luna
El peso se mide en Newton (N)
que equivale a kg • m/s2.
Ejemplo 2: Multiplicación de números racionales
El peso de un individuo depende de la gravedad con la que es atraído al centro
del planeta. En el caso de la Tierra, el peso (en Newton) de un individuo se calcula
con la fórmula P = m • g, donde m corresponde a la masa (en kg) de un individuo y
g = 9,8 m/s2 es aproximadamente la aceleración de gravedad. Si en la Luna el peso
de un individuo corresponde a 1
6
de su peso en la Tierra, ¿cuál será el peso de Pablo
en la Luna?
Para calcular el peso de Pablo en la Luna puedes seguir los pasos:
Paso 1 Calcular el peso de Pablo en la Tierra, multiplicando su masa por la aceleración
de gravedad:
Caso 1: Transformar la aceleración de gravedad a fracción y multiplicar las fracciones.
• •

2
63 →
1
2
kg =
254
4
=
127
2
127
2
9,8=
127
2
98
10
=
127
2
49
5
=
127• 49
2 •5
=
6223
10
= 622
3
10
= 622,3kg•m/seg
Se simplifica 98
10
y se obtiene 49
5
.
Se transforma el decimal a fracción.
Se transforma el
decimal a fracción.
Se multiplican las fracciones.
Caso 2: Transformar la masa a número decimal y multiplicar los decimales.
Se multiplican los decimales
según el valor posicional.
3 4
2 4
6 3 , 5 • 9 , 8
5 01 8 0
+ 51 7 1 5
6 2 2, 3 0
El resultado tendrá tantas cifras decimales
como la suma de la cantidad de cifras
decimales de los factores.
Paso 2 Multiplicar el peso de Pablo en la Tierra por 1
6
.
• •


622,3
1
6
=
6223
10
1
6
=
6223 1
10 6
=
6223
60
=103,716
El peso en la Tierra de Pablo es de 622,3 kg • m/s2 y en la Luna 103,716 kg • m/s2;
es decir, aproximadamente, 103,7 kg • m/s2.
Observa
§ Verifica la multiplicación de
fracciones con la calculadora:
254 4x9810
6223 10.
§ Verifica la multiplicación de
decimales en la calculadora:
63. 5x9.8
622.3
Relaciona
§ ¿Por qué para multiplicar
622,3 •
1
6
se transformó
el decimal a fracción y no la
fracción a decimal?
Praáctica Lección
Camaleón
Repaso
1. Calcula las siguientes operaciones con números enteros.
a) (–2) + 5
b) (–56) + 38
c) 26 + (–31)
d) (–2) + 9 – 5
e) 103 – (1 + 63)
f) (–5) • 6
g) 30 – 50 – 80
h) (–25) ÷ 5
i) (–84) ÷ (–3)
j) 56 – 2 • 5
k) 12 – 9 + 5 • (–4)
l) (–1) + (1 – 1 ) • (–1)
§ ¿Cuál es la propiedad de la división que se cumple solo en el conjunto de los números
racionales?
§ ¿ 2
3
÷
1
2
es lo mismo que 2 •
2
3
? ¿Por qué? Justifica tu respuesta.
§ ¿Cuál es la diferencia en los procedimientos para multiplicar y dividir fracciones?
Razona
y comenta
En resumen
Para multiplicar y dividir números racionales se puede utilizar su representación
fraccionaria o decimal. Sin embargo, debes transformar los números decimales infinitos
periódicos o semiperiódicos a fracción para operarlos con otro número racional. En  la
multiplicación cumple con las siguientes propiedades conmutativa, asociativa, elemento
neutro multiplicativo, elemento inverso multiplicativo y distributiva de la multiplicación con
respecto a la adición.
Ejemplo 3: División de números racionales
Un camaleón pesa en la Tierra 4
9
10
kg • m/s2 y en la Luna, 49
60
kg • m/s2. ¿Cuál es
el promedio de su peso en ambos lugares?
Para calcular el peso promedio del camaleón se puede:
Paso 1 Sumar ambos pesos.
La fracción 49
10
se amplifica por 6, quedando la fracción 294
60
.
49
10
+
49
60
=
294+49
60
=
343
60
Paso 2 Dividir en 2 el resultado anterior.
El entero 2 es equivalente a la fracción
2
1
.
Para dividir fracciones se multiplica el dividendo
por el inverso multiplicativo del divisor.

343
60
÷2=
343
60
÷
2
1
=
343
60
1
2
=
343
120
=2
103
120
El camaleón pesa en promedio 2
103
120
kg • m/s2 entre la Tierra y la Luna.
Relaciona
§ ¿Por qué 343
60
no se transformó
en decimal para dividirse
en 2?
§ ¿A qué número decimal corresponde
el peso del camaleón?
5
Practica
1 2 3 4
2. Calcula las siguientes operaciones con números
decimales. Puedes utilizar la calculadora.
a) 0,1 + 0,3
b) 3,20 + 5,16
c) 5,1 + 1,3 – 4,6
d) 6,8 – 3,12 + 0,2
e) 0,3 • 1,4
f) 5,25 • 2,3
g) 8,2 ÷ 6,4
h) 2,65 ÷ 1,62
3. Calcula las siguientes operaciones con fracciones.
Utiliza la calculadora.
a) 5
8
+
9
2
b) 7
5

1
3
c) 10
3
+
9
8

1
24
d) 7
2

9
5
e) 1
2
3

13
5
f) 2
9
÷
6
12
Práctica guiada
4. Calcula las adiciones y sustracciones de números
racionales. Simpli ca si es posible y veri ca tus
resultados con la calculadora.
a) –
2
3

1
3
+
14
3
 
 
b) 3
8
+
1
8

7
8
c) 1
4
+
3
4

6
4
d) 1
2
+
5
2

4
2

7
2
 
 
e) 1
7

3
7
+
10
7
+
6
7
 
 
f) 4
5
+
16
12
g) 5
6
5
2
− 
 
 
+
h) 1
5

1
4
+
2
3
i) –
1
3
+
5
7

11
5
 

 
j) 1
7
+
3
2

2
3

1
5
 
 
k) 0,3 + 0,8
l) 0,15 – 0,23
m) (–0,16) – 5,14
n) 5,89 – 0,9
o) 0,1 + 3,58 – 15,39
p) 13,5 – 38,7 – 89,2
q) 5,956+(9,85– 2)
r) (–9,001)–(18,6+1,1)
5. Calcula las operaciones combinadas. Verifica tus
resultados con la calculadora.
a) 1,24 – 0,31
b) 7,2 –(7,2+0,2)
c) 1,7 –
2
9

1
6
+0,34 
 
 
 
 
d) 0,1– 3, 41+5,2
e) 1
11
– 0,26 – (–1,06)+1,3 ( ) 
 
 
f) 2,5+
1
3
– 7,1–
1
5
 
 
6. Analiza cada igualdad. Luego, complétala con la
fracción correspondiente.
a) –1
1
2
–5
4
5
+
1
4
 
 
=
b) 0
5
+
3
8
+
1
3
+
2
5
= 
 
 
c) –
9
4
+ –
7
8
+
1
4
+
5
16
 
 
 
 
= 
 
 
7. Calcula las multiplicaciones de números racionales.
Simplifica si es posible y verifica tus resultados
con la calculadora.
a) 81
4

16
3
b) 25
36

64
125
 −
 

 
c) 3
5
• –
2
3
 
 
d) 1
4

2
3
− 
 
 
− 
 
 
e) 1
1
2

5
6
 −
 

 
 −
 

 
f) 3
4

3
2
•(−8)
g) 0,6 • 1,5
h) 3,2 • (–0,8)
i) (–4,25) • (–6,3)
j) 60,05 • (3 • (–0,2))
k) (–1,1) • (–7,2) • (–3)
l) (– 20,6) • 5,3 • 2,02
Practica
8. Calcula las divisiones con números racionales.
Simplifica si es posible y verifica tus resultados con
la calculadora.
a) –
4
9
÷
8
16
 

 
b) –
23
6
÷
50
8
 
 
c) –
5
3
÷ –
4
8
 

 

 

 
d) 2
5
÷2
e) 3÷ –
9
5
 
 
f) 8
7
÷ 9÷ –
1
3
 
 

 

 
g) ( –1,5)÷ 0,3
h) 2 ,8 ÷ ( −1,04)
i) ( –45,5) ÷ (–0,5)
j) 4, 46 ÷ (–0,02)
k) (4 ÷ ( –3,8 )) ÷ (–2,9)
l) 2,21 ÷ 9,6 ÷ (– 0,6 )
9. Calcula las operaciones combinadas de números
racionales. Puedes utilizar la calculadora.
a) 1
1
2
÷5
3
8
b) 
 
 
21
2
• –
3
49

1
9
c) 5
1
4
÷
1
4
• –
1
6
 
 
 
 
d) 6–
3
5
÷5
1
2
1
10

2
11
 
 
+
 
 
e) 3,5÷(−2,3) •2,6
f) (5,01•0,100)÷0,003
g) 3, 4 ÷0,34
(–0,10)
h) (–5,78)÷(–0,02)
3,25
Aplico
10. Analiza la tabla. Luego, completa.
a > 0 > b > c
Signo del
producto
a > b> 0 > c
Signo del
producto
0 > a > b > c
Signo del
producto
a
b

c
b
a
b

b
c
c
b

a
b • c
a•b
c

b • c
a
a
b • c

b
c • a
a• c
b

c
b
11. Verifica si se cumplen las siguientes propiedades
para la adición de números racionales.
a) Propiedad conmutativa: a + b = b + a; a, b ∈ .
b) Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c);
a, b, c ∈ .
c) Elemento neutro: a + 0 = 0 + a ; a ∈ .
12. Resuelve los siguientes problemas.
a) El precio del dólar es de $504,3. ¿A cuánto dinero
equivalen 7,5 dólares?
b) ¿Cuántos octavos hay en 9,5 kg de té?
c) ¿Cuántos tercios hay en
20
5
kg de almendras?
d) ¿Cuántos metros cuadrados tiene un terreno rectangular
de 60
7
m de largo y 40
9
m de ancho?
e) La madre de Camilo le legó 5
4
de la tercera
parte del terreno que recibió su hermana. ¿Qué
fracción del terreno recibirá Camilo?
f) Si el terreno heredado en el ejercicio anterior
corresponde a 50 000 hectáreas, ¿cuántas hectáreas
recibirá Camilo?
g) Si tres cuartos de kilogramos de manzanas tienen
un valor de $862, ¿cuál es precio de medio
kilogramo?
h) Un cuarto de kilogramo de queso es dividido en
trozos de 0,025 kg. ¿Cuántos trozos de queso se
obtuvieron?
i) Una jarra con capacidad de 3
1
2
litros llena
de jugo se reparte en vasos de 1
4
litro. ¿Cuántos
vasos se pudieron llenar con esa capacidad?
Practica
1 2 3 4
Integro Refuerzo
1. Si se dividiera 1
3
de una torta entre tres amigos, ¿cuánto
recibiría cada uno?
2. Describe el procedimiento para calcular 4,5 •
1
9
.
3. Al calcular –
1
4
+ –
2
3
 
 
 
 
, ¿qué signo tendrá el resultado?
§ ¿Cuál es la importancia del inverso multiplicativo en la
operatoria con números racionales? Investiga por qué
también se le llama recíproco.
§ Al operar con números decimales periódicos o semiperiódicos,
¿qué estrategias se pueden utilizar? Describe dos.
§ ¿Cuál es la importancia de la calculadora en la operatoria
con números racionales? Explica.
j) Don Elías reparte 3
1
5
kg de alimento entre los
animales de su granja. Si cada uno come 8
15
kg
de alimento, ¿cuántos animales hay en su granja?
¿Cuánto alimento necesitaría si la cantidad
de animales se duplicara?
k) Las aristas de la figura 1 miden:
a = = =
1
2
m, b
2
3
m y c
7
2
m
¿Cuáles son los volumenes de las figuras 1 y 2?
¿Cuántas veces puede contener como máximo la
figura 2 a la figura 1?
b
(b + 2)
(c + 0,5)
(a + 1)
Figura 2
c
a
Figura 1
l) En la cuenta de una casa comercial, al no pagar
en la fecha correspondiente, se aplicará un interés
de 6% por cada peso impago que deberá
ser cancelado el próximo mes. Si una persona
no pagó su cuenta en la fecha y el monto corresponde
a $4500, ¿cuánto dinero más tendrá
que pagar el próximo mes?
m) Un quinto del tiempo libre que tiene Lucía lo
dedica al deporte, un tercio a las salidas con
amigos y un cuarto lo dedica a escuchar música.
Si quisiera agregar otra actividad extraprogramática,
¿qué fracción de tiempo le queda?
n) Jorge ahorra monedas de $1 y $5. Se sabe que
2
9
de las monedas ahorradas corresponden a
monedas de $1 y el resto son de $5. Si en total
tiene 13 500 monedas, ¿cuántas monedas de $5
tiene?¿Cuál es el monto ahorrado por Jorge?
o) Mariela lleva un conteo promedio de las personas
que viajan en su bus. Ella sabe que
3
5
de las
personas que viajan, lo hacen durante la mañana
y de las personas que viajan el resto del día, 1
4
lo
hace de noche. Si un día jueves viajan entre 500 y
1000 personas, ¿cuántas personas como mínimo
y como máximo no viajan durante la mañana?
13. Conecta. ¿Cuál es la solución de la siguiente
ecuación?
x+
1
3
= 0,5÷
3
2
14. Descubre el error. ¿Cuál es error cometido en el
desarrollo?
+ 
 
 
= + 
 
 
= 
 

 
=
 
 
=
1
5
3
4
• –
7
5
–1,3
1
5
3
4
• –
7
5

4
3
19
20
• –
7
5

4
3

133
100

4
3

799
300
15. Describe el procedimiento. Describe paso a
paso cómo resolverías la siguiente operación
combinada:
• 
 
 
4
5

8
3
÷1,16 0,12+1
5
8
16. Argumenta. ¿Para todo a, b y c ∈  se cumple
que a • (b • c) = (a • b) • c?
17. Crea. Inventa un problema cuya solución se
calcule con la operación 1
1
2
÷
1
8
.
18. Desafío. Dos amigos se disponen a comer unos
pasteles. El primero tiene 5 pasteles y el segundo
3. Cuando van a comenzar a comer llega
un tercer amigo, sin pastel alguno, y les dice:
“¿qué les parece si repartimos sus 8 pasteles de
manera equitativa y a cambio yo les doy $800 y
ustedes se reparten el dinero de una manera que
encuentren justa?”. Los dos amigos se miraron y
aceptaron.
¿Cómo repartieron los $800 los dos amigos?
Lección
¿Qué es la propiedad de Clausura?
• Al restar dos números naturales, ¿siempre se obtiene un número natural? ¿Por qué?
Ejemplifica.
• Al dividir dos números enteros, ¿siempre se obtiene un número entero? ¿Por qué?
Ejemplifica.
Palabras clave
Ü Clausura.
Ü Operaciones en los números
racionales.
En resumen
En el conjunto de los números racionales , las operaciones de adición, multiplicación,
sustracción y división (con divisor distinto de cero) cumplen con la propiedad de clausura,
es decir, al operar con números racionales siempre se obtendrá otro número racional.
Taller
Reúnanse en parejas y realicen las actividades. Comparen sus resultados con
otras parejas.
1. Encuentren un ejemplo en que la resta de dos números naturales no sea un
número natural.
2. Encuentren un ejemplo en que la división de dos números enteros no sea entera.
3. Encuentren un ejemplo en que la suma entre dos fracciones sea un número
entero.
4. Encuentren un ejemplo en que la multiplicación entre dos fracciones sea un
número entero.
5. Encuentren un ejemplo en que la división entre dos fracciones sea un número
entero.
6. Observen la siguiente operación definida en los números naturales:
Para a, b ∈ , se define la operación (♥) como a♥b = 2a – 3b.
Por ejemplo: 8 y 5 ∈ , si se calcula 8♥5 se obtiene que:
8 ♥ 5 = 2 • 8 − 3 • 5 = 16 − 15 = 1
Luego, 1∈ .
a) Calculen 9♥4, 3♥5, 10♥3 y 2♥8.
b) Al aplicar la operación ♥, ¿siempre se obtiene un número natural?
c) La operación ♥, ¿es cerrada en los números naturales?
§ ¿Existe un ejemplo en que al sumar o restar dos números racionales no se obtenga un
número racional? ¿Por qué?
§ ¿Existe un ejemplo en que al multiplicar o dividir dos números racionales no se obtenga
un número racional? ¿Por qué?
§ La adición, sustracción, multiplicación y división, ¿cumplen la propiedad de clausura
en los números racionales?
Razonen
y comenten
Repasa

3
4
+
1
3
=
–9)+4
12
= –
5
12
 (
 

 
5
8
• –
3
7
= –
15
56
 

 

 

 

4
9
÷ –
8
12
= –
4
9

12
8
=
–4) –12)
9 8

( •(

 
 
 
 
 
 
 
 
÷ –
8
12
= –
4
9

12
8
=
–4) –12)
9 8

( •(

 
 
 
 
 
 
=
–1)•(–4)
3• 2
=
4
6
=
2
3
(
1 4
3 2

12
8
=
–4) –12)
9 8

( •(

 
 
 
6
Practica
1 2 3 4
Repaso
1. Calcula las operaciones entre números naturales e
identifica si el resultado es un número natural.
a) 3 + 5
b) 25 − 3
c) 55 − 36
d) 150 + 235 − 450
e) 4 − 2
f) 5 − 9
g) 8 − 5 + 3
h) 9 + 8 − 19
2. Calcula las divisiones de números enteros e
identifica si el resultado es un número entero.
a) (−25) ÷ (−5)
b) 56 ÷ (−4)
c) 87 ÷ 3
d) 45 ÷ 6
e) (−1232) ÷ 22
f) 1542 ÷ (−35)
g) (−2496) ÷ (−26)
h) (−5987) ÷ 12
Práctica guiada
3. Analiza la siguientes situaciones.
a) Encuentra dos números racionales cuyo producto
sea un número natural.
b) Encuentra dos números racionales cuyo cociente
sea cero.
c) Encuentra dos números enteros cuyo cociente
sea un número decimal semiperiódico.
Aplico
4. Evalúa si las siguientes operaciones cumplen con
la propiedad de clausura en el conjunto en el que
están definidas.
a) Se define la operaciónpara a, b ∈ , como:
a  b = 3a – 4b
b) Se define la operación  para u, v ∈ , como:
u  v = u – v • u + v
c) Se define la operación « para r, s ∈ , como:
r « u= (r + u) – u
5. Analiza la siguiente afirmación. Luego responde.
a, b ∈  ⇒ a ÷ b = k; k ∈ 
a) Traduce a lenguaje natural la afirmación propuesta.
b) Da tres ejemplos en los que se cumpla la afirmación.
c) ¿Es verdadera la afirmación propuesta para cualquier
par de números racionales? Fundamenta.
6. Evalúa las siguientes afirmaciones. Si la afirmación
es falsa indica un contraejemplo.
a) La adición es cerrada en los números naturales.
b) La división es cerrada en los números naturales.
c) La multiplicación es cerrada en los números
naturales.
d) La sustracción es cerrada en los números naturales.
e) La sustracción es cerrada en los números enteros.
f) La división es cerrada en los números enteros.
g) La multiplicación es cerrada en los números
enteros.
7. Descubre el error. ¿Cuál es el error en la siguiente
afirmación?
“Si r, u ∈ , entonces, la operación r ☺ u = r
u
u
r
+
u
r

es cerrada en ”.
8. Argumenta. Claudia afirma que si se dividen dos
números naturales pares, el cociente entre ellos es
un número natural. ¿Es correcto lo que ella afirma?
Justifica tu respuesta.
Integro Refuerzo
1. La operación a ♣ b = a + b – a • b, ¿es cerrada en los
números naturales?
2. La operación a ♠ b = (a – b) • (a + b), ¿es cerrada en los
números enteros?
3. La operación c∅d=
c
d
–c , ¿es cerrada en los números
racionales?
§ En los números naturales, ¿qué operación cumple la propiedad
de clausura? ¿Y en los números enteros? ¿Por qué?
§ Si la adición es cerrada en un conjunto numérico, ¿se
puede afirmar, sin necesidad de comprobarlo, que la
sustracción también es cerrada? ¿Por qué?
§ ¿Por qué es importante comprender que las operaciones en
los números racionales cumplen la propiedad de clausura?
Lección
¿Por qué los números racionales son densos?
• Si te preguntaran: ¿Cuántos números naturales hay entre 1 y 2? ¿Y cuántos números
enteros hay entre –5 y –4? ¿Qué considerarías para responder estas preguntas?
Palabra clave
Ü Densidad.
En resumen
El conjunto de los números racionales  cumple con la propiedad de la densidad, ya que
entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
Praáctica
Repaso
1. Calcula el antecesor y sucesor de los siguientes
números naturales.
a) 8
b) 28
c) 51
d) 79
e) 150
f) 600
g) 1200
h) 7990
2. Encuentra un número natural entre cada par de
números.
a) 5 y 7
b) 96 y 103
c) 46 y 72
d) 165 y 178
Taller
Reúnanse en parejas y sigan las instrucciones.
1. Elijan dos números enteros positivos a y b tal que a < b. Por ejemplo, 2 y 3.
2. Ubíquenlos en la recta numérica.
3. Calculen el promedio d entre a y b y ubíquenlo en la recta numérica. Por
ejemplo, el promedio entre 2 y 3 es (2 + 3) ÷ 2 = 2,5, por lo tanto d = 2,5.
4. Calculen el promedio entre a y d y entre d y b y estimen su ubicación en la
recta numérica.
5. Repitan las cuatro instrucciones anteriores para dos números enteros
negativos.
6. Repitan las cuatro primeras instrucciones para dos números racionales no
enteros.
§ ¿Podrían seguir encontrando números racionales entre los números enteros dados al
inicio?
§ ¿Cuántos números racionales, por lo menos, hay entre dos números racionales?
§ ¿Siempre se puede encontrar un número racional entre dos números racionales?
¿Por qué?
§ ¿Cuántos números racionales hay en total entre los números enteros dados al inicio?
¿Es posible calcularlo?
§ Vuelve a responder la pregunta inicial. ¿Cambió tu respuesta?
Razonen
y comenten
7
Practica
1 2 3 4
3. Identifica un número entero entre cada par de
números.
a) 9 y 12
b) –1 y 1
c) –5 y 6
d) –16 y 0
e) 0 y 7
f) –250 y –248
g) –47 y –45
h) –150 y –111
i) –35 y –29
j) –100 y 98
Práctica guiada
4. Analiza las rectas numéricas y luego responde.

• b
a)
−2 −1
a
• Encuentra el número b que esté entre a y −1.
• Encuentra el número c que esté entre −2 y b.
b) −0,1 0,1
a
• Encuentra el número b que esté entre a y 0,1.
• Encuentra el número c que esté entre −0,1 y b.
c)

12
5
a

23
10
• Encuentra el número b que esté entre a y −12
5
• Encuentra el número c que esté entre − 23
10
y b.
d)
8
5
9
5
a
• Encuentra el número b que esté entre a y 9
5
.
• Encuentra el número c que esté entre 8
5
y b.
5. Calcula un número racional entre los dados, utilizando
la propiedad a
b
<
a+c
b+d
<
c
d
.
a) 1
4
y
3
10
b) 5
8
y
1
2
− − c) 3,7 y 5,8
Aplico
6. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
0 a c b
b = a + 1
a) Si a y b son números naturales, ¿c es un número
natural?
b) Si a y b son números enteros, ¿c es un número
entero?
c) Si a y b son números racionales, ¿c es un número
entero?
d) Determina tres posibles valores de a, b y c para el
caso anterior.
7. Conecta. ¿Qué diferencias y similitudes tendrá la
densidad en matemática con la densidad en física?
Investiga.
8. Descubre el error. ¿Qué error cometió Matilde al
decir que entre un millón y dos millones hay infinitos
números enteros?
9. Argumenta. ¿Por qué en el conjunto de los números
enteros no existe un número que se encuentre
entre dos números consecutivos? Justifica.
Integro Refuerzo
1. Describe una estrategia distinta a la vista en la lección
para encontrar un número racional entre dos números
racionales dados.
2. Utiliza el valor posicional para mostrar que entre 1,1 y 1,2 se
encuentran los números racionales 1,11; 1,12; 1,13… etc.
3. Utiliza lo anterior para determinar 10 números decimales
entre 2,1 y 2,2.
§ ¿Son densos los números naturales? ¿Y los números
enteros? ¿Por qué?
§ ¿Por qué es importante comprender que los números
racionales son densos?
§ Imagina que los números racionales son puntos geométricos
en una línea recta que representa la recta numérica.
¿La línea recta queda totalmente completa con estos
números o quedarían espacios sin rellenar?
Lección ¿
Cómo aproximar números racionales?
• Si tu promedio es 3,966666… en una asignatura, ¿la aprobaste o no? ¿Por qué?
• ¿Cuántas cifras significativas tendrá el decimal anterior? ¿Qué consideraste como cifra
significativa? Explica.
Palabras clave
Ü Aproximación.
Ü Redondeo.
Ü Truncamiento.
Ü Cifras significativas.
En resumen
Al aproximar un número racional por redondeo o por truncamiento, el número resultante
puede ser menor o mayor que el original; de ser menor, se dirá que la aproximación es por
defecto; mientras que si es mayor, se dirá que es por exceso.
Felipe calculó su promedio y le dio 3,96. La profesora le indicó que podía redondear
el promedio a la décima o truncarlo a la misma posición. ¿Qué le conviene
realizar a Felipe?
Para aproximar por redondeo, Felipe puede hacer lo siguiente:
Paso 1 Identificar la posición a la que se quiere redondear, en este caso, a la
décima.
Paso 2 Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente a la que determine
la aproximación:
• Si dicha cifra es menor que 5, no hay modificaciones en las cifras que
se conservan.
• Si dicha cifra es igual o mayor que 5, la cifra por aproximar se debe
aumentar en una unidad.
Cifra de la décima
Cifra mayor que 5
6 > 5 por lo tanto la cifra de la décima aumenta de 9
a 10. El resto de los decimales se transforman en 0.
3,9666666… → 4,0
Luego, el promedio de Felipe quedaría en 4,0 y aprobaría la asignatura.
Para aproximar por truncamiento Felipe puede realizar lo siguiente:
Paso 1 Identificar la posición a la que se quiere truncar, en este caso a la décima.
Paso 2 Considerar las cifras decimales hasta la posición que se determinó en el
paso anterior.
Cifra de la décima
No se consideran todos los
3,9666666… → 3,9 decimales después del 9.
Luego, el promedio de Felipe quedaría en 3,9 y no aprobaría la asignatura. A Felipe
le conviene redondear su promedio.
Otros ejemplos
• 2,7811 redondeado a la centésima
es 2,78.
• 67,065 redondeado a la milésima
es 67,065.
• –1,32 truncando al décima es –1,3.
• 900,7 truncado a diezmilésima es
900,7777.
Repasa
Redondear
§ 3601 redondeado a la UM
resulta 4000.
§ 456 redondeado a la D resulta
460.
§ 0,19 redondeado a la décima
resulta 0,2.
§ 0,4385 redondeado a la
milésima resulta 0,439.
Observa
§ Al redondear o truncar se comete
un error que corresponde al valor
absoluto de la diferencia del valor
exacto y su aproximación.
§ Por ejemplo:
|3,966666…− 4,0| = |−0,033…|
= 0,033…
8
1 2 3 4
2,1803
0,0803
4,8200
§ Vuelve a responder las preguntas que se hicieron al inicio, ¿cambiaron tus respuestas? ¿En
qué? Explica.
§ Al redondear el promedio de Felipe, ¿la aproximación es por defecto o por exceso?
§ Al truncar el promedio de Felipe, ¿la aproximación es por defecto o por exceso?
§ ¿En qué casos se hace necesario trabajar con cifras significativas? Menciona dos situaciones.
Razona
y comenta
En resumen
• Al sumar o restar medidas, la cantidad de decimales del resultado es igual a la menor
cantidad de decimales de los términos de la operación.
• Al multiplicar o dividir medidas, la cantidad de c. s del resultado es igual a la menor
cantidad de c. s de los términos de la operación.
¿Cuándo una cifra es significativa?
En Química, Felipe debía medir la masa de ciertos reactivos y anotar las medidas
con dos cifras significativas. ¿Qué número debería anotar Felipe para la masa de
cada reactivo?
Las cifras significativas (c. s.) sirven para expresar cantidades correspondientes a unidades
de medidas. Para determinar las c. s. de una medida puedes seguir los criterios:
• Todos los dígitos distintos de cero son significativos.
• Los ceros situados entre dos c. s. son significativos.
• Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.
• En los números que poseen cifras decimales, los ceros a la derecha del último
dígito distinto de cero son significativos.
Al escribir las cantidades con dos cifras significativas se redondea la última c. s.,
es decir:
2,1803 gramos tiene cinco c. s., escrito con dos c. s. es 2,2 g.
0,0803 gramos tiene tres c. s., escrito con dos c. s. es 0,080 g.
4,8200 tiene cinco c. s., escrito con dos c. s. es 4,8 g.
Luego, Felipe debía sumar las masas registradas utilizando c. s. Para ello siguió los pasos:
Paso 1 Sumar las cantidades utilizando la calculadora.
Paso 2 Calcular la menor cantidad de cifras decimales que poseen los sumandos.
Paso 3 Escribir el resultado redondeando a la cantidad de cifras decimales determinada
en el paso 2.
Por lo tanto, 2,2 + 0,080 + 4,8 = 7,08. La menor cantidad de decimales es 1 y el
resultado se expresa como 7,1 gramos.
Para multiplicar medidas utilizando c. s. se puede:
Paso 1 Multiplicar las cantidades usando la calculadora.
Paso 2 Calcular la menor cantidad de c. s. que poseen los factores.
Paso 3 Escribir el resultado con la cantidad de c. s. determinada en el paso 2.
Por ejemplo, el peso de un reactivo es 0,07 • 9,8 = 0,686. La menor cantidad de
c. s. es 1, por lo que el resultado se expresa como 0,7 kg · m/s2.
Observa
§ Escribir las medidas con una
cifra significativa:
2,1 → 2 ya que 1 < 5
0,08 0 → 0,08 ya que 0 < 5
4,8 → 5 ya que 8 > 5
§ Por lo tanto, las masas de los
reactivos escritos con una c. s.
son 2 g, 0,08 g y 5 g.
§ Cuando las medidas se expresan
en notación científica, se consideran
las c. s. que acompañan
a la potencia de 10.
3,45 x10−3 tiene 3 c. s.
5,6 x 108 tiene 2 c. s.
Masa de los reactivos.
Practica
Repaso
1. Aproxima por redondeo los números, según la
cifra que se indica.
a) 456 a la decena
b) 863 a la decena
c) 5719 a la centena
d) 19 568 a la centena
e) 637 a la unidad
f) 3,7 a la unidad
g) 21,62 a la décima.
h) 0,36 a la décima.
i) 1,232 a la centésima
j) 3,995 a la centésima
k) 0,7896 a la milésima
l) 9,0099 a la milésima
Práctica guiada
2. Aproxima por redondeo los números decimales,
según la cifra que se indica.
a) 5,05 a la décima
b) –6,79 a la décima
c) 4,708 a la centésima
d) 0,0009 a la milésima
e) 0,65 a la décima
f) –2,13 a la diezmilésima
3. Encuentra un número a partir de la aproximación
por redondeo indicada.
a) –8 a la unidad
b) 1,8 a la décima
c) –1,7 a la décima
d) 5,60 a la centésima
e) –80,615 a la milésima
f) –0,1111 a la diezmilésima
4. Aproxima por truncamiento los números decimales
según la cifra que se indica.
a) 0,96 a la décima
b) –9,28 a la décima
c) 90,02 a la centésima
d) 21,667 a la milésima
e) 5,6 a la décima
f) – 60,8 a la centésima
5. Encuentra un número a partir de la aproximación
por truncamiento indicada.
a) 0,9 a la décima
b) –5,8 a la décima
c) 6,70 a la centésima
d) –90,062 a la milésima
e) –1,2223 a la diezmilésima
f) –10 a la unidad
6. Analiza la tabla y luego complétala.
Número Redondear a la… Error
–25,46 décima –25,5 |–25,46 – (–25,5)| = 0,04
87,15 décima
–2,1 centésima
6,235 milésima
–13,28 diezmilésima
7. Analiza la tabla y luego complétala.
Número Truncar a la… Error
–9,18 décima –9,1 |–9,18 –(–9,1)| = 0,08
–3,2 décima
1,37 milésima
–5,007 centésima
28,132 diezmilésima
8. Calcula las cifras significativas de los siguientes
componentes de una mezcla.
a) 3,405 l de cloro.
b) 1,025 g de azufre.
c) 3,800 g de platino.
d) 1,950 l de nitrógeno.
e) 0,003 g de aluminio.
f) 0,960 g de bromo.
9. Expresa las siguientes medidas con la cantidad de
cifras significativas que se indican.
Medida (g) Expresada con …
0,250 1 c. s. 0,3
0,256 1 c. s.
1,750 1 c. s.
3,089 2 c. s.
0,102 2 c. s.
1,800 3 c. s.
2,0890 3 c. s.
Practica
1 2 3 4
10. Calcula las siguientes adiciones y sustracciones
con la calculadora y expresa el resultado, aplicando
los criterios de cifras significativas.
a) 1,400 + 1,009
b) 0,002 + 5,17
c) 3,06 – 0,07
d) 5,890 – 9,6
e) 0,0560 – 0,005
f) 9,015 + 0,16 + 4,90
g) 7,905 – 0,12 – 2,100
h) 8,6 + 0,008 – 5,930
11. Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones
con la calculadora y expresa el resultado, utilizando
los criterios de cifras significativas.
a) 0,9 • 0,5
b) 3,2 • 2,1
c) 4,52 • 0,3
d) 89,6 • 1,02
e) 5,12 ÷ 0,20
f) 1,08 ÷ 72,06
Aplico
12. Resuelve los siguientes problemas. Para ello puedes
utilizar la calculadora y si es necesario aproxima
los datos o bien los resultados.
a) Jaime tiene la siguientes notas en una de las
asignaturas de la carrera que estudia:
4,5; 3,8; 6,5; 5,5; 4,8
Si aún le queda una evaluación por rendir, y para
eximirse del examen final debe tener un promedio
superior o igual a 5,0. ¿Desde qué nota no
le permite cumplir el promedio? Considera que
las notas tienen una cifra decimal. ¿Redondeaste
o truncaste el promedio de las notas que tiene
Jaime para determinar la respuesta? Justifica.
b) Martina necesita cambiar 4,5 dólares en una casa
de cambio. Si se sabe que 1 dólar equivale a $505,3,
¿cuánto dinero debiera entregarle el cajero? ¿Truncaste
o redondeaste el resultado? Justifica.
c) La encargada de una librería registra diariamente
las ventas de agendas que se hacen en una
semana. A continuación se muestran las ventas
de la primera semana de enero:
Día N° de ventas
Lunes 20
Martes 16
Miércoles 18
Jueves 19
Viernes 10
• ¿Cuántas agendas se venden en promedio
durante esa semana? ¿Truncaste o redondeaste
el resultado? Justifica.
d) Mauricio debe realizar una mezcla con elementos
sólidos. ¿Cuánta masa tiene la mezcla de 1,036 g
de potasio; 3,20 g de sodio y 0,120 g de calcio?
Expresa tu resultado con cifras significativas.
e) Lorena debe vaciar en un recipiente 3 frascos
de precipitados con 0,003 g de molibdeno y la
mitad de un vaso que contiene 0,50 g de cobalto,
¿cuántos gramos aproximadamente depositará
en el recipiente? Expresa tu resultado con cifras
significativas.
13. Conecta. La masa de la tierra es de 1,9891 • 1030 kg.
¿Cuántas c. s. tiene este valor?
14. Descubre el error. Francisco midió gramos de
aluminio en su balanza. La pesa mostró una masa
de 1,0130 g. Al registrar esta medida en su cuaderno,
anotó 1,013 g. considerando tres c. s. ¿En
qué se equivocó?
15. Describe el procedimiento. Describe paso a
paso el procedimiento para calcular la siguiente
operación utilizando cifras significativas:
0,010 • 1,20 – 0,108 ÷ 1,20
16. Crea. Inventa un problema en donde sea necesario
aproximar o truncar a la unidad.
Integro Refuerzo
1. Calcula el error que se comete al redondear y truncar a
la centésima la masa de un roedor que pesa 4,567 kg.
¿En qué aproximación el error es menor? Entonces, ¿cuál
resultado es más exacto?
2. La sonda Pathfinder fue enviada a Marte en 1996. Si la
masa del robot era de 870 kg y la aceleración de gravedad
en el planeta rojo es de 3,711 m/s2, ¿cuál es el peso
de la sonda expresado con 2 cifras significativas?
§ ¿Cuál es la importancia de la aproximación en la operatoria
con números racionales? Investiga la aproximación
que se utiliza en informática.
§ ¿Cuál es el rol que cumple el error en la aproximación
de los resultados?
§ ¿Cuál es el rol que cumplen las cifras significativas al
expresar los resultados? Explica.
Lección ¿
Cuáles son las limitaciones de la calculadora al
realizar cálculos con números racionales?
• Si tuvieras que ingresar 0,1 en la calculadora y colocaras muchos unos al decimal, ¿podrías
considerar que ingresaste el número 0,1? ¿Por qué? ¿Qué resultado entrega la calculadora
al realizar la división entre 71 y 3?
Palabras clave
Ü Calculadora.
Ü Aproximación.
Una de las limitaciones que existe al trabajar con números racionales en la calculadora
es que los resultados que muestra la pantalla son aproximaciones del resultado
real. Esto se debe al tamaño limitado de su pantalla: mientras más grande sea esta, más
decimales aparecerán y más exacto será el resultado. Por otra parte, al utilizar aproximaciones
de los resultados de las operaciones intermedias que resuelven un problema,
se comete un error en el resultado final. Veamos un ejemplo:
Los tres amigos deben dibujar el rectángulo anterior repetidas veces hasta cubrir
una hoja tamaño carta. Si la hoja mide 21,59 cm de ancho y 27,94 cm de largo,
¿cuántos rectángulos como máximo pueden dibujar? ¿Queda hoja sin rellenar con
rectángulos? ¿Cuál es el área que queda?
Taller
Reúnanse en grupos de cuatro integrantes, lean y discutan las preguntas
planteadas.
Pedro, Ana y Raúl calcularon el área de un rectángulo de lados 3
7
cm y 5
7
cm en
diferentes calculadoras y obtuvieron los siguientes resultados.
Pedro 0,306122449
Ana
Raúl 0,30612244897959
§ ¿Por qué las calculadoras entregan diferente cantidad de cifras decimales? ¿De qué
depende?
§ ¿Por qué en la primera calculadora la última cifra decimal es 9? ¿Qué aproximación
realizó?
§ Si el número encontrado lo tienen que usar para otra operación, ¿qué harían?
§ ¿Qué limitaciones existen al trabajar con números racionales en la calculadora?
Razonen
y comenten
Relaciona
§ S i los amigos consideraran
el rectángulo en la hoja de la
siguiente manera:
27,94 cm
21,59 cm
3/ 7
5/ 7
§ ¿ Cuántos rectángulos como
máximo pueden dibujar? ¿Serán
más o menos que de la otra manera?
¿Cuál es el área que queda
sin rellenar con rectángulos?
9
27,94 cm
21,59 cm
3/ 7
5/ 7
1 2 3 4
Los amigos realizaron las siguientes operaciones en la calculadora para determinar
cuántos rectángulos caben en el ancho de la hoja y cuántos en el largo:
Paso 1 Dividir el ancho de la hoja en el ancho del rectángulo.
21,59÷ =
3
7
21,59 ÷ 3⅃7
50,37666667
50 redondeado
a la unidad
Paso 2 Dividir el largo de la hoja en el largo del rectángulo.
27,94÷ =
5
7
21,94 ÷ 5⅃7
39,116
39 redondeado
a la unidad
Caben 50 rectángulos hacia al lado y 39 hacia abajo, en total 50 • 39 = 1950 rectángulos.
Como se aproximaron los resultados significa que queda parte de la hoja
donde no cabe un rectángulo completo.
§ ¿Es necesario considerar los decimales de los resultados obtenidos en la calculadora
para lo que se desea conocer? ¿Para qué se redondeó a la unidad?
§ ¿Qué aproximación realizó la calculadora en el paso 1? ¿A qué número racional
exacto corresponde?
Razona
y comenta
Para calcular esa superficie, los amigos realizaron lo siguiente en la calculadora:
Paso 3 Multiplicar el ancho del rectángulo por las 50 veces que cabe. Realizar el
procedimiento para el largo.
50 x 3⅃7
21.42857143
39 x 5⅃7
50• 27.85714286
3
7
=
Para el ancho: Para el largo:
39•
5
7
=
Paso 4 Restar el resultado anterior al ancho de la hoja y obtener el ancho de la
hoja restante. Repetir el procedimiento para el largo.
Para el ancho: Para el largo:
21.59 – Ans
0.161428571
27.94 – Ans
0.082857142
Paso5 Calcular el área de la superficie, considerando dos cifras significativas.
0,16 • 0,08 = 0,0128 → 0,013 cm2
El área que queda sin cubrir es de 0,013 cm2.
Caben 1950 rectángulos sobrando 0,013 cm2 de la hoja tamaño carta.
§ Los resultados obtenidos en el paso 3, ¿son números racionales? ¿Por qué?
§ En el paso 4, ¿si aproximaras los resultados a qué posición lo harías? ¿Por qué? ¿En qué
influirá esta aproximación en el resultado final?
§ ¿Por qué en el paso 5 se aproximó? ¿Cómo ingresarías las operaciones en la calculadora
para no tener que aproximar?
Razona
y comenta
Observa
§ La tecla Ans ( ) es la
abreviatura de answer que
significa respuesta o contestación.
Esta tecla muestra en pantalla el
resultado de la operación anterior.
Es muy útil para seguir operando.
Observa
§ Para calcular la superficie no
ocupada, utilizando tu calculadora
y realizando los pasos 3, 4
y 5 en uno solo, debes utilizar
paréntesis en las operaciones.
Sigue la ruta para introducir
a tu calculadora la operación
completa:
Practica
Repaso
1. Completa las siguientes tablas.
Número Redondear a la… Error
0,326 centésima
10,9109 décima
–35,4752 diezmilésima
0,999 unidad
–2,3422 milésima
Número Truncar a la… Error
2,4571 centésima
–25,83579 décima
899,9999 diezmilésima
–10,8756 unidad
1,111122 milésima
2. Identifica cuántas cifras significativas tienen los
siguientes números racionales.
a) 0,156
b) 7,639
c) 0,10
d) 2,05
e) 0,180
f) 5,6
g) 1,330
h) 402,3
i) 96,500
j) 1,01
k) 6,203
l) 0,00306
Práctica guiada
3. Identifica la aproximación que realizó la calculadora.
a)
15÷9
1.666666667
b)
2÷3
0.666666666
c)
8÷15
1.533333333
d)
3÷7
0.428571428
e) 1÷18
0.055555555
f)
10÷11
0.909090909
4. Calcula las siguientes operaciones en la calculadora.
a) 0,1+
3
4

5
8
b) 0,5–
2
3
+ –
15
4
 
 
c) 0,25–
1
3
+1,12 
 
 
d) 3,1+
8
5

4
7
 
 
e) 10,9– 8,002+
8
9
 
 
f) 13
12
•(–0,1)+2,13
g) 9 • –
2
3
– 3,56+
1
2
 
 
 
 
h) 1,64+7,6 ÷0,6–8,1+
17
2
Aplico
5. Analiza la situación y luego responde.
Martina introdujo la siguiente operación en la calculadora
científica: 0,17+ 2,68 −1,6 redondeando los
números decimales a la centésima y obtuvo 1,27.
a) Si el valor exacto de la operación es 1,26, ¿cuál
es el error cometido entre el valor exacto y la
aproximación?
b) Redondea a la centésima el valor exacto de la
operación.
c) ¿Cuál es el error cometido entre el valor exacto
y lo que obtuviste en b)?
d) Compara los errores calculados en a) y en c).
¿Qué sucedió?
e) ¿Qué puedes concluir acerca de los procedimientos
realizados?
6. Analiza la situación y luego responde.
Manuel introdujo la siguiente operación en la calculadora
científica: 1,8− 2,3− 0,8, truncando el número
decimal a la unidad y obtuvo –1.
a) Si el valor exacto de la operación es –1,3. ¿Cuál es
el error cometido?
b) Trunca a la unidad el valor exacto de la operación.
c) ¿Cuál es el error cometido entre el valor exacto y
lo que obtuviste en b)?
d) Compara los errores calculados en a) y en c).
¿Qué sucedió?
e) ¿Qué puedes concluir acerca de los procedimientos
realizados?
Practica
1 2 3 4
7. Analiza con tu calculadora científica qué sucede
cuando el resultado de una operación entre dos
o más valores es un número de 10 o más cifras. A
modo de ejercicio, resuelve lo siguiente:
23 567 895 • 410 –12 555 980
a) ¿Qué número se muestra como resultado en tu
calculadora?
b) ¿El número es finito o infinito? Justifica.
c) Si es finito, escribe el número completo.
d) Trunca el número obtenido en la calculadora a
la centésima. Luego, inventa una situación en la
que puedas escribir este valor truncado.
e) Si el número resultante en la calculadora lo
redondeas a la centésima, ¿se obtiene la misma
aproximación realizada en d)? Justifica.
f) Si ahora calculas 2 ÷ 7, ¿se obtiene un número
decimal finito o infinito? Justifica.
g) ¿Crees que la calculadora está programada para
redondear o truncar ciertos tipos de números?
Para responder, haz la prueba resolviendo varias
operaciones entre dos o más valores.
8. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la
calculadora y realizando las aproximaciones que
estimes convenientes.
a) Los lados de un triángulo son 4
3
cm, 5,8 cm y
6,6 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
b) ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 13
7
cm?
c) El volumen de una esfera se puede determinar
con la fórmula
π
V
4 r
3
3
= . ¿Cuál es el volumen de
una esfera de radio 4,9 m?
d) Para convertir grados Fahrenheit en grados Celsius
se emplea la expresión C
5
9
° = •(°F − 32). ¿A
cuántos grados Celsius equivalen 0,8 °F?
9. Conecta. La fuerza eléctrica entre dos cargas se
puede calcular mediante la expresión F
K • q •q
r
1 2
2 =
donde K es la constante de Coulomb cuyo valor
es 9 • 10⁹ Nm²/C², q1 y q2 son las cargas de los dos
cuerpos y r la distancia entre dichos cuerpos. ¿Cuál
es la fuerza eléctrica que ejercen dos cuerpos
cuyas cargas son de 3,5 C y 5,1 C respectivamente
y que se encuentran a una distancia de 4
3
m?
10. Descubre el error. Martina realizó una operación
matemática en su calculadora y en el resultado
obtuvo el siguiente número:
-9,65865866
Luego, Martina afirma que el número es un
irracional, y que este ha sido redondeado por la
calculadora. ¿Cuál es el error que cometió Martina
en su afirmación?
11. Describe el procedimiento. Cuando utilizas
tu calculadora para operar con los datos de un
problema cuyo resultado es un número decimal
periódico o semiperiódico, ¿cómo determinas si
el número fue truncado o aproximado por la calculadora?
¿Cómo entregas la solución al problema?
¿Aproximas o truncas? ¿Con cuál de las dos
aproximaciones se comete un menor error? ¿Qué
es más exacto, aproximar los datos o aproximar el
resultando final?
12. Argumenta. María afirma que se comete un menor
error, cuando se aproxima por redondeo que
cuando se hace por truncamiento. ¿Es correcta su
afirmación? Justifica.
13. Crea. Inventa un problema donde tengas que utilizar
como datos números racionales y la solución
al problema corresponda a un número decimal
periódico o semiperiódico.
Integro Refuerzo
1. Describe una situación en donde sea necesario entregar
un resultado lo más exacto posible.
2. Describe una situación en donde sea pertinente y
necesario aproximar ya sea el resultado o las cantidades
involucradas.
§ ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de utilizar la
calculadora para realizar operaciones con números
racionales? Describe dos ventajas y dos desventajas.
§ ¿En qué casos la aproximación prevalece frente a la
exactitud de los resultados? En estos casos, ¿qué rol
cumple la calculadora? Explica.
Integración
Integro
mis aprendizajes
1 Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a. 7 ÷ –
2
7
 
 
b. 1
4

3
8
+
1
2
 
 
c. 1
5
+ 0,3– 0,2
d. 2
3

1
4
3
8
 −
 

 

e. 1
3
÷
2
5
• –
8
9
 
 
 
 
f. 4
5

1
6
÷
5
9
+
2
3
 
 
 
 
g. 13
8
+
5
4

4
9

8
9
− 
 
 
− 
 
 
+
h. 1
2
+
4
3

10
9
÷
8
9
 
 
i. 
 
 

 

 
 
 

1
2
÷
3
2
÷ –
9
10
j. 5
6
• 3
2
3
÷
1
36
 
 
k. 2–
1
3
• 3–
1
4
÷ 1–
1
5
 
 
 
 
 
 
l. 4
9
÷
16
18
– 1
5
8
+2 
 
 
 
 
2 Calcula la aproximación por redondeo y truncamiento
de los números según la cifra decimal que
se indica.
a. 21,9 a la décima.
b. –7,099 a la centésima.
c. 8,32 a la décima.
d. 2,109 a la centésima.
e. −18,07 a la décima.
f. 90,51 a la unidad.
g. 0,008 a la diezmilésima.
3 Resuelve los siguientes problemas utilizando
aproximaciones.
a. Las notas de Estela en Matemática eran las
siguientes:
3,8; 5,6; 6,2; 4,1; 5,8; 4,4
Si para eximirse debe tener un promedio superior
a 5,0, ¿se debiera truncar o redondear el
promedio para tener la nota mínima de eximición?
¿A qué cifra decimal se debiera truncar o
redondear el promedio? Justifica tu respuesta.
b. El precio por litro de bencina de 93 octanos es
de $723,6. Si un taxista llena su estanque con
23 L de bencina, ¿cuál es el monto aproximado
que debiera pagar por llenar el estanque?
¿Truncaste o redondeaste el resultado? Justifica
tu respuesta.
c. La madre de Ana debe repartir entre ella y sus
seis hermanos una herencia de $12 000 000.
¿Cuál es el dinero aproximado que recibirá
cada hermano? ¿A qué cifra decimal se debiera
aproximar el monto, si debe ser equitativo con
cada uno? Justifica tu respuesta.
d. El ascensor de un edificio asciende y desciende
en promedio 700 m diariamente. Si a las 8:00 ya
lleva recorrido 8
15
de lo que recorre en promedio,
y desde las 8:00 hasta las 13:00 realiza 2
5
más
de recorrido, ¿cuál es la fracción que le queda
por recorrer y cuántos metros le faltan para
alcanzar el promedio recorrido diariamente?
e. Tres hermanas recibirán una herencia. La mayor
recibirá 1
7
de los $1 500 000 que se heredarán,
la hermana del medio recibirá 1
9
de la herencia
y la pequeña recibirá el resto. ¿Cuál es la fracción
que heredó la hermana menor? ¿Cuánto dinero
aproximadamente recibirá cada hermana?
Resolver problemas utilizando la aproximación y la operatoria en los números
racionales (lecciones 5, 8 y 9).
Integración
Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto.
1 2 3 4
Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales (lección 6 y 7).
4 Resuelve los siguientes problemas.
a. Un castor come un cuarto de su comida diaria
durante la mañana y luego come 3
5
más de su
comida durante la tarde. ¿Cuál es la fracción de
comida que le falta por consumir?
b. El total de estudiantes de un curso es 45. Un tercio
de ellos escogió el electivo de Matemática,
4
9
escogió Biología y el resto escogió Lenguaje.
¿Cuál es la fracción de estudiantes que escogió
Lenguaje? ¿Cuántos estudiantes escogieron este
electivo?
c. Valeria se comió 13
16
de sus papas en el almuerzo.
¿Cuántos gramos de papas tenía inicialmente
si se comió 300 gramos?
d. Una vuelta de broca de un taladro deja un
agujero en la muralla de 3
4
milímetros de
profundidad. ¿Cuántas vueltas tendrá que dar la
broca para que el agujero alcance una profundidad
de 8 cm?
e. Jaime compró 20 docenas de huevos para
abastecer su negocio.
8
16
del total de huevos,
los vendió durante la primera semana y 2
5
de
los huevos que quedaban, durante la segunda.
¿Cuántos huevos quedan aún por vender?
f. El corazón de una persona de 25 años late hasta
32 veces en 10 segundos al realizar actividad
física. Si una persona de esa edad se ejercita
40 minutos, ¿cuántas veces latirá su corazón en
ese periodo de tiempo?
g. La calidad de los objetos de oro se mide en quilates.
Un quilate significa que de 24 partes de un
metal, una parte de ellas es oro puro. Si se tiene
una joya de 18 quilates que pesa 90 gramos,
¿cuál es la cantidad de oro que tiene dicha joya?
c. Si c, d ∈ −, entonces c d
c
d
+
d
c
 = ∈ .
d. Si a, b ∈ −, entonces a Θ b = 2a² + 3b² ∈ .
e. Si a, b ∈ +, entonces a Ω b = ab − (a + b)² ∈ .
f. Si c, d ∈ , entonces c ⊗ d =
2cd
c
− 5cd ∈ +.
6 Entre 0,5 y 0,6 se encuentran los números 0,51;
0,52;… Encuentra 3 números entre:
a. 0,1 y 0,2
b. 2,8 y 2,9
c. –5,3 y –5,2
d. 0,01 y 0,02
e. 7,26 y 7,27
f. –13,25 y –13,24
g. 0,001 y 0,002
h. 5,803 y 5,804
i. –60,008 y –60,007
7 Calcula tres números racionales entre los siguientes
números.
a. 0 y 1
b. 4
5
− y 0,2
c. 1
9
y 6
9
d. 1,2 y 1,2
e. –
2
3
y –
3
5
f. –
9
4
y – 2,2
g. –
12
9
y 1,3
h. –0,3 y –
3
10
8 ¿Existen infinitos números racionales con
denominador 6 entre 4
3
y 16
6
? Justifica tu
respuesta.
9 ¿Existen infinitos números racionales con hasta
dos cifras decimales entre 0,9 y 1,1? Justifica tu
respuesta.
10 ¿Existen infinitos números racionales con hasta
tres cifras decimales entre 0,11 y 0,12? Justifica tu
respuesta.
5 Evalúa las siguientes afirmaciones.
a. Si a, b ∈ , entonces a ⊕ b = a • b + 1 ∈ .
b. Si a, b ∈ , entonces a Δ b = 2b + 3a ∈ .
Aplico mis aprendizajes
Resolución de problemas
Problema
Javier y Matilde tienen un canasto de mandarinas. Javier se comió
2
3
de ellas y
Matilde
1
30
. ¿Qué fracción de mandarinas quedan sin comer?
Paso 1 Comprendo. ¿Qué entendiste del problema?
Se quiere determinar la fracción de mandarinas que no se han comido.
Paso 2 Planifico. ¿Qué harías para resolver el problema?
1° Sumar las fracciones de mandarinas que se comieron los amigos. Para ello se
debe obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores y amplificar las
fracciones para igualar los denominadores, luego se suman los numeradores.
2° Restar al entero la fracción obtenida en el paso anterior.
Paso 3 Resuelvo. ¿Cómo ejecutarías la estrategia?
1° El mínimo común múltiplo entre 3 y 30 es 30.
Se amplifica la primera fracción por 10 y la segunda queda igual
2 + = + = =
3
1
30
20
30
1
30
21
30
7
10
La fracción de fruta que se comieron fue de 7
10
.
2° El entero en este caso sería 10
10
. Al restarle la fracción de fruta comida quedaría:
10 − =
10
7
10
3
10
Ada Byron, Lady Lovelace
(1815 – 1852)
Hija del poeta Lord Byron
y su esposa Anne Isabella
Byron, se destacó como
matemática y escritora. Fue
conocida principalmente por
su trabajo en la máquina de
Charles Babbage , la máquina
analítica. Sus notas incluyen
lo que se reconoce como el
primer algoritmo destinado
a ser procesado por una
máquina. Debido a esto, a
menudo se considera la primera
programadora de computador
del mundo.
Resolución de problemas
1 2 3 4
Resuelve los siguientes problemas.
1. Un alumno dedica 1
4
del día en ir al colegio,
3
8
del día en dormir y 1
5
del día para realizar
tareas pendientes. Si el resto del día es dedicado
al tiempo libre, ¿cuál es la fracción del día correspondiente
a dicho tiempo libre?
2. Una profesora corrigió 6
7
de pruebas con lápiz
de pasta rojo y 1
9
con lápiz de pasta azul. Si aún
le quedan 70 pruebas por corregir, ¿cuántas ha
corregido?
3. Martín se fue de vacaciones al sur con sus amigos.
Durante el viaje recorrió 2
7
del camino
en camiones, 3
8
en buses y el resto lo hizo en
automóviles. Si en total recorrió 950 km, ¿cuántos
kilómetros recorrió en automóviles?
4. Cristina tiene variados juegos de consola. Un
quinto de ellos es de estrategias, 3
8
de misterio,
1
9
son juegos basados en historias de películas y
el resto de los juegos son de deportes. ¿Cuál es la
fracción de juegos correspondientes a deportes?
5. Se ocuparon 3
8
de un cuaderno de 100 hojas, la
mitad quedó desocupada y el resto fue arrancado.
Paso 4 Reviso. ¿Cómo saber que es correcto el resultado?
Comprueba el resultado sumando las fracciones. Debe ser equivalente
a la unidad.
+ + = + + = + + = = 2
3
1
30
3
10
2 • 10 1•1 3• 3
30
20 1 9
30
30
30
1
Paso 5 Comunico. ¿Cómo interpretas el resultado obtenido?
La fracción de mandarinas que queda sin comer es 3
10
.
¿Cuál es la fracción de hojas que fueron arrancadas?
¿Cuántas hojas están desocupadas?
6. Marcelo dividió una tortilla en 8 trozos iguales.
Él se comió la cuarta parte de los trozos de una
tortilla y Felipe, el doble de los trozos que comió
Marcelo. Por otra parte, Camila dice que Marcelo
se comió la mitad de lo que han comido juntos
Marcelo y Felipe. ¿Cuántos trozos han comido
Marcelo y Felipe juntos? ¿Está en lo correcto
Camila?
7. Una parcela se divide en tres terrenos. El primero
corresponde a los 4
7
de la superficie total de la
parcela, y el segundo corresponde a la mitad del
primero. ¿Qué fracción de la parcela representa el
tercer terreno?
8. Fabián donó $600 000 a tres fundaciones. A la
fundación X donó la tercera parte del dinero, a
la fundación Y donó 2
5
, y a la fundación Z donó
el resto. ¿Cuál es la fracción del dinero que donó
a la fundación Z? ¿Cuánto dinero donó a cada
fundación?
9. De un depósito con agua, se ha sacado: un sexto
de agua la primera vez y luego el resto. Si el depósito
tenía 300 litros de agua, ¿cuántos litros de
agua se sacaron la primera vez? ¿Y la segunda vez?
§ Explica con tus palabras la estrategia trabajada y comenta con tus compañeros y compañeras
qué les pareció.
§ ¿Qué otra estrategia conoces para resolver el mismo problema? Describe una.
§ ¿Cómo resolverías este tipo de problemas? ¿Por qué?
Reflexiona
El papiro de Ahmes fue
escrito por el escriba
Ahmes en 1650 a.C.
a partir de escritos de
200 anos de antigüedad.
De este, se extrajo
información sobre
cómo los egipcios
resolvían problemas
cotidianos que involucraban
fracciones.
Lección Palabras clave
Ü Potencias de base racional y
exponente entero.
Carla, técnico electricista, realiza la mantención
del puente que se muestra en la imagen.
Si en el puente, a cada pilar lo sigue otro
cuya longitud es 5
6
del anterior, ¿cuál es la
longitud del quinto pilar, considerando que
el mayor de ellos tiene una longitud de 50 m?
Para calcular la longitud del quinto pilar
Carla siguió los pasos:
Paso 1 Expresar la longitud del pilar 5 en función del primero y del resto de los
pilares anteriores a él.
50•
5
6

5
6

5
6

5
6
Longitud del 2do pilar.
Longitud del 3er pilar.
Longitud del 4to pilar. Longitud del 5to pilar.
Longitud del 1er pilar.
Paso 2 Expresar la multiplicación iterada como una potencia de base racional y
exponente entero.
50•
5
6
4 
 
 
Paso 3 Calcular el resultado de la potencia para encontrar la longitud del pilar 5.
5
6
5
6

5
6

5
6

5
6
5• 5• 5•5
6 • 6 • 6 • 6
5
6
625
1296
4 4
4
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
= = =
Luego,
50•
625
1296
50• 625
1296
31 250
1296
24
73
648
= = = = 24,11265432  24
El quinto pilar mide aproximadamente 24 m de longitud.
¿Qué es una potencia de base racional y
exponente entero?
• Si quisieras expresar 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 de forma abreviada ¿cómo lo harías?
Pilar 1
Pilar 2
Pilar 3
Pilar 4
Pilar 5
Observa
§
9
7
=
9
7

9
7

9
7
=
9 • 9 • 9
7 • 7 • 7
=
9
7
=
729
343
3
3
3
 
 
§ –
1
3
= –
1
3
• –
1
3
=
1•1
3• 3
=
1
3
=
1
9
2
2
2
 
 
 
 
 
 
§

1,6 =
16 –1
9
=
15
9
=
5
3
=
5
3
5
3
=
25
9
2
2 2
2
 
 
 
 
 
 
10
En resumen
Para calcular una potencia de base racional y exponente entero positivo puedes utilizar la
siguiente expresión:
a
b
a
b
n n
n
 
 
= con a, b ∈, b  0 y n ∈+.
Observa
+ corresponde al conjunto de
números enteros positivos.
1 2 3 4
¿Cómo se calcula una potencia de base racional y exponente entero negativo?
En este nivel se introduce la potencia de base racional y exponente negativo que
equivale al inverso multiplicativo de la base elevada a un exponente positivo. Observa
los pasos para calcular la potencia 4–².
Paso 1 Expresar la potencia involucrada, utilizando la propiedad de división de
potencias de igual base.
4 = 4 = 4 = = =
4
4 • 4 • 4
4 • 4 • 4 • 4 • 4
1
4 • 4
1
4
–2 3–5
3
5 2
Paso 2 Calcular el resultado de la potencia de base racional y exponente entero
positivo. Se observa que la potencia involucrada es igual al inverso multiplicativo
de la base elevada al inverso aditivo del exponente.
( )
Luego 4 = 1
4
= 1
16
Además4 = 1
4
= 1
4
–2
2
–2
2
2
¿Cómo se calcula una potencia de base racional y exponente cero?
Observa el procedimiento para calcular a⁰ donde a ∈  y a ≠ 0 .
a⁰ = an–n = = = a • a • … • a
a • a • … • a
a • a • … • a
a • a • … • a
1
n veces
n veces


En resumen
1. Para calcular una potencia de base racional y exponente entero negativo puedes
utilizar la siguiente expresión:
 
 
=
 
 
= 
 
 
− a
b
1
a
b
b
a
=
b
a
n
n
n n
n
con a, b ∈ –{0} y n ∈+.
2. Para calcular una potencia de base racional y exponente cero puedes utilizar la
siguiente expresión:
a
b
1
0 
 
 
= con a, b ∈ –{0}.
Practica
Repaso
1. Representa como potencia las siguientes multiplicaciones
iteradas.
a) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5
b) (–6) • (–6) • (–6)
c) (–3) • (–3) • (–3) • (–3)
d) 111 • 111 • 111 • 111
e) (–8) • (–8) • (–8)
f) 12 • 12 • 12 • 12 • 12
Observa
§¿Por qué 
 
 
2
3
 –
2
3
3 3
– ?
§ –
2
3
= –
2 • 2 • 2
3
= –
8
3
3
§
 
 
 
 
 
 
 
 

2
3
= –
2
3
• –
2
3
• –
2
3
= –
8
27
3
Relaciona
§ ¿Cuánto es 0,3–2? Describe
cómo lo calculaste.
§ ¿Cuanto es –

2,13
1 ( ) ? Describe
como lo calculaste.
§ Vuelve a responder la
pregunta del inicio,
¿cambió tu respuesta?
¿Por qué?
§ ¿Cómo calcularías
(0,33333…)–2? Describe
tu procedimiento.
§ ¿Cuál es el resultado de
0
5
3 
 
 
? Recuerda que
0n = 0, con n ≠ 0.
Razona
y comenta
2. Representa como una multiplicación iterada las
siguientes potencias.
a) –116
b) –25
c) (–7)4
d) 443
e) (–22)3
f) 1234
Practica
3. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a) (–3) • –3 •3
3
2 2 3
2
b) 5 (–5)
5
• 4 2
c) –3 +4 – –7
3
3 2 3 ( ) ( )
d) ( –1) •(–3) +(–8) –(–5) 17 5 2 3
Práctica guiada
4. Representa cada número como una potencia de
base positiva y también como una potencia de
base negativa. Luego, responde.
a)
64
b)
121
c)
169
d)
625
e) En cada caso, ¿por qué las potencias de base positiva
o negativa tienen el mismo valor? Justifica.
5. Expresa como potencias de exponente entero
positivo. Luego, calcula su valor.
a) 5–4
b) 8–4
c) 10–6
d) 3–2
e) 12–6
f) (–3)–4
g) –7–2
h) –9–3
6. Expresa como potencias de exponente entero
negativo.
a) –
1
35
b) 1
106
c) 1
96
d) 1
(–1)4
e) 1
(–2)5
f) 1
(–3)3
g) 1
(–5)4
h) 1
–32
7. Calcula el valor de las potencias.
a) (–3)–4
b) –8–3
c) 6–4
d) 5–5
e) –(–2)–10
f) –(–3)–5
g) –(–1)–100
h) –11025
i) –(–3)–4
j) (–2)–11
k) –(–8)–3
l) (–7)–4
8. Calcula el valor de las potencias. Luego resuelve la
adición.
a) 6–2 + 6–3
b) 2–2 + 2–4
c) –5–2 + 5–3
d) –4–4 + 4–2
9. Calcula el valor de las potencias. Luego resuelve
la multiplicación.
a) 5–2 • 5–3
b) 8–1 • 8–5
c) (–6)–2 • (–6)–2
d) –12–3 • (–12)–5
10. Calcula el valor de las potencias.
a) 1
2
4 
 
 
b) (–0,5)2
c) 1
4
4
− 
   
d)
2
3
10 
 
 
e) 3
5
2
− 
 
 
f) 1
20
0
− 
 
 
g) (–4,75)1
h) –(0,75)3
i)
2
3
5
−
 
 
j) 1
3
4
− − 
 
 
k) 5
4
1
−
 
 
l) –2,5
3 ( )
m) 1,028
1 ( )−
n) –4,5–2
o) –4,5
–2 ( )
11. Calcula el valor de las potencias. Luego resuelve
la multiplicación.
a) 1
–4
• –2 –5
( 8 )
( )
b) –3 • –
1
–9
5
–2 ( )

 

 
c) –
1
–6
• –2 2
( –8 ) ( )
d) –1
– –5
• 4 –3
–3
( )
Practica
1 2 3 4
A este que se le aplica el mismo procedimiento,
uniendo sus puntos medios y así sucesivamente.
• ¿Cuál es el área del cuadrado que resulta al
repetir 4 veces el procedimiento?
• ¿Cuál es el área del cuadrado que resulta al
repetir n veces el procedimiento?
e) En una tienda de artículos escolares aumentan
de manera considerable sus ventas en los meses
de marzo y abril, de tal manera que cada semana
se obtiene una ganancia del 50% mayor a la de
la semana anterior.
• Si la primera semana la ganancia fue de
$200 000, ¿cuál fue la de la sexta semana?
• Determina una expresión que permita calcular
las ganancias obtenidas en una semana s.
• Si las ganancias disminuyeran en un 10% a
medida que transcurren los meses (desde
mayo a diciembre), ¿cuál es la expresión que
permite calcular las ganancias de un mes m,
sabiendo que en el mes de abril las ganancias
fueron aproximadamente $2 200 000?
• ¿Cuál es la ganancia que obtuvo la tienda en el
mes de diciembre?
13. Conecta. Los científicos Marie y Pierre Curie
descubrieron el polonio y el radio, elementos
radioactivos. La cantidad de estos elementos tarda
un tiempo determinado (llamado vida media) en
reducirse a la mitad. Por ejemplo, 1000 gramos de
una sustancia radioactiva con una vida media de
10 años, tomará 10 años para reducirse a la mitad.Pasados
20 años se reduce a la cuarta parte; y aún al
término de cincuenta años, queda una treintaidosava
parte activa. Esto es poco más de 30 gramos.
Esta situación, ¿se puede expresar utilizando
potencias de base racional y exponente entero?
14. Descubre el error. ¿Cuál es error que cometió
Marcela en resolver la siguiente potencia?
 
 
= − 
 
 
= − − = 1
7
1
7
1
7

1
7
1
49
–2 2
Integro Refuerzo
1. La arista de un cubo mide 3
7
cm. Expresa su volumen
como una potencia.
2. La superficie de un cubo se calcula con la fórmula 6 • a2
donde a corresponde a la arista del cubo. Si un cubo
tiene una arista de 1,7 cm, ¿cuál es su superficie?
3. Muestra que –
4
7
≠ –
4
7
3 3 
 
 
.
§ ¿Por qué 1
2
2 
 
 
no es lo mismo que 1
2
2
?
§ ¿Cuál es la importancia de los paréntesis al calcular
potencias de base racional y exponente entero?
§ ¿La potencia es una operación cerrada? Es decir, ¿al elevar
un número racional a un exponente entero siempre
se obtendrá un número racional?
Aplico
12. Representa las siguientes situaciones a través de
una potencia de base racional y exponente entero.
Luego, resuélvelas.
a) Un tipo de bacteria se triplica cada hora en el organismo
de un animal. Si en el momento que le diagnostican
la enfermedad el animal tenía 20, ¿cuántas
bacterias tendrá transcurridas 8 horas?
b) Hay siete casas, con siete gatos cada una. Cada gato
atrapa siete ratones que se habían comido siete
espigas de trigo por cabeza. Cada espiga había producido
siete hekats (unidad de capacidad principal
que fue empleada en el antiguo Egipto equivalente
a 4,54 l.) de grano. ¿Cuántas unidades tenemos de
cada cosa? (Problema 79, papiro de Rhind).
c) El fractal conocido como copo de nieve de Koch
se forma del siguiente modo:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Se tiene un
triángulo
equilátero.
Se divide cada
lado en tres
partes iguales, y
en el segmento
central de cada
lado se levanta
un triángulo
equilátero.
Se repite el
proceso anterior
en cada lado de
cada triángulo.
Se repite el
proceso anterior
en cada lado de
cada triángulo.
Si el lado del triángulo de la figura 1 mide 30 cm:
• ¿Cuánto mide el perímetro de la figura 2?
• ¿Cuántos triángulos nuevos se formaron en
los lados del triángulo original para formar la
figura 3?
• ¿Cuál es el perímetro de la figura 4?
d) En un cuadrado de lado 8 m se unen los puntos
medios de sus lados para formar otro cuadrado.
Lección Taller
Reúnanse en parejas y respondan las preguntas.
Multiplicación de potencias
• Pablo necesita resolver 
 
 
 
 
− 3
4

3
4
4 3
y realizó el siguiente desarrollo.
3
4

3
4
1
3
4

3
4
3
4

3
4

3
4
3
4

3
4

3
4

3
4
¿?
4 3
4
3 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
= =

1. ¿Cómo expresarías el desarrollo anterior en una sola potencia?
2. El exponente de esta potencia, ¿cómo se relaciona con los exponentes de las
potencias originales? ¿Qué regularidad observas?
3. ¿Se cumple la misma regularidad al calcular –
2
7
• –
2
7
3 –4 
   
 
 
? Expresa la
multiplicación en una sola potencia.
• María necesita resolver − 
 
 
− 
   
2
3

7
9
4 4
y realizó el siguiente desarrollo.
 
 
 
 
=
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
=

2
3
• –
7
9

2
3
• –
2
3
• –
2
3
• –
2
3
• –
7
9
• –
7
9
• –
7
9
• –
7
9

2
3
• –
7
9
• –
2
3
• –
7
9
• –
2
3
• –
7
9
• –
2
3
• –
7
9
¿?
4 4
1. ¿Cuántas veces está repetida la expresión –
2
3
• –
7
9
 
 
en total?
2. ¿Cómo expresarías el desarrollo anterior en una potencia de base –
2
3
• –
7
9
 
 
3. ¿Qué regularidad observas?
4. ¿Se cumple la misma regularidad al calcular –
5
8

8
9
–4 –4 
 
 
 
 
? Expresa la
multiplicación en una sola potencia.
¿Qué propiedades se pueden utilizar
para operar con potencias?
• ¿Es posible que ( ) 
 
 
0,13 • =
2
15
1
2
–2
? ¿Cómo se podría expresar 1 como una multiplicación
de potencias?
Palabras clave
Ü Propiedades de multiplicación
y división de potencias.
Ü Potencia de una potencia.
Relaciona
§ ¿Por qué –
2
3
• –
3
2
 
 
 
 
es
igual a 1? Justifica tu respuesta.
§ ¿Cuál es el resultado de
 
 
 
 

5
6

1
7
0 0
?
11
En resumen
Para todo número racional se cumplen las siguientes
propiedades de la multiplicación de potencias. Sean a y b
distintos de 0.
a
b

a
b
a
b
a
b

c
d
a
b

c
d
n m m n
n n n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
=
+
§ ¿Las propiedades de la
multiplicación de potencias
con base entera
y exponente natural se
conservan para las con
base racional y exponente
entero? ¿Por qué?
§ Al multiplicar potencias
de igual base racional
e igual exponente
entero, ¿qué propiedad
se aplica? ¿Por qué?
¿Cuál es el resultado de
 
 
 
 
1
2

1
2
2 2
? ¿Por qué?
Razona
y comenta
1 2 3 4
División de potencias
• Observa los siguientes desarrollos:
− 
 
 
÷ − 
 
 
=
− 
 
 
− 
 
 
− 
 
 
− 
 
 
− 
 
 
− 
 
 
= − 
 
 
− 
 
 
= − 
 
 
7
10
7
10
7
10

7
10

7
10

7
10
7
10

7
10
7
10

7
10
7
10
4 2 2
 
 
÷
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
=
 
 
− 2
7
2
7
2
7

2
7
2
7

2
7

2
7
1
2
7
2
7
2 3 1
1. ¿Cómo se relaciona el exponente de la potencia resultante con los exponentes
de las potencias regulares?
2. ¿Qué regularidad observas?
3. ¿Se cumple la misma regularidad al calcular –
2
5
÷ –
2
5
3 –4 
 
 
 
 
?
• Observa el siguiente desarrollo:
 
 
÷
 
 
=
 
 
÷
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
=
− − 3
4
5
8
4
3
8
5
4
3

4
3

4
3
8
5

8
5

8
5
4
3
8
5

4
3
8
5

4
3
8
5
¿?
3 3 3 3
1. ¿Cuántas veces está repetida la expresión
4
3
8
5
 
 
 
 
en total? Exprésala como una
potencia.
2. ¿La expresión que encontraste en la pregunta anterior es equivalente a
3
4
÷
5
8
–3 
 
 
 
 

 

 
? ¿Por qué?
3. ¿Qué regularidad observas? ¿Se cumple la misma regularidad al calcular

5
7
÷
2
9
–4 –4 
 
 
 
 
?
§ ¿Las propiedades de la división de potencias con base entera y exponente natural se
conservan para las con base racional y exponente entero?
§ Al dividir potencias de igual base racional e igual exponente entero, ¿qué propiedad
se aplica? ¿Por qué?
§ ¿Cuál es el resultado de 1
2
1
2
2 2 
 
 
÷
 
 
? ¿Por qué?
Razonen
y comenten
Links
P ara profundizar en el uso de
potencias visita:

http://www.thatquiz.org/es-2/

matematicas/potencia/
Praáctica Lección
En resumen
• Para todo número racional se cumplen las siguientes propiedades de la división de
potencias. Sean a y b distintos de 0.
a
b
÷
a
b
=
a
b
n m n–m 
 
 
 
 
 
 
a
b
÷
c
d
a
b
÷
c
d
n n n 
 
 
 
 
 
 
=
• Para todo número racional se cumple la siguiente propiedad de potencia de una
potencia. Sean m, n y b distintos de 0.
a
b
a
b
n m n •m 
 
 

 

 
 
 
=
Repaso
1. Expresa como una sola potencia las siguientes
multiplicaciones.
a) 2² • 2⁴
b) 5³ • 5⁸
c) 8² • 4²
d) (–4)⁵ • (–2)⁵
e) (–6)⁵ • (–6)⁵
f) (–1)¹¹ • (–1)¹⁶
g) (–2)²⁵ • (–2)⁷
h) 4⁸ • (–4)⁶
i) (–3)³ • –3³
j) (–1)¹⁸⁰⁰• −1⁵⁰⁰⁰
Potencia de una potencia
• Observa los siguientes desarrollos:
− 
 
 

 

 
= − 
 
 

 

 
= − 
 
 
− 
 
 

 

 
= − 
 
 
− 
 
 
= − 
 
 
− 
 
 
=
− − − − − − 6
7
7
6
7
6

7
6
7
6

7
6
6
7

6
7
¿?
2 3 2 3 3 3 3 3 3
1. ¿Cuántas veces en total está repetido –
6
7
 
 
?
2. ¿Cómo expresarías el desarrollo anterior en una sola potencia?
3. El exponente de la potencia anterior, ¿cómo se relaciona con los exponentes
de las potencias originales?
4. ¿Qué regularidad observas?
5. ¿Se cumple la misma regularidad al calcular –
5
8
–4 2
 
 

 

 
? Expresa la
multiplicación en una sola potencia.
§ Vuelve a responder las preguntas del inicio de la lección. ¿Cambiaron tus respuestas?
Razonen
y comenten
2. Expresa como una sola potencia las siguientes
divisiones.
a) 3¹ ÷ 3³
b) 4² ÷ 4⁵
c) 18¹⁵ ÷ 9¹⁵
d) (–1)² ÷ (–1)⁴
e) (–15)⁷ ÷ (–3)⁷
f) (–11)¹⁵ ÷ (–11)⁹
g) (–13)²⁶ ÷ (–13)⁹
h) 19² ÷ (–19)²
i) (–20)⁵ ÷ –20¹
j) −1⁸⁰⁰ ÷ (–1)⁷⁶¹
Observa
2 =2
2 =2
2  2
En general :
a a cona 0
2 8
2 3 6
2 23
m mn
3
3
n
( ) ( )
( )
 

11
Practica
1 2 3 4
3. Expresa como una sola potencia utilizando la
propiedad potencia de una potencia.
a) (32 )3
b) (51)4
c) (38 )2
d) 2 1 5 ((− ) )
e) –7 4 3 (( ) )
f) 2 7 8 ((− ) )
g) 12 6 (− )
h) –1 2 4 3 ((( ) ) )
i) (((−4) ) ) 1 7 10
4. Aplica las propiedades de las potencias para resolver
los siguientes ejercicios.
a) 5² • 5⁴
b) –2 • –2 3 1 ( ) ( )
c) 3⁴ ÷ 3¹
d) –1 ÷ –1 5 3 ( ) ( )
e) 52 3 ( )
f) 4⁵ • 4³ • 4¹⁰
g) –8 • –8 • –8 0 4 3 ( ) ( ) ( )
h) 4 • 4
4
1 3
2
i) 9 • 9
9 • 9
5 8
4 6
( ) ( )
( ) ( )
− −
− −
j) 1 • 1 ((− )23 )0 (− )5
Práctica guiada
5. Expresa como una sola potencia las siguientes
multiplicaciones de potencias de igual base.
a) 
 
 
 
 
1
2

1
2
3 4
b) 
 
 
 
 
− 5
3

5
3
2 3
c) –
1
3
• –
1
3
5 2 
 
 
 
 
d) –
2
5
• –
2
5
–2 4 
 
 
 
 
e) ( ) 
 
 
1
2
• 0,5
4
5
f) ( ) 
 
 

0,3 •
1
3
2
3
6. Expresa como una multiplicación de potencias de
igual base las siguientes potencias.
a) 1
4
5 
 
 
b) 8
9
–8 
 
  c) –
11
4
–1 
 
 
d) –
7
12
–15 
 
 
e) –0,6
–2 ( )
f) –0,51
–10 ( )
7. Expresa como una sola potencia las siguientes
multiplicaciones de igual exponente.
a) 
 
 
 
 
3
5

4
3
7 7
b) 1
2

3
8
–2 –2 
 
 
 
 
c) –
8
3
• –
11
4
3 3 
 
 
 
 
d) 40
3

57
10
–2 –2 
 
 
− 
 
 
e) 0,5 •
58
8
–4
–4
( ) 
 
 
f) –0,12 •
18
44
3
3 ( ) 
   
8. Expresa como una multiplicación de potencias
de igual exponente y distinta base las siguientes
potencias.
a) 14
15
–1 
 
 
b) –
1
32
–8 
 
 
c) 80
295
–2 
 
 
d) –
9
68
–3 
 
 
e) 1,5 –4 ( )
f) –2,05 –1 ( )
g) –1,5
–10 ( )
h) 1,02
–20 ( )
i) –3,25
–25 ( )
9. Expresa como una sola potencia las siguientes
divisiones de potencias de igual base.
a) 1
5
÷
1
5
2 3 
 
 
 
 
b) –
7
9
÷ –
7
9
2 6 
 
 
 
 
c) 2
3
÷
2
3
–6 2 
 
 
 
 
d) –
4
5
÷ –
4
5
–3 4 
 
 
 
 
e) 1
6
÷ 0,16
3
4 ( ) 
 
 
f) 0,25 ÷
1
4
3
–12
( ) 
 
 
Practica
10. Expresa como una división de potencias de igual base
y distinto exponente las siguientes potencias.
a) 
 
 
3
8
7
b) 1
3
–3 
 
 
c) –
15
2
–1 
 
 
d) –
17
16
–9 
 
 
e) (0,6)−²
f) (3,2)−¹
g) 0,2
–3 ( )
h) –0,6
–2 ( )
i) –1, 4
–6 ( )
11. Expresa como una sola potencia las siguientes
divisiones de potencias de igual exponente.
a) 1
8
÷
4
6
8 8 
 
 
 
 
b) –
6
5
÷ –
20
9
2 2 
 
 
 
 
c) –
81
24
÷ –
28
18
–5 –5 
 
 
 
 
d) 5
2
÷
6
10
–1 –1 
 
 
 
 
e) 1,5 ÷
33
8
–2
–2
( ) 
 
 
f) –1,35 ÷
63
82
3
3 ( ) 
 
 
12. Expresa como una división de potencias de igual
exponente y distinta base las siguientes potencias.
a) 12
9
–9 
 
 
b) 81
64
–3 
 
 
c) 1,8
–10 ( )
d) –
72
64
–12 
 
 
e) (0,8)–⁶
f) (–1,89)–¹³
g) 2,3
–8 ( )
h) 1,01
–8 ( )
i) –2,06
–19 ( )
13. Expresa como una sola potencia, utilizando la
propiedad potencia de una potencia.
a) 
 
 

 

 
3
2
5 6
b) 8
7
3 –1
    

 
c) –
2
3
2 1
 
 

 

 
d) –
1
4
5 –2
 
 

 

 
e) –
3
19
–2 –9 0
 
 

 

 

 

 
f) 0,2–1 –8 2 (( ) )
14. Expresa como una potencia de una potencia las
siguientes potencias.
a) 1
8
–6 
 
 
b) 
 
 
10
7
1
c) –
11
8
–18 
 
 
d) –
13
16
18 
 
 
e) (–1)−³⁶⁰
f) (1,1)¹⁶
g) 5,6
8 ( )
h) –1,3
24 ( )
i) 2,15
–20 ( )
15. Aplica las propiedades de las potencias para
resolver los siguientes ejercicios.
a) –2 • 5 • –2
5 • –2
5 –6 –8
–2 –5
( ) ( )
( )
b)
125
8

2
5
4
25
–1
2
 
 
 
 
c) 0,1 •
1
0,1
• 0,1
–3
–2
–2 ( ) ( ) ( )
d) (−3,5) •(0,5) •(−4) 2 2 2
e) ( ) ÷( ) ÷( )− 1,2 1,2 1,2 6 3 2
f) 1
4
–3 2 1
 
 

 

 

 

 






16. Relaciona la operación de potencias con su valor escribiendo
en la columna B la letra correspondiente.
Columna A Columna B
a) 1
2
8

5
4
–1 –2 
 
 
 
 
4
3
b) 2
3

6
9
–3 –2 
 
 
 
 
 
 
7
8
–1
c) 0,75 •
4
3
–3
–2 
 
 
−2–³
d) –2 •
2
4
–5
–2 
 
 
2⁶ • 3³
e)
7
8

8
7
–3 –2 
 
 
 
 
 
 
4
5
3
f) 12 • 3² • 2⁴ 
 
 
3
2
5
Practica
1 2 3 4
17. Relaciona la operación de potencias con su valor escribiendo
en la columna B la letra correspondiente.
Columna A Columna B
a) ((–3)2 )–2 1
729
b) 0,125
0,375
2 –3
 
 

 

 
1
64
c) 22
11
2 –3
 
 

 

 
–4
d) (3²)³ 1
81
e) 5
15
–1 –6
 
 

 

 
6561
f) −(–2−¹)−² 729
Aplico
18. Resuelve los siguientes problemas.
a) ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 0,5² m?
b) ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 
 
 
5
3
3
cm?
c) ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 
 
 
1
3
2
cm?
d) ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista (1,2)
3
cm?
e) ¿Cuál es el área de una superficie rectangular cuyo
largo mide
 
 
13
8
5
m y su ancho mide 
 
 
13
8
3
m?
f) ¿Cuál es el volumen de una prisma rectangular de
largo 
 
 
4
3
5
cm, ancho 
 
 
4
3
cm y alto 
 
 
4
3
3
cm?
g) Una superficie rectangular tiene un área de
103 cm2. Si la medida de su ancho es 64 cm,
¿cuánto mide su largo? Expresa la respuesta
como una potencia de exponente 3.
19. Analiza las siguientes situaciones.
a) Si la base de una potencia es un número entero
negativo y el exponente es un número par, ¿qué
signo tiene el valor de la potencia?
b) Si la base de una potencia es un número racional
positivo y su exponente es el número cero,
¿qué signo tiene el valor de la potencia?
c) Si la base de una potencia es el número cero, ¿a
qué conjunto numérico pertenece el exponente
de la potencia si el valor de esta es cero?
d) Una potencia de base racional negativa con
exponente par, ¿tiene el mismo valor que la potencia
cuya base es el inverso aditivo del racional
negativo e igual exponente par?
20. Descubre el error. Un estudiante calculó el valor
de la siguiente potencia. Detecta el error y luego
realiza el procedimiento correcto.
 
 
 
 
=
 
 
=
 

  =
 
 
=
− −+ −
– – – – –
1
4

1
4
1
4
1
4
4
1
4
3 2 3 2 1 1
21. Describe el procedimiento. Describe paso a paso el
procedimiento para calcular el valor de las siguientes
potencias de base racional y exponente entero.
a) ( ) − 
   −
− 5
6
• 0,83
2
4 b) − 
 
 

 

 

1
2
2 3
22. Argumenta. Utilizando las propiedades de potencias
muestra que:
a)  
 
 
=
 
 

− a
b
1
a
b
,m
m
m
b)  
 
 
=
 
 

− a
b
b
a
,m
m m
23. Desafío. Analiza la resolución del siguiente ejercicio
que involucra propiedades de potencias en
lenguaje algebraico y luego resuelve el ejercicio
propuesto.
1 − − = + − − + = − =
9
x y • xy • 3x
3
9
x y
3
9
x y
x
3y
2 3 1 21 1 3 1 2 2
2
2
Ejercicio Propuesto: 1 ( ) −
18
x2y2 • 3x 3 • y 1
Integro Refuerzo
1. ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 0,3 cm
3 ( )−
? ¿Qué
propiedad de las potencias utilizaste para calcularlo?
2. Expresa como una división de potencias de igual
exponente 1⁴.
§ ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de utilizar las
propiedades vistas en la operatoria con potencias?
Menciona dos.
§ ¿Qué significa que las propiedades de las potencias son
recíprocas? Investiga y explica con tus palabras.
Lección La ley de gravitación universal determina a la fuerza
de atracción que dos cuerpos de masa m y m ejercen y
que se separan por una distancia r.
Esta fuerza se calcula mediante la expresión
F G•
m •m
r
1 2
2 = donde G 6,67 •10
Nm
kg
–11
2
2 = y es llamada
constante de gravitación universal.
¿Con qué fuerza (F) se atraen la Tierra, de masa
5,97 • 10²⁴ kg y la Luna de masa 7,34 • 10²² kg, sabiendo
que la distancia entre ellas es de 3,84 • 10⁸ m aproximadamente?
Para calcular la fuerza de atracción puedes seguir los pasos:
Paso 1 Identificar los datos.
Masa de la Tierra → m₁ = 5,97 • 10²⁴ kg
Masa de la Luna → m₂ = 7,34 • 10²² kg
Distancia entre los cuerpos → r = 3,84 • 10⁸ m
Constante de gravitación → G = 6,67•10−
Nm
kg
11
2
2
Paso 2 Remplazar en la fórmula F = G•
m •m
r
1 2
2
( ) F = 6,67•10 •
5,97•10 •7,34 •10
3,84 •10
–11
24 22
8 2
Paso 3 Calcular el resultado de las operaciones combinadas utilizando los criterios
de cifras significativas.
( ) ( ) ( )
 = 
=
= =


− + +
6,67•10 •
5,97•10 •7,34 10
3,84 •10
6,67• 5,97 •7,34
3,84
10 •10 •10
10
292
14,7

10
10
19,9•
10
10
19,9•10
11
24 22
82 2
11 24 22
8 2
11 24 22
16
35
16
19
Se agruparon decimales
y potencias.
Se aplicó la propiedad de
potencias de igual base.
L a Tierra y la Luna se atraen con una fuerza de 1,99 • 10²⁰ N.
¿Cómo resolver problemas que
involucran operaciones combinadas con
números racionales y potencias?
• La prioridad de las operaciones con números enteros, ¿será la misma al operar con
números racionales? ¿Por qué?
Palabras clave
Ü Operaciones combinadas.
Ü Números racionales.
Ü Potencias.
Observa
§ La fuerza se mide en Newton
(N). La constante de gravitación
universal se mide en
Newton por metros al cuadrado,
dividido en kilogramos al
cuadrado. Al reemplazar en la
fórmula, las unidades de medida
de metros y kilogramos se
eliminan, quedando solo N.
12
1 2 3 4
§ ¿Por qué es necesario comenzar con la operación que está en el paréntesis más interior
al abordar estos ejercicios? Explica.
§ En los ejercicios vistos anteriormente, ¿qué dificultades pueden presentarse al ser calculados
con el uso de la calculadora? Menciona dos.
Razona
y comenta
En resumen
Para resolver operaciones combinadas con números racionales y potencias se debe tener
en cuenta la prioridad de las operaciones y ocupar las propiedades de las operaciones para
que puedas simplificar los cálculos.
¿Cómo abordar este tipo de ejercicios combinados?

+
+
2
3
5
2
1
2
1
3
Paso 1 Identificar las operaciones involucradas y aplicar la prioridad de
las operaciones.
Paréntesis → Potencias → Multiplicación → División → Adición → Sustracción
En este caso existe una sustracción entre un racional y una división indicada por
la línea fraccionaria que a su vez representa un paréntesis, por lo tanto, se realiza
primero el paréntesis más interior.

+
+
2
3
5
2
1
2
1
3
En este caso, está adición está
en el paréntesis más interior.
Paso 2 Realiza la operación que está en el paréntesis más interior al más exterior.
En este caso hay una adición y una división.
Por la prioridad se realiza primero la división.
En este caso hay una sustracción y una división.
Por la prioridad se realiza primero la división.
2
3
5
2
1
2
1
3
2
3
5
2
1
7
3
2
3
5
2
3
7
2
3
5
17
7
2
3
35
17
34 105
51
71
51
1
20
51

+
+
= −
+
= −
+
= − = − = − = − = −
2 + = + =
1
3
6 1
2
7
3
2 + = + =
3
7
14 3
7
17
7
= = 1
7
3
1•
3
7
3
7
= = 5
17
7
5 •
7
17
35
17
El resultado de la operación es –1
20
51
.
Si escribieras la operación con paréntesis sería:
2
3
– 5÷ 2+1÷ 2+
1
3
 
 

 

 


El paréntesis rojo es el más interior.
Practica
Repaso
1. Calcula las siguientes operaciones combinadas
con números enteros.
a) 3 − 5 + 4 − 9
b) 48 + 19 − (13 + −35)
c) 5 • (−2) + 8 − 4
d) (−71) − 5 • (−90)
e) (−12) ÷ 3 − 11 + 5
f) 26 − 84 ÷ (−4) + 16
g) (−7) + 38 ÷ (−2) + 5 • 15
h) 45 − 63 • (−9) − 32 ÷ 16
2. Calcula las siguientes operaciones combinadas.
a) 3 − 0,8 + 4
b) 41 − 5,69 − 1,02
c) 6,5 • 3 − 4,5
d) (−8) + 1,2 + 3,92 ÷ 0,2
e) 3
4

2
5
+2
f) 8
3

1
4
• 3
g) 47
12
–5+
13
3
h) 16
7
• 3–
1
4
÷
1
2
–1
3. Aplica las propiedades de potencias y calcula las
siguientes expresiones.
a) 4 •3 •9 •8
27 • 2
2 3
5
b) 8 • 2 •7
2 •98
3 5 
 

 
c) 3
4
÷
3
4
6 –5 
 
 
 
 
d) –
2
3

9
4

1
3
5 5 –5 
 
 
 
 
 
 
e) 5
2
• 2,5
–3
–3 
 
 
f) (−0,7)−⁴ • (−0,7)−⁶
g) 2 •2,5 •8
3,5 • 32
3 –3
–4
h) 2 5  (2 )  5
2 5  2 5
• • •
• • •
2 3 3 2 5
3 3 8 4
3
Práctica guiada
4. Calcula las siguientes operaciones combinadas.
Puedes usar la calculadora.
a)
1
8

5
7
2
9
b)

7
5

30
49
2
7
+
1
9
 
 
c)
8
9
÷ –
64
63
1
2
+
1
3
 
 
d)
3
2
• –
4
9
0,5
 
 
e)
0,3•
3
5
+11,2
2
3

7
2
• 4,23
 
 
 
 
f)
10
3
• –
9
2
0,6
 
 
g)

4
3
+
2
7
• 2,16
1,5÷
7
3

2
3
 
 

 

 
 
 
h)

5
7
0,2
i)
3+
1
4
2
j)
5
1+
3
2+
1
4
k)
12+
1
1+
1
3
1,5–
1
2
÷
12
30
 
 
l)
3+
1,5+
1
4
• 4
1
5
1+
1
2+
1
2
 
 
5. Calcula el valor de las siguientes operaciones
combinadas con números racionales y potencias.
a) 1
2
+1
2 
 
 
b) 12
7
+ –
8
3
2 
 
 

 

 
c) 3
4

8
3
2 
 
 
d) 9
8

1
3
–1 
 
 
e) 5
6

36
125
–2 
 
 
f) –
3
8
÷
8
5
–10
2 
 
 
 
 
g) –
13
9

2
3
÷5
–3 
 
 
 
 
h) 9
7
• –
49
3

1
5
–1 
 
 
 
 
i) 26
8
÷
7
5
–1 –1 –1
 
 
 
 

 

 
j) 81
64
÷ –
126
45
–1 2
 
 

 

 

 

 
k) 1,85• 0,25
4,5–2
l) 1
7
÷0,1–
14
9
+ 4−1
Practica
1 2 3 4
Aplicaciones en la Matemática
Aplico
6. Resuelve los siguientes problemas.
a) La medida del lado de un cuadrado es 1
4
de
su perímetro. Si el perímetro del cuadrado es
20,3 cm, ¿cuál es el área del cuadrado? ¿Cuánto
mide su lado?
b) ¿Cuál es el volumen de un
cubo de arista 1,2 cm?
c) La superficie total de un cubo
se calcula con la fórmula
AT = 6a². ¿Cuál es el área total
del cubo anterior?
d) Calcula el volumen y la superficie total de un
cubo de lado 0,3 cm. Describe paso a paso tu
procedimiento.
e) ¿Cuál es el área de un círculo
de radio 2
3
m?
Utiliza π redondeado a dos
cifras decimales.
f) El diámetro de una circunferencia
es 3, 4cm. ¿Cuál es el
área de la circunferencia?
g) El perímetro de un círculo se calcula con la
fórmula P = 2πr. ¿Cuál es el perímetro del círculo
anterior?
h) Calcula el área y el perímetro de un círculo
de radio 1,6 cm. Describe paso a paso tu
procedimiento.
i) ¿Cuál es el volumen de
una esfera de radio 3
4
m?
Utiliza π redondeado a
dos cifras decimales.
Área del circulo: πr²
donde r es el radio.
r
Volumen del cubo: a³
donde a es su arista.
a
Volumen de la esfera: 4
3
πr³
donde r es el radio.
r
j) La superficie total de una esfera se calcula con
la fórmula A = 4 πr². ¿Cuál es el área total de la
esfera anterior?
k) Calcula el volumen y la superficie total de una
esfera de radio 1,16 cm. Describe paso a paso tu
procedimiento.
l) El volumen de un cono se calcula mediante la
siguiente expresión V
1
3
= r2 •h, donde r es el
radio de la base del cono y h es su altura. Si el volumen
del cono es de 0,53 π cm3 y su base tiene
un radio que mide 6
5
cm, ¿cuál es la medida de
su altura?
m) Calcula el volumen del cono sabiendo que el
área de la base es
1
9
π cm2 y su altura es de
1,2 cm. Describe paso a paso tu procedimiento.
n) El volumen de una pirámide recta se calcula
mediante la fórmula V
1
3
• A •h b = , donde Ab es
el área basal de la pirámide, y h corresponde a su
altura. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de
base cuadrada cuya altura es 1,5 cm y la medida
del lado de la base es de
8
3
cm?
o) En un triángulo rectángulo, uno de los catetos
mide
1
2
cm y su hipotenusa mide 3,6 cm. ¿Cuál
es la medida del otro cateto? Recuerda que el
teorema de Pitágoras dice que en un triángulo
rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, se
cumple que a² + b² = c².
Practica
Aplicaciones en la Física
7. Resuelve los siguientes problemas.
a) Cuando la rapidez de un objeto en movimiento
es constante esta se puede calcular mediante
la expresión V =
d
t
donde d es la distancia que
ha recorrido el objeto en movimiento durante
un tiempo t. ¿Cuál es la rapidez constante de un
móvil que ha recorrido una distancia de 90 km en
un tiempo de 50 minutos?
b) Si un móvil va a 55 km/h, ¿cuál es la distancia que
puede alcanzar a esa rapidez en 40 minutos?
c) La energía cinética se calcula mediante la expresión
E =
1
2
mv c
2 donde m corresponde a la masa
del cuerpo en movimiento y v a la rapidez de
dicho cuerpo. ¿Cuál es la energía cinética de un
automóvil cuya masa es de 850 kg y que recorre
una carretera a una rapidez de 80 m/s?
d) Si la energía cinética de un móvil es de
2,25•10 kg •
m
s
5
2
2 y su masa es de 500 kg, ¿cuál es
su rapidez?
e) ¿Cuánto disminuye la energía cinética de un
automóvil de 400 kg si su rapidez varía de 25 m/s
a 15 m/s?
f) La fuerza de atracción de dos cuerpos se calcula
mediante la expresión F G•
m •m
r
1 2
2 = , donde
G 6,67 •10
Nm
kg
–11
2
2 = . ¿Con qué fuerza se atraen
dos cuerpos en el espacio, cuyas masas son de
1 kg y 2 kg y están situadas a 0,5 m de distancia
uno del otro?
g) Si la distancia entre los cuerpos en el espacio del
problema anterior aumentara al doble, ¿cómo
varía la fuerza de atracción entre ellos? Justifica.
h) ¿Crees que la conclusión obtenida en la pregunta
anterior se mantendrá para cualquier par de
cuerpos en el espacio? Justifica.
Aplicaciones en la resolución de problemas
8. Resuelve los siguientes problemas utilizando los
cinco pasos.
a) Si una llave vierte 4
1
5
litros y otra 3
3
4
litros de
agua por minuto, ¿en cuánto tiempo llenarán un
depósito de 62 litros de capacidad cada una?
• ¿Qué entendiste del problema?
• ¿Qué harías para resolverlo?
• ¿Cómo ejecutarías la estrategia?
• ¿Cómo verificarías el resultado?
• ¿Cómo interpretas el resultado obtenido?
b) Francisco cada mes deposita en el banco 1
4
del
dinero que depositó el mes anterior. Si se sabe
que en el primer mes depositó $3000 y en el
cuarto mes, además depositó 5
9
del dinero inicial,
¿cuánto depositó el cuarto mes?
c) Un vendedor de productos lácteos vendió en
una semana 2
3
de lo que vendió la semana anterior.
Si la semana anterior vendió $850 300 y su
comisión corresponde a 2
3
de lo vendido en esa
semana, ¿cuál es la ganancia del vendedor?
d) Se necesitan 5 tiras de 5,3 cm de lana roja para
diseñar un chaleco y además, se necesitan los
2
5
del resto de lana que queda del ovillo. Si el ovillo
es de 100 cm, ¿cuántos metros de lana quedan
en el ovillo?
e) Un vendedor de fiambrería vendió a una persona
1
4
de los 5 kg que pesa una pieza de jamón.
Luego viene otra persona y compra 1
4
de lo que
va quedando de la pieza de jamón. Una última
persona compra nuevamente 1
4
de lo que va
quedando de la pieza. ¿Cuántos kilogramos de
jamón quedan en la pieza?
Practica
1 2 3 4
f) Una población de bacterias se triplica cada
30 minutos. Además se estima que cierto alimento
debe tener al menos 1 968 300 de estas bacterias
para que se determine como contaminado.
• Haz un esquema que muestre el crecimiento
de la población de bacterias al cabo de 4 horas.
• ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 3 horas si
inicialmente habían 100?
• Si inicialmente el alimento tiene 100 bacterias,
¿cuánto tiempo debió pasar para que estuviera
contaminado?
g) Un ciclista cada semana va aumentando su rutina
de entrenamiento para participar en una carrera.
La primera semana recorre 0,6 km y cada semana
recorre 3
2
de lo que recorre la semana anterior.
• ¿Cuántos kilómetros recorre la segunda semana?
• ¿Qué expresión te permite calcular los kilómetros
recorridos en la semana s?
• ¿Qué estrategia utilizaste para determinar la
expresión pedida en la pregunta anterior?
• ¿Cuáles fueron los pasos mentales que te permitieron
llegar a la estrategia?
• Si en una semana el ciclista recorrió 2,025 km,
¿cuántas semanas pasaron desde que empezó
a entrenar para recorrer dicho kilometraje?
Ayúdate de una calculadora para responder.
• ¿Qué operaciones están involucradas en la
pregunta anterior?
• ¿Qué estrategia utilizaste para llegar a la
respuesta?
9. Conecta. La masa de un cuerpo celeste se calcula
mediante la expresión M=
g•r
G
2
donde g es la
gravedad asociada al cuerpo celeste, r (en metros)
es el radio de él y G es la constante de gravitación
universal equivalente a 6,67 • 10–11 N•m
Kg
2
2
. Si la
Luna tiene una gravedad de 1,62 m
seg2 y un radio
de 1 738 000 m, ¿cuál es la masa de la Luna? Ayúdate
de la calculadora para determinarlo.
10. Descubre el error. El volumen de una esfera se
puede determinar mediante la expresión:
V = 
4
3
r3
Si el radio de la esfera es 1,7 cm, ¿cuál es el error
que cometió Antonia al operar los valores de la
expresión?
V =  ( ) =  = 
4
3
• • 1,7
4
3
• •
17
10
4
3

4913
10
3
3
=  19 652
30
 655,1
11. Describe el procedimiento. Describe el procedimiento
para resolver la siguiente operación
combinada.
 
 

 

 
 
 

 

 
– –
4
9
–1,10 •
8
9
÷ –
1
3
1,3
–1
12. Argumenta. ¿Qué propiedad permite calcular el
valor de
356
7
1 






? Justifica tu respuesta.
Integro Refuerzo
1. El área total de un cilindro de altura h y radio r se calcula
con la fórmula 2πr (h + r). ¿Cuál es el área total de un
cilindro de radio 1
5
cm y altura 0,8 cm?
2. Describe paso a paso el procedimiento que utilizaste
para resolver el problema anterior.
§ ¿Por qué existe una prioridad en las operaciones? ¿Qué
sucedería si no existiera?
§ ¿Por qué las propiedades conmutativas, asociativas,
distributivas, inverso y opuesto, entre otras, facilitan los
cálculos al resolver operaciones combinadas? Justifica.
Integración
Integro
mis aprendizajes
1 Expresa como potencias de exponente entero
positivo. Luego calcula su valor.
a. 7−²
b. 2−⁶
c. 5−³
d. –8−²
e. –(–4)−³
f. (–3)−⁴
g. –(–1)−¹⁰⁰
h. –1−¹⁰²⁵
2 Calcula las operaciones con potencias.
a. 3−² + 3−²
b. –5−² • 2² + 3−¹
c. (–7)−² • 2−² + 3−²
d. 1
10
• –3 –3
–4 ( )
e. –(–9) •
–3
3
–1
–3
–1
–1 
 

 
f. 1
7

4
2 –(–1)
–3
− 1002
3 Calcula las expresiones.
a. 1
2
6 
 
 
b. 5
3
3 
 
 
c. –
4
2
–5 
 
 
d. –
11
66
–2 
 
 
e. – –
1
3
4 
 
 
f. (0,3)−3
g. 1,25
2 ( )
h. –
–0,2
0,1
–6 
 

 
i. –25
–5
–5
–5
( )
( )
j. –
(–16)
(–3)
–2
–2
4 Evalúa las siguientes afirmaciones. Justifica.
a. Toda potencia de base distinta de 0 y exponente
igual a 0 será 0.
b. Si la base de una potencia es menor que 0 y su
exponente es un número par, su valor es mayor
que 0.
c. El valor de una potencia de base y exponente
menor que 0 es siempre mayor que 0.
d. Que el resultado de una potencia sea un número
entero depende del exponente de esta.
e. Si la base de una potencia es un número racional
y su exponente es un número entero positivo,
su valor siempre es un número entero.
5 Aplica las propiedades de potencias para resolver
las operaciones.
a.

64
25
b. 8¹⁰ • 8−⁸
c. 46³ • 46²
d. 5− •
1
5
2
e. 
 
 
1 −
4
• 4
0
3
f. (−7)−⁸ • (−7)−¹¹
g. (−0,5)−⁷ ÷ (−0,5)−³
h. (−5²)−¹
i. 
 
 
 
 
− 1
3

1
3
2 2
j. 
 
 
÷
 
 
− 3
4
3
4
1 4
k. 1
2
1 6
− 
 
 

 

 
− −
l. –2 • 5 • 5• –2
5 • –2
5 –6 –8
2 –5
( ) ( )
− ( )
Comprender las potencias de base racional y exponente entero y aplicar sus
propiedades (lecciónes 10 y 11).
Integración
Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto.
1 2 3 4
6 Expresa la potencia que desarrolla los siguientes
problemas.
a. ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 2
3
4 
 
 
m?
b. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista
mide 0,3 m?
c. La mitad de un patio de forma rectangular de
lados 19
8
m y 3
2
m se cubrirá con pasto. ¿Cuál
es la superficie que será rellenada?
7 Resuelve las operaciones combinadas.
a. 2
3

1
8
–2 
 
 
b. 1
2
1
1
− 
 
 

c. 6
5
1
3
3
− 
 
 
 +
 

 

d. − 
 
 
− 
 
 
− 3
2
3
4

1
3
7
9
1
e. − 
 
 
 
 
− 5
6
2
3

1
6
3
8 Resuelve los siguientes problemas.
a. La medida de la diagonal de un rectángulo
se calcula mediante la expresión d = a2 +b2
donde a y b son las medidas de los lados del
rectángulo. ¿Cuál es la medida de la diagonal
de un rectángulo de lados 0,75 m y 1,5 m?
b. El área total de un cubo se calcula mediante la
expresión AT = 6a² donde a representa la medida
de la arista del cubo. ¿Cuál es la medida de
la arista si el área total del cubo es 37,5 m²?
c. El volumen de una esfera se puede calcular mediante
la fórmula V
4
3
= r3. ¿Cuál es el volumen
de la esfera de radio 3 cm? Considera  = 3,14
aproximadamente.
d. Una de las fórmulas que permite determinar el
área de un triángulo cualquiera de lados a, b y
c es la fórmula de Herón cuya expresión es la
siguiente:
A
1
4
= (a2 +b2 + c2 )2 − 2(a4 +b4 + c4 )
¿Cuál es el área de un triángulo cuyos lados
miden 1,5 cm, 2 cm y 5
2
cm?
e. La apotema de un polígono regular se
puede determinar a través de la fórmula
= −
 
 
a r
l
2
2 ,
2
donde r es el radio circunscrito
al polígono y l es el lado del polígono. ¿Cuál es
la apotema de un polígono regular circunscrito
de lado 6 cm y radio 5 cm?
1
r
a
0
f. La distancia que un móvil puede alcanzar partiendo
a una velocidad v, en un tiempo t y una
aceleración constante a está dada por la fórmula
d = v • t+
a • t
2 o
2
. Si un tren viaja inicialmente a
20 m
s
a una aceleración constante de 3 m
s2 ,
¿qué tan lejos llegará al cabo de 30 segundos?
g. Cuando un automóvil recorre una curva circunferencial,
la fuerza que ejerce hacia el centro
de la curvatura es llamada fuerza centrípeta.
Esta fuerza se calcula mediante la expresión
f =
m • v
t
2
donde m es la masa del cuerpo en
movimiento, v es la rapidez y t es el tiempo.
Determina la fuerza centrípeta que ejerce un
automóvil cuya masa es de 8503
10
kg y va a una
rapidez de 45 km/h durante 2,5 horas.
Resolver problemas que involucran números racionales y potencias (lección 12).
Aplico mis aprendizajes
Resolución de problemas
Problema
Un bosque de 80 hectáreas que actualmente se está reforestando tiene
50 000 m³ de madera y se sabe que la madera del bosque crece cada año 5
4
de lo que se tenía anteriormente. ¿Cuánta madera tendrá el bosque al cabo de
4 años?
Paso 1 Comprendo. ¿Qué entendiste del problema?
Se debe determinar la cantidad de madera que habrá en el bosque en 4
años más.
Paso 2 Planifico. ¿Qué harías para resolver el problema?
Aplicar la estrategia “hacer una tabla” que represente la cantidad de madera que
tiene el bosque a medida que transcurren los años, hasta llegar al año cuatro.
Paso 3 Resuelvo. ¿Cómo ejecutarías la estrategia?
La tabla muestra la cantidad de madera que tiene el bosque a medida que transcurren
los años:
Años
Cantidad
de madera (m3)
Años Potencias
Cantidad
de madera (m3)
0 50 000 0 50 000
5
4
0
•
 
 
50 000
1 50 000
5
4
• 1 50 000
5
4
1
•
 
 
62 500
2 50 000
5
4
5
4
• • 2 50 000
5
4
2
•
 
 
78 125
3 50 000
5
4
5
4
5
4
• • • 3 50 000
5
4
3
•
 
 
97 656,25
4 50 000 • 5
4
• 5
4
• 5
4
• 5
4
4 
 
 
50 000 • 5
4
4
122 070,3125
Danny Perich Campana (1954)
es un profesor de Estado en
Matemática, chileno, diplomado
en Planificación y Desarrollo de
Organizaciones Educativas.
Entre sus creaciones se puede
destacar el Portal Web Sector
Matemática, además de
publicaciones tales como:
Guías de Aprendizaje: “Un mundo
Q de fracciones para sumar,
compartir e imaginar”, “Aprender
con Educared” y “Función
cuadrática: La parábola”.
Libros de ejercicios Simce:
“Cuarto Básico”, “Octavo Básico”
y “Segundo Medio”.
Libros de lectura: “Las aventuras
de Daniel” y “1200 Ejercicios de
Matemática Múltiple Choice”
Parque nacional Torres del Paine
Resolución de problemas
1 2 3 4
Paso 4 Reviso. ¿Cómo saber que es correcto el resultado?
Al calcular 50 000 •
5
4
4 
 
 
, se tiene que:
50 000 •
5
4
50 000 •
5
4

5
4

5
4

5
4
50 000 • 5• 5• 5• 5
4 • 4 • 4 • 4
31 250 000
256
122 070,3125 122 070
4 
 
 
= = = = 
Paso 5 Comunico. ¿Cómo interpretas el resultado obtenido?
Al cabo de 4 años, el bosque tendrá, aproximadamente, 122 070 m³ de madera.
Resuelve los siguientes problemas.
1. Si un ser vivo al momento de morir tiene 1000
unidades de carbono 14, después de 5700 años
tendrá 500 unidades, después de 11 400 años
tendrá 250 unidades, y así sucesivamente.
a. Completa la tabla utilizando la información
anterior.
Periodos de 5 700 años Unidades de carbono 14
0 1000
1
250
125
4
b. ¿Qué puede concluir una arqueóloga de un fósil
que tiene 43,75 unidades de C14 si la especie al
momento de morir tenía 700 unidades de este
material?
c. Escribe una expresión matemática que represente
la regularidad que se produce entre los
periodos de 5700 años transcurridos después de
la muerte de una especie y las unidades de C14
presentes en el fósil.
2. Al dejar caer una pelota, esta cae desde un metro
de altura y luego en cada rebote asciende
3
4
de
la altura anterior. ¿Cuál es la altura en centímetros
que alcanzará la pelota al quinto bote?
3. A una hoja cuadrada de lado 10 cm, se le hace un
doblés con el que se obtiene un rectángulo cuya
área es la mitad del área del cuadrado. Luego, se
le vuelve hacer un doblés, quedando un cuadrado
cuya superficie es la mitad del rectángulo
obtenido anteriormente. ¿Cuál es el área de la
figura resultante al hacer el sexto doblés?
4. La población inicial en una ciudad de Chile es
de 1 000 725 habitantes en el año 2007, pero al
transcurrir un año la población crece en
6
5
de
la población anterior. ¿Cuál será la cantidad de
habitantes que se espera en esa ciudad para el
2014? Expresa matemáticamente la potencia que
representa la regularidad.
5. La presión atmosférica al nivel del mar es de
1 atmósfera. Al subir 1 km de altura, esta presión
corresponde a 0,9 de la presión que se tenía
inicialmente. ¿Cuál será la presión atmosférica a
los 3 km de altura sobre el nivel del mar?
§ ¿Qué opinas de la estrategia hacer una tabla? Comenta con tus compañeros o compañeras
las ventajas y desventajas de esta estrategia.
§ ¿En qué otras situaciones te ha servido esta estrategia? Describe dos situaciones.
§ ¿Qué otra estrategia conoces para resolver este tipo de problema? Describe una.
Reflexiona
Estudio mis posibles errores
Tratamiento del error
Operatoria de números racionales
¿Cuál de los siguientes procedimientos fue realizado correctamente? Compara
los procedimientos paso a paso, guiándote por las flechas.
Caso 1
1+
2
1+
1
2+
1
2
= 1+
2
1+
1
5
2
= 1+
2
1+
5
2
= 1+
2
7
2
= 1+
4
7
=
11
7
Caso 2 1+
2
1+
1
2+
1
2
= 1+
2
1+
1
5
2
= 1+
2
1
2
5
+
=
1+
2
7
5
= 1+
10
7
=
17
7
§ ¿Cuál es el procedimiento correcto?
§ En el procedimiento erróneo, ¿cuál es el paso que tiene error? ¿Por qué?
§ ¿Influye en el resultado el error cometido en el procedimiento?
Razona
y comenta
1 Analiza cuál de los siguientes procedimientos es el correcto y en el caso incorrecto
explica el error.
Caso 1 2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
5
2
2
2
2
10
2
2
2
14
2
2
4
14
32
14
16
7
+
+
+
= +
+
= +
+
= + = + = =
Caso 2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
5
2
2
2
2
4
5
2
2
14
5
2
10
14
38
14
19
7
+
+
+
= +
+
= +
+
= + = + = =
2 Calcula los siguientes ejercicios propuestos.
a. +
+
+
1
3
1
3
1
1
1
1
3
b.
2
3

1
4
1
1
1
2
1
3
+ −
+
c. 3
1
3
5
8
1
2
1
8
+
+
d.
5
4
2
7
8
9

9
8
6
1
2
•14
÷
+
Tratamiento del error
1 2 3 4
• En este tipo de ejercicio
tienes que identificar qué
tipo de operaciones se están
trabajando.
Toma nota
§ ¿Cuál es el error que cometes con frecuencia al resolver este tipo de ejercicios? ¿Coincide
con los mostrados en esta página?
§ ¿Qué harás cuando te enfrentes a ejercicios de este tipo para evitar errores?
Reflexiona
Potencias de base racional y exponente entero
¿Cuál de los siguientes procedimientos fue realizado correctamente? Compara
los procedimientos paso a paso, guiándote por las flechas.
Caso 1
(0,004)–2 = 1
0,004
2 
 
 
= 1
0,004
2
2
= 1
0,016
= 1
16
1000
= 1000
16
= 125
2
Caso 2
– (0,004) 2 = 1
0,004
2 
 
 
= 1
0,004
2
2 =
 
 
1
4
1000
2 =
1
16
1000 000
= 1000 000
16
= 62 500
§ ¿Cuál es el procedimiento correcto?
§ En el procedimiento erróneo, ¿cuál es el paso que tiene error? ¿Por qué?
§ ¿Influye en el resultado el error cometido en el procedimiento?
Razona
y comenta
1 Analiza cuál de los siguientes procedimientos es el correcto y en el caso incorrecto,
explica el error.
Caso 1
( )
( ) − =

 
 
=

=
− 
 
 
= = = − 0,2
1
0,2
1
0,2
1
2
10
1
4
100
100
4
25 2
2 2
2 2
Caso 2
0,2
1
0,2
1
0,2
1
0, 4
1
4
10
10
4
5
2
2
2 2
2 ( ) − = − 
 
 
= = = = = −
2 Calcula los siguientes ejercicios propuestos.
a. (0,05)−³ b. (0,002)−⁶ c. 1,3
2 (− )− d. –10
2,5
–2 
 
 
Conexión
Taller
Reúnanse en parejas, observen el esquema y
respondan las preguntas.
Tiempo Fracción de cantidades de carbono 14
0 años Cantidad original de carbono 14
Después de 5700 años 1
2
queda 1
2
desintegrado
Después de 11 400 años
1
4
queda
3
4
desintegrado
Después de 17 100 años 1
8
7
8
desintegrado
Después de 22 800 años
1
16
15
16
desintegrado
a. Transcurridos 5700 años, ¿qué sucede con el carbono 14?
b. Transcurridos 4 periodos de 5700 años, ¿qué fracción del carbono 14 original
queda?
c. La fracción anterior, ¿a qué potencia corresponde?
d. Si un ser vivo al momento de morir tiene 500 unidades de C14, ¿cuántas unidades
tendrá después de 5700 años? ¿y después de 11 400 años?
e. La prueba del C14 deja de ser útil para los fósiles de más de 57 000 años, ¿podrías
explicar por qué? Investiga.
La prueba del carbono 14 (C14)
En el inicio de esta unidad se mostraron los
fósiles encontrados de la cultura chinchorro
datados con la prueba del carbono 14. A continuación
se presenta un taller relacionado con
este tema.
¿Cómo es el método del C14?
El carbono 14 es una variante del
carbono que forma parte del CO2
presente en todos los seres vivos.
Mientras viven, las plantas y los
animales absorben bióxido de
carbono del aire, y cuando mueren,
sus átomos de C14 comienzan a
desintegrarse. Como se conoce la
velocidad de desintegración del
C14, la edad de los restos puede
calcularse contando el número
total de átomos de carbono que
contienen.
A medida que las sustancias
radiactivas se desintegran, liberan
partículas, y el tiempo que tardan en
perder la mitad de ellas se conoce
como su vida media. El C14 tiene
una vida media de unos 5700 años,
así que al cabo de dos vidas medias
(unos 11 400 años) solo queda una
cuarta parte de él, y después de
tres vidas medias queda apenas la
octava parte.
Fuente: http://www.museoantropologia.
unc.edu.ar/carbono%2014.htm
Para saber más…
§ ¿La prueba del C14 resulta útil para conocer la edad de existencia de rocas o minerales?
¿Por qué?
§ ¿Cómo están involucradas las potencias de base racional y exponente entero en la
prueba del C14?
§ Investiga otras situaciones en que estén involucradas potencias de base racional y
exponente entero.
Reflexiona
Conecto con la Química
Sintetizo mis aprendizajes
Síntesis
1 2 3 4
¿Cómo se hace?
• Para comparar números racionales
puedes hacer lo siguiente:
3
4
— 0,74 → 0,75 > 0,744444…
→ 5 > 4

3
4
> 0,74
5
9 —
7
11
→ 5 • 11 — 9 • 7
→ 55 > 63

5
9
>
7
11
• Para resolver operaciones
combinadas puedes realizar lo
siguiente:
1
3
+
1
2
• 2–1
2 
 
 
=
5
6
• 2–1
2 
 
 
=
25
36
• 2+1=
25
18
–1 =
7
18
Ahora refuerza
• Compara y ordena en forma
creciente los siguientes números
racionales.
a. 1, 41; 1, 41; 1,41
b. 2,308; 2,3; 2,38
c. 6,13 ; 6,13; 6,13
• Calcula el valor de las expresiones.
a. 2
3
4
9
–2 –2 
 

  ÷
 
 
b. 2 •3 • 4
8 •9
+
3
5
–1 4
c. 2
3
–3
1
4
12
5
–1 2 
 
 
÷
 
 
d.
( )
− 
 
 
 
 
−
 
 
− 



1
2

1
2
1
2
2 •2
4 2 2
4 2
3
§ Al aproximar números
decimales, truncar o redondear
dependerá del problema
planteado.
§ Para resolver operaciones
combinadas entre fracciones
y potencias debes recordar la
prioridad de las operaciones.
§ Si en las operaciones
combinadas aparecen números
decimales periódicos y
semiperiódicos, no olvides
transformarlos en fracción antes
de operar con ellos. Si estos
números son negativos, realiza
la transformación considerando
su valor absoluto, luego coloca el
signo negativo.
Tips para estudiar
¿Cómo se llama?
• Organiza las siguientes palabras en el mapa conceptual.
Semiperiódicos − Clausura − Fracción − Enteros − Potencia − Densidad − Periódicos − Finitos
Números
Racionales
Decimales
base
exponente se expresan en
que pueden ser
cumplen
§ ¿Cuáles son los conceptos principales de la unidad? ¿Por qué?
§ ¿Qué procedimiento te resultó más difícil de entender? Explícaselo a un compañero o compañera.
§ Si un compañero o compañera te pregunta: “¿cuáles son los números racionales?“, ¿qué le dirías?
Explica.
§ ¿Por qué es importante sintetizar lo aprendido? Justifica tu respuesta.
Reflexiona
Refuerzo
Refuerzo mis aprendizajes
Caracterizar los números racionales (lecciones 1 y 2).
1 Evalúa las siguientes afirmaciones. Justifica.
a. Un número natural es también un número racional.
b. Un número negativo se puede escribir como fracción.
c. Un número decimal periódico es un número irracional.
Establecer relaciones de orden en los números racionales y representarlos gráficamente (lecciones 3 y 4).
2 Compara los siguientes pares de números.
a. 3
8
; 9
8
b. − 5
3
; 3
5
c. −3,2 ; −3,2
d. 4
6
; 12
13
3 Representa en una recta numérica los siguientes números.
a. − − 1
3
;
5
9
;
4
3
;
2
3
; 1
3
10
b. 5,42; 5, 4 ; 5, 42 ; 5,42 ; 5, 4
Resolver problemas utilizando operatoria en los números racionales (lecciones 5, 8 y 9).
4 Resuelve.
a. 1
3
1
6

1
2
+ b. 2
7
• 9
4
8
1
3
− c.
+
+
+
1
1
1
1
1
1 1
d. −

0,05
0,5 5
e. Una persona cosechó 3
7
de terreno durante la mañana, y en la tarde la mitad
del resto. Si aún le quedan 20,5 hectáreas por cosechar, ¿cuál es la superficie
total del terreno?
f. En una carrera un automóvil recorrió 5
6
del camino. Si en total son 10 km,
¿cuánto le queda por recorrer?
g. Gabriela ocupó 3
8
kg de azúcar para un queque. Si tenía 1 kg de azúcar,
¿cuántos gramos de azúcar le quedaron?
h. Juan regaló 1
9
de su dinero a su hermano, gastó 5
36
, y 4
10
los perdió en
una apuesta. Si aún le quedan $3200, ¿cuánto dinero tenía en un inicio
aproximadamente?
Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales (lecciónes 6 y 7).
5 Evalúa las siguientes afirmaciones.
a. Si x, y ∈ entonces x ♣ y = (x − y) − (x + y) ∈ .
b. Si m, n ∈ , entonces m n
m n
2
 = +
∈ .
Los números racionales se pueden
expresar como fracciones, números
decimales finitos y números decimales
infinitos periódicos o semiperiódicos.
Para comparar números racionales en
su forma fraccionaria puedes utilizar el
método de los productos cruzados, por
ejemplo:
7
8
2
3
→ 7 • 3 8 • 2
→ 21 > 16

7
8
>
2
3
Para calcular operaciones combinadas
entre números racionales ten presente
la prioridad de las operaciones. Si
están involucrados números decimales
periódicos o semiperiódicos, recuerda
transformarlos en fracciones previamente.
El conjunto de los números
racionales cumple la propiedad de
clausura, la cual indica que si se operan
dos o más elementos del conjunto, el
resultado seguirá siendo un elemento del
conjunto.
Refuerzo
1 2 3 4
Comprender las potencias de base racional y exponente entero y utilizar sus propiedades (lecciones 10 y 11).
6 Expresa como potencias de exponente entero positivo y calcula su valor.
a. 6−¹
b. 8−²
c. (−2)−⁶
d. (−5)−³
e. (−1)−¹⁰
f. −(−6)−²
g. −9−³
h. −11−³
7 Calcula las siguientes potencias.
a. 1
2
–3 
 
 
b.
3
4
–2 
 
 
c. 1
8
1
− 
 
 

d. –
5
8
–2 
 
 
e. 1,1
2 ( )
f. (−3,5)−¹
g. 0,5
2
2 − 
 
 

h. 0,13
3 −(− )
8 Aplica las propiedades de potencias.
a. 5−² • 5³
b. 2−³ ÷ 2−⁴
c. 3
4
–2 –1
 
 

 

 
d. 1
2
0,5
1 6
3 
 
 

 

 
÷


e. 0,3
0,1
3
2
1 
 

  −
f. 1
3

1
3
10 6 
 
 
 
 

Resolver problemas que involucran números racionales y potencias (lección 12).
9 Resuelve.
a. 2−¹+3−²
b. 2 •3 •9 •2
27 • 2
2 3 1 3
5

c.
1
5
•10 2
2 −
− −

d.
2,5 •2
5
3 2 2
3
( )− −

e. ( 8) •
1
2
2
4 − − −

f. 5
10
• 2
1 3
3 
 
 

 

 
− −

g. 2
9
1
4
17
9
2
+ 
 
 
 ÷
 

 
h. –
5
4

1
3
– 0,2
1 
 
 
 
 

 

 

i. 3
8
• –
5
3

9
7
–2 
 
 

 

 
j. La superficie total de un cubo se calcula con la fórmula AT = 6a². ¿Cuál es el
área total de un cubo cuya arista mide 12
3
m?
k. El volumen de una esfera se calcula con V
4 r
3
3
=  donde r es el radio de la
esfera. ¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo radio mide 0,5 metros?
l. La energía cinética se calcula con E
1
2
•m • v c
= 2 donde m es la masa y v la
velocidad. Si la energía cinética de un móvil es de 5•10 kg •
m
s
4
2
2 y su masa de
1000 kg, ¿cuál es su rapidez?
Se denomina potencia de base racional y
exponente entero a toda expresión de la
forma c
d
n 
 
 
donde:
c
d
n
c
d
n
Si n > 0
1 Si n = 0;
c
d
 0
d
c
-n
Si n < 0;
c
d
 0
 
 
 
 
 
 





=
Las propiedades de las potencias son las
siguientes:
• an • am = an+m = am+n
con a ∈y n, m ∈
• an am = a
÷ n – m
con a –{0}y n,m 
• an m
= a
( ) n •m
con a –{0}y n,m 
Para calcular operaciones que
involucren números racionales y
potencias debes considerar la prioridad
entre las operaciones. Primero debes
resolver las potencias y luego las
operaciones entre números racionales
priorizando la multiplicación o la división
sobre la adición o sustracción.
Evalúo mis aprendizajes
Evaluación
1 ¿Cuál de los siguientes números NO pertenece al
conjunto de los números racionales?
A. 2,555555…
B. −0,342342…
C. 65,06868…
D. 0,101100111000…
E. 4,100000…
2 ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 58
?
A. 5
8

B. 8
5

C. −1
D. 1
E. 8
5
3 ¿Cuál de los siguientes números NO es racional?
A. Entero negativo
B. Decimal finito
C. Decimal infinito no periódico
D. Decimal infinito periódico
E. Decimal infinito semiperiódico
4 ¿Cuál de los siguientes números racionales es el
mayor?
A. 1,24
B. 1,2
C. 1,24
D. 1,2
E. 1,24
6 De mayor a menor, ¿cuál es el orden de los siguientes
números racionales?
a= –
2
3
, b= –
5
6
, c= –
3
8
A. a < b < c
B. b < c < a
C. b < a < c
D. c < a < b
E. c < b < a
7 ¿Cuál es el número racional correspondiente al
punto P en la recta numérica?
0 P 1
A. 0,30
B. 0,33
C. 0,60
D. 0,70
E. 0,78
8 ¿Cuál de los siguientes números está después de
1
3
en la recta numérica?
A. 0,3
B. 0,3333
C. 0,33
D. 0,333334
E. 0,333
Caracterizar los números racionales (lecciones 1 y 2).
Resolver problemas utilizando operatoria en los números racionales
(lecciones 5, 8 y 9).
Formular estrategias para comparar y representar en la recta numérica números
racionales (lecciones 3 y 4).
I. Marca con una x la alternativa correcta.
5 Sebastián, Francisca y Florencia compran queso
para preparar una pizza. Sebastián compró 260 g,
Francisca 1
4
kg y Florencia 3
8
kg. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?
I. Sebastián compró menos queso que Francisca.
II. Florencia compró más queso que Francisca.
III. Sebastián compró más queso que Florencia.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Ninguna de las
anteriores.
9 Al truncar el decimal 0,14 a la milésima, ¿cuál es
el error que se comete?
A. 0
B. 0,04
C. 0,4
D. 0,004444….
E. 0,0004444….
10 El resultado de 1
3
8
– 0,75
+
1
3
8
– 0,25
es:
A. 4
B. 8
3
C. 15
3
D. 16
3
E. –
16
3
Evaluación
1 2 3 4
11 Un niño bebe la mitad de un litro de jugo por
la mañana, y en la tarde
1
3
de lo que quedaba.
¿Cuánto jugo bebió al final del día?
A. 5
6
L
B. 1
6
L
C. 1
3
L
D. 2
3
L
E. 4
5
L
12 Se define a b =
1
a • b
★ . Entonces, el resultado de
 
 
2 –
8
7
3
4
★ ★ es:
A. 3
7
B. 7
3
C. –
3
7
D. –
7
3
E. Ninguna de las anteriores.
13 Si una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ya
ha caminado 7850 metros, ¿cuántos kilómetros le
faltan por recorrer?
A. 4,45 km
B. 4,55 km
C. 5,55 km
D. 5,45 km
E. 6,62 km
14 Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone
de 60 hombres. En la primera etapa trabaja
la cuarta parte del total de hombres disponibles y
en la segunda,
2
3
del resto. Si en la tercera etapa
trabajan los hombres que quedaron, ¿cuántos
trabajaron solamente en la tercera etapa?
A. La mitad del total.
B. Un tercio del total.
C. La mitad de los que trabajaron en la segunda
etapa.
D. La mitad de los que trabajaron en la primera
etapa.
E. Un tercio de los que trabajaron en la segunda
etapa.
15 Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad con
2
1
3
litros de agua. ¿Cuántos litros le faltan para
llenarlo?
A. 2
1
3
B. 2
2
3
C. 1
2
3
D. 3
1
3
E. 3
2
3
Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales (lecciones 6 y 7).
Comprender las potencias de base racional y exponente entero y aplicar sus
propiedades (lecciones 9, 10 y 11).
16 Se define la operación a t b = 2a ÷ b, donde a
y b son números racionales. ¿Cuál afirmación es
FALSA con respecto a la operación?
A. Los resultados pueden ser números enteros.
B. Solo está definida para b distinto de 0.
C. Los resultados siempre serán números racionales.
D. Los resultados pueden ser números decimales.
E. Solo está definida para a distinto de 0.
17 ¿Cuál de los siguientes números NO puede ser
escrito como potencia de exponente 3?
A. 1
B. 8
C. 27
D. 169
E. 216
18 ¿Cuál es el valor de 
 
 

4
8
–4
?
A. 16
B. 32
C. −32
D. −16
E. –
1
2
Evalúo mis aprendizajes
Evaluación
19 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDA
DERA?
A. Toda potencia de base distinta de cero y exponente
igual a 1 tiene valor igual a 1.
B. Si la base de una potencia y su exponente son
números enteros, su resultado puede ser un
número entero.
C. Si el exponente de una potencia es un entero
negativo y su base un número racional, su resultado
es siempre un número entero.
D. A y B son falsas.
E. B y C son falsas.
20 ¿Qué alternativa representa mejor al valor de la
potencia ((−3))−¹?
A. Es igual a cero.
B. Es mayor que cero.
C. Es menor que cero.
D. No se puede determinar.
E. Ninguna de las anteriores.
21 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el
área de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm?
A. 16 cm²
B. (2³)² cm²
C. 232 cm²
D. 2 • 2³ cm²
E. (2³ + 2³) cm²
23 ¿Cuál es el valor de
(
2 3 5
–8) 5
• •

3 –2 –1
–1 ?
A. 9
B. 9²
C. −9
D. 1
9
E. –
1
9
24 ¿Cuál es el resultado de la expresión
 
 
 
 
 
 
2
3
3
2
9
4

–4 2
2 ?
A. 1
B. 2
3
C. 3
2
D. 
9
4
E. 3
2
–2 
 
  25 Un tipo de bacteria se reproduce de acuerdo con la
expresión 2t, siendo t el tiempo expresado en horas.
¿En cuánto tiempo se tendrán 1024 bacterias?
A. 8 horas.
B. 9 horas.
C. 10 horas.
D. 11 horas.
E. 12 horas.
26 El número de bacterias (B) en cierto cultivo está
dado por la expresión B = 100t • 100, donde t
es el tiempo expresado en horas. ¿Cuál será el
número de bacterias al cabo de 4 horas?
A. 100²⁰
B. 100⁹
C. 104⁵
D. 400⁵
E. 4 • 100⁵
Resolver problemas que involucran números racionales y potencias (Lección 12).
1 Identifica a qué conjunto numérico pertenece la
solución de cada ecuación.
a.
3
6
x +1= 9
b. 6x − (2 − 3x) = 4
c. 2
1
3
x
1
2
x
2
9
+ = +
d. 25x + 1 = 2x + 3
Caracterizo los números racionales.
22 ¿Qué valor se obtiene al simplificar la expresión
1000 000 0,00012
10

4
?
A. 12
B. 1,2
C. 0,12
D. 0,012
E. 1200
II. Resuelve los siguientes problemas.