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CUERPOS GEOMETRICOS EJERCICIOS RESUELTOS DE CUARTO DE SECUNDARIA PDF

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Cuerpos generados por rotación
o traslación,
Volumen de un prisma,Volumen de cilindros,Volumen de pirámides,Volumen de conos,Área de prismas y de pirámides,Área de cilindros y de conos,Esfera.
Formular y verificar conjeturas respecto de los cuerpos generados a partir
de traslaciones o rotaciones de figuras planas.
• Resolver problemas sobre área y volumen de cuerpos geométricos.
• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos
rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Cuando sus lados son de igual
medida y sus ángulos son congruentes, se dice que es un polígono regular.
• El apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro del polígono
y uno de sus lados.
• Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más regiones
poligonales no coplanares, que se llaman caras, los lados de las caras son las aristas y concurren en
un punto llamado vértice.
• Un prisma es un poliedro que tiene dos caras basales paralelas congruentes y sus caras laterales son
paralelógramos. Los prismas rectos son aquellos en que sus caras basales son perpendiculares
a sus caras laterales.
• Una pirámide es un cuerpo geométrico que tiene por base un polígono y cuyas
caras son triángulos que concurren en un solo punto, llamado cúspide o vértice
de la pirámide.
• Por otra parte, el apotema de una pirámide regular es la altura de las caras
triangulares de la pirámide.
• La red de un poliedro u otro cuerpo geométrico es la figura que se obtiene al
extenderlo sobre un plano.
En general, se denominan cuerpos generados por rotación o sólidos de revolución
aquellos que pueden obtenerse mediante la rotación de una curva alrededor de un
eje. A dicha curva se le llama generatriz.
En este sentido, la esfera es un cuerpo generado por rotación, su generatriz es la
circunferencia y su eje es el diámetro de la circunferencia, ya que, tal como se puede
apreciar en las imágenes, al girar una circunferencia en torno a su diámetro, se observa
una esfera.
De manera similar, si se gira un rectángulo en torno a uno de sus lados, se puede
observar un cilindro, mientras que si se gira un triángulo rectángulo en torno a uno
de sus catetos, se puede observar un cono.
• Principio de Cavalieri: si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlos
por cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es la misma, ambos tienen el
mismo volumen.
1. El volumen de un prisma recto de base hexagonal es 120√3 m3 y su altura
mide 5 m. ¿Cuál es la medida de los lados del hexágono?
2. El volumen de un prisma de base hexagonal es 340 cm3 y su altura es 12 cm.
Si se obtiene, mediante el corte, un plano paralelo a las bases, ¿cuál es el área
de la sección transversal?
3. Calcula el volumen de los siguientes prismas.
a. Un paralelepípedo recto de 6,4 cm y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura.
b. Un prisma recto, de base hexagonal regular con área basal 28 cm2 y altura 10 cm.
c. Un prisma recto de base octagonal regular, con área basal 12,5 cm2 y la arista
lateral 16 cm.
4. El volumen de un prisma de base rectangular es 28 m3. Si su altura mide 5 m, ¿cuál es el área de su base?
5. En GRUPO Una caja de 20 cm de altura tiene como base un pentágono regular, su lado mide 8 cm y
su apotema, 5,5 cm.
a. Calcula el volumen de la caja.
b. Si esta caja se llena de chocolates, logrando ocupar el 90 % del espacio interior, ¿cuál es el volumen
ocupado por los chocolates?
c. Supón que 1 cm3 de estos chocolates tiene una masa de 3,5 g, ¿cuál es la masa total de todos los que
están en la caja?
6. Una fábrica de accesorios diseñó un portalápices utilizando tres prismas hexagonales
como se muestra en la figura. Si se sabe que el volumen de los tres prismas es de
960 cm3 y el área de la base de cada prisma es 64 cm2, ¿cuál es la altura del portalápices?
7. Un prisma tiene una altura de 8 cm y una base cuadrada de lado x cm. Si su volumen es de 288 cm3,
¿cuál es el valor de x?
8. Resuelve los siguientes problemas.
a. Alejandro debe construir un estanque con forma de prisma rectangular para que contenga 48 m3 de
agua. Ha destinado para ello un espacio de 6 m de largo por 2 m de ancho. ¿Qué altura debería tener el
estanque?
b. Un carpintero necesita cortar dados de madera de 3 cm de arista y dispone de una pieza de madera de
12 cm de largo, 9 cm de ancho y 15 cm de alto. ¿Cuántos de esos dados puede obtener como máximo?
c. Una sala de un hospital mide 8 m de largo, 5 m de ancho y 4 m de alto. Si se le cambia el aire cada
15 minutos, ¿cuántos metros cúbicos de aire se mueven en una hora?
9. En el caso de un prisma oblicuo, ¿se puede calcular el volumen si se conoce el área de la base y la
medida de la arista lateral?, ¿por qué?
1. Calcula el volumen aproximado de cada cilindro a partir de las medidas dadas.
a. Radio: 3 cm, altura: 6 cm
b. Diámetro: 4 cm, altura: 5 cm
c. Radio: 7 cm, altura: 10,5 cm
d. Diámetro: 12 cm, altura: 8 cm
e. Radio: 6,5 cm, altura: 10 cm
f. Diámetro: 24 cm, altura: 25 cm
2. Calcula el volumen del cilindro que se genera al girar un rectángulo de 3,5 cm de ancho y 5,8 cm de alto
en torno a su altura.
3. Un estanque con forma cilíndrica tiene una altura de 4 m y un diámetro de 6 m.
Si solo está lleno hasta 3,5 m de altura, ¿cuántos metros cúbicos faltan para llenar
completamente el estanque?
4. Resuelve los siguientes problemas.
a. La mayoría de las bebidas en lata tienen forma cilíndrica y 350 cm3 de volumen. ¿Cuál debería ser el
diámetro de la base de cada lata si ahora se fabricarán con una altura de 18 cm?
b. Rosa y Luisa fabrican velas de cera. Rosa usa un molde cilíndrico de 5 cm de radio y 20 cm de altura y
Luisa usa un molde con forma de prisma de base cuadrada de 10 cm por lado y 20 cm de altura. ¿Quién
usa menos cera para cada vela? ¿Cuánto menos?
c. Una torta de novios tiene tres pisos, cada uno en forma de cilindro. El primer cilindro tiene 40 cm de
diámetro, el segundo, 30 cm y el tercero, 20 cm. Todos tienen una altura de 12 cm. Encuentra el volumen
total de la torta. Usa π ≈ 3,14.
d. El cilindro fonográfico fue el primer método utilizado para grabar y reproducir sonidos. Hacia
1890, algunas empresas decidieron estandarizar sus medidas; fue así como se produjeron cilindros
fonográficos de 10 cm de altura y 5,7 cm de diámetro. ¿Cuál era el volumen de un cilindro fonográfico?
5. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su altura se duplica?, ¿y si solo su radio se duplica?
6. En parejas Propón medidas para el cilindro y el prisma hexagonal recto. Luego, compara sus
volúmenes teniendo en cuenta que la altura h de ambos cuerpos geométricos es la misma.
5. Una caja con forma de paralelepípedo tiene 2 cm
de ancho, 4 cm de alto y 4 cm de largo.
a. ¿Cuántos cubos de 1 cm de arista caben en la
caja cerrada?
b. ¿Cuántos cubos de 2 cm de arista caben en la
caja cerrada?
c. Si las dimensiones de la caja se duplican, ¿cuál
es el volumen de todos los cubos juntos con
los que se puede llenar?
6. Resuelve los siguientes ejercicios.
a. Un cubo cuya arista mide 1 m tiene un
volumen de 1 m3. ¿Cuál es su volumen
expresado en cm3?
b. La base de un prisma es un pentágono de área
90 cm2 y altura 15 cm. ¿Cuál es el volumen del
prisma?
c. ¿Cuántos cubitos de 1 cm de lado caben en un
prisma de base cuadrada, si la arista de la base
mide 5 cm y la altura mide 10 cm?
d. El volumen de un prisma de base rectangular
es 24 m3. Si el largo de la base es 4 m y su
ancho es 3 m, ¿cuál es la altura del prisma?
e. Una pequeña piscina tiene una superficie
basal de 0,6 m2. Cuando Emiliano sumerge una
pelota, Facundo observa que la altura del agua
sube 2 cm. ¿Cuál es el volumen de la pelota?
f. Las medidas de un acuario con forma de
prisma de base rectangular son: 80 cm de largo,
60 cm de ancho y 30 cm de alto. ¿En cuánto
tiempo se llena de agua, si el caudal de la llave
es 5,5 L por minuto?
4
Unidad
Cuerpos geométricos – Unidad 4 243
7. Un lingote de plata tiene la forma de un prisma
recto de base trapezoidal y altura 32 cm. A su
vez, los trapecios tienen 5 cm de altura y bases
de 7,5 cm y 10 cm. Si la plata pesa 10,5 g por cm3,
¿cuánto pesa el lingote?
8. El volumen de un prisma oblicuo es de 135 cm3. Si
la altura es de 7,5 cm, ¿cuál es el área de la base?
9. De un cubo sólido de arista a unidades se
extrajo un cubo de arista b unidades, tal como se
muestra en la siguiente figura.
Calcula el volumen del cuerpo resultante,
considerando los siguientes datos:
(a – b)3 = 27 a2b = 50 ab2 = 20
10. Calcula el volumen de los siguientes prismas. En
ambos casos, la arista de la base mide 3 cm, la
altura 4 cm y sus bases son polígonos regulares.
a. b.
11. Ciertos lingotes tienen forma de prisma cuya
base es un trapecio. Sus medidas son las que se
muestran en la figura.
50 mm
30 mm
114 mm
30 mm
a. ¿Cuál es el volumen del lingote?
b. Supón que se funde una pieza de 30 kg para
hacer lingotes de plata como el de la figura,
¿cuántos lingotes se pueden obtener? (Ten en
cuenta que la densidad de la plata es 10,5 g/cm3).
12. Estima en qué razón están los volúmenes de dos
cilindros de igual altura, si el radio de uno de
ellos es el doble de la medida del radio del otro.
Explica.
13. Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí,
responde en tu cuaderno.
a. ¿Cuándo se dice que un cuerpo es generado
por rotación? Justifica.
b. ¿Cuál es la diferencia entre cono y cilindro?
c. ¿Qué características tiene un cono truncado?
d. ¿Cuál es la relación entre los volúmenes de un
cono y un cono truncado de igual base, si la
altura del cono truncado es la mitad de la altura
del cono? Explica.
e. ¿Qué relación hay entre el volumen del cono y
el volumen del cilindro, si tienen iguales bases
y alturas? Justifica.
14. Resuelve los siguientes problemas.
a. Un cubo está inscrito en un cilindro cuya base
tiene 8 cm de radio. Calcular el volumen que
hay entre el cilindro y el cubo.
b. Un fabricante de conservas necesita decidir
qué envase cilíndrico es mejor para su
producto. Si un cilindro es el doble de ancho
que el otro pero la mitad del alto, ¿cuál de los
dos envases tiene mayor capacidad? Explica.
15. El volumen de una esfera de radio 3 cm es
113 cm3, aproximadamente. Tres de estas esferas
se ponen dentro de un cilindro de diámetro basal
6 cm y altura 18 cm. Usa π ≈ 3, 14 y responde.
a. Calcula el volumen del cilindro.
b. ¿Cuál es el volumen que queda sin ocupar por
las esferas dentro del cilindro?
c. En ese espacio, ¿cabría otra esfera si esta se
pudiera derretir?
16. El área de la base de un prisma mide 30 dm2 y su
altura 6 dm. Calcula el volumen de una pirámide
con igual base e igual altura que el prisma.
18. Una pirámide de 25 cm de altura tiene una base
hexagonal regular de 6 cm de lado. Calcula su
volumen.
19. El volumen de un cubo es 64 cm3. ¿Cuál debe ser
la altura de una pirámide de igual base e igual
volumen?
20. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal,
sabiendo que el lado de la base mide 8 cm y su
altura es cinco veces la longitud del apotema de
la base de la pirámide.
21. Resuelve los siguientes problemas.
a. La base de una pirámide es un cuadrado cuya
diagonal mide 15√2 cm. La altura tiene la
misma longitud que la arista de la base. Calcula
el volumen de la pirámide.
b. Juan está haciendo una escultura de cobre,
que consiste en un cubo de 50 cm de arista,
sobre el cual se soldará una pirámide de base
igual a una cara del cubo y altura 20 cm.
¿Cuánto cobre necesita Juan?
c. Ema guarda su plasticina formando un cubo
de 6 cm de arista, y ahora quiere moldear
pirámides de base cuadrada, de modo que la
arista basal y la altura de cada pirámide midan
3 cm. ¿Cuántas pirámides puede moldear con
la plasticina del cubo?
d. Una pieza de bronce tiene forma de pirámide
triangular recta de 25 cm de altura. Las
dimensiones de la base son 10 cm, 10 cm y
12 cm. ¿Cuál es la masa de esta pieza si la masa
de 1 cm3 de bronce es de 8,75 g?
e. Se funden tres cubos macizos de aluminio de
12 cm de arista con la finalidad de construir una
pirámide cuya base sea un cuadrado de 12 cm
de lado. Determina la altura de la pirámide.
f. Se quiere transportar una pirámide de vidrio, de
base cuadrada de lado 18 cm y altura de 25 cm,
en una caja de igual base y altura. El espacio
entre la caja y la pirámide se llenará de algodón.
¿Qué volumen de algodón se necesita?
22. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base
cuadrada de lado 16 cm y apotema lateral 10 cm?
23. Determina el volumen de un cuerpo formado
por un cubo de 20 cm de arista y dos pirámides
de 15 y 30 cm de altura, cuyas bases son dos
caras opuestas del cubo.
24. Determina el volumen de un cono de 6 cm de
radio y generatriz de 2√13 cm.
25. ¿Cuánto mide la generatriz de un cono que tiene
radio basal 5 cm y volumen 300π cm3?
26. En una amasandería, al cernir harina sobre el
mesón se formó un cono de 1,8 m de diámetro y
65 cm de altura. Considera π ≈ 3,14.
a. ¿Cuál es el volumen de la harina cernida?
b. Si 1 m3 puede contener 850 kg de harina,
¿cuántos kilogramos de harina hay en el cono?
27. Un cono de metal de radio 4 cm y altura 12 cm,
se fundió para hacer un cilindro del mismo radio,
usando todo el metal. ¿Cuál es la altura del
cilindro?
28. Una pirámide de base
cuadrada de 4 cm de arista
basal está inscrita dentro de
un cono de 6 cm de altura, tal
como se muestra en la figura.
Calcula el volumen del cono.
29. Un vaso tiene forma decono truncado, como se
muestra en la figura. Si su capacidad es de 0,47 L,
¿cuál es su altura?
4. Determina si las expresiones siguientes son
verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. El volumen de un cilindro es el doble del
volumen de un cono de igual base e
igual altura.
b. El volumen de un prisma es el triple del
volumen de una pirámide de igual base e
igual altura.
c. El principio de Cavalieri se puede aplicar a dos
cuerpos geométricos cualesquiera.
5. Resuelve los siguientes problemas.
a. ¿Cuántos vasos cilíndricos de 12 cm de alto y
diámetro interno de 6 cm se pueden llenar con
3,5 litros de agua? Usa π ≈ 3,14.
b. Un pisapapeles, hecho de bronce, tiene forma
de pirámide de base cuadrada, de 5 cm de
lado, y su altura es 6 cm. Si cada centímetro
cúbico de bronce tiene 8,9 g de masa, ¿cuál es
la masa del pisapapeles?
c. Dos prismas hexagonales tienen la misma base.
Si la razón entre sus alturas es 2 : 3, ¿cuál es la
razón entre sus volúmenes?
d. Una columna de concreto tiene forma de
prisma hexagonal regular. El lado de la base
mide 15 cm. La altura de la columna es de
2,95 m. Calcula su peso sabiendo que 1 m3 de
concreto pesa 2 900 kg.
e. Dos pirámides A y B tienen base cuadrada. Las
medidas de la base y la altura de la pirámide B
son el doble de las correspondientes medidas
de la pirámide A. ¿Cuál es la relación entre
el volumen de la pirámide B y el de la
pirámide A?
f. Un florero tiene forma de prisma recto de
10 cm de altura y una base cuadrada de 5 cm
de lado. Este florero contiene agua hasta los
5 cm de altura. Si se colocan algunas piedras
en el interior del florero la altura del líquido,
aumenta en 1,5 cm. ¿Cuál es el volumen de las
piedras?
g. Un cilindro de metal de 40 cm de diámetro y
10 cm de altura se funde para hacer un cono
del mismo diámetro basal. ¿Cuál será la altura
del cono?
h. Una torta de cumpleaños tiene dos pisos, cada
uno en forma de cilindro. El primer cilindro
tiene 25 cm de diámetro y el segundo, 18 cm.
Ambos tienen una altura de 10 cm. Calcula el
volumen total de la torta. Usa π ≈ 3,14.
6. Resuelve los siguientes ejercicios.
a. Las dimensiones de un prisma de base
rectangular son 3 m, 6 m y 5 m. ¿Cuál es su
volumen?
b. La base de un prisma es un triángulo
rectángulo, de catetos 5 cm y 12 cm y la altura
del prisma es la mitad de la hipotenusa del
triángulo basal. ¿Cuál es su volumen?
c. ¿Cuál es el volumen de un prisma de altura
5 cm y cuya base es un hexágono de lado
4 cm y apotema aproximado de 3,5 cm?
d. El volumen de un prisma de base rectangular
es 28 m3. Si su altura mide 4 m, ¿cuál es el área
de su base?
e. Una pirámide tiene una base cuadrada cuya
arista mide 12 cm y su altura es 8 cm, ¿cuál es
su volumen?
f. Una pirámide de base cuadrada tiene un
volumen de 120 cm3. Si su altura mide 10 cm,
¿cuánto mide la arista basal?
7. Calcula el volumen de una pirámide recta de
base cuadrada si su altura mide 12 cm y la
apotema mide 13 cm.
8. Calcula el volumen de un cilindro inscrito en un
prisma recto de base cuadrada de lado 5 cm y
altura 12 cm.
9. Se desea construir un tubo juntando láminas de
acero rectangulares de 30 cm de largo y 22 cm
de ancho por sus lados opuestos. ¿Cómo se
consigue obtener mayor volumen, juntando los
lados de 30 cm o los de 22 cm?
10. ¿Cuál es el radio de la base de un cono recto si su
volumen es 108π cm3 y su altura 9 cm?
11. Si en un cono reducimos a la mitad el radio y
mantenemos la altura,
a. ¿el volumen se reduce a la mitad?, ¿por qué?
b. Y si se mantiene la misma base y se reduce la
altura a la mitad, ¿qué sucede con el volumen?
Explica.
12. Calcula la altura aproximada de una pirámide de
volumen 10 000 cm3, cuya base es un triángulo
equilátero de 100 cm de lado.
13. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si el diámetro
de su base es 5 cm y su altura 9 cm? Usa π ≈ 3,14.
14. Demuestra que el volumen de cualquier
pirámide es un tercio del producto entre el área
de la base y su altura.
15. Calcula el volumen de un tubo cilíndrico de
altura 12 cm y cuyos radios interior y exterior son
de 4 cm y 6 cm respectivamente.
16. Resuelve los siguientes problemas.
a. Un cubo metálico de arista 6 cm se funde y
con todo el material se construye una pirámide
de base cuadrada de 9 cm. ¿Cuál es la altura de
la pirámide?
b. Se quiere transportar un cono de vidrio, de
radio 12 cm y altura de 20 cm, en una caja de
igual base y altura. El espacio entre la caja y el
cono se llenará de bolitas de plumavit. ¿Qué
volumen de plumavit se necesita?
c. Un cilindro de metal de 40 cm de diámetro y
10 cm de altura se funde para hacer un cono
del mismo diámetro basal. ¿Cuál será la altura
del cono?
d. ¿Cuántos vasos de papel cónicos de 9 cm de
alto y diámetro de 7 cm se pueden llenar con
1,5 litros de agua? Usa π ≈ 3,14.
17. Una pirámide de base cuadrada de 8 cm de
altura está inscrita dentro de un cono de 3 cm de
radio, tal como se muestra en la figura.
a. ¿Cuál es la medida de la arista basal de la
pirámide?
b. Calcula el volumen del cono.
c. ¿Cuál es el volumen del espacio comprendido
entre el cono y la pirámide?
1. Completa la información requerida para cada cono.
a. El radio mide 4 cm y la altura, 3 cm. Calcula la medida de la generatriz, del área del manto y del área total.
b. La altura mide 15 cm y la generatriz, 18 cm. Encuentra el radio, el área del manto y el área total.
c. El radio mide 8 cm y la altura, 6 cm. Encuentra la generatriz, el área del manto y el área total.
2. Calcula el área de un cono recto cuya generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm.
3. Un cono de helado tiene 12 cm de profundidad y 5 cm de radio superior.
a. ¿Cuál es el volumen de helado que puede contener si se llena hasta el borde?
b. ¿Cuál es el área del barquillo que lo forma?
4. Para la fiesta de fin de curso, María, Susana y Carlos van a fabricar gorros de cartulina con forma de
cono. Si los radios miden 8 cm, 10 cm y 13 cm y las generatrices 28 cm, 35 cm y 40 cm, respectivamente,
¿cuánta cartulina necesitarán como mínimo?
5. El radio de la base de un cilindro y el de la base de un cono miden 6 cm. La altura del cono mide 8 cm.
Determina cuál debe ser la altura del cilindro para que ambos tengan:
a. la misma área lateral.
b. la misma área total.
6. Halla la superficie de una budinera con forma de cono truncado, sabiendo que los radios de sus bases
miden 11 cm y 13 cm y su altura mide 10 cm. Considera π = 3,14.
7. Considera un cono truncado cuyas bases tienen radios de 17 cm y 22 cm y cuya altura es de 12 cm.
a. Calcula su generatriz.
b. Calcula su área lateral.
c. Calcula su área total.
8. En una casa hay 26 macetas con forma de cono truncado. Los radios de sus bases miden 15 cm y 23 cm
respectivamente, y su generatriz 36 cm. Calcula cuánto cuesta pintarlos todos por su exterior a razón de
$ 2 350 cada metro cuadrado.
1. Determina cuáles de las siguientes proposiciones
son verdades y cuáles son falsas. Explica.
a. Todas las caras laterales de cualquier pirámide
son triángulos rectángulos.
b. El área lateral de cualquier pirámide se calcula
mediante la expresión AL = nA, donde n es el
número de lados de la base y A el área de una
de las caras laterales.
c. Todas las pirámides triangulares son tetraedros.
2. Cuatro cubos tienen aristas de 1 cm, 2 cm, 3 cm
y 4 cm.
a. Determina el área total de cada cubo.
b. ¿Qué pasa con el área total si la arista se
duplica? ¿Y si se triplica?
c. ¿Cuántos cubos de arista unitaria caben dentro
de cada uno de los cubos de arista 2, 3 y 4 cm?
3. Una empresa desea fabricar carpas con las
dimensiones que se muestra en la figura. Si se
cuenta con 16,56 m2 de lona para elaborar toda
la carpa, tapas, base y techo, ¿cuál debe ser la
profundidad de cada carpa para aprovechar al
máximo la lona?
1,2 m
1,8 m
4. Considera tres cubos: el cubo A con arista de
12 cm, el cubo B con diagonal de 12 cm, y el
cubo C cuya diagonal de las caras mide 12 cm.
¿Cuál de estos cubos tiene la menor área total?
5. Calcula el área total de un prisma cuyas bases
son triángulos equiláteros, si el área basal es
195 cm2 y la arista lateral es igual a la arista basal.
6. Calcula el área lateral de un prisma hexagonal
cuya base mide 12√3 cm2, y cuya arista de la
base es la mitad de la arista lateral.
7. Una plomada de construcción está formada por
la unión de un prisma hexagonal y una pirámide
de base hexagonal, ambos de arista basal 2 cm y
altura de 8 cm.
a. Calcula el volumen de la plomada.
b. Calcula el área de la plomada.
8. Calcula el área lateral de una pirámide de
base cuadrada, de 64 cm2, sabiendo que todas
las aristas son congruentes (son de la misma
longitud).
9. Calcula el área total de una pirámide de base
triangular con arista lateral de 8,2 cm y arista
basal de 3,6 cm.
10. Sabiendo que el área total de un tetraedro es
16√3 cm2, calcula la longitud de una arista.
11. Deduce una fórmula
para calcular el área y el
volumen de un octaedro
regular de arista a.
Recuerda que un octaedro
regular está formado por
dos pirámides idénticas.
12. Si la medida de una diagonal de un cubo es igual
a la medida de la diagonal de una de las caras de
otro cubo, ¿qué relación existe entre las áreas de
estos 2 poliedros?
13. Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm
de lado y altura 12 cm es cortada por un plano
a la mitad de su altura. Calcula el área total del
tronco de la pirámide.
14. En la red de una pirámide de base cuadrada,
cada lado de la base mide 24 cm y los lados de
los triángulos isósceles que no coinciden con los
del cuadrado miden 36 cm.
a. Calcula la altura que tendrá la pirámide una vez
que esté construida.
b. Encuentra el volumen de la pirámide.
c. Encuentra el área total de la pirámide.
Marca la opción correcta en los ítems 39 a 47.
39. El área total de un prisma recto, cuya base es
un hexágono regular de 5√3 cm de apotema y
12 cm de altura, es aproximadamente:
A. 1 239,6 cm2
B. 18 412 cm2
C. 45 023 cm2
D. 35 096,2 cm2
E. 23 895,83 cm2
40. ¿Cuál es el área total de este cilindro? Usa π ≈ 3.
A. 4 500 cm2
B. 6 660 cm2
C. 13 140 cm2
D. 51 408 cm2
E. 52 020 cm2
41. La superficie de una esfera mide 100π cm2.
Entonces, su volumen mide:
A. 72π cm3
B. 144π cm3
C. 166π cm3
D. 288π cm3
E. 576π cm3
42. Calcula el volumen de un cilindro de diámetro
10 cm y altura 12 cm.
A. 120 cm3
B. 120π cm3
C. 240π cm3
D. 300π cm3
E. 1200π cm3
43. Calcula el volumen de una pirámide cuadrada de
6 cm de lado y altura de una cara √73 cm.
A. 6√73 cm3
B. 12√73 cm3
C. 96 cm3
D. 192 cm3
E. 288 cm3
44. Un maestro pinta la superficie curva de un
estanque cilíndrico de 20 m de diámetro y 15 m
de altura, por el que cobra 750 pesos el metro
cuadrado, ¿cuánto se le debe cancelar por el
trabajo hecho? Usa π ≈ 3.
A. $ 225 000
B. $ 675 000
C. $ 1 125 000
D. $ 1 350 000
E. $ 3 375 000
45. Un rectángulo de 10 cm de largo y 5 cm
de ancho, se traslada 1 metro en dirección
perpendicular a su superficie. ¿Cuál es el
volumen del cuerpo generado?
A. 5 000 L
B. 5 000 cm3
C. 500 L
D. 500 cm3
E. 50 L
46. Dos pirámides A y B tienen base cuadrada. Las
medidas de la base y la apotema de la pirámide B
son el doble de las correspondientes medidas de
la pirámide A. ¿Cuál es la relación entre el área de
la pirámide B y el de la pirámide A?
A. Es igual.
B. Es el doble.
C. Es el triple.
D. Es cuatro veces mayor.
E. Es ocho veces mayor.
47. Sea ABCD cuadrado de lado 10 cm, ΔDCE
y ΔABF equiláteros. Calcula el volumen de
la figura.
A. 100 cm3
B. 100√3 cm3
C. 250√3 cm3
D. 500√3 cm3
E. 1 000 cm3
8. Resuelve los siguientes problemas.
a. ¿Cuál es el área total de un dormitorio de 3 m
de largo, 2,5 m de ancho y altura 2,4 m?
b. Con el mínimo de papel que se necesita para
envolver una caja de 10 cm por 8 cm por 4 cm,
¿se puede envolver un cubo de arista 9 cm?
Calcula cuánto falta o cuánto sobra.
c. Jorge está construyendo un modelo de cubo
con láminas de acrílico, el cubo tiene aristas de
15 cm. La lámina de acrílico mide 1 m de largo
y 50 cm de ancho. ¿Cuánto acrílico le sobra?
d. ¿Cuánto papel se necesita para cubrir una
pirámide de 10 cm de apotema, cuya base es
un cuadrado de 8 cm de lado?
9. Calcula el área de un tetraedro regular cuya
arista es 8 cm.
10. ¿Hay algún poliedro regular que sea prisma o
pirámide?, ¿cuál o cuáles?
11. Calcula el área lateral de un prisma recto
pentagonal regular de arista basal 3 cm y arista
lateral 5 cm.
12. Calcula el área total de un prisma recto
triangular regular, si su arista basal mide 8 cm y
su arista lateral mide 14 cm.
13. La altura de una pirámide regular de base
hexagonal es 7 m y su arista basal mide 8 m.
Calcula su área total.
14. Si se hace girar una escuadra con forma de
triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 12 cm
alrededor de cada cateto, se obtienen dos conos.
a. Calcula la generatriz.
b. Calcula el área lateral de cada cono. ¿Son
iguales?, ¿por qué?
c. Calcula el área total de cada cono.
d. ¿Cuál de ellos tiene mayor área?
15. Se tiene un cono cuyo diámetro es de 16 cm y su
altura es 20 cm.
a. Calcula el área total.
b. Calcula el área del cuerpo que resulta al
cortarlo por la mitad.
c. Calcula el área del cono truncado obtenido al
cortar en forma paralela a la base a 5 cm de ella.
16. Un cono de helado tiene 18 cm de profundidad y
8 cm de diámetro superior.
a. ¿Cuál es el área del barquillo que lo forma?
b. ¿Cuál es el volumen de helado que puede
contener si se llena hasta el borde?
17. Un cono truncado tiene bases cuyos radios
miden 15 cm y 24 cm y cuya altura es de 12 cm.
a. ¿Cuál es su generatriz?
b. Calcula su área lateral.
c. ¿Cuál su área total?
18. La altura de un cilindro mide el doble que su
radio basal. ¿Cuál es su volumen si su área total
es 96π cm2?
19. La altura de un cono es de 15 cm y su área basal
es 64π cm2.
a. Calcula el área del manto.
b. Calcula el área total.
20. Una semiesfera tiene 11 m de radio.
a. ¿Cuál es su área?
b. ¿Cuál es su volumen?
21. El radio de una pelota de fútbol es de 10,5 cm,
aproximadamente.
a. ¿Cuál es el área de la pelota?
b. Calcula el volumen de la pelota.
22. Una esfera está inscrita en un cubo de 12 cm
de arista.
a. Calcula el área de la esfera.
b. ¿Cuál es el volumen de la esfera?
23. En un cilindro de diámetro igual a la altura, se
inscribe una esfera. ¿Cuál es la relación entre el
área lateral del cilindro y el área de la esfera?
24. Comprueba que el volumen del cilindro es igual a
la suma de los volúmenes de la esfera y el cono:
1. Una lata de conservas tiene un diámetro de 8 cm
y una altura de 13 cm.
a. ¿Cuál es el área total de sus bases?
b. Calcula el área de la etiqueta de papel que
cubre la lata.
c. Calcula el volumen de la lata.
2. El radio de la Tierra es de 6 370 km y el de la
Luna, 1 738 km. ¿Cuántas veces mayor es el
volumen de la Tierra, aproximadamente?
3. Una empresa que vende jugo de fruta en
envases con forma de paralelepípedo recto, de
medidas 11, 6 y 15 cm, decide cambiar dichos
envases por otros en los que disminuye un 10 %
el área de la menor de las bases y aumenta un
10 % la altura correspondiente.
a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o
menor que el del antiguo?
b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo para
los consumidores?
4. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de ancho
y 2 m de altura se requiere almacenar cajas de
1 m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de altura.
¿Cuántas cajas se pueden almacenar en esta
habitación?
5. Calcula el área total de una pirámide recta de
15 cm de altura, cuya base es un cuadrado de
16 cm de lado.
6. Calcula el área del poliedro obtenido a partir del
corte en forma diagonal de un cubo de 16 cm
de arista.
7. Calcula el volumen de una pirámide de base
cuadrada de lado 12 cm y sus caras miden 15 cm.
8. Haciendo girar un triángulo rectángulo de
catetos 9 cm y 12 cm alrededor de cada uno de
ellos, se obtienen dos conos. Calcula el área del
cono en ambos casos. ¿Cuál es mayor?
9. Observa los siguientes cuerpos geométricos:
¿Cuál de ellos tiene mayor capacidad?
7 cm
6 cm
7 cm
7 cm
5 cm
10. Si en un cono reducimos a la mitad el radio y
mantenemos la altura. ¿El volumen se reduce a
la mitad? ¿Y si se mantiene la misma base y se
reduce la altura a la mitad?
11. Se quiere construir una pared de 7,5 m de alto
y 5,6 m de largo, con un ancho de 30 cm. Si el
cemento ocupa un 15% del volumen, ¿cuántos
ladrillos de medidas 15 cm, 10 cm y 6 cm se
necesitarán?
12. La base de un prisma recto es un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 11,3 cm y
6,8 cm. La altura del prisma es de 2 dm.
Calcula su área.
13. Una columna de concreto tiene forma de
cilindro. El radio mide 11 cm. La altura de la
columna es de 3,2 m.
a. ¿Cuál es el volumen de la columna?
b. Calcula su masa sabiendo que la masa de
1 m3 de concreto es de 2 900 kg.
14. Un juguete está formado por un cubo de 14 cm
de arista y dos pirámides de 8 y 12 cm de altura,
cuyas bases son dos caras opuestas del cubo.
¿Cuál es el volumen del juguete?