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MATRICES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

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1. Dadas las matrices A  e I  :
1 1 1 0 0 1 0 1
a) Calcula A2, A3 y A4.
b) Escribe, en funcio´n de n, la n-e´sima potencia de A.
c) Calcula el valor de la matriz T  I  A  A2  A3  …  An.
2. Realizando las transformaciones que consideres adecuadas al aplicar el me´todo de Gauss, calcula la matriz inversa de
1 1 1
2 1 0 3 4 2
3. Dadas las matrices X  , A  y B  :
1   1   1 1  1 1 1   1   1 1 1 1
a) Demuestra que A y B son conmutables, es decir, que A · B  B · A.
b) Calcula las potencias n-e´simas de A y de B.
c) Escribe X en funcio´n de A y de B.
d) Aplica la fo´rmula del binomio de Newton para calcular Xn. Ten en cuenta que puedes aplicar dicha fo´rmula
ya que A y B son conmutables.
4. Se dice que una matriz cuadrada es idempotente cuando verifica que su segunda potencia es igual a ella misma.
a) Escribe algu´n ejemplo de matriz cuadrada de orden 3, distinta de la matriz unidad y de la matriz nula, y
que sea idempotente.
b) Calcula el valor de  que hace que la segunda potencia de la matriz A  sea igual a la misma
4 2  3
matriz A y que, por lo tanto, hace que la matriz A sea idempotente.
c) Encuentra todas las matrices del tipo que sean idempotentes.
1 a b 0
5. Se dice que una matriz cuadrada es nilpotente cuando alguna de sus potencias es igual a la matriz nula. En el
caso de que n sea el menor entero positivo tal que An  O, se dice que A es una matriz nilpotente de grado n.
a) Demuestra que la matriz A  verifica que A3  O y que, por tanto, es nilpotente de grado 3.
1 1 3
 5 2 6 2 1 3
b) Encuentra todas las matrices del tipo que verifiquen que su segunda potencia sea igual a la matriz
0 a b 0
nula y que, por tanto, sean nilpotentes de grado 2.
6. Ciertos animales de cierta especie se clasifican de la siguiente forma segu´n que posean los siguientes tipos de
genes:
TIPO 1: GG dominante TIPO 2: Gg hı´brido TIPO 3: gg recesivo
La reproduccio´n de estos animales siempre se realiza mediante el cruce de un animal del tipo 1 con otro de
cualquier tipo. Los hijos heredan un gen de cada padre con probabilidad 0,5.
a) Escribe los valores de la matriz A de forma que:
i) A sea una matriz cuadrada de orden 3.
ii) ai j representa la probabilidad de que sabiendo que la madre es un animal del tipo i el hijo resulta ser un
animal del tipo j.
b) Escribe los valores de la matriz B de forma que:
i) B sea una matriz cuadrada de orden 3.
ii) bi j representa la probabilidad de que, sabiendo que la abuela materna es un animal del tipo i, el nieto
resulta ser un animal del tipo j.
SOLUCIONES
1. a) Determina si son iguales o no las matrices: ;
0 W4  5W 0 2  (4) 1 0 7   30 4 6 3,5 16 2 5
b) Calcula los valores de las inco´gnitas para que se verifique: 
x 2  9x x 10 x
2     1 0 1 y  1
2. Dadas las matrices A  y B  , calcula: A  B; A  B; AB; BA;
1 0 2 0 0 8
0 3 1 1 0 3 5 0 0 2 1 0
A2  3B  2I, siendo I la matriz unidad de orden 3.
3. Una empresa textil posee cuatro almacenes. El inventario del almace´n A1 esta´ dado por:
Marca X Marca Y Marca Z
Pantalones 100 50 40
Cazadoras 80 20 50
Camisas 200 60 20
El almace´n A2 tiene tres veces el nu´mero de prendas que A1; A3, la mitad que A2; A4 tiene el doble que A1
y A3 juntos. Encuentra la matriz que nos da el inventario total de prendas de la empresa.
Si el precio de los pantalones de cada marca viene dado por la matriz columna: (45 36 50)t, calcula los ingresos
si se venden todos los pantalones del almace´n A4.
4. Halla la matriz X que verifique la ecuacio´n: 4X  A  B, siendo
1
2
A  B 
8 0 0 4 6 2 9 3
5. Averigua si son regulares las siguientes matrices:
A  B 
1 0 2
1 0
  1 3 1 2 1   1 6 4
6. Una fa´brica de electrodome´sticos produce lavadoras, congeladores y hornos. Cada uno de ellos necesita las cantidades
de material, personal, impuestos y transporte que se reflejan en la matriz A, expresadas en unidades
adecuadas. La matriz P indica la produccio´n semanal, y la matriz V, el valor de una unidad de cada concepto.
Obte´n las matrices que representan:
a) Las unidades semanales necesarias de cada concepto.
b) Los costes unitarios de cada electrodome´stico.
c) El coste total de la produccio´n semanal.
M P I T
7 10 5 2 lavadora l c h M P I T
A   8 9 3 3  congelador; P  (60 40 90); V  (5 15 7 2)t
8. En cierta zona de montan˜a existen cuatro refugios, A, B, C y D, que
esta´n comunicados por sendas segu´n se establece en el siguiente grafo:
Ten en cuenta que, debido a su pendiente, el recorrido en alguno de
los sentidos de ciertas sendas carece de intere´s para los deportistas.
a) Forma la matriz M asociada al grafo. b) Calcula la matriz M2 e interpreta los resultados.
SOLUCIONES
1. Si A  B entonces:
1e a3 21f b5
2c3 325g d16 53h1
 e1 a3 f3 b5 c5 g1 d7 h2
2. a) A · B  (1 2 3 4) ·  (50)
1
3
5   7
b) B · A  · (1 2 3 4) 
1 1 2 3 4
3 3 6 9 12
5 5 10 15 20     7 7 14 21 28
3. a) A  B 
3 2 1
0 2 4 1 2 5
A  B 
1 2 1
 0 4 0 1 6 1
2A  3B 
4 4 3
 0 9 2 3 14 5
b) A · B 
2 2 3
2 7 12 2 8 14
B · A 
2 0 2
0 5 2 1 8 2
4. a) A2 
5 6 9 10
A3 
13 14 21 22
A4 
29 30 45 46
b) A2  3A  2I 
   
5 6 3 6 2 0 9 10 9 12 0 2

 6 12 18 24
5. a)
2 1  1 0 2 1  1 0 3 1 0 1 2F  3F 0 1 3 2 F  F 2 1 1 2
2 0  2 2 1 0  1 1 0 1 3 2 1 0 1 3 2 F1 2
b) X  A1  · 
 1 2 1 1  1 2 3 4 3 2 3 4

4 6 9 14
6. 2 20
2X  4Y   2 6  2X  3Y  1 16 2 3
Y 
1 4 0 3
X 
 1 2 1 3
7. a) A 
1 2 3 1 2 3
1 2 3 0 4 6 1 2 3 F  F 0 0 0 2 1
F  F 3 1
rango A  2
b) B 
1 1 4 5 3
3 6 8 3 0 F F F 2 5 12 8 3 3 1 2
 1 1 4 5 3 3 6 8 3 0
Como las dos filas que quedan no son proporcionales,
se deduce que rango B  2.
8. a) M 
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0   1 1 0 0
b) M2 
0 0 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0   0 0 1 1
Esta matriz expresa de que´ forma se puede ir de
un refugio a otro, o al mismo, pero pasando previamente
por otro.
1. Para las matrices: A  ; B  ; C 
1 2 3 1 1 3 2 4 6 2 43
comprueba que AB  AC y, sin embargo, B  C, es decir, el producto de matrices no es cancelativo.
2. Calcula, si es posible, la matriz inversa de M 
2 4 0
1 0 1 1 4 1
3. Halla la forma de las matrices de orden 2 que conmuten con la matriz:
1 1 0 1
4. Halla el rango de la matriz: A 
1 3 1 2 3
1 4 3 1 4
2 3 4 7 3   3 8 1 7 8
5. Se consideran las transformaciones geome´tricas H(x, y )  (2x, 2y) y S(x, y )  (x, y ):
a) Escribe las matrices asociadas a las transformaciones H y S.
b) Escribe la matriz asociada a la transformacio´n compuesta S o H.
6. Dos personas A y B tienen gripe, el contacto con otras cuatro personas P1, P2, P3 y P4, con las que trabajan,
hace posible el contagio. Se considera la matriz de contagio:
C 
P1 P2 P3 P4
A  1 0 1 1  B 0 1 0 1
donde 1 significa contagio y 0 no contagio. Las cuatro personas anteriores se relacionan con otras cuatro: P5,
P6, P7 y P8, siendo la matriz de contagio:
D 
P5 P6 P7 P8
P1 0 1 0 0
P2 1 0 0 1
P3 1 1 0 1   P4 0 1 1 1
Calcula la matriz C · D e interpreta los resultados.