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MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD PDF

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Máximo Común Divisor – Mínimo Común Múltiplo
En los elementos, Euclides, realizo una descripción exhaustiva de los fundamentos de las matemáticas habidas hasta su tiempo. Esta obra tuvo un reconocimiento general como un sistema de conocimientos matemáticos, cuya rigurosidad lógica quedo insuperable por más de veinte siglos. Durante todo este lapso de tiempo la humanidad estudio la geometría según Euclides, permaneciendo en la actualidad como fundamento
de todos los cursos escolares de geometría.
Esta obra esta formada por trece volúmenes, de los cuales los libros VII, VIII Y IX están dedicados a la Aritmética, donde da una descripción detallada de la teoría de números con un espíritu presumiblemente basado en la escuela pitagórica.
El libro VII comienza con la exposición de las restas sucesivas, introduciéndose por primera vez el MCD y el MCM de números, continuando con una serie de proposiciones referentes a la teoría de la divisibilidad. En el libro VIII figura la teoría de las proporciones continuas, tal como la conocemos actualmente. Figura la distinción entre números primos y compuestos, (quizás un poco tardíamente), demostrándose que la serie de los números primos es infinita.
10.0 OBJETIVOS
La determinación del máximo común divisor por medio del
método de las divisiones sucesivas.
El estudio de los múltiplos comunes que tienen dos o más
números.
La aplicación de los conceptos del MCD y MCM en la solución
de problemas de la vida cotidiana.
10.1 MÁXIMO coMúN DmSOR (MCD)
Divisores comunes. Sean A y B dos números enteros no
nulos. Si d I A Y d I B. decimos que d es un divisor común de
AyB.
Ejemplo:
Los divisores comunes de 12 y 20 son ±1. ±2. ±4
Observación:
Como los divisores comunes difieren en el signo: 1 y -1. 2 Y
- 2 . 4 Y -4: en 10 que sigue del capítulo limitaremos nuestra
atención sólo a los divisores comunes positivos.
Conjunto de divisores comunes positivos:
S1 d I A. d I B entonces d:5 IAI y d:5 lB I : por lo tanto ‘se
tiene que este divisor d no puede ser mayor que el menor
valor absoluto de los números dados. es decir:
d:5min {lAI .IBIJ.
Luego el conjunto formado por todos los divisores comunes
positivos de A y B denotado por { d E Z+ tal que di A Y di B }
es finito. teniendo un elemento miniIno. el cual es la unidad. y
un elemento máximo. al cual llamaremos máximo común
divisor.
Definición: El máximo elemento del conjunto de los divisores
comunes positivos de dos o más números enteros no nulos.
recibe el nombre de maxnno común divisor. El máximo
común divisor de A. B. C; se denota por (A. B. C)
Ejemplo:
a. El conjunto de los divisores comunes positivos de 12 y 20
es {l. 2. 4}. luego el MCD (12. 20) = 4. es decir (12.20) = 4
b. El conjunto de los divisores comunes positivos de 12 y – 20
es {l. 2. 4}.luego el MCD (12. -20) = 4. es decir (12. -20) = 4.
Observaci6n:
La definición puede ampliarse al caso en que uno de los
números sea nulo.
Ejemplo:
El conjunto de los divisores comunes positivos de 20 y O es
{l. 2. 4. 5. 10. 20}. los cuales a su vez son los divisores de 20.
Luego (20.0) = 20
Esta ampliación no es de mayor utilidad. por lo cual seguiremos
trabajando con la definición dada.
10.1.1 PRINCIPIOS EN LOS QUE SE BASA EL MCD DE
DOS NÚMEROS
l. Si A Y B son dos números enteros no nulos tales que B lA.
entonces (A. B) = I B I .
Demostraci6n:
Como lB I es un divisor común a A y B Y cualquier otro divisor
común p de A y B verifica que p < I B l. tendremos que
lB I es el mayor divisor común.
Luego (A. B) = l BI
Para el caso de la división inexacta. tenemos:
2. Si D. d. q Y r son números enteros no nulos tales que
D = dq + r. entonces se tiene (D. d) = (d. r)
Ejemplo:
Para hallar el máximo común divisor de 30 y 42. efectuamos
las divisiones:
30 = 12 x 2 + 6 =?
(42. 30) = (30. 12) } Divisiones
-J, sucesivas
(30. 12) = (12. 6)
42 = 30 x 1 + 12 =?
Por el principio (1) se tiene (12. 6) = 6. con lo cual (42. 30) = 6.
Demostración:
Denotamos (D. d) por p y (d. r) por u; luego:
Como (D. d) = P =? plD y pld =? plr.
Además. dado que r = D - dq. Y (d. r) = u.
entonces p ~ u
Ahora. si (d. r) ,; u =? U Id Y u Ir=? u ID.
además. dado que D = dq + r. y (D. d) = p.
tenemos que u ~ p
De (a) y «(3) concluirnos que p = u. es decir (D. d) = (d. r)
. .. (a)
. .. H3)
10.1.2 EL ALGORITMO DE EUCLIDES (MÉTODO DE LAS
DIVISIONES SUCESIVAS)
Esta basada en la aplicación reiterada del principio (2) , tal
como se aprecia en el último ejemplo:
Cálculo del máximo común divisor de dos números enteros
Sean A, B enteros no nulos. Entonces ocurre uno de los
siguientes casos:
a. Si B I A, entonces por el principio (1) se tiene (A, B) = lB I
b. Si B no divide a A. por el algoritmo de la división existen
enteros qo y rI tales q tales que A = B qo + rI. con
0< rI < IBI
Por el principio (2). tenemos (A, B) = (B . rIl
Este proceso la continuamos. de modo que en la división k se
tenga (rk-2' rk-I). Ocurre dos posibilidades:
i) rk-llrk-2. en cuyo caso (rk-2. rk-I) = rk-I
Afirmamos que (A, B) = (B, rI) = (rI . r2) = ... = (rk-2' rk-I) = rk-l·
ii) rk-I no divide a rk-2' aplicando el algoritmo de la división
se continua el proceso.
Como lB I > I rI I > I r21 > .. . ~ 0, se hace evidente que el proceso
tiene un número finito de pasos. por lo cual concluimos
que (A. B) = rn
Observaciones:
a. Este proceso de los divisiones sucesivas conduce a un
algoritmo. el cual lo disponemos de acuerdo al esquema:
Cocientes ql CJ2 q3 q4 qn-l qn qn+l
Números A B ~I )2 . .13 .. … …. r n-3 r n-2 rn-l rn
.1 .1
Residuos TI ….. V f…..(s ………- I r n-(
…-’ v
r2′ r4 . r n …-’
b . Las divisiones que se practican en este esquema pueden
ser por defecto o por exceso. con la finalidad de obtener el
MCO en un núnimo de pasos.
c. Se observa que Irll > Ir21 > Ir31 > … > Irnl
Ejemplo:
a. Hallar el,máximo común divisor de 102 Y 66
Cocientes 1
Números 10.2 66
Residuos 36–30-
1 1
…. 36 …. 30
-6–
5
_6
}
(102,66) = (66 ,36) =
(36,30) = (30 ,6) = 6
b . Halla el máximo común divisor de 5k + 13 Y 3k + 8
1 1 1 1 k+2
5k + 13 3k + -8 …. 2k+~ …. K+3_ ..,.K+ 2 ¡……l 2k + 5-~+ 3 – ~2—1—
.. (5k + 13. 3k + 8) = (3k + 8. 2k + 5) = (2k + 5 . k + 3)
= (k + 3. k + 2) = (k +2.1) = 1
Consecuencia. Propiedad lineal del máximo común divisor
Sean A y B dos números enteros no nulos y sea d = (A. B),
entonces existen dos números enteros s y t tales que
d=sA+tB
Esta propiedad nos indica que el MCD puede representarse
como una combinación lineal de los respectivos números.
Ejemplo:
Sabemos que el máximo común divisor de 102 Y 66 es 6.
luego podemos expresar 6 como combinación lineal de 102.
66.
Así: 6 = 102 m + 66 n : m . n E Z .
Para calcular m y n, por ejemplo seguimos el proceso inverso
del ejemplo (a):
6 = 36 x 1-30 = (102 x 1 – 66) – (66 – 36) = 102 – 2 x 66 + 36
6 = 102 – 2x 66 + (102 x 1 – 66) =102 x 2 – 3 x 66.
de donde m = 2. n = – 3
Demostración:
Se aplica el algoritmo de Euclides. de la parte final hacia
delante
Tenemos que d = r n = r n-2 – qnr n-l (del esquema de la observación
(a))
Pero rn-l = r n-3 – qn-Ir n-2. reemplazando:
Además r n-2 = r n-4 – qn-2rn-3′ reemplazando:
Continuando de esta manera. llegamos a : d = sir} + t¡r2
Pero r2 = B – CJ2rl’ reemplazando: d = slrl + t l(B – CJ2rl)
Luego d = (sI – tI CJ2)rl + tlB
Pero rl = A – Bq¡ . reemplazando: d = (s ¡ – ti ~)(A – Bql) + tI B
Luego: d = (sI – ti q2)A + (- sI ql + ti CJ2ql + tI)B. con lo cual
queda demostrado.
Ejemplo:
a. Hallar el MCD de 90 y 42. expresarlo como una
combinación lineal de dichos números.
Aplicando el algoritmo de Euclides:
90 = 42 x 2 + 6 (90. 42) = (42. 6)
42 = 6 x 7 (42. 6) = 6
Ahora 6 = 90 – 42 x 2 = 90 x 1 + 42 (- 2) :::::) m = l . n = – 2
b . Igual que el ejemplo anterior. pero los números son 84 y
360 .
360 = 84 x 4 + 24 :::::) (360.84) = (84. 24) }:I
(84. 360) =12
84 = 24 x 3 + 12 => (84. 24) = (24. 12) = 12
Ahora 12 = 84 – 24 x 3 = 84 – (360 – 84 x 4) x 3
=> 12 = 84 – 360 x 3 + 84 x 12 => 12 = 84 x 13 + 360 (- 3)
=> m = 13. n = – 3
10.1.3 PROPIEDADES DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
La mayor parte de las propiedades se originan a partir de la
propiedad lineal.
1. Si se tiénen dos números primos entre sí. entonces el
máximo común divisor de ellos es la unidad.
Demostración:
Si los números A y B son primos entre sí. Entonces por definición,
de primos entre sí. su único divisor común positivo es
la unidad. Luego el máximo común divisor de ellos vale la
unidad.
Nota: Dos números enteros no nulos A y B son primos entre
sí. si y sólo si existen dos números enteros s y t tales que
sA + tB = 1
Demostración:
Supongamos que A y B sean primos entre sí. luego la
propiedad lineal del MeD nos asegura que existen s y t
tales que sA + tB = 1
Por otra parte, si sA + tB = 1 Y d es un divisor común de A
y B, entonces se tiene que A = P . d, B = q . d, con 10 cual:
1 = sA + tB = s (p . d) = (sp + tq) d
Luego d I 1 Y en consecuencia (A, B) = 1
2. Todo número entero que divide a otros dos, divide al
máximo común divisor de ellos.
La demostración es inmediata.
3 . Si se multiplican o dividen dos o más números enteros por
otro no nulo. entonces el MCD de ellos queda multiplicado
o dividido por el valor absoluto de mismo número.
Demostración:
Sea (A. B) = d . entonces mA + nB = d; m. n E Z.
Multiplicando por pEZ : m (pA) + n(pB) = (1 p 1 d). luego
(pA, pB) = 1 p Id
Dividiendo entre pEZ – (O) : m(A/p) + n(B/p) = (d/ 1 pI) .
Luego ( ~, ~ J d
iPi
Ejemplo:
a. Si (6 , 14) = 2 , entonces (3 .6 , 3.14)
(-3 .6 , -3.14) = 1 -3 1.2 = 6
3 .2 6 Y
b. Si (90 . 18) = 18. entonces (90/2 . 18/2) = 18/2 = 9
4. Si dos o más números se dividen entre el MCD de ellos los
cocientes que se obtienen son primos entre sí.
Demostración:
Sea (A , Bl = d . entonces mA + nB = d ; m , n E Z
Dividiendo entre d: m (A / d) + n (B / d) = 1
Luego por la nota de la primera propiedad. los números
( I ~ 1 J y ( I : I J son primos entre si.
Además ( ‘~’) = p. (‘ :’) = q. donde p y q son primos entre
sí.
Consecuencia: eada número entero no nulo puede expresarse
en términos de MeO de los números que intervienen.
i’A’ =d . p
Es decir; si (A, B. el = d entonces: 181 = d . q. donde (p.q.r) = 1
lel = d . r
5 . El MeO de varios números es . el mismo que el de MeO de
dos de ellos y todos los demás no comprendidos.
Es decir. (a. b. e) = Ha, b), e) = (a, (b , e) ) = Ha, e) . b)
Ejemplo:
Tenemos que (60, 36. 84) = ((60 , 36), 84)) = (12, 84) = 12
(60, 36, 84) = (60, (36, 84)) = (60. 12) = 12
10.2 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Múltiplos comunes. Sean A y B dos números enteros no
nulos. Si A ‘M Y B I M. decimos que M es un múltiplo común
deAy B.
Ejemplo:
Los múltiplos comunes de 12 y 20 son ± 60, ± 120, ± 180,
±240, ….
Observación: al igual que el caso del MeO, limitaremos
nuestra atención a los múltiplos comunes positivos.
Conjunto de los múltiplos comunes positivos
Dados los números enteros no nulos A y B, el conjunto de los
múltiplos enteros, comunes y positivos, dado por (M E Z+ tal
que A I M, B I M). es no vacío (ya que I AB I es un elemento de
dicho conjunto), teniendo un elemento rninimo, llamado
rninimo común múltiplo: pero no un elemento máximo.
Definición: El menor elemento del conjunto de los múltiplos
comunes positivos de dos o más números enteros no nulos,
recibe el nombre de rninimo común múltiplo .
El rninimo común múltiplo de A, B, e; se denota por [A. B, C)
Ejemplo:
a. El conjunto de los múltiplos comunes positivos de 12, 20
es {60, 120, lBO, ... }, luego el mcm (12, 20) = 60, es decir
[12 , 20) = 60
b. El conjunto de 105 múltiplos comunes positivos de 12 y
-20 es {60, 120, lBO , .. . }, luego el' mcm (12, -20) = 60; es
decir [12, -20) = 60
10.2.1 CONSTRUCCIÓN DE LOS MÚLTIPLOS COMUNES
a. Para dos números.- Sean los números enteros no nulos
Al y A2 ' de modo que se conoce su MeO: (Al , A2) = dI
Estos números se pueden expresar en términos de su
MeO, así tenemos que Al = dIal y A2 = d 2a2' donde al Y
a2 son primos entre si.
Los múltiplos comunes de Al y A2 se obtienen
multiplicando cada una de ellos por un entero adecuado,
xl Y x2' de modo que se cumpla la igualda d Alxl = A 2X2 '
Pero siendo Al = dIal y A2
dI a2x2. de donde:
a 2x 2 xl =--
al
Pero al Y a2 son primos entre sí, luego al I x2 - de donde
Reemplazando: en AlxI = A2x2' nos queda:
Al a 2xl2 = A2x2 => (d la¡)a2x'2 = A2x2
A2X2 __ :{a)
10 cual también se expresa como:
... {(3)
Lo anterior nos lleva a formular dos modos de construir el
múltiplo común:
1. Según (a): Todo múltiplo común de dos números es
igual al producto de los cocientes primos entre si
(al. a2) por el MCD dI. yporun entero cualquierax'2'
ii. Según (f3): Todo múltiplo común de dos números es
igual al cociente del producto (Al. A 2 ) entre su MCD
dI' multiplicando por un entero cualquiera x12'
.~
b. Para tres números: Sean los números enteros no nulos
Al ' A2. A3 los múltiplos comunes a dos de ellos: Al . A2 se
obtienen usando (f3):
(
AIA2] Xl
dI 2
Si queremos que estos múltiplos comunes de Al y A2. sean
también múltiplos comunes del tercero A3′ deberá
cumplirse la igualdad
(A~:] x’2 ~ A3x3 … [a)
Expresando los números
MeD d 2. tenemos:
(
ActI-A;-2] y A3 en términos de su
(
Reemplazando en (a): ActI-A;-2] xl2 ::: A3x3
Pero siendo a3 primo con donde xl2 ::: a3xl3
A3
Pero a3 ::: d ' con lo cual queda:
2
c. Para n números: Si seguimos el procedimiento anterior. se
llega a establecer la expresión general de los múltiplos
comunes a n números Al, A2 , .. , An; lo cual viene dada por:
siendo x 1n un entero cualquiera
Conclusión: El menor múltiplo común positivo se obtiene
haciendo x 1
n = 1 Y tomando los valores absolutos donde sea
necesario; es decir, el mínimo común múltiplo de los
números enteros no nulos Al' A2 , A3 , . . . , An; viene dado
por:
AIA2A3···An
dI d 2 .. ·dn _ 1
Ejemplo:
a. Hallaremos el MCM de 3,4 Y 15
Según lo anterior: [3, 4, 15) = 3 x 4 x 15
d I d 2
Pero dI = (3,4) = 1
Ahora d (3x4 1 [12 ) 2 = l~' 15) = 1,15 = (12.15) = 3
Reemplazando en (a), concluirnos que
[3,4,15) = 3~~x315 = 60
. .. (a)
b. Hallar el MCM de 3. 4. 15 Y 18
Tenemos que
[3,4, 15, 18] = 3 x 4 x 15 x 18 = r(3 x 4) x 15J x 18 .. . (a)
di x d2 x d3 L di d2 d3
Pero dI = (3.4) = 1. d2 = (3;1
4
, 15)= (12.15) = 3 Y
(
3X4X15 18) (3X4X15 ) .
d3 = dI x d
z
' = 3 • 18 = (60.18) = 6
3 x 4 x 15 x 18
Reemplazando en (a) : [3.4. 15. 18) = 1 x3 x 6 180
Otra manera
De la fórmula obtenida. observamos que el MCM puede
calcularse de la siguiente forma:
Calculamos el MCM de 3. 4 Y 15: [3.4. 15) = 60
(ver ejemplo (a»)
Ahora calculamos el MCM de 60 y 18: [60. 18) = 180
Luego [3. 4. 15. 18) = 180
10.2.2 PROPIEDADES DEL MCM
1. Si se tiene dos números primos entre sí. entonces el MCM
será el producto de los valores absolutos de ellos.
Demostración:
Si los números enteros no nulos A y B son primos entre sí.
entonces (A. B) = di = 1
Luego lA B) = AxB = AX,B = AxB
. dI 1
Nota: Si alguno de ellos fuese negativo. o los dos son negativos,
habrá que agregar el valor absoluto.
2. Si se tiene tres o más números primos entre sí dos a dos,
entonces el MeM será el producto de ellos, en valor
absoluto.
Demostración:
Si los números enteros no nulos A, B Y e son primos entre sí
dos a dos, entonces (A, B) = (A, e) = (B, e) = l 'y (AB, e) = 1
ABe
Luego (A, B, el = d d
1 2
... (a)
Pero (A, B) = dI = 1 Y (~~,e) = (AB, e) = 1 = d2
Reemplazando en (a): (A, B, C) = lA 11 B 11 e 1
De igual manera se demuestra para cuatro o más
números.
Ejentplo:
Hallar el MeM de 3, 4, 5 Y 7
Observamos que los números son primos entre sí dos a
dos:
(3.4) = 1, (3,5) = 1 (3, 7) = 1, (4, 5) = 1, (4. 7) = 1 Y (5, 7) = 1
Además (3 x 4 ,5) = 1, (3 x 4 x 5,7) = 1, luego:
(3, 4, 5, 71 = 3 x 4 x 5 x 7
dI x d2 x d3
... (a)
Pero dI = (3.4) = 1, d2 = (3;1
4
,5) = (12.5) = 1 Y
(3 X 4 X 5) d3 = dI X d
2
= (60 .7) = 1
Reemplazando en (a) : [3. 4. 5. 71 = 3 x 4 x 5 x 7 = 420
3. Los múltiplos comunes de varios números enteros no
nulos. son múltiplos del MCM de dichos números.
4. Si dos o más números se multiplican o dividen por otro
número entero no nulo. entonces el MCM quedará
multiplicado o dividido por dicho número.
Demostración:
Sean los n números enteros no nulos Al' A2 . ... . An
a. Para la multiplicación
AlA2A3···An
Sabemos que [Al' A2 ..... Anl = d d
d l 2··· n-l
.. . (a)
Al multiplicar cada número por el entero no nulo m .
tenemos que:
Observamos en general que d 'k = rndk para todo
k = 1. 2 ..... n - 1
Reemplazando en (a)
Luego: [mAl . mA2 . .... mAnl = m[Al . A2 . .... A31
b. Para la división: Es similar al caso a nterior
5. Si se divide el IJÚnimo común múltiplo de varios números.
por cada uno de ellos . entonces los cocientes que se
obtienen son primos entre sí.
Demostración:
Sean A Y B los números enteros no nulos. luego:
AB
[A. Bl = d' donde d = (A.B)
Ahora' CA, B] = A
. B d
Como (~, ~) = a (A,B) = a . d 1 entonces los números
Ad B y d son primos entre si.
Consecuencia.- Todo número entero no nulo puede
expresarse en térIJÚnos del MCM de los números que
intervinieran.
Es decir. si [A. B. CJ = M. entonces
donde p. q y r son primos entre sí.
Ejemplo:
Sabemos que [3 . 4 . 81 = 24. luego
donde 8 . 6 Y 3 son primos entre sí.
M M
= q => B B q
M
C = r =>
24 = 8
3
24 = 6
4
24 = 3
8
C=M
r
6. El prodpcto de los valores absolutos de dos números
enteros no nulos . es igual al producto del mínimo común
múltiplo de ellos por su máximo común divisor.
Demostración:
IA x BI
Para dos números sabemos que [A. BI = d
luego lA I lB I = [A. BI . d
Considerando d = (A. Bl. nos queda:
[A,B]·(A, B)I
Conseeuencias
l. Considerando cada número en términos de su máximo
común divisor d = (A. Bl tenemos:
lA I lB I = lA. BI . d . luego I dp I I dq I = lA, BI . d , donde p
y q son primos entre sí.
Entonces: d2 Ipllql = lA, Bl . d ~ IIAIIB 1= dlp Ilqll
2. Para n números enteros n o nulos Al ‘ A2 .. :., An, tenemos.
en general:
IAl I/A2/1A31 ,,·I Anl = [Al,A2, .”, AnJ · dl · d2 “. dn _l . la
cual resulta de la expresión general de los múltiplos
comunes.
10.3 CÁLCULO DEL MCD y MCM
POR DESCOMPOSICIÓN INDIVIDUAL EN FACTORES
PRIMOS
Se descompone todos los números como el producto de sus
factores primos.
Para hallar el MCO se multiplican los factores comunes
elevado al menor exponente.
Para hallar el MCM se multiplican los factores comunes y no
comunes elevados al mayor exponente.
Por ejemplo: Hallar el MCO y MCM de 504 y 540
504 = 23 x 32 x 7
540 = 22 x 33 x 5
.. MCO = 22 x 32 = 36
MCM = 23 x 33 x 5 x 7 = 7560
POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA EN FACTORES
PRIMOS
Para hallar el MCD de varios números se descomponen
simultáneamente en factores primos. multiplicando luego
solo los factores comunes.
Por ejemplo. hallar el MCD de 504 y 540.
504 540 2
252 270 2 : . (504. 540) = 22 x 32 = 36
126 135 3
42 45 3
14 15
Para hallar el MCM de varios números se les descompone
simultáneamente en factores primos y luego se multiplican
los factores comunes y no comunes.
Ejemplo: Hallar el MCM de 504 y 540
504 540 2
252 270 2 .. [504. 540) = 23 x 33 x 5 x 7= 7560
126 135 . 3
42 45 3
14 15 3
7 5 5
7
1
lOA-PROBLEMAS RESUELTOS
1. Encontrar el mayor número “p” , tal que si 1156, 1600 Y
897 se dividen entre “p” dejan en cada uno de los 3 casos
un mismo residuo, Dar como respuesta la suma de las
cifras de “p”,
Resolución:
Del enunciado se deduce que:
o
1600 P + r
o
1156 p +r
o
897 p +r
Luego:
o
( 1) – (2) 444 = P
o
(1) – (3) 703 = P
o
(2) – (3) 259 = P
‘” (1)
‘” (2)
‘” (3)
Como “p” es divisor de los 3 números y el mayor posible:
“p (444, 703, 259)
P 37
Suma de cifras 10,
Respuesta: 10
2. Sabiendo que el MCM de los números abe y (abe + 245)
es 1050, Calcular el valor de a + b + e ,
Resolución:
Sea K el MeD
abc + 245 = kp
abc = kq
. . (1) – (2):
245 = k (p – q) }
(+)
además: 1050 = k.p.q.
. .. (1) Donde p y q son primos entre sí
.. . (2)
p-q
pq
245 _ 7
1050 – -30 ~ P = 10 Y q = 3
1050 = K (l0)(3) -t k = 35
Entonces: abc = 35 (3) = 105
a+b+c=1+0+5=6
Respuesta: 6
3. ¿Cuántos divisores comunes de: 1296. 1152 Y 720 son
múltiplos comunes de 4. 6 Y 9?
Resolución:
Los divisores comunes de 1296; 1152 y 720 serán
divisores del MCD de (1296; 1152 y 720) es decir de 144
y todos los múltiplos comunes de 4 ; 6 y 9 serán múltiplos
del MCM de (4; 6 y 9) es decir de 36 y como: 36. 72. 108 Y
144 son múltiplos de 36 y divisores de 144. entonces hay 4
números.
Respuesta: 4
4. Al hallar el MCO de 2 números por el algoritmo de
Euclides se obtuvieron como cocientes sucesivos a : 4; 1;
1; 8. ¿Cuál es la diferencia de dichos números sabiendo
que es un cuadrado perfecto y el menor posible? Oar la
suma de las cifras de dicha diferencia
Resoluci6n:
Sea k el MCO
A = kp , donde “p” y “q” son p.e.s.i.
B = Kq.
Reconstruyendo el algoritmo tenemos:
4 1
77k 17k 9k
9k 8k K
Entonces: A = 77 k luego
B = 17 k
.. k = 15
Luego A – B = 60 (l5) = 900
Suma de cifras 9 + O + O = 9.
Respuesta: 9
1
8k
O
8
K
77k – 17k = q2
60 k= q2
22.3.5.k = q2
5. Si el: MCO de (N; N + l. 4N) = 5N – 29.
Hallar el MCM (3N + 2; 4N+ 1)
Resolución:
Como N; N + l. 4N son primos entre sí. entonces:
MCD (N ; N + 1; 3N) = 1
e e. 5N – 29 = 1 ~ N = 6
Luego
MCM (20; 25) = 100
Respuesta: 100
6. ¿Cuántos números de 3 cifras de la base decimal son
tales que. convertidos a los sistemas de numeración de
bases 6; 8 y 9. dan como resultados números que
terminan en 2?
Resolución:
Sean abc los números que al convertirlos a la base 6. 8 Y 9
dan residuo 2. entonces se debe cumplir que:
__ o
abc = 8 + 2
__ o
abc = 9 + 2
pero:
1 abc = m [6 ; 8 ; 9) + 2
abc = m72 + 2
100 ~ m72 + 2 < 1000
1.3 ~ m < 13.8
m = 2.3.4 13
hay 13 - 1 = 12 números
Respuesta: 12
7. Se dividen tanto la suma como el producto de 2 números
entre su MCD. se obtiene como cociente 10 y 225
respectivamente. Hallar los 2 números y dar como
respuesta su diferencia.
Resolución:
Sean A Y BIas 2 números
A =kp
B =kq
Luego:
Tales que p y q son primos entre si
kp +kq
k = 10 ~ P + q = 10
2
k pq 2 2
-- = 225 ~ kpq = 225 = 3 x 5
k
De (1) y (2) se deduce que:
p=9
q = 1
k = 25
A = 25 x 9 = 225
B = 25 x 1 = 25
A - B = 225 - 25 = 200
Respuesta: 200
... (1)
... (2)
8. Al calcular el MCD de 2 números por el algoritmo de
Euclides se han obtenido como cocientes sucesivos 3; 3 y
2. Si el MCM de dichos números, es un número de 3
cifras que termina en 3. Hallar dicho. MCD.
Resolución:
Sean A Y B los 2 números, tales que :
A = kp; B = kq, donde p y q son pesí.
Entonces, reconstruyendo el algorttIno tenemos:
3 3
23K 7K 2K
2
K
Entonces: A = k . 23
B = k. 7
2K K O
Luego: p = 23 Y q = 7 .
Entonces MCM = (23)(7)(k) = ab3
= 231 k = ab3 = 693; entonces el MCO es 3 .
i
3
Respuesta: 3
9. Tres cuerpos empiezan a girar simultáneamente
alrededor de sus ejes centroidales a razón de nj3
radianes por segundo, 3j4n radjseg y nj8 radjseg. Al
cabo de 5 minutos, ¿cuántas veces han pasado
simultáneamente por la posición inicial?
Resolución:
Los cuerpos regresan a su posición inicial cada
2n
- = 6 seg
n
3
2n 8
- = - seg
3n 3
4
y simultáneamente lo hacen cada.
. 8
mcm (6; :3; 16) = 48 seg. ;
2n
- = 16 seg
n
8
entonces en 5 minutos han pasado simultaneamente:
5 x 60 = 6,25 = 6 veces por la posición inicial. P"
48
Respuesta: 6 veces
10. Si MCD ((3(P ; N) = 19. ¿Cuántos valores puede tomar
UN" sabiendo que es mayor que 200 pero menor que 500.
Resolución:
Si MCD (3a3 ; N) = 19
o
Entonces: 3a3 = 19
o
Luego: 303 + 10 a 19
o o
19 + 18 + 10 a = 19
o
:. 10 a + 18 = 19 ~ a = 2
Entonces, si MCD(323; N) = 19
323 = 19 x 17 }
N = 1 9 x q Donde q y 17 son pesi
Pero : 200 < N < 500
200 > 19q < 500
10.5 :::; q < 26.3
Luego: q 11, 12. 13 .. …………………. … 26
Hay 26 – 10 = 16 números. pero como uno de ellos es 17.
entonces N puede tomar 15 valore$..!.
Respuesta: 15
10.5 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si se quiere completar el peso de un objeto a 5 kg se
puede utilizar un cierto número de pesas de 45 gr ; 65 gr
ó 75 gr. ¿Cuál es el peso exacto del objeto en gramos?
a} 1825 bl2065 el 2085 dI 2075 el 2105
2. 3 Ciclistas: A, B Y C partes juntos de un punto de una
pista circular que tiene 120 m de circunferencia, con
velocidades de 12m/s, 9m/s y 7riJ./s respectivamente.
¿Cuantas veces estarán juntos los 3 cuando han
transcurrido 25 minutos después de la partida?
¿Cuántas veces ocurrió esto en el punto de partida?
. al 10; 6 bl 10 ; 8 el 12 ; 7 el 12 ; 8 el 12 ; 12
3. Si el mcm de un número de 3 cifras y su C.A. es 5760.
Hallar la diferencia de los dos números.
al 200 b} 250 1280 d} 300 el 320
4. Hallar las 2 últimas cifras del MCO de: 7221 – 1 Y 7323 – 1
~/ 06 bl41 el 43 dI 49 el53
5. Hallar la suma de 2 números naturales, sabiendo que
son entre si- como 4 es a 5 y que la diferencia entre el
MCM y el MCO de dichos números es igual a 247.
tiÍ 117 bl 120 el 135 dI 153 el 189
6. Al calcular el MCO de 2 números mediante el algoritmo
de Euclides se han obtenido como cocientes sucesivos:
1 ; 2 ; x ; 2, siendo sus tres residuos: 252 ; y ; 36. Hallar
la suma de los 2 números con x e y .
;6′·1479 bl 1488 el 1509 . dI 1532 e} 1620
7. Cuando se calculó el MCD de abe y cba por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes sucesivos a:
1; 1; 1; 3y2.
Hallar a + b + e, si a· – e = 3
al 12 bl 13 el 14 yI(Í5 el 16
8. Si dos números enteros se multiplican por( ’8: entonces
su MCM y MCD aumentan en 20384 y 224 unidades
respectivamente. Hallar la suma de los dos números
sabiendo que no son divisibles entre sí.
al 560 /s40 el 680 dl 720 el 840
9. ¿Cuántos números menores que 600 existen, que tengan
con 45. un máximo común divisor igual a 5?
al 40 bl45 el 60 dl 80 el 90
10. Se tienen dos números A y B tales que:
o o
A=1l+2 B=11+3
o
Si MCD (A; Bl = 11 + 4. Hallar el residuo de dividir el
mcm (A; Bl entre 11.
al 4 bl5 el 6 dl 7 el 9
11. Se calcula el MCD de los números aba y 1a6, mediante el
algoritmo de Euclides. se obtienen 4 cocientes iguales
que suman 8. Si la penúltima división se realizó por
exceso. Calcular a + b.
al4 bl5 el 6 dl 8 el 9
12. Si: MCD (lOA; 15B) = 625
MCM (l4A; 21B) = 31500
Hallar A. B
~3750 b) 94560 c) 95620 d) 96620 e) 98200
13. Si MCM (abba ; N) = MCM (abba ; 18N) ¿Cuántos
números capicúas abba cumplen esta condición?
a) 2 b)3 c) 4 d) 5 e)6
14. Un terreno rectangular puede dividirse de dos maneras
en un número exacto de parcelas rectangulares, con su
lado mayor paralelo al lado mayor de terreno . En cada
caso, la diferencia entre los cuadrados de los lados de
cada parcela es 91. Cuál es el área del terreno sa biendo
que es la menor posible.
a) 10200 b) 10350 e) 10500 d) 10800 e) ·12000
15. ¿Cuántos pares de enteros positivos, cuyo MCD es 12, al
sumarle 7344 al cuadrado de uno de ellos se obtiene un
número cuya raíz cuadrada es el otro número?
a) 1 ,l 2 c) 3 d)4 e) 5
16. ¿Cuál es el número de 3 cifras tal que él y el número que
resulta de invertir sus cifras tengan como MCD a 66 y
que su diferencia sea la8? Dar como respuesta la suma
de sus cifras.
a) 9 b) 11 d) 14
17. Dados: A = 1 + 2 + 3 .. … + n ,
B = 1 + 8 + 27 + …. (n términos)
Si: [MCD (A ; B) ). [(MCM(A ; BlI = 9261 .
Hallar “n”
a)2 b)3
18. Si se cumple que:
MCM (A; B)= A2
MCD(A ; B) = 63
e) 4 d) 5 e) 6
Hallar B y dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 18 b) 21 e) 27 d) 28 el 36
19. El MCM de 2 números enteros positivos es 330 y su MCD
es un número comprendido entre 30 y 40. ¿Cuántos
pares de números ‘;U1;nplen con esta condición?
al 1 bl2 el 3 d)4 el 5
20. El MCM de dos números es igual al cuádruple de la
media armónica de los mismos y la media aritmética de
MCD y MCM es igual a 32. Halla la mayor diferencia de
dichos números.
al8 bl 10 el 16 dl24 e) 48
10.6 AUTOEVALUACIÓN
l. ¿Cuántos pares de números: p y q existen tales que sean
primos entre sí y que su MCM es 138600?
al4 bl8 e) 10 dl 16 el 32
2. Se divide A entre B y el cociente resulta exacto e igual al
cuadrado de su MCD. Calcular A. Sabiertdo que:
MCD (A. B) + MCM (A. Bl = 520
al 480 b) 500 ef 512 dl 524 el 560
3. La suma de los n primeros enteros positivos que
divididos entre 2/3.3/4 Y 5/9 dan un cociente entero. es
1650. ¿Cuál es la suma de los n primeros positivos que
son divisibles entre 3/4.5/6 Y 11/8?
a) 4520 lpl} 4537.5 e) 4587.5 d) 4590 e) 4625
4. Sabiendo que MCO [a! ; (a+ 1)!) = 2x . 3Y . 5 z y a + x + y
+ z = 13. hallar el número de ceros en que termina [a!) a!
a) 60 b) 120 e) 144 dl 720 el 840
5. ¿Cuántos pares de números cumplen que: si su
MCM = m y su: MCO = d . entonces
m
= a U
• b 13 c’- .. … . (k
factores primosl
e
al k2 bl 2k -1 cl2k dl 2 k+1 el22k
6. Si el MCM de 143( n) y 156 (n) es 990. ¿Cuál es su
MCO?
al 9 bl10 el 11 dl 12 el 15
7. Al calcular el MCO de 2 números por el algoritmo de
Euclides se han obtenido como cocientes sucesivos a; 3;
3 y 2. Si el MCM de dichos números es un número
capicúa de 4 cifras. Hallar dicho MCO.
al9 bl 11 el 13 dl39 el 19
8. Si MeO (N ; 14700l = 196 Y la cantidad de divisores de
N es 15. entonces la suma de las cifras del menor N que
cUlnple. es:
al 17 bl 19 el 20 dl22 el 23
9. Se construye el cubo compacto más pequeño posible.
utilizando ladrillos de dimensiones de 12 mm x 9 mm.
enseguida se pinta todas las caras del cubo, y luego se
desarma. ¿Cuántos ladrillos no tienen ninguna cara
pintada?
a) 2100 b) 2240 e) 2340 d) 2360 e) 2400
10. Cuántos pares de números enteros existen tales que su
producto es igual a 36 veces su MCM y que la suma de
su MCM y MCD es igual a 7596?
a) 2 b)4 e) 8 d) 16 e) 32
10.7 CLAVE DE RESPUESTAS
De los problemas propuestos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d e e a a a d b d d
II 12 13 14 15 16 17 18 19 20
b a e b b e e e b e
De la autoevaluaci6n
I ~ I : I : I : I : I : I : I : I : I ~o I