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NUMEROS PRIMOS PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD PDF

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Números Primos
Sabemos que números perfectos son aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores propios. a excepción de él mismo. El menor de tales números es el 6 . ya que 6 = 1 + 2 + 3. El siguiente es 28. ya que 28 = 1 +. 2 + 4 + 7 + 14.
Los primeros comentaristas del Antiguo Testamento. tanto judíos como cristianos. quedaron muy impresionados por la perfección de esos dos números. ¿Acaso no fue el Mundo creado en seis días? ¿No tarda veintiocho días la Luna en su circunvalación en torno a la Tierra?
San Agustín argumenta. en el libro 11. en la Ciudad de Dios que no obstante poder Dios haber creado el Mundo en un instante. el prefirió emplear seis días. porque la perfección del número 6 significa la perfección del Universo.
Euclides. nos indica que la construcción de los números perfectos se realiza de acuerdo a la siguiente regla “partiendo de la unidad. se forma la progresión geométrica de razón 2. y si la suma de sus términos es un número primo. el producto de este número primo por el último término de la progresión es un número perfecto”. Mencionaremos que esta serie de números perfectos tiene elementos que son difíciles de
encontrar. basta con indicar que el noveno termino tiene 37 dígitos.
1. ¿Cuál es el número perfecto que le. sigue al 6 y al 28?
2. Hubieron otros números que también llamaron la atención
de los pitagóricos. fueron los números cuadrados. Estos se
formaban tomando a la unidad como punto de · partida y
agregando a ésta la serie ascendente de los números
impares. Por ejemplo: 1 + 3 = 4. 1~+ 3 + 5 = 9 . 1 + 3 + 5 +
7=16. etc. ¿Cuál es el mayor número impar. según lo
anterior. que se utiliza para obtener el “cuadrado” 1600?
En la matemática no encuentro ninguna imperfección.
excepto quizá en el hecho de que los hombres no
comprenden de manera suficiente el excelente uso de la
Matemática Pura.
Francia Bacon
9.0 OBJETIVOS
Clasificar los números enteros de acuerdo al número de
divisores.
Definici6n. Sabemos que 1.1,11 número entero p puede
escribirse como p = p . 1 = (-p) (-1). dondep es no nulo; luego
tenemos que ± 1 y ± p son divisores de p. De lo anterior se
sigue la siguiente definición:
Un número entero p diferente de cero y de ± l. se dice que es
primo si y solamente sí. sus únicos divisores son ± 1 y ± p.
Ejemplo:
a. Los enteros 41 y -13 son primos. mientras que 8 = 4.2 Y
- 15 = 5 (-3) no son primos.
b. Observamos que -13 y 13 también son primos. siendo la
diferencia entre ellos. sólo de signo.
Del último ejemplo podemos deducir que -p es primo si, y
solo sí, p lo es.
En lo que resta del presente capítulo nos referiremos a los
primos positivos. salvo que indiquemos lo contrario; con lo
cual la definición anterior la expresamos como:
Definición. Un número positivo p. distinto de 1. se dice
primo si y solamente si, sus únicos divisores positivos son la
unidad y él mismo. En caso contrario decimos que el número
es compuesto.
Ejemplos:
a. Los primeros primos positivos son: 2 . 3. 5. 7. 11 . 13. 17.
19.23 ….
b. Mientras que los primeros compuestos positivos son: 4. 6.
8. 9. 10. 12. 14 . . ..
c. Nota que el número positivo 1 no es primo ni compuesto.
lo llamaremos simplemente número unitario.
Euclides en su monumental obra los Elementos. la cual tuvo
una vigencia de más de 20 siglos. demostró en el libro
correspondiente a la Aritmética. que existen infinitos primos.
Una copia de tal demostración la presentamos a continuación
en el siguiente teorema.
Teorema. El conjunto de los números primos es infinito.
Demostración
Supongamos que dicho conjunto fuera finito. con elementos
PI. P2 …. Pro
Entonces formamos N = PI . P2 … Pr + 1
Como N es mayor que el último primo Pro tendremos que N es
compuesto y por 10 tanto. algún primo Pi 10 divide. donde.
i = l. 2 . …. r
Pero esto es imposible. ya que al dividirlo por Pi. siempre
queda de resto l. luego el primo que divide a N no es ninguno
de los mencionados. con lo cual concluimos que no puede
haber un número finito de primos.
Ejemplo:
Nota que el número N = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 300321 no
es divisible por 2. 3. 5. 7. 11 Y 13. (números primos) pero es
divisible por 59 y 509 (números primos).
9.1 DETERMINACIÓN DE NÚMEROS PRIMOS -
a. La Criba de Eratóstenes. Es un procedimiento que se
utiliza para encontrar todos los números primos menores
o iguales que un entero positivo dado.
Descripción del proceso. Dado el número entero positivo
N. escribimos en una tabla. usualmente de 10 columnas.
todos los números. desde 2 hasta N y a continuación
tachamos los múltiplos de aquellos números primos que
no superen a JN .
Los números no tachados por este procedimiento son todos
los números primos positivos menores ó iguales que N.
Ejemplo:
Escriba todos los números primos positivos menores o
iguales que 50. usando la criba de Eratóstenes.
Como N = 50. entonces JN = ./56 = 7 …. ; iremos tachando
sucesivamente los múltiplos de 2. 3. 5 y 7 (donde 7 ~ ./56)
b. Método de la raíz cuadrada. Se utiliza para verificar si
un número dado es primo o no.
Descripción del proceso. Para que sea primo. el número
no debe ser divisible entre ninguno de aquellos factores
primos que no superen a la raíz cuadrada de número
dado.
Ejemplo:
El número – 113. ¿es primo?
Para averiguar si es primo. trabajamos con 1-1131 = 113
Coma” Jl13 = 10 …… ensayaremos con aquellos números
primos que no superen a Jl13 . que son: 2. 3. 5 . 7
o o o o
Pero 113 -::f. 2. 3. 5 y 7 en consecuencia 113 es primo.
Finalmente concluimos que -113 es primo.
Este método esta basado en el siguiente teorema que
pasamos demostrar.
Teorema.- Un número entero positivo. diferente de la
unidad. es primo si y sólo si no es divisible por ninguno de
los números primos menores o iguales que su raíz
cuadrada.
Demostración
La demos tración se basará en la equivalencia lógica: p ++ q
¡¡ – p ++ – q. SeaN L 5, el nÚIDeroconsiderado.
Supongamos que N no es primo, entonces admite al menos
un divisor diferente de 1 y de N.
Sea Ud” el más ‘pequeño de tales divisores, el cual es un
factor primo. Luego se tiene N = dq, donde q ~ d (ya que en
caso contrario ud” no seria el más pequeño) . Como q ~ d
entonces dq ~ d2 , de donde N ~ d2 , luego JN ~ d.
Es decir, hemos demostrado que no admite un divisor
primo menor ó igual que su raíz cuadrada, con lo cual
hemos probado que N es primo.
9.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
Definiciones previas
a. Dos o más números enteros no nulos se llaman primos
entre sí (PESI) o primos relativos si y sólo si su único
divisor común es la unidad.
Ejemplo:
Los números 2, 6 Y 7 son primos entre sí, ya que su único
divisor común es la unidad.
b. Dos o más números enteros no nulos son primos entre sí
dos a dos, cuando tomados de dos en dos resultan ser
primos entre sí.
Ejemplo:
1. Los números 4. 7 Y 15 son primos entre sí dos a dos ya
que tomados de dos en dos: 4 y 7. 4 Y 15 Y 7 Y 15
resultan ser primos entre sí~,~j
ii. Pero los números 2 . 6 y 7 no son primos entre sí dos a
dos. ya que 2 y 6 no lo son
Corolario
Dos números enteros no nulos a y b son primos entre sí. si y
solo si existen dos números enteros m y n tales que
ma + nb = 1.
La demostración de este corolario esta fuera del contexto del
presente capítulo. sin embargo tiene aplicaciones
interesantes como pasamos a mostrar.
Ejemplo:
Para todo número entero positivo k. tenemos que los
números 4k + 5 y 5k + 6 son primos entre sí. ya que existen
enteros m y n tales que In (4k + 5) + n (5k + 6) = l. Dichos
números enteros son m = 5. n = – 4
Observación:
De los ejemplos de las definiciones (a) y (b) anteriores
concluimos que si dos o más números son primos entre sí
dos a dos. entonces serán primos entre sí; lo recíproco no es
cierto. es decir. que dos o más números sean primos entre sí
no implica necesariamente que sean primos entre sí dos a
dos.
Lema. Sean a y b números enteros no nulos. p un número
primo. Luego. si pi ab; entonces. o bien pi a ó bien pi b.
Demostración
Como p I abo entonces existe q E Z tal que ab = pq
Suponp;amos que p no divide a “b” (p ,r b). probaremos que
pla.
Como p es primo y p ,r b . tendremos que p y b son primos
entre sí.
Luego por el corolario anterior. deducimos que existen
números enteros m y n tales que mp + nb = l.
Teniendo presente que a b = pq. tenemos:
a = a.l = a . (mp + nb) = amp + nab = amp + npq = (am + nq)p.
de donde observaremos que p I a.
De manera análoga se prueba que si p ,r a. entonces pi b .
con lo cual queda probado el lema.
Teorema fundamental de la Aritmética.- Todo número
entero positivo no primo. se puede descomponer como un
producto de factores primos de manera única. salvo el orden
de dichos factores.
Ejemplo
La demostración tendrá dos partes. la primera esta referida a
la factorización (descomposición) del número y la segunda
esta referida a la unicidad de esta factorización. salvo el
orden de los factores.
Esta salvedad se debe a la ley conmutativa en los enteros
positivos. por ejemplo. las factorizaciones (o descomposiciones)
2.3.3. 3.2.3 y 3.3.2. son las mismas y provienen del
número 18.
Demostraci6n
Demostraremos primero la existencia de la descomposición.
Sea N el número entero positivo no primo. entonces N puede
descomponerse como N = nINI . con 1 < nI < N. 1 < NI < N.
Si ambos nI Y NI son primos. ya tenemos la descomposición
buscada; si esto no ocurre. podemos descomponer uno de
ellos ó los dos (según sea uno de ellos. primo o ninguno de
los dos).
Supongamos que descomponemos ambos nuevamente:
nI NI = (nll n12) (NII N12) luego queda N = (nll n12) (Nll
N12) con 1 < nl!. nl2 < nI Y 1 < Nll • Nl2 < NI.
De acá planteamos las mismas interrogantes anteriores y
volvemos a repetir el proceso un número finito de veces.
después de los cuales llegamos a un producto donde todos
los factores son primos. de la forma N= a .b.c . .. . q
Ahora demostraremos la unicidad.
Para demostrar la unicidad. supongamos que tenemos dos
descomposiciones de N de la forma N = a b c … q = al b l cI …
qI. Se deduce que a lal bl C¡ •. • ql. es decir al al (bl c¡ … q¡)
de donde:
- Si a I al al ser ambos primos. se tiene a = al
- Si a,r al . entonces por el ultimo lema. tenemos que
alblcl … ql. es decir: albl (CI … ql), de donde alb¡, en
cuyo caso a = bl. o al CI … ql.
Al continuar con este proceso. en un número finito de pasos.
llegamos a que el factor primo “a” es uno de los factores al o
b l o cI o .. … o ql
Ahora este proceso lo repetim.os para b. c . … q. con lo cual
obtenemos las igualdades respectivas de los factores ,prim.os.
Luego concluim.os que ambas descomposiciones coinciden.
salvo el orden de los factores.
Por otro lado. como algunos de los factores primos de la
descomposición N = abc .. , q pueden repetirse varias veces. la
fórmula de la descomposición queda N = a U
• b~ . ca … qA.
donde los exponentes a. 13. 0′ … . . A. son números naturales
mayores o iguales a la unidad.
Teorema de Dedekin. La condición necesaria y suficiente
. para que un número sea múltiplo de otro. es que contenga a
todos los factores prim.os de este últim.o. elevados a igualo
mayor exponente.
Ejemplo
. Tenemos que 90 = 2 .3 2.5 es múltiplo de 6 = 2 .3 . ya que
contiene los factores primos de este últim.o con exponente
igual, para el casO del factor 2. y con exponente mayor. para
el caso del factor 3.
9.3. PROPIEDADES ACERCA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
l. Todo número prim.o que divide a un producto de varios
factores. divide por lo menos a uno de ellos.
Ejemplo:
Tenemos que 3114.45.38. ya que 3145
Demostración
Supongamos que tengamos el producto de factores
abc … q. y sea p un número prim.o de modo que plabc … q.
es decir pla (bc … q).
Puede suceder una de dos:
a. Que p I a, con lo cual queda demostrado
b. Que p ,( a, en cuyo caso plb(c … q) .
Nuevamente se presentan dos casos:
a. Que pI b, con lo cual queda demostrado
b. Que p ,( b, en cuyo caso plc … q
Continuando de esta manera, después de un número finito
de pasos, llegaremos a la conclusión de que p divide al menos
a uno de los factores.
Corolario. Todo número primo que divide a una potencia de
un número, divide también al número.
Esta propiedad nos indica que si plan, n E Z+, entonces pla.
2. Si dos números son primos entre sí, entonces todas sus
potencias positivas serán primos entre sí.
Ejemplo:
a. Como 3 y 8 son primos entre sí, tenemos que 32 y 82 , 33
Y 83 son primos entr~ si, en general 3n y 8n son primos
entre sí, con n E N.
b. Si a y b son dos números enteros positivos, ¿Bajo que
condiciones a2 – b2 será un número primo?
Como a2 – b2 = (a + b) (a – b) es un número primo,
entonces a – b = l.
Luego a2 – b2 será un número primo, bajo la condición
de que a y b sean números positivos consecutivos cuya
suma es primo.
Por ejemplo 3 y 2 son consecutivos, luego 32 – 22 = 5 es un
número prim.o
Demostración
Sean a y b dos números primos entre sí.
Supongamos que an y bn , n E N, no son primos entre sí;
luego existe un factor primo q, común a ambos, de modo
que qlan y ql,bn n E N.
Entonces por el corolario de la propiedad (1) tenemos que
qla y qlb, con lo cual a y b no son prim.os entre sí,
contraviniendo la hipótesis.
Luego an y b n , con n E N, son prim.os entre sí.
3. Si dos números enteros a y b son primos entre sí,
entonces:
a) (a + b) Y ab son prim.os entre sí.
b) (a – b) yab son primos entre sí.
e) (an + bn ) y ab son primos entre sí, donde n E N
Ejemplo:
Los números 7 y 4 son primos entre sí. Es inmediato que
(7 + 4) Y 7.4 ~on prim.os entre sí, igual sucede con (7 – 4) Y
7.4; Y con (72 + 42) Y 7.4 .
Demostración
a) Supongamos que (a + b) Y ab no son primos entre sí,
luego existe un factor primo q, común a ambos, de
modo que ql(a + b) Y qlab
Como qlab entonces qla ó qlb.
Si qla y como ql(a + b), entonces qlb, con lo cual a y b no
son primos entre sí. contraviniendo la hipótesis.
Si qlb y como ql(a + b). entonces qla, con lo cual a y b
tampoco son primos entre sí. contraviniendo la
hipótesis.
En cualquier caso, (a + b) Y ab son primos entre sí.
b) Es similar al caso anterior
c) Supongamos que (all + bn ) y ab no son primos entre sí.
luego existe un factor primo q, común a ambos, de
modo que ql(an + b n) y qlab.
Como qlab, entonces por un lema anterior, qla o qlb .
Si qla, entonces qlall
, n E N, Y como ql(an + bll
).
tendremos que qlbn , de donde qlb, con lo cual a y b no
son primos entre sí, contraviniendo la hipótesis.
Si qlb, es similar a la parte anterior.
En cualquier caso, hemos demostrado que (all + b n ) yab
son primos entre sí.
4. Si a y b son dos números enteros no nulos cualesquiera,
entonces a y (ab + 1′) son primos ente sí.
Ejemplo:
Haciendo a = 4 Y b = 6, tenemos que 4 y (4.6 + 1) son
primos entre si.
Demostración
Aplicaremos un corolario que dice: dos números enteros
no nulos a y b son primos entre sí, sí y sólo sí existen dos
números enteros m y n tales que ma + nb = l .
En esta propiedad hacemos b = ab + 1. m = – b E Z y
n = 1 E Z. nos queda ma + nb = -ba + 1 (ab + 1) = l . con lo
cual a y (ab + 1) son primos entre sí.
5. Siempre es posible hallar en el conjunto de los números
naturales. Un” números consecutivos que no son primos.
Demostración
Entre los números (n + 1)! + 2 Y (n + 1)! + (n + 1). existen n
núrneros naturales. de la forma:
(n + 1)! + 2 . (n + 1)! + 3. (n + 1)! + 4 . …. (n + 1)! + (n + 1).
Por otro lado (n + 1)! = 2 .3.4 . .. . (n + 1) tiene n divisores
diferentes de la unidad. luego afirmamos que:
(n + 1)! + 2 no es primo. ya que tiene como divisor al
“número 2.
(n + 1)! 3 no es primo. ya que tiene como divisor al número 3 .
(n + 1)! + (n + 1) tampoco es primo. un divisor de él es
(n + 1)
Luego los números consecutivos (n + 1)! + 2 . … (n + 1)! +
(n + 1) no son primos.
6. Todo número primo mayor que 3. aumentado o disminuido
en una unidad. resulta múltiplo de 6.
Es decir. la propiedad nos indi’i,a que todo número primo
mayor que 3. se expresa corrw 6 ± 1; pero la recíproca no
es cierta.. ya que un número 6 ± 1 no siempre es primo.
Ejemplo:
Tenemos que 199 es un número primo y se expresa como
o o
199 = 6 ± 1; mientras que un 6 ± 1 es 25 y sin embargo no
es primo.
9.4. EXPRESIONES ANALíTICAS QUE DAN.NÚME;ROS :
PRIMOS
Hasta el momento no se ha encontrado una ley acerca de I~ ·
formación de los números primos. Algunos célebres
matemáticos encontraron ciertas expresiones analíticas, las
cuales no son generales. Entre ellos tenemos:
a. Debido a Euler.
La fórmula x?- + x + 41 nos da números primos desde
x = 0, hasta x = 40.
x2 + x + 17 nos da números primos desde x = ° hasta
x = 16
b. Debido a”Fermat.
2″
La formula 2 + 1 nos da números primos desde n = 0,
hasta n = 4.
9.5. ESTUDIO DE LOS DIVISORES POSITIVOS DE UN
NÚMERO ENTERO
Por el teorema fundamental de la aritmética sabemos que un
número entero N descompuesto en sus factores primos se
puede expresar de manera única, salvo el orden de los
factores, como
Los divisores del número N están dados por:
Las potencias del factor “a”
Las potencias del factor “b”
Las potencias del factor “c”
Las potencias del factor “q”
a o . a 1 ….. a a
qo. q 1 … q /..
Las combinaciones de los divisores anteriores.
Ejemplo:
Tenemos que 600 = 23 . 3.52 • sus divisores están dados por:
Las potencias de 2 1. 2. 2 2. 23
Las potencias de 3 1. 3
Las potencias de 5 1. 5. 52
- Las combinaciones de los divisores anteriores.
¿Cómo podemos encontrar estos divisores y sus
combinaciones?
La . respuesta la encontramos aplicando el principio
combinatorio; para ello disponemos de todos los divisores de
la siguiente mariera:
Los divisores de 600 están dados por:
0.2.22. 23). (1. 3). (1.5.52)
Efectuamos el producto. para encontrar el total de divisores y
el valor de cada uno.
Potencias de ~ 2 1 2 4 8
Potencias de 3 ~ 3 3 6 12 24
1 5 10 20 40
Potencias de 515 15 30 60 120
52 1 25 50 100 200
75 150 300 600
Descripci6n de la Construcci6n de la Tabla. ‘ En la primera
fila se ha colocado las potencias del factor primo que tiene
mayor exponente. Enseguida hemos multiplicado todas las
potencias de segundo factor por la primera fila. Finalmente
hemos multiplicado las filas resultantes por las potencias del
tercer factor primo.
Observaci6n. De la tabla observamos que el primer divisor
es 1 y el último es el mismo número. en este caso 600.
Además el producto de aquellos factores distantes del
primero . y último nos da como resultado el número
propuesto. en este caso 600.
Es decir:
1 x 600 = 2 x 300 = 3 x 200 = 4 x 150 = 5 x 120 = 6 x 100 =
8 x 75 = 10 x 60 = 12 x 50 = 15 x 40 = 20 x 30 = 24 x 25 = 600
Han resultado 12 parejas de divisores cuyo producto nos da
el número original
Conclusión. Para un número entero N = a!X. b~. ca …. qA.
tenemos que sus divisores y la cantidad de ellos. se
encuentran a partir de las combinaciones de todas las
potencias de cada uno de los factores primos que lo forman;
es decir a partir de:
2 u 2!3 2 a – 2 A (1,a,a , … a )·(1,b,b , … b )·(1,c,c , … ac ) … (1,q,q , … q)
.. , .. , .. , .. ,
V V V V
a+1 /3+1 0+1 A+1
Al efectuar las combinaciones. tenemos que el total de
términos o divisores esta dado por el producto (a + 1) (13 + 1)
(a + 1) … (A + 1). con lo cual hemos probado el siguiente
teorema:
Teorema. Dado el número entero N = a U
• b~ . ca … qA. todos
los divisores simples y compuestos están dl;ldos por las
combinaciones que provienen del producto:
2 a )- 2 ~ 2 a 2 A
(1,a,a , … a )·(1,b,b , … b )·(1,c,c , … ac ) … (1,q,q , … q).
siendo en total (a + 1) . (/3 + 1) . ( a + 1) … (A + 1)
Es decir. la cantidad de divisores positivos de N es:
I d(N) = (a+ 1)(13+ 1)(0+ 1) … (A+ 1) I
9.6 SUMA DE LOS DIVISOREs POSITIVOS DE N
N = aa . b~ . ca … el
El proceso a seguir es:
Hallar los divisores de N:
Efectuamos la suma de los divisores)
2 IX 2 IJ 2 A (l+a+a + … +a )·(l+b+b + … +b ) … (l+q+q +q) =
a IX + 1 – 1 blJ + 1 – 1 q A + 1 – 1
a-l . b-l … q-l
Es decir la suma de 10 divisores de N. Sd (N). esta dada por:
Ejemplos:
a IX + 1 _ 1 blJ + 1 _ 1 qA + 1 – 1
Sd(N) = a- 1 . b – 1 … q – 1
a) Hallar la suma de los divisores positivos del número 600
Por un ejemplo anterior. tenemos
N = 600 = 23 x 3 x 52
La suma de divisores está dada por:
Sd(N) = (1 + 2 + 22 + 23) . (1 + 3) (1 + 5 + 52) = 15.4.31 = 1860
b) Hallar la suma de los divisores positivos del número 81.
Como 81 = 34 • entonces
Sd(N) = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121
e) Hallar la suma de los divisores positivos del número 199.
Tenemos que 199 es un número primo. luego
SdfNl = 1 + 199 = 200
9.7 SU:MA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N
N = ao. . b~ . cCJ
… q’A
Proceso a seguir
- Hallar los divisores de N: O. a. a 2• …. a 0.). (1. b. b 2 • .. .• b P)
… (1. q. q2 …. qÁ)
- Hallar las inversas de los divisores de N:
(
1; 1.., 12,,, , 10.) . (1, 1.., … l~) … (l, 1.., … \)
aa a b b q q
- Efectuando la suma de las inversas de los divisores:
a o. +a0 .+1 + … +1 b ~ +b ~+1 + … +1
a ll • b~
q’A+ qA + 1 + .. . S +l_~
A – N
q
Luego· la suma de las inversas de los divisores de N. Sid(N).
esta dada por:
.,~.
9.8. SUMA DE LAS POTENCIAS POSITIVAS DE LOS
DIVISORES POSITIVOS DE N
- Hallar los divisores de N:
(1 .aa2 …. a al. (1 .b. b 2 …. bPl … (1 ..q2 …. q 1..)
- Elevando a la “n” cada divisor:
( I D 2D a.D) (1 bD b 2D bP.D) t a ,a t ••• ‘ a ” , … , ,
(l. qD. q2D. qA..D).
- Efectuando la suma de estas potencies:
(l + aD + a 2D + … + aa.D) . (l + bD + b2n + … b P.n) …
(l + qD + q2D + … + qA..n) =
Luego la suma de las potencias positivas de los divisores
positivos. Sdn(Nl es:
n a+1 n P+1 D 0+1 n 1..+1
(a) – 1 (b) – 1 (e) – 1 (q) – 1
na+1 nP+1 n o + 1 nA.+l
Sdn N = (a ) – 1 . (b) – 1 . (e) – 1 (q) – 1
( ) an _ 1 bn _ 1 en _ 1 qn – 1
9.9 PRODUCTO DE LOS DIVISORES POSITIVOS DE N
N = aa. bP. cO … qA.
Sabemos que los divisores de N pueden ordenarse de dos
modos:
- Una sucesión creciente de divisores. empezando por
dI = 1. d2. d3. .. .. dn = N.
- A cada uno de estos divisores le corresponde otro, los
cuales forman una sucesión decreciente y son de la forma
dN ‘ N N N rL’ d’ … , d (a cada uno de estos divisores se le llama
1 ~ 3 n
divisor complementario).
- Efectuando el producto de ellos, tenemos:
P = dI x d2 x … x dn
p2 = Nn donde n es la
cantidad de
divisores
Luego el producto de divisores positivos de N, P d(N) ‘ es
Gi(Ñ)
P d(N) = ‘¡N-’· -’
Ejemplos
a . Hallar la suma de las inversas de los divisores positivos de
600.
Por ejemplo anterior sabemos que Sd(N) = 1860, luego
_ Sd(N) _ 1860 _
Sid(N) – N – 600 – 3, 1
b. Demostrar que un número cuadrado perfecto admite un
número impar de divisores positivos.
Como el número es un cuadrado perfecto, será de la forma
N = a 2a, b 2fl … q21… Luego el número de divisores esta dado
por: d (N) = (2a + 1) (2 + 1) … (21.. + 1).
o
Como cada factor d~ este producto es 2 + Id tendremos
que el producto es 2 + 1, con 10 cual d(N) = 2 + 1, es un
número impar.
c) Demostrar que un número que no es cuadrado perfecto
admite un número par de divisores positivos.
La demostración es inmediata
9.10 EL INDICADOR DE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
Definici6n. Se llama indicador de un número entero positivo
N al número de primos relativos con N y menores que él,
denotándose por cp (N).
Ejemplo
Por convención se acepta que cp (1) = l. pero podemos
calcular cp (2) = l. cp (3) = 2 . etc.
Propiedades del indicador de un número entero positivo.
a. Si P es un número primo. tenemos cp (p) = p – 1
Demostraci6n
Como p es primo. son primos relativos con p : 1. 2 …. P – 1;
los que en total son (p – 1) números. Luego cp (p) = p – 1
b. Si p es un número primo. cp (pD) = pD-I. (p-l). con n E N
Ejemplos:
1. El indicador de 8 = 23 es cp (8) = cp (23 ) = 22
. (2-1) = 4. es
decir hay 4 números primos con 8 y menores que 8.
ellos son: l. 3. 5. Y 7.
ii. Mientras que el indicador de 7 es cp (7) = 6. ya que hay
6 números primos con 7 y menores que 7. ellos son: l .
2 . 3.4.5.6.
Demostraci6n:
De la sucesión de números 1. 2. 3. … . pD; los únicos
números no primos con pD son los múltiplos de p . es decir:
p . 2p. 3p …. . pD-l .p. los que en total son pD-l.
Descontando estos pn-l números del total pn. nos queda la
cantidad de números primos con pn y menores que él. que
es:

probado;
c) Si a. b. c ….. q son primos entre sí dos a dos. entonces se
cumple que:

Ejemplo:
Tenemos que 8 y 9 son primos entre sí. luego se cumple
que:
8.9 = 72. Se deduce que hay 24 números primos relativos
con 72. que son menores que 72. Ellos son: 1. 5. 7. ll.
13. 17. 19. 23. 25. 29. 31. 35. 37. 41. 43, 47. 49. 53, 55.
59. 61. 65, 67 y 71.
Por otro lado. para 8. hay 4 números primos relativos con
8 y menores que 8: ellos son: 1. 3, 5 y 7
Para 9: hay 6. ellos son l. 2. 4. 5. 7. 8
Vemos que se cumple

24 = 4.6
d) Para un número compuesto N = a n . b ll. ca … el. se cumple:

Ejemplo:
Como 72 = 23 • 32 • tenemos:

Demostraci6n
Como N = a Cl
• b 13. ca … qA. usando las propiedades (e) y (b)
tenemos: cp(N) = cp(aCl
• b 13. ca … qA) = cp(aCl
). cp(btl). cp( ca) …
cp( gA)
= aCl
- 1 (a – 1) . b 13-l (b – 1) . ca – l (e – 1)~ .. qA-l (q – 1)
= aCl
( 1-~). btl
( 1-~). ca
( 1-~) … ai 1-~)
= [a Cl • btl . ca ... q AJ ( 1- ~) ( 1- ~) ( 1- ~) . ..( 1- ~ )
:. cp (N) = N . ( 1- ~)( 1- ~)( 1- ~) .. {1 -~ )
9.11 CUESTIONES COMPLEMENTARIAS
Dado el número compuesto N = a Cl
• b tl. ca ... qA, tenemos:
a. El número de divisores positivos que posee es
d(N) = (0;+ 1) ([3 + 1) ... (A. 1)
De estos divisores. son simples. la unidad y el resto de
divisores primos. Serán compuestos. todos los demás
divisores.
Se llaman divisores propios a todos aquellos que son
diferentes del mayor divisor. que es el mismo número N.
b. Si el número dado no es un cuadrado perfecto. es decir. si
posee un número par de divisores d(N). entonces existirá
deN) 2 maneras diferentes de descomponerlo en el producto
de dos factores.
c. Si el número dado es un cuadrado perfecto, es decir, si
posee un número impar de divisores, deN). entonces
existirá d(NJ + 1 maneras diferentes de descomponerlo en
el producto de dos factores.
Ejemplo
El número 16 es un cuadrado perfecto: 16 = 24 , Y posee
(4 + 1) divisores 1, 2, 22 , 23 , 24. Existen 5; 1 = 3 maneras
diferentes de descomponerlo en el producto de 2 factores ,
que son: 16 = 1.24 = 2.23 = 2 222 .
Observa que en todos los producto,s los factores son
distintos, excepto en el último, vemos que el factor
repetido es 22 .
d. Teorema de Wilson. La condición necesaria y suficiente
para que un número p sea primo. es que satisfaga la
congruencia (p - 1)1 + 1 == O (mod p).
La demostración está fuera del alcance del presente libro.
Ejemplo:
Averiguar si 8 es primo.
Aplicando el teorema anterior, veamos si se cumple
(8 - 1)! + 1 == Ó (mod 8)
o
Como 7! = 5040, tenemos 7! + 1 = 5041 = 8 + 1, (mod 8).
Al no cumplirse la congruencia de Wilson, decimos que 8
no es primo.
Este teorema se puede enunciar de la siguiente manera:
Si p es primo, el número (p - 1)! + 1 es múltiplo de p
Ejemplo:
Preguntas tales como (2004)! + 1 es múltiplo de 2005 se
resuelven de manera inmediata. al ser aplicado el último
enunciado. diremos que no es múltiplo de 2005.
9.12 PROPUESTOS RESUELTOS
1. Dada el número N = 63000. se pide:
a) La cantidad de divisores naturales
b) La cantidad de divisores enteros pares
c) La cantidad de divisores compuestos enteros
d) La cantidad de divisores cuadrados perfectos
e) La cantidad de divisores enteros que son cubos
perfectos
1) El producto de los divisores
g) El producto de los divisores enteros primos
Resoluci6n:
Como N = 6300 = 23 . 32 . 53 . 7 1 • entonces:
a) D = (4) (3) (4) (2) = 96
b) 6300 = 21 (23 . 32 • 53 . 7 1 . . )
v
. Dpares = (3)(3)(4)(2) = 72
D~nteros pares = 2(71) = 144
c) Dcomp. enteros = Denteros - 2Dprimos - 2(1)
Dcomp. enteros = 2(96) - 2(4) - 2(1) = 182
d) 6300 = 23 . 32 . 53 . 7 1
Los divisores que generan cuadrados perfectos son
20 30 50
22 32 52
Dcuadrados = 2 . 2 . 2 = 8
e) Dc,ubos perfectos enteros = 2(2 . 2) = 8
f) P = J6300096
= 6300048
g) Penteros primos = 22 . 32 . S2 . 72 = 44100
2. Calcula la suma de todos los divisores de 2460 que sean
múltiplos de 12.
Resolución:
Como: 2460 = 2 2 .31 .SI .41 1 :: 22 . 3 1(S1 .41 1)
~
-
[
S2_ 1412_ 1 ]
S12 = 1212 S _ 1 . 41- 1 = 12 . 6 . 42 = 3024
3. Halle la suma de los cubos de los divisores de SO
Resolución:
Como: SO = 2 1 . S2
= 1417S9
4. ¿Cuántas veces se debe multiplicar por 42 al número
210. para que su cantidad de divisores aumente en 416?
Resolución:
Como 210 = 2 1 . 3 1 . SI . 71 ~ D = (2)(2)(2)(2) = 16
Dato: 210. 42n = 2.3. S .7. 2n . 3n . 7n = 2n+l . 3n+l . SI .7n+l
Además: (n + 2)(n + 2)(2)(n + 2) = 16 + 416 ~ n = 4
5. Si el número ab es plimo, ¿Cuántos divisores
compuestos y enteros que no sean cuadrados perfectos
tiene el menor número de la forma aboab?
Resoluci6n:
Como: aboab = 1001ab = 7 1 . 112 . 131
Dcomp. enteros = 2(2)(3)(2) – 8 = 16
.. Dcomp. enteros y,¡. k2 = 14
6. Dados los números
A = 2 . 3n . 7n+2 y B = 2n . 3n-1 . 5n+2 . 7n
Si la cantidad de divisores del mcm de dichos números
difieren de la de su producto en 4976, hallar el valor de
n.
Resoluci6n:
}
MCM (A . B) = 2n . 3n . 5n+2 . 7n+2
A. B = 2n+1 . 32n-1 . 5n+2 . 72n+2
Dato: (n + 2)(2n)(n + 3)(2n + 3) – (n + 1)2(n + 3)2 = 4976
Resolviendo: n = 5
7. Halle la suma de los divisores de 69000 que terminan en
un solo cero y que además son plimos entre s1 con 2691.
Resoluci6n:
69000 = 23 . 3 1 • S3 . 231
2691 = 32 . 13 . 23
La suma de los divisores
23 -1
SlO yPESI CON 2691 = 10. 2 _ 1
3
5 -1 = 2170
5-1
8. La descomposición canomca de un número es
N = 3n . 7n +3 . 112 Y el producto de sus divisores enteros
es 807154494312°. Determine el valor de n.
Resolución:
Como P Ndivisores
divo enteros =
Entonces: (n+l)(n + 4)(3) = 120 n=4
9. ¿Cuántos divisores como rrúnim.o tiene el número
aabb x bbaa?(a ;f:. b)
Resolución:
P = -aab-b .- bb-aa- = a-ob -. b-oa. 11 2
La cantidad mínima de divisores será cuando aob y boa son
prim.os absolutos
Dmin = (2)(2)(3) = 12
10. S1 el número N = 3u . 5u -3 . 7u+1 . 13u -4 tiene 810
divisores múltiplos de 117. hallar n.
Resolución:
Dato: (n – l)(n – 2)(n + 2)(n – 4) = 810 n=7
9.13 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La cantidad de divisores enteros múltiplos de 12 que
tiene 15! es:
a) 2440 b) 2880 e) 4880 d) 5420 e) 5760
2. Si el número N = 25 . 36n tiene 884 divisores compuestos
y enteros más que del número M = 48n, entonces n es:
a)4 b)5 e) 6 d) 7 e) 8
3. Si el número ababab tiene 12 divisores, entonces la
cantidad de divisores no primos que tiene el número
abab es:
a) 10 b) 11 e) 12 d) 13 e) 14
4. Si el número N = 7. 25 . 245n tiene 56 divisores enteros
que no son múltiplos de 35, entonces n es:
a) 5 b) 6 e) 7 d) 8 e) 9
5. Los factores primos de un número son 2 y 3, además la
cantidad de divisores de su raíz cuadrada y de su
cuadrado son 12 y 117, respectivamente. Hallar la suma
de las cifras de dicho número.
a) 15 b) 16 e) 18 d) 20 e) 24
6. La suma de tres números primos naturales es 82.
Entonces, la cantidad de triadas de números que
cumplen dicha condición es:
a) 3 b)4 e) 5 d) 6 e) 7
7. La SUIlla de los cuadrados de todos los divisores de 51 es:
a) 21180 b) 21240 c) 21400 d) 21600 e) 22100
8. ¿Cuántos divisores del número N = 154 . 186 .405 no son
cuadrados perfectos?
a) 3245 b) 3265 c) 3445 d)3465 e) 3675
9. Si n = 620. 1Cuántos pares de números (x.y) existen. tal
que n = ? 1(1 + 1) 2 x y
a) 1519 b) 1520 c) 1559 d) 1580 e) 1599
10. ¿Cuántos números naturales existen que sean primos
relativos con 700. pero menores que este?
a) 240 b)242 c) 244 d)248 e) 254
9.14 AUTOEVALUACI6N
l. Si la cantidad de divisores de los números N = 63n y
M = 63 . 36n son entre sí como cinco es a seis. entonces
el valor de n es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
2. Si el número N 42n tiene 672 divisores enteros
múltiplos de 12. entonces n es:
a)6 b) 7 e) 8 d)9 e) 10
3. Hallar la suma de las eifras del mayor número que
10000 que sea múltiplo de 11 y tenga 14 divisores.
a) 12 b) 15 e) 16 d) 17 e) 18
4. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema quinario
tienen cuatro divisores enteros?
al 18 bl 19 el 20 dl21 el 22
5. Si un número de tres cifras iguales del sistema heptal se
eleva a un exponente igual al doble de una de sus cifras.
el resultado tiene 250 divisores enteros. entonces la
suma de los divisores naturales no compuestos es:
al 24 bl 26 el 28 dl30 . el 32
6. Al sumar todos los números primos capicúas de tres
cifras. cuya cifra de mayor orden es tres. se obtiene:
al 1243 bl 1311 el 1422 dl 1675 el 1745
7. El promedio aritmético de todos los divisores de 101 es
aproximadamente:
a) 55694.9
d) 56482.9
b) 56328.8
e) 56792.9
e) 56456.6
8. El promedio armónico de los divisores compuestos de
540 es:
a) 17.85 b) 18.24 el 18.35 dl 18.55 el 18.72
9. La cantidad de números de dos cifras que son primos
relativos con 15 es:
a) 45 b) 48 e) 50 d) 54 e) 60
10. Si el mayor número de la forma aboab es el producto de
números primos consecutivos. entonces la cantidad de
números positivos primos relativos con ah pero menores
que este es:
a} 51 h}5.7 e} 63 d}64 e} 65
9.15 CLAVE DE RESPUESTAS
De los problemas propuestos
1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 11:1
De la autoevaluacl6n
1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1;1