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RADICACION ARITMETICA – COMO EXTRAER LA RAIZ CUADRADA Y LA RAIZ CUBICA PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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Radicación
En el año 2779 a .C. comienza en Egipto el dominio de las aritméticas, partiendo por un descubrimiento que hasta los griegos más primitivos dieron por sentado, la raíz cuadrada de 2 o la diagonal del cuadrado perfecto para el trazado de la base de las pirámides, todo gracias al invente del papiro que
a partir de II Dinastía se empieza a usar por los Sacerdotes Harpendonap tal.
El uso del signo radical (J) se debe al alemán Christoph Rudolff (1525) . Hay dos teorias con respecto a la forma del símbolo: unos defienden que se trata de una forma estilizada de la letra “r”, inicial de radix, que en latín quiere decir “radical”. Sin embargo, otros creen el signo actual evolucionó a
partir de un punto al que posteriormente se le añadió un trozo oblicuo en la dirección del radicando. Se basan en que en ocasiones dicho punto se utilizó delante de las expresiones para indicar la extracción de la raíz cuadrada.
13.0 OBJETIVOS
Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la
capacidad de:
Determinar la raíz cuadrada y cúbica de un número
Interpretar la raíz inexacta de un número
Relacionar el valor real y aproximado de una raíz con la
cota d~ error empleada en el cálculo de la aproximación
13.1 DEFINICIÓN
La radicación es la operación inversa a la potenciación en la
que dado dos números R E Z (llamado radicando) y m E N
(llamado índice); tiene por objeto hallar un número k E Z .
llamado raíz enésima de R. tal que se cumpla:
13.2 RADICACIÓN EXACTA
Dado N E Z; si existe k E Z . tal que siendo m E N; se verifica:
rnJN = k —-t k es la raíz enésima de N
Ejemplo: 3J-343 = – 7. porque: (- 7)3 = – 343.
13.3 RADICACIÓN APROXIMADA
a. Raíces por defecto y por exceso en menos de una
unidad.
Se denomina raíz enésima por defecto en menos de una
unidad de un número positivo. al mayor número natural
positivo cuya enésima potencia está contenida en el
número ori@.nal dado y raíz enésima por exceso al
número inmediatamente superior al que expresa la raíz
por defecto.
Así tenemos que si N E Z . entonces:
km N
r
Por defecto
r = N – km
N = km + r
AlgoIitmo:
~
N = km + r
Conclusiones:
1. km < N < (k+ l)m
iL k < m.jN < (k+ 1)
k m.jN
I
(k + l)m
r
Por exceso
r- = (k+l)m - N
N = (k + l)m - r -
AlgoIitmo:
m:_N I (k+1)
N = (k+l)m - rk+
l
'----------~--------~
1
Aplicaciones:
r : resto por defecto
r - : resto por exceso
k: raíz enésima por defecto
k + 1: raíz enésima por exceso
i. Raíz cuadrada. cuando: m = 2
N
I I
r r
Por defecto Por exceso
r = N - k2 r - = (k+l)2 - N
N = k2 + r N = (k+l)2 - r -
AlgoIitmo: AlgoIitmo: v;p- ~
N=k2 +r N = (k+l)2 - r -
Propiedades:
l. r + r - = 2k + 1
2 . 0< r < 2k + 1
3 . r max = 2k
ii) Si m = 3
k 3 N
Por defecto
AlgoIitmo:
Por exceso
r - = (k+l)3 - N
N = (k + 1)3 - r -
Algoritmo:
r : resto por defecto
r ' : resto por exceso
Propiedades:
1. r + r- = 3k (k+ 1) + 1
2. O < r < 3k (k + 1) + 1
3 . r max = 3k (k+1)
'---y--'
o
6
b. Cálculo de la raíz cuadrada y cúbica:
l. Raíz cuadrada:
abcd mn 10° $ N < 102 -7 JN : 1 cifra
rlcd
Q
r
(2m)n x n = Q x n = Q 10
2
$ N < 104
-7 JN : 2 cifras
104 $ N < 106 -7 JN : 3 cifras
102 $ JN < 102(k+l ) -7 JN : (k+ 1) cifra
2. Raíz cúbica:
3 abcdef
m3
r l def
Q
r
mn
r1d + 3 m2 = n
3 .m2 .n .100+
3m.n 2 .10+n3
Q
Ejemplo:
512
15 4 666
146503
8163
87
154 6 + 3. 82 = 8
3 .8 2 .7.100 =13 440
3 .8 .72 .10 =1176
73 = 34
14650
66 6 6 6 6 = 8 73 + 81 63
c. Raíces por defecto a y por exceso en menos de b
Problema G~neral : Calcular la raíz enésiIna de P en m enos de ~
x
x+ 1
N
a
x.
b
a
(x+ 1). b
x·~, mJP (x+ l ) , ~
b b
a
ti
x· ~ < mJP < (x + 1) · ~
b b
m m
m a m a x < P < (x+ 1) , -
b
m
b
m
m P·bm
m
X . -- < (x+ 1)
m a
x< JPbm
m ~ < (x+ 1)
~
N
Raíz enésima por defecto de N} en menos
Raíz enésima por exceso de N de una unidad
Parte entera del cociente
P · bm
m a
Raíz enésima por defecto de P
Raíz enésima por exceso de P:
d. Relación entre la raíz aproximada y la cota de error
Se quiere aproximar njP por el valor A. se denota corno:
rw '" A, con un error menor que E. Identifiquemos los términos
participantes:
nJP valor exacto
A valor aproximado
E cota de error
Se debe cumplir la siguiente propiedad
1•• •• I• ~ • p.~·I.·.~ .• ~ •.• ·1
13.4 PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N° 1
Al extraer la raíz cúbica a un número se obtuvo como residuo
máximo al número a(a+2)(2a). hallar la raíz cuadrada por
defecto de dicho número.
Resoluci6n:
Sea N el número, se tiene:
k raíz cúbica por defecto
Donde:
Rmax = 3k (k+1) (propiedad)
o
dato: a(a+2) (2a) = 3k (k + 1) = 3
o
a + a + 2 +2a = 3
o
4a + 2 = 3
o
4(a + 2) = 3
o
a+2=3
1 44
Sí a = 1 ~ Rmax = ;r K (k+ 1) = J2':2" No!!
1 156
Sí a = 4 ~ Rmax = ;r K (k+1) = ~ ~ K = 12
Luego; N = 123 + 3(12) (13) = 2196
21 -96 46
16 86 x 6
596
516
80
:. Raíz por defecto es 46
Problema N° 2
¿Cuál es el número que al extraerle su raíz cúbica se obtiene
como resto máximo un número de la forma aabb? Dar como
respuesta la suma de sus cifras.
Resolución:
o
Por propiedad: Rmax = 3 k (k+ 1) = 3
Por dato: aabb = Rmax = 3 k (k+l) ... (1)
'--y--'
... 0
... 6
... 8
Luego: b = O Ó 6 ú 8
o
Además de (1) se tiene: a + b = 3
En (1)
Si b = O se tiene
i 3 ~ Rmax = 3300 = 3 x 11 x 22 x 52 ~ 3K (K+l)
a = 6 ~ Rrnax = 6600 = 3 x 11 x 23 x 52 ~ 3K (K+ 1)
9 ~ Rmax = 9900 = 3 x 32 x 11 x 22 + 52
:f. 3K (K+l)
Si b = 6 ~ a = 3 ~ Rmax = 3366 = 3 x 33 34 = 3K (K+ 1)
Si b = 8 ~ a = 1 ~ Rmax = 1188 = 3 x 32 x 22 x 11 :f. 3K (K+l)
Rmax = 3366 ~ K = 33
Luego el número es: 333 + 3366 = 39303
:. }: Cifras: 18
Problema N° 3
¿Cuántos números menores que 1500 al extraer su raíz
cúbica dan como residuo el máximo posible, siendo este múltiplo
de 7?
Resolución:
Sea la Radicación
Rmax = 3 K (k+ 1) (por propiedad)
N = (k+l)3 - 1 < 10000
K < 23.66
K: 1.2.3 .... .... 23 ... (1)
o
Además: 3 K (k+1) = 7
o
K (k+ 1) = 7
Luego se debe cumplir (1) y (2)
o
Si K = 7 ---t i K= 7
K = 14
K= 21
Si K + 1 =:; ---t i K = 6
. K = 13
K = 20
: . Cumplen 6 números.
Problema N° 4
cumplen 3 números
cumplen 3 números
. .. (2)
Hallar el menor número natural que no tiene raíz exacta. tal
que al extraerle su raíz cúbica por defecto y por exceso se
obtienen residuos cuya suma es 364 unidades más que el triple
de su raíz cúbica por defecto.
Resolución:
menor número
~r:===------~~-----------~, • • •
Propiedad: r + r' = 3K2 + 3K + l .
~
r : resto por defecto
r ' : resto por exceso
Dato: ;M{ + 364 = 3k2 + ;M{ +1
K=ll
Luego. el menor número es: k3 + 1 = 1332
Problema N° 5
En una radicación cuadrada inexacta. el producto de sus tres
términos es 150 veces el radicando, Si la ráíz excede en 5
unidades al residuo, Hallar el radicando y dar la suma de sus
cifras.
Resoluci6n:
Sea la radicación:
~
k-5 1
N = K2 + (k - 5)
Dato: V*f (k) (k - 5) = 150 ~
K (k - 5) = 15.10
Así: K = 15
Luego: N = 152 + (15 - 5)
N = 235
¿ Cifras: 10
Problema N° 6
' .. (1)
En una radicación cúbica inexacta. para no "alterar la raíz se
debe agregar al radicando como máximo 650,
Considerando que esta raíz es menor que 15. determinar el
mayor valor que puede tomar el residuo.
Resolución:
Rmax = 3k2 + 3k
~----------------~-----------------~, r r 650
~r~------~-~----------~ •• •
(k+ 1)3
N o se alteraRaíz
Ira. Operación 2da. Operación
~ '\1 N+65: I K
Donde: R' = r + 650 (para no alterar la raíz cúbica)
(por propiedad)
Dato:
Dato:
Rmax = 3k2 + 3k
Rmax = r + 650 = 3k2 + 3k
K < 15
K2 < 225
K2+ K< 240
3K2 + 3K < 720
~
r + 650 < 720
r <: 70
Luego el mayor valor que puede tomar el residuo r es 69
Problema N° 7
Si al radicando de una radicación cuadrada de residuo 52 , se
le aumenta 87 unidades y luego se extrae su raíz cuadrada se
obtiene como residuo la mitad del residuo máximo anterior.
Hallar la suma de las cifras del radicando .
Resoluci6n:
Sea N el radicando
lera. Operaci6n
~K_
"521
2da. Operaci6n:
VN
:
87 I K
K2 + 52 + 87 = (K + 1)2 + K
~ + 138 = ~ +2K +1 + K
138 = 3K
K = 46
l cifras: 4+6 = 10
Problema N° 8
N = K2 + 52 ... (1)
N + 87 = (K)2 +K ... (2)
Si la raíz cuadrada del número 68abocdo es exacta. Hallar
a+b+c+d
Resoluci6n:
Si la raíz cuadrada de 68abcOdeO es inexacta, entonces d = O,
c = O (criterio de excluSión)
68'abO'cOO
64
4ab
489
00
8
163 x 3
Para que-la radicación sea exacta a = 8. b = 9
Luego : a + b + c + d = 8 +.9 + O + O = 1 7
Problema N° 9
Cuantos números naturales tienen cymo raíz cúbica aproximada
a 37 con un error menor que: 3'
Resolución:
Identifiquemos: /Sea N E N
3JN : Valor exacto
A = 37 : Valor aproximado
1
C = 3 (cota de error)
Como se cumple:
1
<3
N = 49296 ... .. < N < 52034 ..... .
---1 N = 49297 ..... 52034
Respuesta: 2738 número
Problema N° 10
1. Halle la raíz cuadrada de
11.. .. 11 55 ... 556
'----y--' '----y--'
n cifras n - l cifras
Sea M = 11...155 ... 556 = A x IOn + 5A + 1 ... (1)
Para A = ~ => A = ~ (10n – 1) => IOn = 9A + 1 … (2)
En (1)
n cifras
M = ~ ( 1 On – 1) 1 On + 5 x ~ ( IOn – 1) + 1
M = ~ (1 02n – IOn + 5 x IOn – 5 + 9)
M = ~ (1 02n + 4 x IOn + 4) = ~ (IOn + 2)2
=> Jrñ = ~ (10n + 2) => Jrñ = ~ (9A + 1 + 2)
Jrñ = 3A + 1 = 33 … 33 + 1
‘-y—’
n cifras
Jrñ = 3A + 1 = 33 … 34
‘-y—’
n cifras
13.5 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Deternlinar la suma de cifras de la raíz cuadrada de:
41bbcd5; donde b , e y d son diferente entre sí:
a) 6 b)7 e) 9 d) 11 e) 13
2. Al extraer la raíz cuadrada de 108171(xJ se obtiene 313(xJ
de raíz y un resto IIÚnimo ¿Cuántos divisores cubos
perfectos tiene xx?
a) 5 b)6 e) 7 d)8 e) 9
3. Al extraer la raíz cúbica de un número se obtiene como
resto máximo 17100. Si a dicho número se le extrae su
raíz cuadrada se tiene
V* * * * * *
* *
* * *
* * *
* * Z *
* * * *
* * *
El valor de (x + y + z + w) es:
a) 11 b) 15 e) 16 d) 18 e) 19
4. Cuántos números menores que 100000 cumplen que al
extraerles la raíz cuadrada se obtiene 237 como residuo
por defecto?
a) 194 b) 195 e) 196 d) 197 e) 198
5. Al extraer la raíz cúbica N = 3(a – 31′ ara + 318 se obtuvo
como raíz por defecto: (a – 11c. Luego. la suma de las
cifras del resto obtenido al extraer la raíz cuadrada por
exceso de ,N es:
a16 bl 7 el 8 dl 10 el 13
6. Hallar la suma de las cifras de la raíz cuadrada de:
al 12n
N = 44 .. .4-88 … 8
~~
(Sn) cifras (44) cifras
bl 16n el 18n dl 24n el32n
7. En~ una raíz cúbica inexacta por defecto. el residuo
puede tomar a lo más 17556 valores diferentes sin que
se altere la raíz cúbica entera. La suma de cifras de
dicha raíz cúbica entera es:
a18 bl 10 el 12 dl 13 el 14
8. Si al extraer la raíz cúbica a un número se obtiene como
el residuo por defecto un número igual al cuádruple de
la raíz y como residuo por exceso 884. entonces la suma
de las cifras del número es:
al 19 b121 el 22 d123 el 25
9. ¿Cuántos números tienen al número racional 8 .85 como
su raíz a
al 98 bl 102 cl 104 dl 108 el 112
10. Si al aproximar ./245 con un error menor que ~ se
obtienen dos raíces Rl y R2. por defecto y exceso
respectivamente. entonces (R1 + R2l es:
al 78
5
bl 79
5
el 157
5
dl 159
5
el 156
5
13.6 AUTOEVALUACIÓN
l. Calcule la suma de las cifras que deben ir en los puntos
de la igualdad:
.{l8::. = … 5
al 9 bl 10 el 11 dl 12 el 13
2. Si al extraer la raíz cuadrada de 1356(xJ se obtiene 32(xJ
de raíz y dos de resto. la cantidad de divisores cubos
perfectos de 0 es:
3.
al2 bl3 cl4 dl5 el 7
2n-1
Sea Rl la raíz aproximada por defecto de 2n + 1 (n E Nl
con un error menor que ~ > R2 la raíz aproximada
2n-1 n+1 1
por exceso de 2n + 1 con un error menor que 2n + 1
El valor de Rl + R2 es.
4n-3
al 2n + 1
d) 4n
2n+ 1
bl 4n-2
2n+ 1
e) 4n + 1
2n+ 1
4n-l
el 2n + 1
4. La cantidad de números enteros que tienen a 5 .37 como su
raíz cúbica aproximada con un error menor -que 8\ es:
al 19 b)20 cl21 dl22 el 23
5. Si cada (*) representa una cifra en:
* * * 7 * 3 *
*
1 * *
* * *
* * * *
1 * * *
3 8
La suma de las cifras del radicando es:
a) 17 b) 18 e) 20 d) 21 e) 22
6. Si: 3J 3bcdef5 = ghi . b < 7
El valor de (b + e + d + e + f + g + h + i) es:
a) 25 b)27 e) 29 d) 30 e) 32
7. Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
1. El resto máximo de una raíz cúbica inexacta es
múltiplo de seis
n. Si a un número se le extrae raíz enésima por defecto
y su resto resulta mínimo. entonces su resto en caso
de exceso sería máximo.
nI. Cuando se aproxima la raíz cuadrada de un número
.( con un error menor que: ~ . el valor aproximado
obtenido se encuentra entre dos múltiplos
a
consecutivos de: b
a)VVV b)VVF e) VFF d)FFF e)FVF
8. Si un número viene representado en el sistema de
numeración de base 9 como un numeral de cinco cifras.
el mayor resto que se puede obtener al extraer la raíz
cúbica de dicho número es :
al 5454(9) bl 5602(9) cl 5656(9) dl 5706(9) el 5732(9)
9. La suma de las cifras del número ab que tiene como raíz
cuadrada inexacta el producto de sus cifras y resto 10 es:
al7 bl8 cl9 dll0 e) 11
10. Al extraer la raíz cúbica a un número N se obtiene como
residuo por defecto un número igual a seis veces la raíz y
como residuo por exceso 169. La suma de las cifras de N
es:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 15
13.7 CLAVE DE RESPUESTAS
De los problemas propuestos
De la autoevaluación