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RAZONES Y PROPORCIONES PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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Los pitagóricos tenían como uno de sus principios: “La esencia de todas las cosas. es explicable en términos de arithmos, es decir en términos de las propiedades intrínsecas de los números enteros y de sus razones”. Ellos entendían por número solo a los enteros positivos, a las fracciones se las
consideraba como una raz6n o relacl6n entre dos números enteros correspondiente l a dos magnitudes del mismo tipo.
Según esto, parece ser que los pitagóricos manejaban la idea de que cuatro cantidades están en proporción, a: b • c : d, si las dos razones a:b y c:d tienen la misma resta mutua; es decir, si la menor en cada una de las dos razones cabe en la mayor el mismo número entero de veces, y el resto en cada caso cabe en la menor el mismo número entero de veces, y el nuevo resto en cada caso cabe en el anterior el mismo
número entero de veces y así sucesivamente, dando lugar a un proceso indefinido.
Como tenían conocimiento de la media’ aritmética y la media arménica, los pitagóricos construyeron la llamada “Proporción Perfecta” o “Proporción Aurea”, que relaciona dos números con sus respectivas medias: “El primero de dus
números es a su media aritmética como su media armónica es
al segundo de ellos” (siendo esta relación la esencia d.:-J
algoritmo babilónico del cálculo de las raíces cuadradas) .
l. ¿Puedes explicar mediante un ejemplo concreto la idea de
proporción que manejaban los pitagóricos?
2. Un problema adaptado de la antigüedad es el siguiente: Si
tres números a, b, c . están en progresión aritmética en ese
mismo orden, y si A; B; C son sus respectivos inversos,
¿qué puedes decir de B con respecto a A y C?
En esta época de contraste entre los estudios antiguos y los
modernos, es necesario hablar de uno que no empezó con
Pitágoras ni terminara con Einstein, pero que es el más
antiguo y el más moderno de todos.
G. H. Hardy
1.0 OBJETIVOS
Al finalizar el capítulo el estudiante estará en condiciones de:
.. Aplicar en forma adecuada . y efectiva las diversas
propiedades de las razones geométricas iguales .
.. Resolver en forma razonada. problemas de proporciones,
que son básicos para el estudio de la proporcionalidad.
1.1 RAZÓN O RELACIÓN DE DOS NÚMEROS
Es la cOT1.paración de dos cantidades y pueden ser:
a. Razón aritmética (r). Cuando la comparación se realiza
por diferencia.
12 – 3 = 9 ; 9 es razón aritmética de 12 y 3
(a-b=r) ir es el valor de la razón aritmética de a y b
a es el antecedente
b es el consecuente
b. Razón Geométrica (r). Cuando la comparación se realiza
mediante el cociente.
12 = 4
3
4 es la razón geométrica de 12 y 3
{
r es el valor de la razón geométrica de a y b
a es el antecedente
b es el consecuente
c. Razón armónica (r). Es la razón aritmética de las
inversas de los dos números.
1 1 2-3 =
1 1
a b
1
6
~ es la razón armónica de 2 y 3
{
r es el valor de la razón armónica de a y b
r a = antecedente
b = consecuente
1.2 PROPORCIONES
Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. Pueden ser:
a. Proporción Aritmética:
Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes.
Cada uno es la cuarta diferencial de los otros tres.
Ejemplo: 15 – 8 = 11- 4 -7 a – b = c – d . . I liay d : extremos
by c : medIOs
Continua: Cuando los términos medios o los extremos son
iguales.
Ejemplo: 15 – 9 = 9 – 3 -7 la -b = b ,- e I
Donde: b es la media diferencial de a y c. su valor es:
a+c b = 2 a y c se denominan terceras diferenciales
b. Proporci6n Geométrica
Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes.
Cada término es la cuarta proporcional de los otros tres.
~ = ~ {a y d: extremos
b d b Y e: medios
E · 1 15 = 12
~emp 0:”5 4
Continua: Cuando los términos medios o los extremos son
iguales
~ = ~ {a y c: terceras proporcionales } Ejem lo: 20 _ 10
b e b : media proporcional p 10 – 5
Donde: b es media proporcional de a y c, su valor es:
b=~
a y c : Terceras proporcionales
c. Proporci6n Arm6nica
Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes.
Cada uno es la cuarta arm6nica de los otros tres.
Ejemplo: 1 1 1 1 1 1 1 1
3 – - = – -
12 ~ b = – - 4 6 a c d
Donde: ayd son los términos extremos
byc son los términos medios
Continuas: Cuando los medios o los extremos son iguales
1
Ejemplo: 2
Donde:
1
3
=
1
3
1
a
1
b
=
1
b
1
c
b en la media armónica de a y e , su valor es:
b= 2·a·c
a+c
a y c se denominan terceras armónicas
EJERCICIOS
1. Hallar la cuarta diferencial de 9. 6 Y 5
Resolución: 9 – 6 = 5 – x x=2
2. Hallar la cuarta proporcional de 12. 10 Y 6
R 1
. , 12 6
eso UClOn: 10 = x
3. Hallar la cuarta armónica de 2. 5 Y 3
. 1 1 1 1
Resolucion: :2 – 5 = 3 – x
4. Hallar la media diferencial de 11 y 5
Resolución: 11 – x = x – 5
5. Hallar la media proporcional de 20 y 5
R 1
. , 20 x
eso UClOn: – = – x 5
6. Hallar la media armónica de 2 y 6
Resolucio. n: -1 – -1 = -1 – -1
2 x x 6
7. Hallar la tercera diferencial de 14 y 11
Resolución: 14 – 11 = 11 – x ~
8. Hallar la tercera proporcional de 18 y 6
R eso1 u cio. n: -18 = 6- 6 x
9. Hallar la tercera armónica de 2 y 3
Resolución: ~ – ~ = ~ 1
x
x=5
x = 30
x = 8
x = 10
x=3
x=8
x=2
x=6
RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES O EQUIVALENTES
Es un conjunto de razones geométricas que tienen igual
valor. Pueden ser discretas o continuas.
DISCRETA: Cuando todos los términos son diferentes
~=~=~=~=k
b d f h
4 6 8 10
Ejm: 6 = 9 = 12 = 15
a bcd
CONTINUA: – = – = – = – = k bcd e
PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS
1 a Propiedad: Suma de antecedentes = razón
Suma de consecuentes
de la expresión (1)
a = bk
c = dk
e = fk
g=hk
(a+c+e+g) = k (b+d+f+h)
2′”" Propiedad:
_a_+_c_+_e_+—:::;.g = k
b+d+f+h
. .. (1)
… (2)
… (3)
Elevando las razones (1) a la potencia n y haciendo lo mismo
que la demostración anterior. obtenemos:
n n n n
a +c +e +g = k n
b n +dn +f1+hn
… (4)
aA Propiedad
Multiplicando todas las razones (1)
a.c.e· g =k4
b·d · f·h
… (5)
Aplicando esta propiedad al conjunto de razones continuas.
obtenemos:
a·b·c·d 4
~-~- = k
b·c·d·e
Sim.1larmente: a = dk3 ; a = ck2 ; a = bk
4 A Propiedad
Las razones (1) se pueden escribir como:
am cn ep = gq = k. d d O
b -
m = dn- = f p hq on e m. n . p. q “”
am + cn + ep + gq
y aplicando la 1 A propiedad bm + dn + fp + hq
SA Propiedad
. .. (6)
… (7)
De la expresión (1) se pueden deducir varias relaciones como
las siguientes:
a±b
b
a±b
a
cid e±f g±h k± 1 = d = -f- = h = -1-
= -ci-d = e±f=g±h=k±1 c e g 1
a+b c+d e+f g+h k+l
= — = e-f = g-h = k-l
a-b c-d
… (9)
. .. (10)
… (11)
… (12)
PROMEDIOS
Si al’ a2′ a3′ …. . … . ano son n cantidades positivas y
ordenadas en forma ascendente. entonces el promedio de
estas cantidades es un número que pertenece al intervalo
[al.an] y pueden ser:
~1——-a-l-+-a-2–+. -a-3·–+-’”–+–a-n~1
Media Aritmética I MA = . ~ .
Media Armónica n
MH = 1 1 1 1
PROPIEDADES
-+-+-+ … +al
a2 a3 an
(1 a) En General MH::; MG::; MA (son iguales si los
números son iguales)
(2 a) Todo promedio debe cumplir:
# Menor < Promedio < # Mayor
(3a) Para dos números
MA = a+b
2
MG = .íab MH = 2ab
a+b
Cumpliéndose que:
MA. MH = ab MA . MH=MG2
... (13)
... (14)
... (15)
.. . (16)
.. . (17)
.. . (18)
.. . (19)
En el capítulo de estadística se presentan los conceptos de
promedios en forma más detallada.
1.3 PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N° 1
Cuando Luis nació su hermano Pepe tenía 12 años: dentro de
5 años sus edades serán entre si como 4 a 7 ¿Cuál es la edad
actual de Pepe?
Resolución:
Edad de Pepe - Edad de Luis = 12 años (Se mantiene
constante)
Dentro de 5 años:
Por 4 ¡
Edad de Luis ~ 8 12 (ID
Edad de Pepe = t 14 = 21 = l' =
Diferencia = 3 Diferencia = 12
I t
Por 4
Las edades de Luis y Pepe serán 16 y 28 años
respectivamente. Luego actualmente Pepe tiene 23 años.
Problema N° 2
Eusebio cobró su sueldo y se fue de compras: al finalizar
observó que por cada SI . 2 que gastó, no gastó SI . 5 . Si le
quedan SI. 750 ¿Cuántos soles más debió gastar para que lo
que gaste sea a lo que no gaste, como 2 a 37.
Resoluci6n:
Lo que gastó
,Lo que le queda
Por 150
11
2 300 = 5 = 750
L-J
Por 150
Luego su sueldo es 300 + 750 = 1050
Ahora se quiere que
Por 210 n
Lo que gasté m ~
Lo que No gasté = t = T
Suma = 5 Swna = 1050
I t
Por 210
Si ahora debe gastar 5/.420, entonces respecto a los 5/.300
que gastó, debe gastar SI. 120 más.
Problema N° 3
En una proporción geométrica continua, la diferencia de sus
terceras proporcionales es 280 y la suma de los 4 términos es
700. Calcular la suma de los antecedentes de la proporción.
Resoluci6n:
Sea la proporción: ~ = ~ ~ b = rae
Suponiendo que a > c a – c = 280
Además a + 2b + c = 700
… (1)
… (2)
… (3)
(1) en (3) a + 2jac + c = 700
Se puede escribir ( Ji + JC r = 700
Extrayendo la raíz cuadrada: Ja + JC == 10./7
La ecuación (2) se puede escribir
( Ja + JC) (Ja – Jé) == 280
Según (4)
(4) + (5)
(4) – (5)
En (1)
10./7 (Ja- Jé) == 280
Ja- Jé == 4./7
2./8. == 14ft
a = 343
2Jé == 6ft
c = 63
b = J343. 63
b = J73
. 32 .7
b = 72.3 = 147
La suma de los ~antecedentes
a + b = 343 + 147
a + b = 490
oo . (4)
oo . (5)
Problema N° 4
Halle tres razones geométricas iguales y continuas cuyos
términos y la razón son enteros positivos, siendo la suma de
los extremos 153.
Resolución:
Sean las razones ~=~=~=k
bcd
Donde a, b , c, el Y k E Z+ Y además a + d = 153
… (l)
… (2)
De las dos ecuaciones se deduce que existen 5 incógnitas y solo
4 ecuaciones Independientes, por lo tanto es un problema
algebraicamente indeterminado, por lo que será necesario usar
recursos aritméticos para determinar todas las incógnitas.
Multiplicamos las tres razones geométricas
~ . ~ . ~ = k 3 ~ a = dk3
bcd
Reemplazamos (3) en (2)
dk3 + d = 153
d (k3+1) = 9.17
.. . (3)
Haciendo k 3 + 1 = 9 obtenemos k = 2 Y entonces d = 17
Las razones geométricas son: I ~ = ~ = -0 = 21
de donde c = 34, b = 68 Y a = 136 ~
Problema N° 5
136
68
_ 68 34 = 2
34 = 17
En una proporción geométrica continua se cumple que la
Suma de los 4 términos y la razón aritmética de los extremos
son entre sí como 3 a 1 ¿Cuál es la mayor razón geométrica
entre los extremos?
Resolución:
a b c-: Sea la proporción ti = ~ ~ b = ,.,¡ac ‘” (1)
Admitiendo que a > c podemos plantear
a+2b +c 3 = OO’ (2)
(1) en (2)
Aplicando las identidades algebraicas, del trinomio cuadrado
perfecto y la diferencia de cuadrados tenemos
3
1
Ja+JC 3
Ja-JC=i
Ja+JC = 3Ja-3JC
4JC = 2Ja
Ja = 2
JC
~ = 4
c
Es oportuno observar que existiendo tres incógnitas a, b y c Y
solo dos ecuaciones independientes el problema era
algebraicamente indeterminado, pero a diferencia del
problema anterior, si queremos hallar los términos de la
proporción encontramos que hay infinitas soluciones, por lo
siguiente.
Se tiene a = 4C y en (1) b = J4c2 ~ b = 2C
Para
Para
C = 1 ~ a = 4 . b = 2
C = 3 ~ a = 12. b = 6
Problema N° 6
ETC.
Se tiene tres razones geométricas equivalentes cuyo valor
es menor que la unidad. Se sabe que la diferencia de los
términos de cada razón son 8. 14 Y 22. ~iendo la suma de los
cuadrados de los antecedentes 1674. Encuentre los términos
de las tres razones geométricas.
Resoluci6n:
Sea la serie ~ = ~ = ~ = k
Siendo k < 1 entonces a < b. c < d. e < f
Por 10 tanto según los datos
También se tiene que
b-a=8
d - c = 14
f - e = 22
Un análisis previo del sistema nos dice que:
... (1)
... (2)
. .. (3)
... (4)
... (5)
Existen 7 ecuaciones y 7 incógnitas ~ Es un problema
algebraicamente determinado
Luego se puede calcular el valor de todas las incógnitas
usando solo álgebra. es decir no es necesario usar recursos
aritméticos para hallar el valor de alguna de sus incógnitas.
A partir de aquí se puede proceder de 2 maneras o usamos el
álgebra común y corriente. despejando incógnitas y
reemplazándolas en otras ecuaciones o usamos el álgebra de
propiedades. evitando pasos innecesarios y así ahorramos
tiempo en la resolución.
De acuerdo a los datos. es conveniente aplicar la propiedad
N° 5 en la serie de razones. de la siguiente manera:
a c e k
b-a = d-c = f-e = l-k
a c ~=~
8 = 14 = 22 l-k
Aplicamos ahora la Propiedad N° 2
a 2 +c2 +e2 k ()2 ----=2 ~2 = }":k ~
(h-a) +Cd-C)2+(f-e)
_ 1674 (k)2 Luego de acuerdo a la ecuacion (5) ~ 744 = 1 -k
Simplificando: ~ ; ( 1 ~ k r k
l-k =
Resolviendo: . 2k = 3 - 3k ~ k = 3/5
3
2
a c e 3 Reemplazando (7) en (6) - = - = - = - 8 14 22 2
de donde: a = 12. c = 21. e = 33
12 21 33 3
Reemplazando en (1): b = d = f = 5
de donde: b = 20. d = 35. f = 55
12 21
Finalmente la serie de razones es: 20 = 35
Problema N° 7
=
33
55
=
3
5
.... (6)
oo. (7)
En tres razones geométricas iguales y continuas. cuyos
términos y la razón son enteros positivos. Se sabe que la
media aritmética, de la media geométrica de los términos de
la segunda razón y la media geométrica de los consecuentes
extremos es 810. Determinar la serie de razones.
Resoluci6n:
a b e
Sea la serie de razones - = - = - = k
bcd
Donde a. b, e, d, y k son enteros positivos .
Del enunciado: ./bc +.[bd = 810
2
De la ecuación (1): ~. ~ = k 2
e d
También: ~ = k ~ ,e = dk
d
(3) Y (4) en (2): Jdk2 . dk + Jdk2 . d = 1620
efectuando: dk (Jk + 1) = 1620
¡;: 2 4 dk("¡K+l)=2 · 3 ·5
.. . (1)
.. . (2)
... (3)
... (4)
.. . (5)
Aquí es donde se requiere el análisis aritmético de la
ecuación. Puesto que las variables son enteras positivas
(Jk + 1) debe ser entero o sea Jk es entero, lo cual significa
que k debe ser un cuadrado perfecto y observando los
factores del segundo miembro, encontramos las siguientes
posibUj dades:
K = 22 , 2 2.32, 3 4 , 32 ó 22.34
Ira. Posibilidad: k = 22 ~ en (5): d · 22( J22 + 1) = 2
2
. 34 . 5
de aquí sale d = 135
a b c
yen (1) ¡; = ~ = 135 = 4 -4 c:::: 540, b:::: 2160, a:::: 8640
2da. Posibilidad: k:::: 22, 32 -4 en (5):
d:::: No sale entero
3ra. Posibilidad: k:::: 34 -4 en (5):
d, 34(.f34 + 1) = 22 ,34
, 5
de aquí sale d :::: 2 y en (1) ~ = ~ = E = 81
b c 2
-4 e:::: 162; b:::: 13122, a:::: 1062882
4ta. Posibilidad: k:::: 32 -4 en (5):
d, 3 "'32 + 1 = 2 ,3 ,5 2( C2 ) 2 4
de aquí sale d:::: 45 y en (1) ~ = ~ = ...E... = 9
b c 45
de donde obtenemos c :::: 405, b :::: 3645, a :::: 32805
Sta. Posibilidad: k:::: 22 , 34 -4 en (5):
d, 22
, 34
( J22 , 34 + 1) = 2
2
, 3
4
,5
d :::: no sale entero
Por lo tanto hay 3 soluciones
Problema N° 8
El producto de tres números enteros positivos es 21952. Si el
primero es al segundo como éste es al tercero, entonces uno
de los números es:
a) 12 b) 39 c) 88 d) 196 e) 304
Resoluci6n:
Si los números son a, b y c se cumplirán:
~ = ~ ~ b2 = a· c
b c
a.b.c. = 21952
(1) en (2) b3 = 21952
b 3 = 2 6 .73
b = 22 .7 = 28
... (1)
.. . (2)
Con 2 ecuaciones y 3 incógnitas el problema es
algebraicarnente indeterminado, luego debernos encontrar
todas las soluciones posibles para a y c.
De (1) a.c. = 282 = 24 . 72 = 1. 784 = 2 .392 = 4.196 = 8.98
= 7.112 = 14.56 = 16.49 = 28.28
Excepto la última, todas son solución para a y c. Uno de ellos
es el número 196.
Problema N° 9
Halle dos enteros posiU~os cuya MG es 10./6, siendo sus
medias aritmética y armónica 2 enteros consecutivos.
Resoluci6n:
MG= .Jab=10./6 ~ a·b=600 .. . (1)
Además la MA y MH son enteros consecutivos.
Por una propiedad podemos escribir
MA. MH = a.b
MA. MH = 600
Siendo MA Y MH dos enteros consecutivos sacamos la raíz
cuadrada de 600 por defecto que es 24. y entonces el
producto es: 24.25 = 600
Y por propiedad sabemos que MA > MH por lo tanto MA = 25
Y MH = 24
a+b
Luego ~ = 25 –t a + b = 50 .. . (2)
En la ecuación a.b. = 600= 23.3.52
= (22• 5) (2.3.5)
= 20.30 que son 2 números que
cumplen con (2). Luego los números buscados son 20 y 30.
Problema N° 10
La diferencia de 2 enteros positivos es 7 y la media aritmética
de. su media aritmética con su media geométrica es 12.25
¿Cuál es el error que se comete al considerar su MA como si
fuera su MG?
Resolución:
a-b=7
(~) +.íab
= 12,25
2
de (2) a + b + 2 .íab = 49
(.[á + jb)2 = 49 –t .[á + jb = 7
.. . (1)
. . .. (2)
… (3)
La ecuación (1) se puede escribir
(Ji + ../b)(já -../b) = 7.
(3) en (4) 7(já-../b) = 7 ~ (.[a-../b) = 1
(3) + (5) 2.[a = 8
16 + 9 ¡,;;;-;:; LuegoMA=-2-=12,5 yMG= “,16·9=12
… (4}
… (5)
Si consideramos que la MA = 12,5 es la MG cometemos un
error igual a 0 ,5.
1.4 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un empleado cobró su sueldo; entró a una sala de juegos
y perdió 1 sol por cada 4 soles que no perdió , luego se
fue de compras y gastó SI. 2,50 por cada SI. 5.50 que
no gastó; finalmente se queda con SI. 1.50 por cada
SI. 4 que dio a su esposa; si esta recibió SI. 600
¿Cuánto cobró (en soles) el empleado?
a) 200 b) 1250 e) 1000 d) 1500 e) lBOO
2. Se encienden dos cirios de igualdad calidad y diámetro.
pero uno tiene lB cm mas de longitud que el otro. Al
cabo de cierto tiempo t , las longitudes son entre si como
5 a 2 y 20 minutos mas tarde se consumió el mas
pequeño. Calcule el tiempo t (en minutos) si se sabe que
el mas grande empleó 2 horas en consumirse totalmente.
a) 70 bl65 el 60 dl 50 el 45
3. Una carrera consiste en dar una vuelta alrededor de una
pista circular. Cuando compiten A y B, ellO gana por %,
de vuelta cuando compiten By C, el 1° gana por 1/5 de
vuelta. Si compiten A y C ¿Qué fracción de vuelta saca de
ventaja el ganador?
a) 7/20 b) 9/20 G) 1/20 d) 2/5 e) 3/5
4. La razón geométrica entre la media aritmética y la media
armónica de dos enteros es 0 ,9375. Calcular la razón
geométrica de los dos números.
a) 5/4 b) 5/3 c) 7/2 d) 3/4 e) 1/4
5. En tres razones geométricas iguales y continuas donde
la inversa de la razón es un entero positivo y la media
aritmética de los extremos es 98. Calcular la media
aritmética de los consecuentes.
a) 73 b) §L c) 101 d) 121 e) 63
- ‘
6. Se sabe que a, by c E N y además MG (a, b) = 6./2. MG
(b,c) = 6 Y MG (a, c) = 3./2. Calcular la MH de a, b y c.
a) 13/8 b) 45/11 c)5/3 d) 36/7 · e) 45/17
7. En una proporción geométrica se cumple que la suma de
las raíces cuadradas del producto de los términos de
cada razón es 20 y la media aritmética de los
antecedentes es 2 . Hallar la razón.
a) 1/25 b) 1/8 c) 1/5 d) 3/8 e) 3/4
8. En una proporción geométrica de razón entera se cumple
que la suma de los cuadrados de todos los términos de la
proporción es 325. Hallar la media aritmética de los
cuatro términos sabiendo que la razón es la mayor
posible.
a) 6.75 b) 13.5 c) 11 d) 12 e) 16
9. Si se cumplen las siguientes relaciones:
A- =-B=C-=D-= k, a bcd
Ab+Ba+Cd+Dc = 7
Aa+Bb + Ce + Dd
y
a2 + b2 + c2 + d2 = 194. Calcule el valor de (ab + cd)
al 1358
10. Si: A;B =
b)679
B+C
7
cl344
A+C
=-6- y
d) 769 el 967
donde todos los números son enteros positivos, calcular
el mínimo valor de p + q + r.
al 29 b} 58 el 87 dl 116 el 37
1.5 AUTOEVALUACIÓN
El tiempo estimado para esta prueba es 90 minutos. Se
sugiere al estudiante realizar esta auto evaluación estrictamente,
pues así logrará los resultados deseados.
l. A Y B participan en una carrera alrededor de un
perímetro cuadrado y cuando A llega a la meta, B esta
justo en el vértice anterior. Si la carrera se realizara en
una pista con forma de triángulo equilátero de igual
perímetro que el cuadrado, cuando A llega a la meta
¿qué parte del tercer lado ha recorrido B?
a) 1/3 b) 1/4 e) 1/5 d) 1/6 e) 1/8
2. En cierto momento de una fiesta , el número de hombres
que bailan es al número de mujeres que no bailan como
3 es a 4. Además el número de mujeres que bailan es al
número de hombres que no bailan como 2 es a 5 ; si en
ese momento hay 140 personas. ¿Cuántas parejas están
bailando?
a) 24 b) 12 c) 36 d) 18 el 20
3. Dada la proporción alb = b/c. la suma de sus términos
es 1210 y la razón es entera. Calcular la suma de las
cifras del mayor de los términos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7
4. Tres números forman una proporclOn geométrica
continua. La suma de dichos números es 28 y la suma
de sus inversas es 7/1. Hallar el menor de dichos
números.
a) 2 bl4 cl 6 dl 8 el 12
5. A cierto festival concurrió el público de la siguiente
manera: por cada 8 niñas ingresaron 3 mujeres adultas
y por cada 6 niños varones ingresaron 5 hombres
adultos. Si el número de hombres adultos es al de
mujeres adultas como 7 a 4. ¿Cuántas mujeres adultas
había si entre niñas y niños había 858?
al 180 bl270 c) 315 d) 378 el 480
6. En una proporción geométrica continua de razón entera.
se cumple que la suma de sus términos es 45 ¿Cuál es la
suma de las cifras del mayor de dichos términos?
al2 bl3 cl 4 dl 5 el6
7. En cierta proporción geométrica continúa, la diferencia
de los extremos es 42 y la suma de los cuadrados de
todos sus términos es .3364. Hallar la razón de la
proporción.
a) 2/5 b)3/4 c) 1/4 d) 1/2 e) 2/3
8. En una proporción geométrica de razón 3 , la suma de los
términos de la primera razón excede a la suma de los
términos de la segunda razón en 56. Hallar la diferencia
de los antecedentes.
a) 7 b) 14 e) 28 d)35 e) 42
9. De un grupo de personas, se retiran la mujeres
quedando 2 hombres por cada mujer; si después se
retiran 50 hombres, quedan ahora 3 mujeres por cada
hombre ¿Qué porcentaje del total inicial aun quedan?
a) 40% b) 50% e) 45% d) 60% e) 36%
10. Si la media geométrica y la media aritmética de a y b son
como 13 a 12. ¿En que relación están los números?
a) 1/4 b) 9/4 e) 3/2 d) 5/7
11. Dada la serie de razones:
/’I486+a ::( 570+b _”618+e =..k-,
\~486-a ” 570-b – ‘”618-c , ¡:..
e) 11/14
siendo a, b, e y k enteros positivos, teniendo a, b , c los
menores valolfes posibles, calcular a + b + e + k
! .
a) 1121 e) 924 d) 280 e) 840
12. Se sabe que b es media proporcional entre a y e y que
a2 + b
2
1
a + b + e = 93 Y además: = 25 calcular b.a.e.
b 2 + e2
a) 625 b) 1375 e) 3375 d) 4825 e) 775
2 b2 2 d2
13 S· 1 a e b 42 • 1 se eump e que: 28 = 63 = 112 = 175 Y a – + e =
Hallar a + b + e + d
a) 98 b) 196 e) 392 d) 48 e) 144
14. Con los enteros a. b y e se forma una proporelOn
geométrica continua donde b es media proporcional.
hallar su valor si se sabe que:
a 2 _b2 +e2
= 1296 -1 –1+ -1
a2 b2 e2
a) 8 b) 7 e) 6 d) 9 e) 12
15. a. b. e y d son 4 enteros positivos tales que: a + b = 24 Y
a
2
b a
2
- – - – + b = d Hallar e + d b- 2-a+b+e e
a) 11 b)8 e) 7 d) 5 e) 4
2 2
16. Si a – b = _1_ Y además se sabe que la media
a 4 _ b 4 3026 ———
~E~oporei~nal de a y bes 35; hallar a + b
a) 37 e) 111 d) 46 e) 84
al a2 a 3 17. Si se cUlnplen: – = – = – = k
b} b 2 b3
Calcular b lb2 + b lb3 + b 2bs si k es entero positivo
a) 119 b)213 c) 83 d) 171 e) 166
18. Los contenidos de 4 recipientes A. B, C y D son entre si
como 3. 9, 11 Y 13 respectivamente. Cada vez que se
adiciona a D un litro, se saca de C 2 litros para echar un
litro en B y 1 en A. Esta operación se realiza varias veces
hasta que el volumen de A triplica al de C, en estas
condiciones ¿Cuál es la relación entre la SUIlla de los
volúmenes de A y D Y la suma de los volúmenes de B y C?
a) 10/9 b)5/7 c) 11/13 d) 8/9 e) 11/15
19. Si ~ = c + a = b + c = k, hallar ab + b~ + ac
b d+b c+d c(a+ +c)
Siendo a, b, c y d enteros positivos
a)k b) k + 1 d) k 2 + k e) dk
20. La suma de 3 números enteros es 514, la suma del 10 y
el 20 es a su diferencia como 17/7 es a 3/13, Y la suma
del 10 y 30 es a la raíz cuadrada de su producto como
157 es a 66. Indica la suma de las cifras del mayor.
a) 10 b)9 q) 8 d) 1 e) 2
1.6 CLAVE DE RES~tJESTAS
De los problemas propuestos
I : I : I : I : I : I : I : I : I : I ~o I
De la auto evaluación
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
b ‘c b c d b c a a e