Archive for REPARTO PROPORCIONAL

REPARTO PROPORCIONAL Y REGLA DE COMPAÑIA PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Share Button

l. Diariamente se reparte entre 2 obreros S/. 52.80. de acuerdo a sus rendimientos. Cierto día el primero recibió S/. 28.80 Y al siguiente día disminuyó su eficiencia en un 25%. en cambio el 2° la aumento en un 50% ¿Cuál será la diferencia de lo que recibían ahora?

2. Tres obreros se han repartido una gratificación en forma
O.P. a sus sueldos que ascienden a SI . 400 , SI. 700:
pero después de hacerlo decidieron que sean en partes
iguales, para lo cual el 3° entrego SI . 100 al 2° Y este
entrego SI. X al l° hallar x.
a) SI. 100 b) 5/ . 24 e) SI. 52 d) SI. 16 e) SI. 80

3. Dividir 1520 en 3 sumandos cuyos cuadrados s ean DP a
las raíces cúbicas en 24,375 Y 1029 e IP ‘a 2/95/36 Y 7 I
100 ¿cuál es la parte menor?
a) 240 b) 480 e) 280 d) 320 el 190
•. Cuatro agricultores A,B,C y D deciden cultivar en
conjunto sus terrenos que son 7 ,8,9 y 11 hectáreas
respectivamente para concluir más rápido contratan a 2
obreros los cuales reciben al finalizar el trabaj o SI. 210
clu ¿cuánto pago el agricultor D si los 6 tiene el mismo
rendimiento? .
a} SI. 180 b) SI. 176 c) SI. 178 d) SI . 186 e) SI. 196
5. N hermanos deciden repartirse una herencia en razón
directa al cuadrado del orden en que nacieron. Si el 2° al
penúltimo recibieron entre todos 54/91 de la herencia,
hallar N.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
6. Una pareja de esposos: donde el esposo es el mayor.
reparten su herencia a sus 3 hijos. del mayor al menor
en forma DP al producto. suma y diferencia de las
edades de los esposos respectivamente. Si el reparto se
hiciera en razón directa a las edades de los hijos. el
mayor recibiría solo la mitad de lo que recibió. Sabiendo
que la suma de las edades de los 3 hijos excede en 2
años a la edad de la madre. esta ¿cuántas veces la edad
el hijo mayor tiene?
a) 3 b) 1.5 c) 2 d) 1.8 e) 1.6
7. Se divide cierta cantidad N en forma O.P. a 1.2.3 ……. 12
de modo que la mayor de las partes esta comprendida
entre 5/32 y 3/16 ¿en cuántas partes como máximo se
dividió N?
a) 6 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11
8. El sefior Ornar Martínez inició un negocio con $ 5000. el
13 de setiembre del año 2001. necesitando más capital
acepto como socios a sus hermanos Cesar. Renzo y
Renato en fechas diferentes. Sus hermanos aportaron
$ 7500. $ 10000 Y $ 15000 respectivamente a los 12
meses de constituida la empresa se reparten la utilidad
obtenida en partes iguales. ¿cuántos meses antes del
reparto ingresaron sucesivamente Cesar. Renzo y
Renato?
a) 7.5 Y 2 b) 8.6 Y 4 c) 9 .6 y 3 d) 10.8 Y 5 e) 7.6 y 5
9. Una sociedad comercial ha emitido 1000 acciones de
$100 c/u y tiempo después ha obtenido dividendos por
750000 dólares. La empresa toma de esto el 20% para el
fondo de reserva y reparte el resto entre los poseedores
de las acciones los cuales son A (lOO acciones). B (80
acciones). e (54 acciones) y D (el resto) ¿cuánto recibe A
de utilidad? .
a) $ 52000
d) $ 60000
b) $ 58000
e) $ 75000
e) $ 70000
10. Hallar los índices de proporcionalidad de los tiempos de
imposición de 3 capitales. si ello es el doble del 2°. Y el
tercero triple capital que el 2°. Las utilidades
correspondientes fueron $ 1000. $ 8000 Y $ 3300.
a) 6.9 Y 11
d) 4.7 Y 9
b) 5.8 Y 11
e) 8.9y 11
3.4 AUTOEVALUACIÓN
e) 7.9 Y 12
1. 3 hermanos A.B y e se reparten una herencia de 330
millones de soles en razón inversa a sus edades. A con
30 años recibió 88 millones pero renunció a ellos y los
repartió entre B yC en forma D.P. a sus edades. De estos
88. B recibió 8- mas que C. Hallar la diferencia de edades
entre By C.
a) 7 b) 5 e) 4 d) 3 e) 2
2. 2 pastores llevan 5 y 3 panes respectivamente y se
encuentran con un cazador hambriento con el cual
comparten por igual el aumento. El cazador agradecido
les regala SI. 8. admitiendo un reparto justo ¿cuánto
debe corresponder a c/u?
a) 5 Y 3 b) 7 Y 1 e) 6 Y 2 d) 4y 4 e) 3 Y 5
3. Tres obreros A. B Y e pueden hacer una obra en 15 días,
20 días y 30 días respectivrunente. empiezan la obra
juntos y a los 2 días se retira A. 3 días después se retira
B, terminando la obra e solo. Si por toda la obra reciben
N soles ¿qué parte de N recibe A?’.
al 2/9 bl2/15 el 1/15 d) 1/7 e) 3/20
4. · Un señor muere y deja SI. 312000 de herencia y su
esposa en estado. En el testamento ha dispuesto que si
nace varón, la esposa recibirá 2/3 de lo que recibe el
niño, y si es una niña, esta recibirá 7/5 de 10 que reciba
la madre. Sucede que dio a luz mellizos, hombre y mujer;
cumpliendo siempre la voluntad del padre, la madre
debe recibir:
a) $ 62000
d) $ 120000
b) $ 75000
e) $ 80000
el $ 90000
5. Se reparte S/. N entre 3 personas en forma DP a 4,5 y 6
pero luego se recibe que el reparto se haga DP a 5,6 y 7
para que esto se cumpla de la manera mas sencilla uno
de ellos debe entregar a otro de ellos.
a) N/35 b)N/90 el N/18 d) N/15 e) N/60
6. Se reparte K soles entre 3 personas en forma O.P. a sus
edades que son 3 numeros consecutivos, pero si el
reparto se hiciera un año más tarde uno de ellos recibe
siempre S/. 22000, luego el valor de K es:
al 88000 b)6000 e) 44000
d) 1110000 e) 222000
7. 2 agricultores A y B contratan un obrero y entre los 3
cultivan sus terrenos que son de 13 y 5 hectáreas
respectivaIllente. El obrero cobra S/. 50 por hectárea
que el cultive. El agricultor A rinde 150% mas que B y
este rinde igual que el obrero. Al finalizar la obra cada
agricultor paga una misma suma al obrero, pero sacando
su cuenta,’ el agricultor B le pide S/. X al agricultor A,
entonces X es:
a) 50 b)60 c) 20 d) 40 e) 10
8. N hermanos se reparten una herencia en razón directa al
cuadrado del · orden en que nacieron. Calcular N
sabiendo que el último de los hermanos recibe 1/22
menos que la mitad de la herencia.
a) 8 b) 7 e) 5 d) 6 e) 12
9. 4 hermanos reciben un dinero de su padre para que
repartan según su aplicación en los estudios. Los 4 ya
terminaron su carrera, en 4,5,6 y 8 años, con promedios
generales de 12, 11, 15 Y 10 respectivaIllente. Las
dificultades de las carreras son entre si como 1,1.2,1.5 y
2 respectivaIllente. Empleando proporcionalidad simple,
directa o inversa, según sea el caso, con cada aspecto
¿qué parte del total debe recibir el mas aplicado?
a) 275/1189
d) 375/1189
b) 300/1189
e) 250/1189
c) 264/1819
10. Tres obreros A. B Y C han hecho una obra y reciben
SI. N por ella, haciendo un reparto Justo el mas eficiente
recibió S/ .50 menos que lo que le tocaría si es que hace
la mitad de la obra el solo. Se sabe que si cada uno
trabaja solo emplearían 2.3 y 5 días respectivamente. El
valor de N es:
a) SI. 3100
d) 5/.6100
b)S/·2800
e) 5/.6200
c) 5/.4250
11. Una persona deja 111 millones de soles para que se
repartan entr-e 2 sobrinos. 3 sobrinas y 5 primos. de tal
manera que la parte de cada primo sea % de lo que toca
a cada sobrina y la parte de cada sobrina sea 4/5 de lo
que toda a cada sobrino. ¿cuánto corresponde a cada
sobrino?
a) 12- b) 10- c) 18″ d) 15- e) 13.5-
12. Dividir 72 en forma IP a las raíces cuadradas de 0.09 y
2.25. la diferencia de las partes es:
a) 48 b) 17 c) 36 d)24 e) 31
13. Un padre deja una herencia para que sus tres hijos se la
repartan en forma DP a sus edades que son tres
números consecutivos. pero uno de los hijos retrasó el
reparto un afio porque así le correspondió $ 1800 más.
¿Cuántos afios tenía este hijo al morir el padre? el hijo al
que no le importa el retraso recibió $ 3900000.
a) 24
d) 27
b)25
e) 28
c) 26
14. Cierto empresario constituyo una empresa con N
millones de soles. pero necesitando mas dinero se asocio
con otros tres en diferentes épocas. los cuales aportaron
5N. 4N Y 3N millones de soles. Al cabo de K meses de
constituida la empresa todos reciben igual utilidad ¿Al
cabo de cuántos meses de iniciada la empresa ingreso el
último socio que acepto el empresario?
a) K/5 b) 2K/3 c) 4K/5 d)3k/4 e) 5K/8
15. Para la ejecución de cierta obra. se asocian A.a.C. A
aporta SI. 46440. a aporta SI. 42060. a se encarga de
la dirección de los trabajos y debe recibir por esto el
11.5% de los beneficios obtenidos. independientemente
de lo que le corresponde por. su capital aportado. En el
reparto de beneficios A recibió SI . 140 Y C SI. 7375
¿Cuál es la suma en soles de lo que recibió B entre utilidad
y pago por dirigir la obra?
a) 9885
d) 11470
b)4250
e) 10500
e) 8320
16. Dos comerciantes entran en una sociedad durante 15 V2
meses ellO contribuye con SI . 35750 durante 1 año 2
meses 15 días y el 2° con SI. 22150 durante 7 meses y
15 días. Al disolverse la sociedad se ha obtenido una
utilidad de SI. 21750. Determinar cuanto corresponde al
primero. teniendo en cuenta que al 2° le deben pagar el
4$ de la utilidad total por cada mes de trabajo que
efectuó mientras no impuso capital alguno.
a) 12500.80
d) 9206.28
b) 11500.54
e) 10901
c) 10549.46
17. Dos personas A y a se une para formar un negocio
aportando $ 400 Y $ 700 respectivamente. 4 meses
después entra C con $ 500 ¿Cuántos meses después de
iniciado el negocio entro O s1 aporto $ 800 Y del beneficio
anual que fue ~ 8760. A recibió $ 2040?’.
a) 6 b) 8 e) 7 d) 5 e) 4
18. A. B Y C forman una empresa con $ 35000 siendo sus
aportes como 1.2 y 4 respectivamente; a los 8 meses. B
duplica su aportación y un mes después se retira C;
transcurren 3 meses más y el socio C recibió una parte
de la utilidad neta repartida ¿Qué parte fue esta?
a) 1/3 b)5/8 e) %. d) 9/20 e) 7/11
19. Un inversionista constituye un negocio con $ A Y cada
mes va aceptando un socio los cuales aportan igual
capital que el. Al repartir la utilidad obtenida. cuando el
último que ingreso tenía 1 mes. el inversionista recibió
20% de la utilidad ¿Cuántos fueron los socios?
a) 10 b)9 e) 8 d)7 e) 5
20. Cuatro capitalistas invierten capitales en proporción a
1.2.3 y 4 siendo los tiempos de imposición IP a dichos
capitales elevados al cuadrado ¿Qué porcentaje de la
utilidad recibió el que permaneció todo el tiempo de
gestión?
a) 24% b) 9% e) 16% d) 48% e) 50%

Reparto Proporcional
y Regla de Compañía
Eudoxo de Cnido (408 a.c.- 355 a.c.). fue un discípulo de
Platón, quien llego a Atenas siendo muy pobre. Para aliviar
su bolsillo se hospedaba en el Pireo junto al mar y todos los
días recorría a pie el camino a Atenas. Pero su capacidad
para la astronomía y las matemáticas 10 condujo a una
situación de preeminencia. Viajó y estudió en Egipto, Italia y
Sicilia. Eudoxo regreso a Atenas a la edad de 40 años.
Asimismo fue el matemático mas importante de la época
Helénica, pero todas sus obras se han perdido.
Dio una definición nueva y universalmente aceptada de la
igualdad de dos razones, descubriendo así la teoría de las
proporciones que figura en el Libro V de los Elementos de
Euclides, definición 5:
“Se dice que dos magnitudes están en la misma razón, la
primera a la segunda y la tercera a la cuarta, cuando,
tomados cualesquiera equimúltiplos de la primera y la
tercera y cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la
cuarta, entonces los primeros equimúltiplos ambos exceden,
son iguales o son menores que los segundos equimúltiplos,
tomados en el orden correspondiente” .
Esta definición de Eudoxo sirvió para crear métodos y poder
hacer frente al problema de lo inconmensurable, quedando
así resuelta una de las mas grandes crisis que sufrieron los
griegos.
Por otro lado también cabe mencionar. que muchos de los
problemas que figuran en el Papiro de Arnhes muestran un
conocimiento de proporciones equivalentes. que actualmente
conocemos como regla de tres.
1. En el Papiro de Ahmes figura el siguiente problema:
Repártanse 100 hogazas de pan entre cinco hombres de
tal manera que las partes correspondientes estén en
progresión aritmética y que además un séptimo de la
suma de las tres partes mas grandes sea igual a la suma
de las dos más pequefias. ¿Puedes intentar resolverlo?
2. ¿Puedes plantearte ejemplos concretos y tratar de
Interpretar el concepto de igualdad de razones dado por
Eudoxo?
Después de aprender el primer teorema un discípulo le
pregunto: ¿Qué provecho voy a obtener aprendiendo estas
cosas? Llamo a su esclavo y dijo: “Dale un óbolo, puesto que
quiere sacar provecho de lo que aprende”
Euclides
3.0 OBJETIVOS
Al finalizar el capítulo el alumno estará en condiciones de:
- Distinguir entre un · reparto arbitrario y un reparto
proporcional.
- Aplicar adecuadamente
simple y compuesta
proporcional.
la teoría de proporcionalidad
a los problemas de reparto
Establecer un criterio de reparto proporcional. usando su
sentido común. en problemas donde no se específica la
forma de reparto.
- Realizar un reparto de utilidades o ganancias entre los
socios de una empresa.
3 .1 CLASES DE REPARTO PROPORCIONAL.
Existen dos clases de reparto proporcional:
a) Simple
- Directo (DP)
- Inverso (IP)
b) Compuesto
Dentro de este caso se resuelve la regla de compañía.
a.1 REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE DIRECTO
Para esto se debe recordar la relación proporcional directa
entre 2 magnitudes.
Si A DP B A- =k B
Ejemplo: Dividir 600 en 3 partes que sean DP a los números
4,6 y 10
Resolución:
Sean las partes: xl ‘ X2 Y X3
Se deben cumplir:
Xl + X2 + X3 = 600
xl X2 X3 4=6″=10
Se tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas
… (1)
.. . (2)
Simplificando y aplicando la propiedad fundamental a la
igualdad (2).
Xl X2 X3 Xl +X2 +X3
“2=”3=5= 2+3+5
Xl X2 x3 600
-=-=-=-=60
2 3 5 10
De aquí: Xl = 2(60) = 120
x2 = 3(60) = 180
x3 = 5(60) = 300
a.2 REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO
Aquí debemos aplicar el teorema:
Si A IP B A DP .!.
B
Ejemplo: Dividir 124 en 3 partes que sean IP a 2, 3 Y 5
Resoluci6n:
Xl + x2 + x3 = 124
xl X2 X3 1=1=1
235
En la ecuación (2)
30 = MCM (2,3,5)
Xl X2 X3 Xl +X2 +x3 124
15 = 10 = “6 = 15 + 10 + 6 = TI = 4
xl = 15 (4) = 60
x2 = 10 (4) = 40
x3 = 6 (4) = 24
… (1)
.. . (2)
b.l REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO.
En est.e caso se presentan varias condiciones de proporcionalidad
directas e inversas combinadas de varias formas. y para
esto se debe aplicar el siguiente teorema:
Si: A DP B cuando C y. D son constantes
A DP C cuando By D son constantes
A DP D cuando By C son constantes
Entonces A DP (B.C.D.) cuando todas varían y la relación
proporcional compuesta es:
A = k
B·C·D
Ejemplo:
Dividir 90 en tres partes que sean DP a 2 . 3 Y 5 además
deben ser IP a 4. 5 Y 6 Y también DP a 12.15 y 9.
Resolución:
1 1 1
El reparto IP a 4.5 y 6 se convJerte en DP a 4′ 5 y (3 y se
aplica el teorema anterior. luego.
Xl X2
–~– = —=– =
Simplificando: ~l = X; = :5
2
Xl X2 _ x De donde: — – 3 = 12 – 18 – 15
Xl +X2 +x3
12 + 18 + 15
= 90 = 2
45
Luego: Xl = 12 (2) = 24
X2 = 18 (2) = 36
X3 = 15 (2) = 30
Es importante observar que los números proporcionales se
pueden multiplicar o dividir por otro número y el reparto
resulta igual. Pruebe esto simplificando los consecuentes de
la última serie de razones y la respuesta será igual.
b.2 REGLA DE COMPA1tiA
Es un caso de reparto proporcional compuesto en el cual
intervienen los siguientes elementos:
- Capital (C) aportado por cada uno de los socios que
integran la empresa
- Tiempo (t) durante el cual el socio mantiene su aportación.
- Utilidad. ganancia o beneficio (U) obtenido por la empresa
al cabo de cierto tiempo de gestión:
Deducimos la relación proporcional entre estas 3 magnitudes
como se ha explicado en el capítulo de proporcionalidad comparando
la utilidad (U) con el capital (C) y el tiempo (t) aplicando
el principio fundamental de comparación de
magnitudes.
U DP C para t = constante
U DP t para C = constante
Luego la relación proporcional es:
-U= K c · t
K = Constante de proporcionalidad
De aquí se deduce que para repartir cierta utilidad total U.
Entre n socios se plantea la siguiente igualdad de razones:
En donde:
CI ‘ C2 • C3 … .. .. Cn
tI’ t2 • t3 ……. tn
Capitales aportados por los socios.
Tiempo de aportación
UI. U2 • U3 .. • .. . Cn Utilidades que reciben los socios.
Siendo: UI + U2 + U3 + … …. + Un = Utotal
En algunos problemas se debe descontar de la utilidad total
Utotal ciertos gastos administrativos o también participaciones
particulares de algunos socios quedando para repartir la
utilidad neta UN que es la que se divide entre los socios de
acuerdo al capital y tiempo de aportación.
UNETA = UTOTAL – GASTOS ADMINISTRATIVOS
La utilidad total también se denomina UTILIDAD BRUTA.
3.2 PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N° 1
Dividir el número 300 en 4 partes que sean DP A 2201 • 2202

2203 Y 2204
.
Resolución:
Sean las partes : Xl. X2. X3 Y X4
Se cumplen: Xl + X2 + X3 + X4 = 300 … (1)
La igualdad (2) se puede escribir:
Simplificando las consecuentes:
xl X2 X3 X4
}=2″=4=8
Aplicando la propiedad fundamental:
Xl X2 X3 X4 Xl +X2 +X3 +x4 300
- = – = – = – = = – = 20
1 2 4 8 1+2+4+8 15
De aquí: Xl = 1(20) = 20
x3 = 4(20) = 80
OBSERVACIONES IMPORTANTES
X2 = 2(20) = 40
x4 = 8(20) = 160
… (2)
… (9)
1. La igualdad de razones se simplifica antes de aplicar la
propiedad fundamental.
2. De la igualdad de razones simplificada (9) se deduce la
proporción entre las partes. por ejemplo:
- La parte menor es Xl –t porque es como “1″
- La parte mayor es X4 –t porque es como “8″
- X4 es 8 veces Xl
- X4 es 4 veces x2
- X3 es 4 veces Xl
- X3 es 2 veces X2
Lo cual se hace. solo observando los consecuentes. De la
igualdad de razones (8).
Problema N° 2
Cuatro hermanos se reparten una herencia en forma DP a
ciertos números. correspondiéndoles SI. 340 000.
S/. 170000. S/. 102000 Y S/. 68000 ¿Cuánto les correspondería
si el reparto se hiciera en forma IP a los mismos números?
Resolución:
Primer Reparto: DP a los números A.B.C y D.
Es evidente que el monto de la herencia es la suma de las
partes o sea:
Herencia = 340000 + 170 000 + 102 000 + 68 000 = S /. 680 000
Siendo el reparto D.P. se cumple que:
340000
A = 170000
B
Simplificando antecedentes:
102000 = C
3 2 =c=n
= 680000
D
Se puede observar que los números proporcionales utilizados
son como 10. 5.3 Y 2.
Segundo Reparto: Se hará en forma IP a los números 10.5.3
y 2.1uego.
Multiplicando los consecuentes por 30= MCM (10.5.3.2) se
obtiene la siguiente igualdad de razones.
Aplicando la propiedad fundamental
Xl X2 X3 _ X4 Xl +X2 +X3 +X4
3″ = 6″ = 10 – 15 = 3 + 6 + 10 + 15 =
De aquí
680000 = 20000
34 -
Xl = 3(20000) = SI· 60000 x2 = 6(20000) = SI. 120000
X3 = 10(20000) = SI. 200 000×4 = 15(20000) = SI. 3000000
Observamos que si un reparto directo se cambia a inverso
respecto a los mismos números proporcionales No resultan
las mismas cantidades ordenadas a la inversa. Esto solo ocurre
cuando se trata de 2 partes.
Problema N° 3
Dividir 370 en 3 partes. de modo que sus cuadrados sean DP
a 0.2; 0.5 Y 0,4 u a su vez IP a 3; 6/5 y 8/3.
Resoluci6n:
Si1as partes son xl. X2 Y X3 entonces se cumplen:
Xl + X2 + X3 = 370 … (1)
2 2 2
Xl X2 X = = 3 .. . (2)
O, 2 .(~) 0,5 {~) 0,4 . (~)
En (2) multiplicando los consecuentes por 10 para eliminar la
coma decimal y luego por 6 para obtener números
proporcionales enteros:
2 2 2
Xl X2 X3
4″ = 25 = 9
y luego extraemos raíz cuadrada a todas las razones.
Xl = X2 _ X3 = Xl +x2+ x3
2 5 – 3 2+5+3
= 370 = 37
10
De donde: xl = 2(37) = 74; x2 = 5(37) = 185 ; x3 = 3(37) = 111
Es importante observa.r que antes de eliminar los cuadrados
de los antecedentes se deben simplificar al máximo los
consecuentes. Los problemas generalmente tiene datos
adecuados. para que después de la · simplificación. se
obtengan consecuentes que tiene raíz exacta. o un factor
irracional común que se simplifica.
Problema N° 4
En cierto examen se pidió repartir un número N en forma IP a
2/3. * Y 5/6. pero cierto alumno. lo hizo en forma DP. y al
comparar sus respuestas con las correctas. observó que una
de las partes que el había obtenido tenía 988 unidades
menos que la parte correcta correspondiente. Hallar N.
Resolución:
Reparto Pedido: IP a 2/3 . 3/4 Y 5/6
Xl x2 x3
“3=4=6
235
30 = MCM (2. 3. 5)
Xl X2 X3 Xl +x2 +x3 N
45 = 40 = 36 = 45 + 40 + 36 = 121;
De donde las partes son:
45N
xl = — = 121
1215N
3267
40N 4080N
x2 = 121 = 3267
36N 972N
121 = 3267
Reparto Efectuado por el Alumno: DP a 2/3 • 3/4 Y 5/6
12 = MCM(3. 46)
YI Y2 Y3 YI +Y2 +Y3 N
8″ = “9 = 10 = 8 + 9 + 10 = 27
De aquí obtenemos las partes que equivocadamente ha. obtenido
el alumno.
8N 968N
YI = 27 = 3267
9N 1089 N
Y2 = 27 = 3267
ION 1210N
Y3 = 27 = 3267
El problema dice que una de estas partes tiene 988 unidades
menos que la parte correcta correspondiente, y para saber
cual de ellas es, debemos compararlas.
De lo anterior se deduce que se refiere a la primera parte
luego.
1215N 968N
3267 – 3267 = 988
1215 N – 968 N = 988 x 3267
N = 13068
Problema N° 5
Una cantidad N de soles se reparte en forma DP a las edades
de tres personas A,B y C, correspondiendo a A SI . 359 100 Y
a B SI. 718200. Si los SI. N se reparte entre A y B en forma
IP a sus edades. Entonces B recibe 837 900 soles . Si la suma
de las edades es 49 ¿Cuál es la suma de los cuadrados de
dichas edades? .
Resoluci6n:
Si las edades son a, b y c
a + b + c = 49 … (1)
En el primer reparto que es DP a sus edades a, by c .
359100 = 718200 = – b c
x .. . (2)
a
De aquí tomando la 1 a y 2 a razón y simplificando los antecedentes.
1 2
;;;:=1) ~ b= 2a
… (3)
En el 2° reparto realizado solo entre A y B en forma IP a sus
edades se tiene.
N – 837900 837900 = 1 1
a b
a(N – 837900) = b (837900)
a (N – 837900) = 2a (837900) ~ N = 2513700
Siendo 2513700 la cantidad repartida, en el primer reparto.
Entonces: 359100 + 718200 + x = 2513700 ~ x = 1436400
En la serie (2): 359100 = 718200 = 1436400
a b c
1 2 4 1+2+4 7 1
Según la ecuación (1): a = 1) = ;; = a + b + C = 49 = ’7
de donde a = 7; b = 14; c = 28
Problema N° 6
Se desea repartir SI. N en partes DP a los números: 5, a 2 ,
3a2 , b, 3b e IP a los números: ab2 , b2 , ab , a , b ; Si el
reparto se hubiera hecho en partes iguales, la primera tendría
SI. 6300 más. Hallar N si a + b = 5.
Resolucl6n:
En el primer reparto: Xl + x2 + x3 = x4 = N … (1)
Múltiplicandolbs consecuentes por ab2 resulta:
Aplicando la propiedad fundamental:
Xl X2 X3 X4 X5 XI+X2+X3+X4+X5
“5 = a3 = 3~2b= b3 =3ab2 = 5+a3 +3a2b+b3 +3ab2
N N N = —-=–=-
5 + (a + b) 3 5 + 5 S 130
De donde xl = 5N/130 = N/26
Si el reparto se realiza en partes iguales:
Por dato N/5 – N /26 = 6300
26N – 5N = 5(26)6300
Problema N° 7
N = 5(26)(6300)/21
N = 39000 soles
Un Señor decide repartir su herencia que, consiste en
SI. 48 0000, de modo que SI. 36 0600 se repartan entre
todos los hijos en forma DP al orden en que nacieron y los
S/. 120000 restantes para el hijo mayor de modo-que él y el
último reciban la misma suma. Hallar el número de hijos
sabiendo que es más de 2.
Resoluci6n:
Reparto de los SI. 360000 entre todos los hijos DP al orden
de nacimiento.
Xn xl +X2 … +xn 360000 -n = 1+2+ … +n = n(n+l) =
El 1 hitf cib _ 2(360000) _ 720000
er ~o re e xl – n(n+ 1) – n(n+ 1)
2
El ‘lti hitf ib’ ~ 2n(360000) _ 720000
u mo ~orec e.xn – n(n+l) – (n+l)
Según dato: xl + 120 000 = xn
720000 + 120000 = 720000
n(n+ 1) (n+ 1)
6 + 1 = 6
n(n+l) (n+l)
6 + n (n + 1) = 6n
6 = n (5 -n)
n 2 – 5n + 6 = O ~ (n – 3)(n – 2) = O
n=2 Ó n=3
n=3
Problema N° 8
Tres personas A. B Y e forman una empresa aportando
$ . 10000. $ 20000 Y $ 3 0000 ; a los 3 meses de iniciada A
aumenta su capital y 3 meses después e aumenta su capital
en $ 10000. Al año de formada la empresa deciden liquidarla,
habiendo acumulado un monto total de $ 15 7000.
l. Cuanto recibe cada socio entre capital y utilidades al
momento de la liquidación?
2. Cual fue la tasa mensual de ganancia que produjo la
empresa?
Resolución:
Los capitales aportados y los tiempos correspondientes se
muestran en el siguiente cuadro donde también se indican
las utilidades que corresponden a dichas aportaciones.
Cada socio tiene 2 etapas de aportación y a cada una le
corresponde una utilidad.
Capital Tiempo Utilidad
($) (meses) ($)
SoclOA{
10000 3 UAI 20000 9 UA2 r
UA = UAI + UA2
Socio B {
20000 4 UBI 15000 8 UB2 r
UA = UAI + UA2
{ 30000 7 UCI r Socio C Uc = Uc 1 + UC2
40000 5 UC2
Problema N° 9
A Y B forman una empresa, aportando A doble capital que B,
este socio la administra y debe recibir por ello el 20% de la
utilidad total antes del reparto. Al cabo de cierto tiempo la
empresa se líquida. habiendo obtenido una utilidad total de
SI. 120 000. Calcular el capital que aporto el socio A.
sabiendo que lo hizo solo durante 1/3 del período que funp
ciona la empresa y que el socio B recibió por todo
SI. 101600.
Resolucl6n:
Utilidad Total UT = SI. 120 000
El socio B recibe por administrar la empresa:
20% de SI. 120000 = 120~ . 120000 = 5/. 24000
Luego queda para repartir entre los socios
La utilidad neta = UN = 120000 – 24000 = SI. 96000.
El reparto de la utilidad es como sigue:
Capital de A = 2
Tiempo de A = 1
-U= k
C·T
Capital de B = 1
Capital de B = 3
UA = SI. 38000; Ua = 5/.57600
El socio B recibió por tod024000 + 57600 + capital de
B = 101 600 Capital de B = SI. 20000
Luego Capital de A = SI. 40000
Problema N° lO
Los socios A.B y C forman una empresa aportando capitales
que están en progresión aritmética creciente. Al cabo de 6
meses incrementan su capital en SI. 1200 Y SI. 800respectip
vamente. Un año más tarde las utilidades están en la relación
de 25.33 y 42 ¿Cuál fue el capitalinietal del 2° socio?
Resoluci6n:
El cuadro de aportaciones y los respectivos tiempos se muestra
a continuación. Se debe que los capitales iniciales están
en progresión aritmética creciente de A hacia C.
Capital Tiempo Utilidad
(soles) (meses) (soles)
6 UAl
SoetoA { x
. (x + 2000) 12 UA2
} U A = U Al + U A2 = 25k
{ Ix +rJ 6 UBl
Socio B }UH =U Hl + UH2 =3 3k
(x+r+1200) 12 UB2
{ 1x+2rJ 6
Uel
Socio C } Dc = VCI + UC2 = 42k
(x+2r+800) 12 UC2
Donde SI. x es el capital inicial del socio A y r la razón aritmética
de los capitales iniciales.
La relación proporcional a utilizar es:
Utilidad = k
Capital Aportado – Tiempo
Al finalizar el negocio (1 año) el. capital social o sea el aportado
por los socios asciende a:
Capital Social = 20000 + 15 000 + 40000 = $ 75 000
El monto esta formado por:
Monto = Capital + Utilidad
$ 15700 = $ 75 000 + Utilidad
De donde Utilidad = $ 82 000
Esta utilidad es la que se debe repartir entre los socios de
acuerdo a sus aportaciones.
l. Reparto de utlUdades y monto de cada socio.
Siendo:
Utilidad = k
Capital Aportado x Tiempo
UAl UA2 UBl UB2 UCl UC2
10000(3) = 20000(9) = 20000(4) = 15000·8 = 30000(7) = 40000(5)
Simplificando consecuentes tenemos:
UAl + UA2 + UBl + UB2 + UCl + UC2
3 + 18 + 8 + 12 + 21 + 20
De donde obtenemos:
UAl = $ 3000. UA2 = $ 18000 ~ UA = $ 21000
UBI = $ 8000. UB2 = $ 12000 ~ UB = $ 20000
UCl = $ 21000. UC2 = $ 20000 ~ Uc = $ 41000
Montos: Monto del socio A = 2 ’0000 + 2 1000 = $ 41 000
Monto del socio B = 15 000 + 2 0000 = $ 35 000
Monto del socio C = 4 0000 + 41 000 = $ 81 000
2. Tasa Mensual de Ganancia
La tasa es igual para .todos los socios y cualquiera de sus etapas
de aportación. Por ejemplo.
SOCIO A:
10 Etapa:
SOCIO B:
1 a Etapa:
Capital = $ 10000 . Tiempo = 3 meses
Ganancia VAl = $ 3000
Ganó en 1 mes = $ 1000 <> 10% de $ 10000
Tasa = 100/0 Mensual
Capital = $ 15000. Tiempo = 8 meses
Ganancia = $ 12000 = VB2
Ganó en 1 mes = $ 1500 <> 10% de $ 15000
Tasa ==’ 10% Mensual
Compruebe Vd. Tomando cualquier socio y una de sus etapas.
VAl VA2 VBI
x ·6 = (x+2000)12 = =
(x + r)6 (x+ 2r)6
V C2 = —=—– (x + 2r + 800) 12
Sacando 6a a los consecuentes y aplicando la propiedad
fundamental cada 2 razones:
VA V B V c
–~~- = —~~– = ~–~— 3x + 4000 3x + 3r + 2400 3x + 6r + 1600
Siendo UA = 25K. ~B = 33K . Ue = 42K . Reemplazamos y
tenemos:
25k 33k 42k
~~~- = —-~~— = —-~~— 3x + 4000 3x + 3r + 2400 3x + 6r + 1600
•. . (1)
Eltm1nando k Y aplicando la propiedad fundamental.
33-25 -(3x+4000) = 42-33
(3x + 3r + 2400) (3x + 6r + 1600) – (3x + 3r + 2400)
8 9
3r – 1600 = 3~r–~8~0~0
24r – 6400 = 27r – 14400
r = 8000/3
Reemplazando en la la y 2a razón de la serie (1).
25 33
~–:-=:~=-::—-::-::-~—-::-:-:= 3x + 4000 3x + 8000 + 2400
75x + 260000 = 99x + 132000
128000
=x
24
16000 x = -3-’ entonces el capital de Bes:
x + r = 16000 + 8000 = SI. 8000
PROBLEMAS PROPUESTOS

3.5 CLAVE DE RESPUESTAS ‘
De los problemas propuestos
I ~ I : I ~ I : I : I : I : I : I : I ~O I
De la autoevaluacl6n
1 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e b b e b b a e d a
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
d a a e a b b d b d