CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son congruentes, si tienen todos sus elementos (lados y ángulos) respectivamente congruentes.

Para que dos triángulos sean congruentes es necesario que cumplan con uno de los siguientes casos generales:

1º Caso (L.A.L.): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y congruente el ángulo comprendido entre dichos lados.

ABC  DEF

2º Caso (A.L.A.): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y congruente el lado comprendido entre dichos ángulos.

ABC  DEF

3º Caso: (L.L.L.): Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

ABC  DEF

4º Caso: (L.L.A.): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y congruente el ángulo que se opone al mayor de dichos lados.

ABC  DEF

OBSERVACIONES:
1. Una sola expresión ABC  DEF nos dice a la vez seis cosas, a saber:

2. Si dos triángulos son congruentes, son respectivamente congruentes sus seis elementos; y a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y recíprocamente.

3. Algunos autores no consideran el 4º Caso LLA (Lado, Lado, Angulo), mencionan solamente los tres primeros casos.

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
RECTANGULOS
Están comprendidos en los casos de congruencia ya estudiados, teniendo presente que necesitan sólo de 2 condiciones porque tienen el ángulo recto como ángulo conocido.
1º Caso (C-C) (Cateto, Cateto) LAL Dos triángulos rectángulos son congruentes, si tienen sus catetos respectivamente congruentes.

ABC  DEF

2º Caso (C-A) (Cateto, Angulo) ALA Dos triángulos rectángulos son congruentes, si tienen un cateto y un ángulo agudo respectivamente congruentes.

ABC  DEF

3º Caso (H – A) (Hipotenusa, Angulo) Dos triángulos rectángulos son congruentes, si tienen la hipotenusa y un ángulo agudo respectivamente congruentes.

ABC  DEF

4º Caso (H- C) (Hipotenusa, Cateto) Dos triángulos rectángulos son congruentes, si tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente congruentes. (Caso LLA).

ABC  DEF

TEOREMA DEL TRIANGULO ISOSCELES
En todo triángulo isósceles, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.
THALES DE MILETO (600 A.C.) Uno de los 7 sabio de la antigua GRECIA, demostró que la medida de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. B

Si: AB = BC
Entonces

Demostración:
1) Trazamos la bisectriz BD.
2)  ABD   DBC
por el caso LAL.

A  C L.q.q.d.

NOTA: En el 2º CASO de congruencia de triángulos rectángulos, el ángulo agudo puede ser adyacente al cateto o puede ser opuesto al cateto.

TEOREMA DEL TRIANGULO EQUILATERO
En todo triángulo equilátero, sus tres ángulos internos son congruentes.

A  B  C

Demostración:
1) Por teorema del isósceles.

2) Transitividad de congruencia de ángulos.

A  B  C L.q.q.d.

PROPIEDAD:ABCD es un cuadrado, L1//L2

² = x² + y²

FE = x + y

DISTANCIA DE UN PUNTO
La distancia de un punto a una recta, es la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta.

• La medida de PH es la distancia de P a la recta L.
• Al punto “H” se le denomina pie de la perpendicular.

La distancia de un punto a un segmento, es también la longitud del segmento perpendicular desde el punto al segmento o a la prolongación de dicho segmento. Es decir perpendicular a la recta que contiene el segmento.

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS.
1º TEOREMA DE LA BISETRIZ DE UN ANGULO.
Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.

PA = PB

Demostración:

Caso H-A: OAP  OBP

PA = PB L.q.q.d.

2º TEOREMA DE LA MEDIATRIZ
Todo punto que pertenece a la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento dado.

PA = PB

Demostración:

Caso LAL PMA  PMB

PA = PB L.q.q.d.

NOTA:
Si dos líneas notables coinciden en un triángulo, entonces dicho triángulo es isósceles.
Ejemplo: Los siguientes triángulos son isósceles.

3º TEOREMA:
Los segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son congruentes.

AB = CD

AD = BC

Demostración:
Sean AB y CD dos segmentos paralelos comprendidos entre las paralelas BC y AD. Trazando el segmento BD quedan formados dos triángulos congruentes ABD y BCD (Caso ALA), por lo tanto:

AB = CD AD = BC L.q.q.d.

4º TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una recta paralela a otro lado, dicha paralela divide al tercer lado del triángulo en dos segmentos congruentes. El segmento determinado por los puntos medios de dos lados del triángulo mide la mitad del tercer lado.
Hipótesis:
- M punto medio de AB (AM = MB)
- La recta MN es paralelo al lado AC.

Tesis:
BN = NC, MN =

Demostración:
1) Tracemos ND//AB
Entonces:
AMND es un paralelogramo
AM = ND AD = MN (I)

2) MBN  DNC (ALA)

BN = NC DC = MN (II)

3) AD + DC = AC (III)

4) I y II en III
MN + MN = AC MN= L.q.q.d.

5º TEOREMA
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud.

Hipótesis:
Sea el triángulo ABC
M punto medio de AB
N punto medio de BC

Tesis:
MN//AC
MN = AC/2
Demostración.

1) Prolongamos MN hasta P tal que MN= NP
2) MBN  NCP (caso LAL)

m = mNCP y MB = PC
3) AMPC es un paralelogramo.
MN//AC

2(MN) = MP=AC  MN= L.q.q.d.

6º TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN EL TRIANGULO RECTANGULO.
La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Hipótesis:
 ABC
mABC = 90º
BM = Mediana

Tesis:
BM = AC/2

Demostración:

1) Por el punto M tracemos MN//AB
2) BN = NC (Teorema de los puntos medios)
3) MNB  MNC (Caso LAL)

BM = MC  BM = AC/2

7º PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS DE UN
TRIANGULO.
Las medianas de un triángulo concurren en un punto que dista de cada vértice el doble de la distancia al punto medio del lado opuesto.
Demostración.

1) Prolongar AN hasta P tal que CP//BM

2) BGN  NPC (caso ALA)

GN = NP = a, BG = PC ..(I)

3) Teorema de los Puntos Medios
AG = GP = 2a
GM = = b  PC = 2b …(II)

4) BG = PC = 2b L.q.q.d.

TRIANGULOS NOTABLES

(a: constante)

TRIANGULO DE 30º Y 60º

En un triángulo equilátero ABC de lado 2a, trazamos la altura BH y observamos que AH = HC = a

Teorema de Pitágoras.

X² + a² = (2a)²
X² + a² = 4a²
X² = 3a²
X = a

En el BHC (30º y 60º) el cateto adyacente a 60º mide la mitad de la hipotenusa.

TEOREMA 1
Si un cateto mide la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo agudo adyacente a dicho cateto mide 60º.

 = 60º

Demostración:
1) Trazar la mediana BM
2)  ABM Equilátero

 = 60º L.q.q.d.

TRIANGULO RECTANGULO ISOSCELES
En un cuadrado ABCD de lado, a, trazamos la diagonal BD, observamos que el triángulo BAD es isósceles.

Pitágoras
X² = a² + a²
X² = 2a²

X = a

En el BAD (45º) la hipotenusa es veces el largo de un cateto.
TEOREMA 2
En un triángulo rectángulo isósceles, el cateto es veces el largo de la hipotenusa.

Demostración
Pitágoras
x² + x² = a²
2x² = a²
4x² = 2a²
2x = a

x =

TEOREMA 3
Si la base de un triángulo isósceles es veces el largo de cada uno de los dos lados congruentes, entonces el ángulo opuesto a la base es un ángulo recto.

Cumple Pitágoras
a²+ a² = (a )²

 = 90º

TEOREMA 4
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de 15º y 75º mide la cuarta parte de la hipotenusa.
HC = 2a + a
HC = a (2 + )
AH = 2a – a
AH = a(2 – )

Demostración:
1) Trazamos la mediana BM
BM = ……. (I)
2) BHM (30º y 60º)
BH = ……. (II)
3) I en II
BH =

EJERCICIOS

1. En un triángulo ABC la medida del ángulo exterior en el vértice A es el triple de la medida del ángulo C, además la mediatriz interseca a en P. Calcular BP, si BC – AB = 9.
A) 3 B) 6 C) 9
D) 4 E) 5

2. Él triángulo ABC es isósceles, AB=BC y la altura trazada desde C mide 10. si P es un punto cualquiera del lado , calcular la suma de las distancias de P a los lados congruentes.
A) 5 B) 6 C) 8
D) 10 E) 15

3. En un triángulo ABC,
m< A=105º, m<C=25º y AB = 6. Si la mediatriz de interseca a en P, calcular PC.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7

4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se sabe que AC=10 y m<C=26,5º. calcular la medida de la altura BH.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7

5. En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo agudo mayor y la mediatriz de la hipotenusa se intersecan en un punto sobre el cateto mayor. Calcular la medida de uno de los ángulos agudos.

A) 75º B) 60º C) 53º
D) 45º E) 37º

6. En un triángulo ABC, AB=6 y AC=9. Por B se traza perpendicular a la bisectriz interior . Si N es el punto medio de , calcular PN.

A) 2,5 B) 1 C) 3,5
D) 2 E) 1,5

7. En un triángulo ABC se traza la mediana tal que la m<ABM=50º y m<MBC=65º. Si AB=18, calcular BM. A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E)
8. En un triángulo ABC, en y se ubican los puntos P y Q respectivamente tal que: AC = QC, mABC = 50°; mBAC = 70°; mACP = 55°; calcule la mQPC.
A) 15° B) 30° C)37° d) 45° e) 53°
9. ABC es un triángulo obtusángulo, obtuso en A, se traza la bisectriz interior BD, si mBAC = 2mADB, AB = a y CD = b. Calcular BC.
A) a+b B) 2a+b C) a-b D) a+2b E) 2a+2b

2. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en B, se traza la ceviana interior BF tal que:
m BAC=2m BCA, m FBC=90º, AC=24 y AB =10. Calcule AF.

A) 5 B) 3 C) 4
D) 6 E) 2

3. En un triángulo ABC se traza la mediatriz de que intercepta al lado en “P”. Calcule el máximo valor entero de AB si BP=8 y PC=12.

A) 17 B) 19 C) 20
D) 22 E) 24

4. En un triángulo ABC donde AC=25, se traza perpendicular a la bisectriz interna del ángulo A, luego se une el punto medio “M” de con “E”, calcule AB si EM=4

A) 18 B) 15 C) 16
D) 17 E) 21

5. Calcule “x” en la figura si:
AB = BE y BC =BD

A) 30º
B) 45º
C) 50º
D) 53º
E) 20º

6. En un triángulo rectángulo ABC donde mB= 90º, mC = 22º 30’, AC=20. Calcule la distancia del punto medio de a la hipotenusa.

A) B) C)
D) E)

7. En un triángulo ABC donde m B=150º, m c =10º y la distancia de “C” a la bisectriz del ángulo “A” es 4. Calcule AB.

A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 2

8. En un triángulo ABC donde m A = 48º, se traza la ceviana interior BM tal que: m ABM =18º y AB = MC. Calcule m C.

A) 18º B) 28º C) 37º
D) 48º E) 66º

9. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, “F” es el excentro relativo al lado AC. Calcule FB si la distancia de “F” a AC es 6.

A) B) 9 C) 12
D) E) 8

10. En la figura: ABCD es un cuadrado, las distancias de “B” y “C” a son “b” y “c” respectivamente. Calcule la distancia de “D” a .

A) B) C)
D) E) c

11. Se tiene el cuadrilátero ABCD donde AB=BC, BD=AC y m CAD = 90º. Calcule m BDA.

A) 37º B) 45º C)60º
D) 53º E) 30º

12. En el triángulo rectángulo ABC (m B=90º) donde AB=BC, se ubica el punto interno “P” siendo: m PAB=m PCA y AB=AP. Calcule: m PAC

A) 10º B) 15º C) 18º
D) 20º E) 24º

13. Calcule “x” en la figura.

A) 30º B) 32º C) 35º
D) 40º E) 45º

14. Calcule “x”. Si: AB=DC

A) 40º B) 35º C) 32º
D) 30º E) 25º

15. En el triángulo rectángulo ABC donde AB = BC, se considera interiormente el punto “P” siendo AP = BC y m =15º. Calcule m

A) 20º B) 25º C) 30º
D) 35º E) 40º

16. En la figura, calcule “BC” si: AB =13, AE = 3 y AF = FC.

A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20

17. En el triángulo ABC se traza la ceviana BQ que intercepta a la mediana AP en su punto medio “N” , luego se ubica el punto medio “E” de tal que intercepta a en el punto M. Calcule: MN si BQ= 24

A) 6 B) 3 C) 2
D) 8 E) 5
18. En la figura: AB = BC, m ABC = 40º, m DBA = 20º y m DAB = 10º. Calcule: m ACD.

A) 40º B) 45º C) 48º
D) 50º E) 54º

19. Calcule “” en la figura:
Si: AD = BC

A) 10º B) 12º C) 15º
D) 18º E) 20º

20. En la figura AB = PC, BF = FC, AE = EP. Calcule “x”.

A) 18º B) 19º C) 20º
D) 22º E) 24º

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