CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Llamados Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.

Criterio de divisibilidad entre 3 o 9
Un numeral es divisible entre 3 (o entre 9) si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 (o entre 9).

Ejercicio: Calcular el valor de “x” sabiendo que es divisible entre 9.
Resolución:
Entonces:
6 + 7 + x + 4 + 1 + 4 =
22 + x =

 x = 5

Criterio de divisibilidad entre 11
Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11.

Ejercicio: ¿Cuál es el valor que debe tomar “y” para que el numeral sea divisible entre 11?

Resolución:

Entonces:
1- 4 + y – 1 + 7 =
3 + y =

 y = 8
Criterios de divisibilidad entre potencias de 2
• Un numeral es divisible entre 2; (21) sí y sólo sí su última cifra es par.
• Un numeral es divisible entre 4; (22) sí y sólo sí el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 4.

• Un numeral es divisible entre 8; (23) sí y sólo sí el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 8.

Ejercicio: ¿Qué valor debe asignársele a “z” para que el numeral sea divisible entre 8?

Resolución:

Como 8 = 23 :

 z = 2

Criterios de divisibilidad entre potencias de 5
• Un numeral es divisible entre 5 sí y sólo sí su última cifra es 0 ó 5.
• Un numeral es divisible entre 25 sí y sólo sí el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 25.
• Un numeral es divisible entre 125 sí y sólo sí el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 125.

Ejercicio: ¿Cuál es el valor de la suma de los valores que deben reemplazar a “m” y “n” en el numeral para que sea divisible entre 125?

Resolución:
Como 125 = 53:

Luego: m = 7 ^ n = 5

Criterio de divisibilidad entre 7
Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; … y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 7.

+ – +

Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a” si el numeral es divisible entre 7?

Resolución:

– +
Entonces:
– 2 – 9 – a + 6 + 21 + 2 =
18 – a =

 a = 4

Criterio de divisibilidad entre 13
Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; -3 ; -4 ; -1 ; -3 ; 4 ; 1 ; -3 ; -4 ; … y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 13.

+ – +

Ejercicio: ¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral si es divisible entre 13?
Resolución:

+ – +
Entonces:
1 + 8 + 24 – b – 12 – 0 + 6 =
27 – b =

 b = 1

Criterios de divisibilidad entre 33 ó 99
• Un numeral es divisible entre 33 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; 10 ; 1 ; 10 ; 1 ; … y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 33.
• Un numeral es divisible entre 99 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ;1 ; 10 ; 1 ; 10 ; 1 ; … y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 99.

Ejercicio: Calcular (d + e) si el numeral es divisible entre 99.
Resolución:

10(5) + 1(6) + 10d + 1(0)
+ 10(1) + e =
66 + =
= -66

Luego: d = 3 ^ e = 3

 d + e = 6

Criterio General de Divisibilidad

Sea: N = z …….. edcbax
Para que se cumpla que: N = + r
Es condición necesaria y suficiente:
ar1 + br2 + cr3 + …… = + r
denominando:

“Criterio General de Divisibilidad”

Donde: r1;r2;r3 ……. son los restos potenciales de x, respecto al módulo m. (se considera el resto por defecto o por exceso cuyo valor absoluto sea menor).
Ejemplo:
“Deducir el criterio de divisibilidad por 7”
Solución:
Sea N =
módulo = 7
potencia = 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106;…..
restos = 1; 3; 2; 6; 4; 5; 1
-1 –3 –2 (restos por exceso)
Grupo Periódico = 6
GAUSSIANO = 6

Reemplazando en c.g. de d. Tenemos:
1.a+3.b+2.c-1.d-3.e-2f+….=

Es decir:
“Para investigar la divisibilidad por 7, de derecha a izquierda se distribuyen los coeficientes:

1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2;…..
el resultado debe ser múltiplo de 7”

Algunos Criterios de divisibilidad

Divisibilidad por 3 y 9

Sea: N =
N= +rz + ….+ c + b + a= + r
N= +rz + ….+ c + b + a= + r

Divisibilidad por 7:
(ya analizado)
Divisibilidad por 11:
= + r
 (a+c+e+…)-(b+d+f+…)= + r

Divisibilidad por 2; 4; 8; 16
N =  =
N = N =  =
N =  =
N =  =

Divisibilidad por 5; 25; 125; 625

N =  =
N = N =  =
N =  =
N=  =

¡IMPORTANTÍSIMO!

¿COMO HALLAR RESTOS POTENCIALES?
¡FACIL!
“El residuo anterior se multiplica por la base y se divide entre el módulo”
Ejemplo:
Restos Potenciales de 7 respecto a 11:
P= 70; 71; 72; 73; 74; 75; ………….
R=1;7; ; ; ; ;

Divisibilidad por 13
Módulo = 13
Potencia = 10; 101; 102; 103; 104; 105; 106;….
Restos = 1; 10; 9; 12; 3; 4; 1…
1; -3;-4; -1; 3; 4; 1;…..

Grupo Periódico

Es decir:
“Para investigar la divisibilidad por 13, de derecha a izquierda se distribuyen los coeficientes:
1; -3; -4; -1; 3; 4;….

El resultado debe ser múltiplo de 13”

DE MANERA SIMILAR SE PUEDEN DEDUCIR CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD PARA OTROS NUMEROS

DIVISIBILIDAD COMPUESTA

“Si N es divisible por A y B, lo será por su producto, siempre que A y B.

Tenga como UNICO DIVISOR COMUN la unidad”
 N =
N

 N = etc.
N

“Si N es divisible por A; por B y por C, lo será por su producto, siempre que todas las combinaciones binarias posibles tengan como UNICO DIVISOR COMUN la unidad” por Ejemplo.

N  N =

Ejercicio:

Decir si la proposición es verdadera o falsa:
(1) 12113001054 =
(2) 9446660023 
(3) 1526701234 = +2

Solución:

N = 1 2 1 1 3 0 0 1 0 5 4
3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

4 + 15 –1 + 3 + 3 + 2 – 2 – 3 = 21

21 =  N = (V)

N = 9 4 4 6 6 6 0 0 2 3
(3+6+6+4)-(2+6+4+9)=-2
 N = – 2  (V)

N = 1 5 2 6 7 0 1 2 3 4
1 4 3 1 4 3 1 4 3 1

4 – 9 – 8 – 1 + 28 + 6 – 6 – 20 -1 = -7
 N = -7  + 2 (F)

ECUACIONES DIOFÁNTICAS O DIOFANTINAS

Uno de los objetivos principales de la teoría de la divisibilidad, es el de resolver las ecuaciones diofánticas lineales, llamadas así en honor a DIOFANTO, matemático alejandrino (siglo III a.C.)

Una ecuación diofantina se identifica cuando todos sus términos (constantes y variable) son números enteros. Pueden ser de dos, tres o más incógnitas e incluso mayores que el primer grado; por ejemplo la ecuación diofantina:

Ax² + By² = C² (cuando A = B = 1) es llamada también ecuación pitagórica (Pitágoras estudió este tipo de ecuaciones paralelamente desde el punto de vista geométrico)

Examinemos particularmente la ecuación diofántica en dos variables:

Ax + By = C …… (I)

La condición necesaria y suficiente para que tenga solución (I), es que el MCD de A y B sea un divisor de C.

Sea MCD (A y B) = d, entonces:

Observación:
p y q son PESI (Primos entre sí)
En particular sea xo e yo una solución, entonces:
Axo + Byo = C ….. (II)

Restando miembro a miembro (I) y (II), se obtiene:

A(x-xo) + B(y-yo) = 0

Trasponiendo y ordenando tenemos:

A(x-xo)= B(yo-y); d.P(x-xo)=d.q (yo- y),

entonces
p (x-xo) = q (yo – y) ……… (III)

Luego: p (xo – x) = (Por Arq. Euc.)
xo – x = . Entonces x – xo = q.t1 .. (IV)

También
q (yo – y) = , entonces yo – y = , yo – y = p . t2

Reemplazando en (III) se obtiene:

P . q . t1 = q . p . t2, entonces t1 = t2 = t (entero cualquiera)

En (IV)
x – xo = q . t yo – y = p . t

Pero: q =
x = xo +
Solución general
y = yo –

En particular si A y B son PEPSI (d=1)

x = xo + B .t ; y = yo – A.t . t  ZZ

Ejemplo:

Resolver la ecuación
34x + 38y = 250 …. (I)

Solución:

1. Simplificando al máximo la ecuación, dividiendo miembro a miembro entre el MCD (34 y 38)=2

Entonces:
17 x + 19 y = 125 ………. (II)

2. Convenientemente expresemos la ecuación en función del múltiplo del menor coeficiente.

De (II): + ( + 2) y + 6
 + + 2y = + 6

2(y-3) = , entonces y – 3 =
 y = + 3
En particular si =0, entonces yo = 3
Reemplazando en (II):

17x + 19(3) = 125, entonces xo = 4

La solución general es:

x = 4 + 19t
donde t (entero cualquiera)
y = 3 –17t

Basta reemplazar “t” por valores enteros, para determinar todas las soluciones posibles, así:

t …… -2 -1 0 1 ……
x …… -34 -15 4 23 ……
y …… 37 20 3 -14 ……

EJERCICIOS

1. ¿Cuántos Valores puede tener “n” para que: sea divisible entre 2?

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

2. Para que: , la suma de los valores de “a” es:

a) 7 b) 10 c) 12
d) 15 e) 18

3. Si al ser dividido entre 9 el resto obtenido es 4. Hallar “a”

a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

4. Calcular el resto de dividir:
entre 7

a) 2 b) 4 c) 6
d) 5 e) 3

5. Si se multiplica por 11 se obtiene . Hallar. a + b + c

a) 16 b) 14 c) 12
d) 10 e) 7

6. Hallar: a.b
Si:

a) 4 b) 6 c) 8
d) 12 e) 20

7. Hallar el valor de 10.a si el número de la forma: al ser dividido entre 7 de cómo resto por exceso 4.

a) 40 b) 30 c) 50
d) 60 e) 80
8. Determinar el menor número de la forma. que sea divisible por 36. Dar como respuesta:
x + y

a) 7 b) 18 c) 2
d) 1 e) 6

9. Si:
Hallar la suma de todos los valores posibles de “b”

a) 12 b) 13 c) 14
d) 20 e) 25

10. Al dividir entre 36 el residuo es 34. Calcular: a + b

a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12

11. Determinar el mayor numeral de la forma que es múltiplo de 35 e indicar el valor de a.b

a) 10 b) 35 c) 45
d) 40 e) 30

12. Calcular el residuo de dividir entre 7 sabiendo que
a) 2 b) 6 c) 1
d) 5 e) 3

13. Si.
Calcular “x”

a) 3 b) 2 c) 3
d) 1 e) 5

14. Si: ¿Qué residuo se obtendrá al dividir entre 13?

a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 8

15. Sabiendo que:

Hallar “a”

a) 2 b) 3 c) 4
d) 7 e) 8

16. Hallar el mayor número de 3 cifras que sea igual a 27 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la cifra de orden 1

a) 4 b) 6 c) 8
d) 2 e) 3

17. Hallar el residuo que se obtiene al dividir: entre 11

a) 0 b) 1 c) 3
d) 5 e) 4

18. Sabiendo que :

¿Cuál es el residuo de dividir entre 9?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4

1. La suma de trece números enteros consecutivos es de la forma . Halle el mayor de los números.

A) 363 B) 368 C) 369
D) 375 E) 374

2. Si un número de 4 dígitos donde sus 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7. Halle la diferencia.

A) 777 B) 1 554 C) 2 331
D) 4 662 E) 6 993

3. Si:

Calcule el menor valor de:
(a + b + c)

A) 16 B) 10 C) 15
D) 12 E) 14

4. Se cumple:

Calcule: m x n x p

A) 72 B) 81 C) 90
D) 126 E) 162

5. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras no son múltiplos de 495?

A) 872 B) 890 C) 896
D) 898 E) 899

6. Si:
Halle “a”

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

7. Halle: si:
y

A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 20

8. Sabiendo que:

.

Halle la expresión:

A) 50 B) 52 C) 54
D) 56 E) 58

9. El número de la forma: al ser dividido entre 4; 9 y 25 deja como residuo 2; 4 y 7 respectivamente. Halle “a”.

A) 6 B) 4 C) 3
D) 2 E) 0

10. Halle el residuo que se obtiene al dividir: Entre 11.

A) 2 B) 3 C) 4
D) 1 E) 6

11. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son divisibles por 99 pero no por 15?

A) 8 B) 9 C) 10
D) 7 E) 11

12. Halle el residuo de dividir el número 5678…979899 con 11.

A) 5 B) 6 C) 7
D) 2 E) 4

13. Halle el residuo de dividir el número 13579…959799 con 9.

A) 6 B) 7 C) 3
D) 1 E) 0

14. Halle el resto de dividir el número: Entre 7.

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0

15. Se tiene el numeral es divisible por 8 y que al ser dividido entre 11, el residuo es 10; y al ser dividido entre 9 el residuo es 2. Halle el mayor valor de: (a + b + c).

A) 10 B) 12 C) 14
D) 16 E) 17

16. Se sabe que

Calcule el residuo de dividir N entre 11. Si

A) 5 B) 3 C) 8
D) 2 E) 1

17. Halle el residuo de dividir con 10 el número

A) 0 B) 1 C) 3
D) 6 E) 8

18. ¿Cuántos valores puede tomar “a” si el número de 16 cifras es divisible entre 8?

A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 7

19. Calcule “a x b”; si es divisible entre 10 y al ser dividido entre 8 el resto es 2.

A) 4 B) 15 C) 35
D) 21 E) 5

20. Un animalito va de “A” hacia “B” dando saltos de 15 cm y regresa dando saltos de 16 cm. Después de haber recorrido 1,22 m se detiene. ¿Cuánto le falta para llegar al punto A?

A) 48 cm.
B) 42 cm.
C) 52 cm.
D) 58 cm.
E) menos de 40 cm.

21. Si . Con “n” mínimo. ¿Cuál será el residuo por exceso que se obtiene al dividir entre 26 al menor número de 5 cifras diferentes de la base n?

A) 8 B) 12 C) 14
D) 16 E) 10

22. Un niño si cuenta sus canicas agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2 canicas; si las cuentan de 6 en 6 le sobran 3; y si las cuentan de 8 en 8 le faltan 5; por lo que decidió agruparlos de 9 en 9, así no le sobra ninguna canica. Si la cantidad de canicas se encuentra entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas tiene el niño?

A) 438 B) 480 C) 483
D) 485 E) 603

23. ¿Cuál es la suma de las cifras del mayor número entero de tres cifras, tal que si se le resta la suma de sus tres cifras el resultado es divisible por 13?

A) 26 B) 20 C) 15
D) 23 E) 24

24. ¿Cuántos números de dos cifras hay, que al elevarse al cuadrado y al ser divididos entre cinco dejan resto cuatro?

A) 18 B) 48 C) 32
D) 45 E) 36