DIAGRAMAS DE VENN EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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1. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?

A) 24 B) 30 C) 32
D) 36 E) 40

2. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?

A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12

3. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?

A) 32 B) 30 C) 28
D) 26 E) 34

4. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito.
* Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30.
* Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27.
* Los que practican atletismo y fulbito son 7.
* Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15.
* Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo.
* 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito.
* Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4.
¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno?

A) 21 B) 17 C) 19
D) 2 E) 18

5. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:

n(A  B) = 21
n(B  C) = 25
n(C  A) = 32
3n (ABC) = n(ABC
Hallar:

A) 93 B) 95 C) 87
D) 77 E) 91

6. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar:

A) AC B) BC
C) U D) (A  B)C
E) (A  B)C

7. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios?

A) 15 B) 10 C) 20
D) 24 E) 15

8. En una encuesta a los estudiantes se determinó que:

* 68 se portan bien
* 160 son habladores
* 138 son inteligentes
* 55 son habladores y se portan bien
* 48 se portan bien y son inteligentes
* 120 son habladores e inteligentes
* 40 son habladores, inteligentes y se portan bien.

¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente?

A) 10 B) 20 C) 40
D) 12 E) 8

9. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas que practican exactamente 2 deportes, entonces el valor de (xy) es:

A) 9 B) 10 C) 12
D) 15 E) 16

10. Dado el conjunto universal “U” y los subconjuntos A, B y C; se tiene los siguientes datos:

n(U) = 44 n(BC) = 12
n(AC) = 14 n[(ABC ]=6
n(ABC) = 5 n(B) = 17
n(A) = 21 n(ABC ) =3

Hallar n(C)

A) 31 B) 27 C) 29
D) 26 E) 28

11. En un grupo de 80 estudiantes, se encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en número de 72, distribuidas de la siguiente manera:

* Alemán solamente 25
* Español solamente 12
* Francés pero no alemán ni español, 15
* Alemán y francés 10
* Alemán y español 8

Además los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. Determinar cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 lenguas.

A) 14 B) 20 C) 12
D) 8 E) 18

12. En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se obtuvo la siguiente información: todos los hombres tenían más de 20 años, 25 de las mujeres eran casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de 20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Si hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la diferencia entre el número de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres solteras con menos de 20 años.

A) 5 B) 10 C) 15
D) 18 E) 8

13. ¿Qué operación representa el gráfico?

A) [(AC)(BC)]  C
B) [(AB)(BA)]C
C) C (AB)
D) (CA)  (CB)
E)

14. En un colegio hay 35 niños. Cada uno de ellos tiene una bandera que puede ser monócroma, bicolor o tricolor, habiéndose usado únicamente 3 colores: rojo, amarillo y azul. El número de banderas bicolor es el doble del número de banderas monocromas, mientras que el número de banderas que tienen el color rojo es igual al número de banderas que tienen el color azul e igual al número de banderas que tienen el color amarillo. Si sólo 8 niños tienen banderas tricolor y dos alumnos banderas color amarillo. ¿Cuántas banderas bicolor rojo – azul hay?

A) 2 B) 3 C) 5
D) 7 E) 10

15. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es el doble de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física y además a los que les gusta física pero no aritmética ni álgebra es el triple de los que les gusta álgebra pero no aritmética ni física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmética pero no álgebra ni física, si a 24 personas le gusta solamente un curso y además el total de personas que gusta de al menos un curso es 36.

A) 5 B) 8 C) 12
D) 4 E) 10

16. A, B y C son conjuntos contenidos en un mismo universo, simplifique la siguiente expresión:

E = {{[(A  B)  (A  B )]  (A  B )} 
(C  A)}  {((A  C)  (A  C)}

A) AC B) B C) A
D) AC E) C

17. De 60 personas se sabe:

* 6 hombres tienen 20 años
* 18 hombres no tienen 21 años
* 22 hombres no tienen 20 años
* Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años.

¿Cuántas mujeres no tienen 20 años?

A) 18 B) 20 C) 24
D) 22 E) 28

18. De un grupo de personas se sabe lo siguiente:
* Algunos provincianos son casados.
* Todos los profesores no son provincianos.
* Ninguno de los que tienen hijos es profesor
* Todos los casados tienen hijos
* 9 personas no son provincianas, ni casadas, pero tienen hijos.
* Hay 12 profesores y son tantos como el número de casados
* De los 25 provincianos, 15 tienen hijos.
* 5 casados no son limeños
* 10 limeños no son profesores ni tienen hijos.
¿Cuántas personas conforman el grupo y cuántos no tienen hijos, ni son profesores?

A) 63 y 20 B) 57 y 10
C) 59 y 23 D) 64 y 9
E) 63 y 22

19. En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero no el tercero; 19 el tercero, pero no los dos primeros.
¿Cuántos aprobaron por los menos dos exámenes?

A) 19 B) 38 C) 24
D) 27 E) 29

20. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne?

A) 15% B) 23% C) 20%
D) 10% E) 30%
PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si: A = 5,6,5,6,8
¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
- 5  A – 6  A
- 6  A – 7  A
- 5  A – 6  A
- 5,6  A – 6,8 A
- 8  A –   A

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) Todas

2. Dados los conjuntos:
A = 1,2, 1,2,3
B = 2,1, 1,3,3
Hallar el conjunto:
[(A-B)  B]  (B-A)

a) 1 b) 3 c) 1,3
d) 2,3 e) 1,2,3

3. De un grupo de 100 estudiantes se obtuvo la siguiente información: 28 estudian Inglés; 30 estudian alemán, 42 estudian francés; 8 inglés y alemán; 10 inglés y francés: 5 alemán y francés; 3 los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes no estudian ningún idioma?

a) 15 b) 25 c) 10 d) 30 e) 20

4. Una persona come pan con mantequilla o mermelada cada mañana durante el mes de febrero; si 22 días comió pan con mermelada y 12 días con mantequilla. ¿Cuántos días comió pan con mermelada y mantequilla?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 5

5. En una competencia atlética con 12 pruebas participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medalla de oro plata y bronce; 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce; 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medalla?

a) 18 b) 20 c) 23 d) 24 e) 25

6. De una reunión de 100 personas se sabe de ellas que 40 no tienen hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres solteros?

a) 30 b) 35 c) 40 d) 20 e) 25

7. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones, para conjunto, son correctas?
* A-B = A  B´
* AB = (A  B)  (A  B)
* (AB)´ = A´  B´
* n(A- B) = n(A) -n(B)
* n[(A  B)]´ = n()-n(A  B)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Para los conjunto A y B se tienen que: A  B tiene 128 subconjuntos, A-B tiene 64 subconjuntos y A x B tiene 182 elementos. Determinar el cardinal de A  B.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

9. Durante el mes de febrero, Juan visitó a su enamorada, fue a la Universidad o trabajo. Si no hubo día en que se dedicara a sólo dos actividades y además visitó 12 días a su enamorada, fue a la universidad 18 días y trabajó 20 días ¿Durante cuántos días sólo trabajó?

a) 1 b) 7 c) 9 d) 11 e) 6

10. Considere 3 conjuntos A,B y C contenidos en U, tales que:
* B  A = B
* n(C- A) =50
* n(A  C) = 2n(B-C)
* n[(A  B)C - C] = n(c) = 90
Hallar: n[U]

a) 120 b) 150 c) 180
d) 200 e) 100

11. En una reunión hay 150 personas. Un grupo de ellos se retiran con sus respectivas parejas, de los que quedan los 2/9 son mujeres y los 3/14 son varones solteros.
¿Cuántas mujeres asistieron en total?

a) 28 b) 30 c) 36 d) 40 e) 48

12. En una tienda se observó que el total de personas era 50, de las cuales:
* 6 vendedores usaban bigotes
* 4 vendedores usan mandil
* 32 vendedores no usan mandil
* 8 personas usan bigotes
* 9 personas usan mandil
¿Cuántos no son vendedores, ni usan mandil, ni bigotes?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

13. Sean los conjuntos:

Calcular n [P(A  B)]

a) 216 b) 29 c) 212
d) 219 e) 221

14. En el distrito de Bellavista – Callao se realizó una encuesta a 140 familias sobre el uso de algunos de los siguientes artefactos: TV, radio, refrigeradora. Se obtuvo la siguiente información: 85 familias tiene por lo menos 2 artefactos y 10 familias no disponen de ningún artefacto. ¿Cuántas familias tienen exactamente un sólo artefacto?

a) 35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55

15. A y B son dos conjuntos tales que:
n(A  B) = 12; n(A  B) = 7;
n(A) = n(B) + 1; sabiendo que: n(A – B) = n([A  B)´ ].
Calcular ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A?

a) 3 b) 7 c) 15 d) 31 e) 63

16. ¿Cuántos de los 1600 alumnos están inscritos en teatro pero no en canto, sabiendo que: 600 están inscrito en teatro, 650 en canto, 250 en teatro y baile, 350 en canto y baile, 200 en teatro y canto; 950 en baile, 150 llevan los 3 cursos?

a) 400 b) 450 c) 500
d) 550 e) 600

17. Simplificar la expresión conjuntista:
[A (CA)][BC)CA)][B(ABC)]

a) A b) B c) BC
d) A  BC e) A  B

18. En un vagón de tren se realizan una encuesta sobre el uso de cigarrillos. De los 41 pasajeros, 21 personas están sentadas y hay 16 mujeres en total; de los que fuman 5 hombres están sentados y 2 mujeres están paradas; de los que no fuman 8 mujeres están sentadas y 10 hombres están parados. Hallar cuántas mujeres que están paradas no fuman si los que fuman en el total suman 19.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
OBJETIVOS:
• Realizar correctamente operaciones entre conjuntos
• Utilizar de manera eficaz las leyes del álgebra de conjuntos.
• Resolver problemas utilizando los diagramas de Veen-Eulery Lewis Carroll.

Diagramas de Venn – Euler
Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano limitado por una figura geométrica cerrada en cuyo interior se indican los “elementos” que forman el conjunto

Ejemplo: A a,b,c,d,e
A
. a . b
. c . d
. e

Diagrama (Lewis – Carroll)
Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor de “Alicia en el país de las Maravillas” utilizando un lenguaje lógico – matemático utiliza el Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo partición del universo.

Ejemplo:
H : Hombres
M : Mujeres
S : Solteros
C : Casados
F : Fuman

Diagrama Lineal – Hasse
Utiliza segmentos de línea y es utilizado en conjuntos transfinitos e infinitos

Ejemplo:

Diagrama Lineal Diagrama Hasse

Operaciones con Conjuntos
I. Unión o Reunión
La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”.
Notación A  B, (A  B)

Simbólicamente se define

A  B = x/x  A v x  B

Posiciones relativas para 2 conjuntos A y B

 A  B

Observación: Si B  A  A  B = A

Propiedades:
• A  B = B  A (Conmutativa)
• A  (B  C) = (A  B)  C (Asociativa)
• A  A = A (Idempotencia)
• A  U = U
• A   = A (Elemento Neutro)

II. Intersección
La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.

Notación: A  B, (A  B)
Simbólicamente se define:
A  B = x/x  A  x  B

Observación:  equivale y: Intersección

Posiciones relativas para 2 conjuntos “A” y “B”

A  B = 

A  B

Observación:
* Si B  A  A  B = B
* Si A y B son conjuntos disjuntos  A  B = 

Propiedades:
• A  B = B  A (Conmutativa)
• A  (B  C) = (A  B)  C (Asociativa)
• A  A = A (Idempotencia)
• A  U = A
• A   =  (Elemento Neutro)

Propiedades Complementarias
Distributiva
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Absorción
A  (A  B) = A
A  (A  B) = A
A  (A´ B) = A  B
A  (A´ B) = A  B

(A  B)  C  A  C y B  C

Si: A  B y C  D  (A  C)  (B  D)

III. Diferencia
La diferencia de 2 conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”

Notación: A – B
Se lee: “A pero no B” (solo A)
Simbólicamente
A – B x/x  A  x  B
Observación:
Si A  B  A – B  B – A
Si A = B  A – B = B – A = 
Posiciones Relativas para 2 conjuntos A y B

 A – B

Observación:
• Si B  A  B – A = 
• Si A y B son disjuntos

A – B = A ; B – A = B

Ejm:
A = 2,3,4 A – B = 2
B = 3,4,5,6 B – A = 5,6

IV. Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos a “A” o “B” pero no a ambos. Notación: A  B
Simbólicamente se define:

A  B = x/x  (A – B)  X  (B – A)

ó
A  B = x/x  A  X  B  X  A  B

Observación:
Si B  A  A  B = A – B
Si A y B son conjuntos disjuntos
A  B = A  B

Propiedades
• A  B = (A – B)  (B – A)
• A  B = (A  B) – (A  B)
• A  A = 
• A   = A
Ejm:
A = 2,3,4
B = 4,5,3 A  B = 2,5

V. Complemento
El complemento de A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no a “A”.
Notación: A´, , Ac, C A
Simbólicamente:
A´ = x/x  U  x A = U – A

Diagrama

Observación:
C = B – A

Propiedades

1. (A´)´ = A Involución

2. ´ = U
U´ = 

3. A – B = A  B´

4. A  A´ = U
A  A´ = 

5. Leyes de Morgan

(A  B)´ = A´  B´
(A  B)´ = A´  B´

6. Caso particular de la Absorción

A´  (A  B) = A´  B
A´  (A  B) = A´  B

Observación
1. n () = 0
2. n(AB) = n(A) + n(B)–n(AB)
3. Si A y B son conjuntos disjuntos n(AB) = n(A)+ n(B)
4. n (A  B  C) = n(A) + n(B)+ n(C)–n(A  B)–n(A  C)–n(BC) + n(A  B  C)

Par Ordenado
Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el ordenamiento de estos elementos llamados también componentes
(a, b)
Segunda Componente
Primera Componente

Propiedad:
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales.
Es decir:

(a,b) = (c,d)  a = c  b = d

Ejemplo:
Aplicación
Si (x + y, 13) = (31, x-y)

Hallar:

Resolución
Si (x + y; 13) = (31; x – y)
x + y = 31
x – y = 13
 x =
y =

Luego: Rpta.

Producto Cartesiano
Dados 2 conjuntos A y B no nulos se denomina producto cartesiano de A y B (A x B) en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto a y las segundas componentes al conjunto B.

A x B = a,b/a  A  b  B

Ejemplo: Dados los conjuntos A y B
A = a, b
B = c,d
Forma Tabular:
A x B = (a,c), (a,d), (b,c), (b,d)
B x A = (c,a), (c,b), (d,a), (d,b)

Observamos que:
1. A x B  B x A en general
2. A x B = B x A  A = B
3. n (A x B) = n (A) x n (B)
A y B son conjuntos finitos
4. n AxB–BxA=n AxB-nAxBBx A

Propiedades
a. A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
b. A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
c. A x (B – C) = (A x B) – (A x C)
d. Si: A  B  A x C  B x C , C
e. Si: A  B y C  D

Interpretación de Regiones Sombreadas

“Sólo A”, “exclusivamente A”
o “únicamente A”. (A – B)

“Ocurre A o B”; A  B
“Al menos uno de ellos” o
“Por lo menos uno de ellos”

A  B, “ocurre A y B”
“Ocurre ambos sucesos a la vez”
“Tanto A como B”

“Ocurre solo uno de ellos”
“Únicamente uno de ellos”
“Exactamente uno de ellos”

“Ocurre exactamente dos de ellos”
“Sucede únicamente dos de ellos”

(B  C) – A
(ocurre B o C pero no A)

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dados los conjuntos
A = 6,2,  y
B = , , 2, 6
Hallar P(A)  B
Resolución
Como A = 6,2, 

 P (A) = 6, 2, 
6,2,6,,2,
A, 

Además B = , , 2, 6
Luego: P(A)  B = , 2, 6 Rpta.

2. Dado el conjunto A
A = 1,2,2, 1,2
Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
I. 1,2  A
II. 1,2  P (P(A))
III. , 2  P (A)

a) VVV b) VFV c) VFF
d) FVV e) VVF
Resolución
Analizando cada caso
I. 1,2  A
 1  A  2  A = Verdadero

V V
II. 1,2  P(P(A))
 1,2  P(A)
 1, 2  P(A)
 1, 2  P(A)
 1, 2  A
 1  A  2  A = Verdadero

V V
III. , 2  P(A)
 , 2  A
   A  2  A  Falso Rpta. E

F V
3. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de Aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no llevan álgebra ni aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos?

a) 56 b) 54 c) 52 d) 50 e) 48
Resolución
Sea A : Aritmética
X : Algebra
n(A´) = 49  n (A) = 100 – 49 = 51
n(X´) = 53  n (B) = 100 – 53 = 47

Gráficamente

Llevan un solo curso
Por dato:
c + 27 = 49  c = 22
a + 27 = 53  a = 26
Luego a + c = 48 Rpta. E

4. Durante un examen se observó en un aula que 15 alumnos miraban al techo y no usaban lentes, 10 usaban lentes y resolvían el examen. El número de alumnos que usaban lentes y miraban al techo era el doble de los que resolvían el examen y no usaban lentes. Si en el salón había 85 alumnos. ¿Cuántos resolvían su examen? (considere que los que no resolvían su examen miraban al techo)

a) 20 b) 25 c) 24 d) 30 e) 36

Resolución: Gráficamente:

En total:
3a + 25 = 85
3a = 60
a = 20
 Resuelven el examen 30 Rpta. D

5. Dados los conjuntos A, B y C

A = 1,2,3,4,5,6,….,21,22
B = x  A / x es un número primo
C = x  A/ x es un número impar
Y las proposiciones:
I. B  C = 1,2,9,15,21
II (B  C) tiene “7 elementos”
III n (C – B) – n (B – C) = 2
IV. n A – (B  C) = 9

Son verdaderas:
a) I, II y III b) I, III, IV
c) II, III y IV d) I, II y IV
e) I y II

Resolución
A = 1,2,3,4,5,6,….,21,22
B = 2,3,5,7,11,13,17,19
C = 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21

Graficando
A

Luego:
I. B  C = 1,2,9,15,21  (V)
II n(B  C) = 7  (V)
III. n (C – B) – n (B – c) = 2

4 1 = 3  (F)
IV. n(A – (B – C)) = 9  (F)
n(A – (B  C)) = 10 Rpta. E

6. Si
A = x es impar /6 < x  11
B =
Calcular n P(A x B) – (B x A)
a) 220 b) 222 c) 224
d) 226 e) 228
Resolución:
A = 7,9,11
B =
B = 0,1,2,3,….,9

nAxB – BxA = nAxB – n AxB  B x A
nAxB – BxA = 3 x 10 – 2 x 2 = 26
nPAxB – BxA = 226

7. De 308 personas interrogadas, se determinó que el número de los que leen solamente “EL AMAUTA” y “EL VOCERO” es:
* de los que leen solo “EL AMAUTA”
* de los que leen solo “EL MERCURIO”
* de los que leen solo “EL VOCERO”
* de los que leen “EL AMAUTA” y “EL VOCERO”
* de los que leen “EL VOCERO” y el “MERCURIO” solamente.
* de los que leen “EL AMAUTA” o “EL MERCURIO” pero no “EL VOCERO”

Si todas las personas interrogadas leen al menos uno de estos diarios. ¿Cuántas de estas personas leen o bien “EL AMAUTA” o bien “EL VOCERO”?
a) 110 b) 121
c) 132 d) 99 e) 120

Resolución:
Gráficamente:

28a = 308
 a = 11
11
Nos piden
3a + 7a = 10a = 110
 Rpta. A

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