ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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CONCEPTO: Expresión general de los arcos que tienen una misma función trigonométrica.

1. En el caso de las funciones trigonométricas Seno y Csc usaremos

Donde:
G = Exp. General de los arcos (ángulos)
n = Nº entero
p = Valor principal del arco para calcular p usaremos el rango del arco Seno.

2. En el caso de las funciones trigonométricas Cos y Sec usaremos:

Para calcular el valor principal del arco (p) usaremos el rango del arco Cos.

3. En el caso de las funciones trigonométricas tg y Ctg usaremos.

G = n  + p

Para calcular el valor principal del arco usaremos el rango del arco tg, o arco Ctg.

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Son igualdades entre las funciones trigonométricas de una cierta variable (una sola incógnita), dichas igualdades se satisfacen solamente para algunos valores que puede tomar la función trigonométrica, es decir deberá estar definida en dicho valor (la ecuación trigonométrica puede tener 2 o más incógnitas)

A los valores que cumplen con la ecuación trigonométrica se les conoce como soluciones o raíces.

Ejemplo de como obtener las soluciones de una ecuación trigonométrica:

Resolver: Senx =
G P = arc Sen  P =
 x = n + (-1)n SOLUCION GENERAL

Si n =0 x = SOLUCION PRINCIPAL
n = 1 x =  – =
SOLUCIONES PARTICULARES
n = 2 x = 2+ =

2. Resolver: Cos 2x = –

G
P = arc Cos 
P =
2x = 2n 
x = n  SOLUCION GENERAL

Si n = 0 x = SOLUCION PRINCIPAL
x = –
n = 1 x = =

SOLUCIONES PARTICULARES
x = =

3. Resolver:
Tg

G P =
3x + = n +
3x = n +
x =

EJERCICIOS RESUELTOS

1. 2Senx – Csc x = 1

RESOLUCIÓN
2Senx –

2Sen²x – Senx – 1 = 0

2Senx = 1
Senx = -1
(2Sen x + 1) (Senx – 1) = 0
i) Senx = –
x = n + (-1)n .
x = n – (-1)n
ii) Senx = 1
x = n + (-1)n

2 Sen²x =

RESOLUCIÓN
(1 – Cosx) (1+Cosx) =
Queda:
1 + Cosx = 3/2
Cos x = 1/2
x = 2n 
Pero  1 – Cosx = 0
Cosx = 1
X = 2n 
3. Senx – Cosx =
Senx – Cosx =
Senx . Cos
Sen
x – = n + (-1)n
x = n + (-1)n +
i) n = 2k
x = 2k +
x = 2k +

ii) n = 2k + 1
x = (2k + 1)  –
x = 2k +
4. 2Cos 2x – Sen3x = 2

RESOLUCIÓN
2(1-2Sen²x) – (3Senx – 4Sen3x) = 2
4Sen²x – 4Sen²x – 3 Senx = 0
Sen x (4Sen² x – 4 Senx – 3) = 0
Senx (2Sen x – 3) (2Senx + 1) = 0

i) Sen x = 0
x = n
ii) Senx = –
x = n – (-1)n
iii) Sen x =  ABSURDO

5. Senx + Sen2x + Sen3x = Cosx + Cos2x + Cos3x

RESOLUCIÓN
2Sen2x . Cosx + Sen2x = 2 Cos2x . Cosx + Cos2x
Sen2x (2Cosx + 1) = Cos2x (2Cosx + 1)
Queda:
Sen2x = Cos 2x
Tg 2x = 1
G p =
2x = n+ x =
Pero  2Cosx + 1 = 0
Cosx = – ½
G p =

x = 2n  2/3

6. 4 Sen²x – 3 = 0 Siendo 0  x  2

RESOLUCIÓN
Sen²x =
Senx = 
i) Senx =
IQ  = x =
IIQ  =  – =
IIIQ x =  + =
Si: Senx = –
IVQ x = 2 – =
7. La suma de soluciones de la ecuación
Cos2x + Sen² – Cos² = 0 ; Si: O  x   es:

RESOLUCIÓN
Cos2x – (Cos² – Sen² ) = 0

2Cos²x-1- Cosx = 0

2Cos²x – Cosx – 1 = 0

(2Cosx+1) (Cosx-1) = 0

i) 2Cosx + 1 = 0  Cosx = -½

IIQ  x =  – =
IVQ  x =  + = no es solución
ii) Cos x = 1

x = 0, 2. “2 ” no es solución
Suma =

8. 4Cos² 2x + 8 Cos²x = 7,
si x  0,2]

RESOLUCIÓN
4Cos² 2x + 4 x 2Cos²x = 7

(1+Cos2x)
4Cos²1x + 4Cos2x – 3 = 0

(2Cos 2x+3)(2Cos 2×-1) = 0

i) Cos 2x = – No existe
ii) Cos2x =

IQ : 2x = x =

IVQ: 2x= 2 – x =

9. Dar la menor solución positiva de:
Tgx = Tg

RESOLUCIÓN
Tgx = Tg (x+10º) . Tg (x+10º) . Tg (x+30º)

Tg (x+10º) Tg (x+20º)

Proporciones

2Sen(2x+30º)Cos(2x+30º) = 2Sen30º Cos10º

Sen (4x + 60) = Cos 10º
4x + 60º + 10º = 90º

x = 5º

EJERCICIOS

1. Resolver ; x   0 ; 2 
a) b)
c) d)  /4 ; /2 e)

2. Resolver si : x   0 ; 2 

a) 53° ; 127° b) 53° ; 233°
c) 75° ; 225° d) 75° ; 105°
e) 45° ; 135°

3. Resolver e indicar la solución general:
a) b)
c) d)
e)

4. Resolver :
Encontrar las tres primeras soluciones positivas.

a) 32° ; 68° ; 104°
b) 31°; 62°; 102°
c) 32° ; 64° , 106°
d) 32° ; 68° ; 102°
e) 32°; 66° ; 108°

5. Resolver :

a)
b) c)
d) Ay E
e)

6. Resolver :

a) /8 b) /4 c) /6 d) /12 e) /7

7. Resolver:
a)
b) b)
c) c)
d)
e)

8. Resolver : ; x  < 0 ; 600°>

i. 45° , 225° , 405° ; 850°
ii. 45° ; 125° ; 405° ; 495°
iii. 135° ; 225° ; 495° ; 585°
iv. 135° ; 315° ; 495°
v. 225° ; 315° ; 858°

9. Resolver: Sen2x = Senx

Indicar la solución general.
a) b)
c) d)
e)

10. Resolver :

a) /8 ; 0 b) /6 ; /2 c) /3 ; 0 d) /10 ; /6
e) /12 ; /4

11. Resolver : ;
Si x<180°; 360°>

a) 150° ; 210° b) 240° ; 360° c) 180°; 240°
d) 240° ; 270° e) 210°; 270°

12. Resolver :
Indicar la suma de sus dos primeras soluciones.

a) 180° b) 120° c) 240° d) 360° e) 200°

13. Resolver :

Indicar la tercera solución positiva.

a) 180° b) 270° c) 390° d) 720° e) 450°

14. Resolver :
Hallar el número de soluciones en

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Resolver :

Indicar la tercera solución.

a) 210° b) 360° c) 420° d) 520° e) 650°

16. Resolver e indicar una de las soluciones generales.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. Halle la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la ecuación:

A) 111º B) 133º C) 122º
D) 132º E) 123º

2. Indique el número de soluciones positivas y menores a una vuelta de la ecuación:

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

3. Resolver y dar la suma de soluciones de la ecuación:

A) 450º B) 630º C) 540º
D) 360º E) 300º

4. Halle la suma de las soluciones de la ecuación:
ctg x – csc 2x = 1
Para ángulos positivos menores de 360º

A) 360º B) 630º C) 450º
D) 660º E) 810º

5. Al resolver la ecuación:

donde: , la suma de todas sus soluciones es:

A) 1260º B) 990º C) 650º
D) 720º E) 570º

6. Halle los valores de “x” en el primer cuadrante que verifican la ecuación:

A) 15º y 75º B) 45º y 30º
C) 30º y 60º D) 15º y 30º
E) 18º y 60º

7. Resolver la ecuación: e indicar sus soluciones para

A)
B)
C)
D)
E)

8. Siendo ; Indique la suma de las soluciones.

A) B) C)
D) E)

9. Resolver:
Indique el número de soluciones en el intervalo de

A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9

10. Resolver:
La solución de la ecuación es: (K es un número entero)

A) B)
C) D)
E)

11. Determine la suma de soluciones de la ecuación:

A) B) C)
D) E)

12. Halle uno de los valores de x que satisfacen la ecuación

(K es un número entero)

A)
B)
C)
D)
E)

13. Resolver e indicar la suma de las 2 primeras soluciones positivas de la ecuación:

A) B) C)
D) E)

14. Al resolver la ecuación:
La suma de las soluciones comprendidos entre 0 y 180º será:

A) 360º B) 240º C) 245º
D) 315º E) 325º

15. Al resolver la ecuación:

Calcule la diferencia entre las menores soluciones positivas.

A) B) C)
D) E)

16. Determinar todas las soluciones de la ecuación:

A) B)
C) D)
E)

17. Al resolver la ecuación:
El mayor ángulo negativo x es:

A) 15º B) – 75º C)  45º
D) 87º E) – 39º

18. Resolver la ecuación:

A) { } B) { } C)
D) E)

19. Indique la solución general de la ecuación:

A)
B)
C)
D)
E)

20. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica

A)
B)
C)
D)
E)

21. Resolver la ecuación trigonométrica:

A) B)
C) D)
E)

22. Resolver la ecuación trigonométrica

Indique la suma de las soluciones en el intervalo de

A) B) C)
D) E)

23. Dado el sistema:

Indique una solución general de y

A)
B)
C)
D)
E)

24. Dado el sistema:

Halle: “x” y “y”, si ;

A)
B)
C)
D)
E)