IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable.

Ejemplos
Identidad Algebraica:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Identidad Trigonométrica:
Sen² + Cos² = 1
Ecuación Trigonométrica:
Sen + Cos = 1
Para:  = 90º Cumple
Para:  = 30º No cumple

2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas.
Se clasifican:
• Pitagóricas
• Por cociente
• Recíprocas

2.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS
I. Sen² + Cos² = 1
II. 1 + Tan² =Sec²
III. 1 + Cot² = Csc²

Demostración I
Sabemos que x² + y² = r²

Sen² + Cos² = 1 l.q.q.d.
2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE

I. Tan =

II. Cot =

Demostración I
Tan = L.q.q.d.

2.3 IDENTIDADES RECÍPROCAS
I. Sen . Csc = 1
II. Cos . Sec = 1
III. Tan . Cot = 1

Demostración I

Sen . Csc = 1 L.q.q.d.

Observaciones: Sabiendo que: Sen² + Cos² = 1

Despejando:
Sen² = 1 – Cos²
 Sen² = (1 + Cos) (1-Cos)

Así mismo:
Cos² = 1 – Sen²
 Cos² = (1 + Sen) (1-Sen)

3. IDENTIDADES AUXILIARES
A) Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen² . Cos²
B) Sen6 + Cos6 = 1 – 3Sen² . Cos²
C) Tan + Cot = Sec . Csc
D) Sec² + Csc² = Sec² . Csc²
E) (1+Sen + Cos)² = 2(1+Sen)(1+Cos)

Demostraciones

A) Sen² + Cos² = 1
Elevando al cuadrado:
(Sen² + Cos²)² = 1²
Sen4 + Cos4 +2 Sen² + Cos² = 1 Sen4+Cos4=1–2 Sen².Cos2

B) Sen² + Cos² = 1
Elevando al cubo:
(Sen² + Cos²)3 = 13
Sen6 + Cos6 +3(Sen² + Cos²) (Sen² + Cos²)= 1

Sen6 + Cos6 +3(Sen² + Cos²) = 1  Sen6+Cos6=1-3(Sen².Cos²)

C) Tan + Cot =

1
Tan + Cot =
Tan + Cot =  Tan + Cot = Sec . Csc

D) Sec² + Csc² =

Sec² + Csc² =

Sec² + Csc² =  Sec² + Csc² = Sec² . Csc²

E) (1+Sen + Cos)² = 1²+(Sen)²+(Cos)²+2Sen+2Cos+2Sen.Cos
= 1+Sen² + Cos² + 2Sen.2cos + 2Sen.Cos
= 2+2Sen + 2Cos + 2Sen.Cos

Agrupando convenientemente:
= 2(1 + Sen) + 2Cos (1 + Sen)
= (1 + Sen) (2 + 2Cos)
= 2(1 + Sen) (1 + Cos)

 (1 + Sen + Cos)² = 2(1+Sen) (1+Cos)

4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR
Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son equivalentes, para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos:
1. Se escoge el miembro “más complicado”
2. Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general)
3. Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas.

Ejemplos:

1) Demostrar:
Secx (1 – Sen²x) Cscx = Cotx
Se escoge el 1º miembro:
Secx (1-Sen²x) Cscx =
Se lleva a senos y cosenos:

Se efectúa: =

Cotx = Cotx

2) Demostrar:
Secx + Tanx – 1 1 + Secx – Tanx = 2Tanx

Se escoge el 1º Miembro:
Secx + Tanx – 1 Secx – Tanx + 1 =
Secx + (Tanx – 1) Secx – (Tanx -1)=

Se efectúa
(Secx)² – (Tanx – 1)² =
(1 + Tan²x) – (Tan²x – 2Tanx + 1) =
1 + Tan²x – Tan²x + 2Tanx – 1 =

2Tanx = 2Tanx

5. PROBLEMAS PARA REDUCIR Y SIMPLIFICAR
Ejemplos:

1) Reducir:
K = Sen4x – Cos4x + 2Cos²x
Por diferencia de cuadrados

1

K = (Sen²x + Cos²x) (Sen²x – Cos²x) + 2Cos²x
K = Sen²x – Cos²x + 2Cos²x
K = Sen²x + Cos²x K = 1

2) Simplificar:
E =

E = 
E =  E = 0
6. PROBLEMAS CON CONDICIÓN
Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones.

Ejemplo
Si: Senx + Cosx = . Hallar: Senx . Cosx

Resolución
Del dato:
(Senx + Cosx)² =
Sen²x + Cos²x + 2Senx . Cosx =
1
2Senx . Cosx = – 1
2Senx . Cosx =  Senx . Cosx = –

7. PROBLEMAS PARA ELIMINACIÓN DE ÁNGULOS
La idea central es eliminar todas las expresiones trigonométricas, y que al final queden expresiones independientes de la variable.

Ejemplo:

Eliminar “x”, a partir de: Senx = a
Cosx = b

Resolución
De Senx = a
 Sen²x = a² Sumamos
Cosx = b
 Cos²x = b²

Sen²x + Cos²x = a² + b²

1 = a² + b²