LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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El logaritmo de un número “N” real y positivo (N  0), en una base “b” mayor que cero y diferente de la unidad (b  0  b  1) es el exponente real “a” tal que elevado a la base “b” se obtiene una potencia (ba) igual al número (N).

En efecto observemos los siguientes
ejemplos:

5 es el logaritmo
1. 25 = 32 
de 32 en base 2

-2 es el logaritmo
2. 3-2 = 
de en base 3

6 es el logaritmo
3. = 8 
de 8 en base

en general tendríamos que:

“a” es el logaritmo
Si : ba = N 
de “N” en base “b”

Expresando matemáticamente:

Vemos que: Logaritmo y exponente significa lo mismo siendo la única diferencia las notaciones matemáticas en la cual están representados, así tenemos las formas logarítmicas y exponencial respectivamente, donde una de ellas está ligada a la otra.
Es decir:
1. = N
2. Si:
Debemos familiarizarnos con estas fórmulas a través de los siguientes ejemplos:

i) Paso de la forma exponencial logarítmica

1. Si: 24 = 16  Log 2 16 = 4
2. Si : 5 –3 =  Log 5 = -3
3. Si: = 9  Log 9 = 4

ii) Paso de la forma logarítmica a la forma exponencial

1. Si: Log 625 = 4  5 4 = 625
2. Si: Log = -3  7-3 =
3. Si Log 216 = 6  = 216
Ejercicios:
a. Transforme de la forma exponencial a la forma logarítmica o viceversa según convenga:

1) 27 = 128 2) Log 8 = 3
3) 4-4 = 4) Log 9 = 6
5) 53 = 125 6) Log 49 = 2
7) 35 = 243 8) Log 1 = 0
9) 161/4 = 2 10) Log = 1
b. Aplicando la definición de logaritmo determine “x” en las siguientes ecuaciones:
11. Log 729 = x 20. Log =x
12. Log x = 1 21. Log x = 4
13. Log 8 = 22. Log 3 = 2
14. Log 32 = x 23. Log (x-1) = 3
15. Log 125 = 24. Log 5 = 1
16. Log 2401= x 25. Log 29 = x
17. Log 1 = x 26. Log = x
18. Log x = 1 27.Log (x-2)= 0
19. Log 27 = x 28.Log (x-2)= 1
EXISTENCIA DE LOS LOGARITMOS
Por definición sabemos que:

Donde:
i) N, es el “número”: N  0

ii) b, es la “base”: b  0  b  1

iii) a, es el “exponente” ó logaritmo:
a  R

Nota.- Para hallar el logaritmo de un número debemos tener en cuenta la siguiente relación:

Prob. # 1.- Calcular el logaritmo de en base
Solución:
Igualando a “x” el logaritmo pedido, se tendría:

El problema ahora se reduce a resolver la ecuación exponencial para lo cual se expresa todo en base “5”, es decir:

como : , entonces Tendríamos:

siendo las bases iguales, igualamos los exponentes, es decir:

Rpta.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS

Estas identidades nos permite efectuar cálculos rápidos en logaritmos, tan es así que los problemas anteriores pueden efectuarse por simple inspección.

IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 1
Si el número y la base de un logaritmo se pueden expresar en una base común, el logaritmo está determinado por el cociente de los exponentes de las bases comunes; es decir:
: (a  0  a  1)
Demostración:
Por identidad sabemos que
Expresando convenientemente el segundo miembro tendríamos:

Luego por definición de logaritmo como exponente; obtenemos:
L.q.q.d.

Prob. # 2.- Calcular el valor de:

Solución:
Expresando en base “2” y base “5” los logaritmos respectivos, tendríamos:

Como :
entonces:
; mcm = 15

IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 2
Si el logaritmo de un número se encuentra como exponente de su propia base, entonces está expresión es equivalente al número, es decir:

Demostración:
Por definición sabemos que:

De donde:
= N …………. (3)

Reemplazando …(2) en …(1) obtenemos:
L.q.q.d.
IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 3
Si al número y a la base de un logaritmo se potencian o se extraen radicales de un mismo índice, el logaritmo no se altera, es decir:

Demostración:
Sabemos por la identidad Nº 2 que:
a =
Elevando a la potencia “m” los dos miembros de la igualdad, se obtiene.

Por definición de logaritmo como exponente, tenemos que:
………. ()
de otro lado en … (1) extraemos la a los dos miembros de la igualdad, obteniendo:

Por definición de logaritmo como exponente, vemos que:

………. (ß)
De … () y .. () Concluimos que:

L.q.q.d.
Ejemplo.- para qué valor de “x” se cumple la igualdad:

Solución
En estos casos las bases de los logaritmos deben ser iguales y para eso hacemos lo siguiente:

1. En el primer logaritmo el número y la base lo elevamos al exponente 3.
2. En el segundo logaritmo al número y a la base le extraemos
Obteniendo:

Como una suma de logaritmos de igual base es igual al logaritmo de un producto, entonces:

de donde al simplificar obtenemos:
 x = 4

IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 4
Si el logaritmo de un número “a” en base “b” se encuentra como exponente de una base c (c  o); el número “a” y la base “c” se pueden permutar, es decir:

Demostración:
Por identidad sabemos que:

Por la fórmula:

Se tendría:

Cancelando los logaritmos en base “b” obtenemos:
L.q.q.d

IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 5
Si el producto del número y la base de un logaritmo es igual a la unidad, entonces su logaritmo es igual a – 1; es decir:

Si : N.b = 1

Demostración:
Siendo Nb = 1 

ó . N = b-1

con lo cual :

Aplicando la primera identidad obtenemos:

L.q.q.d.
FUNCIÓN EXPONENCIAL

Si; “b” es un número real positivo diferente de “1” (b  0  b  1) entonces la función “f” se llama exponencial de base “b” si y sólo si:

f =  (x, y) / y = bx . (b  0  b  1) 

Representación gráfica de: y = bx

i) Primer caso.- Cuando la base está comprendida entre “0” y “1” (0 b  1)
Caso Particular :
Tabulando, obtenemos los siguientes pares de valores:

Df X - …. -2 -1 0 1 2 … +
Rf Y + …. 9 3 1 1/3 1/9 … 0

Gráfica : Propiedades de:
y = bx : 0  b  1

1. D1  R
2. Rf   0 ;  
3. y = bx   x  R
4. Si; x = 0  y = bx = 1
5. Si, x  0  y = bx  1
6. Si, x –   y = bx 
7. Si, x  0  y = bx  1
8. Si, x    y = bx  0

ii) Segundo caso.- Cuando la base es mayor a la unidad (b  1)
Caso particular; y = 3x
Tabulando : obtenemos los valores:

Df X - … -2 -1 0 1 2 … +
Rf Y + … 1/9 1/3 1 3 9 … +

Gráfica : Propiedades de:
y = bx : ( b  1)

1. D1  -;  
2. Rf   0;  
3. y = bx  0  x  R
4. Si; x = 0  y = bx = 1
5. Si, x  0  y = bx  1
6. Si, x –   y = bx  0
7. Si, x  0  y = bx  1
8. Si, x    y = bx  

Función Logarítmica
Si “b” es un número real positivo diferente de la unidad entonces una función “f” será logarítmica si y solo si:

f = (x, y)/ y = ; (b  0  b  1) 

al cual llamaremos  función logaritmo de base b”
Observación:

Función Exponencial Función Logarítmica
y = f(x) = bx
y = f(x) = Log x
b
Df   - ;  
Rf   0 ;   Df   0 ;  
Rf   –  ;  

Nótese que:
 b  R+ – 1

y = bx 

Función Directa

Permutando “x” por “y”

Y =

Función Inversa
Representación gráfica de:

y=

i) Primer caso: Cuando la base está comprendida entre “0” y “1” (0 b  1)
Caso particular: y =
Tabulando; obtenemos los valores

Df X 0 … 1/9 1/3 1 3 9 … +
Rf Y  … 2 1 0 -1 -2 … -

Gráfica : Propiedades de:
y = ; (0 b 1)

1. Df  -0;  
2. Rf   -;  
3. Si, x 0  en R
4.
5.
6. Si x  1   0
7. Si: x   -
8. Si: x  1   1
9. Si : x  0  
ii) Segundo caso: Cuando la base es mayor que la unidad (b  1)
Caso particular:
y =

Tabulando, obtenemos los valores:

Df X 0 … 1/9 1/3 1 3 9 … +
Rf Y - … -2 -1 0 1 2 … +

Gráfica: Propiedades de:
y = x (b  1) y = x; ( b  1)

1. D1   0 ;  
2. Rf   -;  
3. Si, x 0  en R
4.
5.
6. Si x  1   0
7. Si: x     
8. Si: x  1   0
9. Si: x  0   -

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS
Teniendo en cuenta las gráficas de la función logaritmo: y= (b  0  b 1)

Deducimos las siguientes propiedades:

I. Existen infinitos sistemas, donde cada valor de b (b  0  b 1) es un sistema de logaritmos.
II. No existen logaritmos de números negativos en el campo de los números reales, pero si en el campo de los números complejos.

III. El logaritmo de “1” en cualquier base vale “0” y el logaritmo de la base es igual a “1”, en efecto:

i)
ii)

IV. El logaritmo de un producto indicado es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Demostración:

a = ……….. (1)

a = ……….. (2)
Multiplicando… (1) y … (2) m.a.m. obtenemos:

Por definición de logaritmo como exponente, se obtiene:

L.q.q.d.

El logaritmo de un cociente indicado es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor, es decir:

Demostración:
Teniendo en cuenta que:
a = ……….. (1)
a = ……….. (2)

Dividiendo m.a.m. (1).. (2) obtenemos:
L.q.q.d.
El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base, es decir:
L.q.q.d.
Demostración:
En la identidad fundamental:
…………. (1)
Elevando al exponente “b” m.a.m. obtenemos:

por definición de logaritmo como exponente, se obtiene:
L.q.q.d.

2. El logaritmo de una raíz es igual a la inversa del índice del radical por el logaritmo de la cantidad subradical, es decir:

Demostración:
Teniendo en cuenta la identidad:
a = ……….. (1)
Al elevar a la potencia obtenemos:

Por definición de logaritmos como exponente, se obtiene:
L.q.q.d

VIII. El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la “unidad”, es decir:

L.q.q.d

RELACIONES ESPECIALES EN LOGARITMOS
COLOGARITMO.- El cologaritmo de un número en una base “b” es igual al logaritmo de la inversa del número en la misma base.
Colog N = Log
Ejemplo:
a) colog 27 = – Log 27=-
b) –colog = Log =

ANTILOGARITMO
El antilogaritmo en una base dada es el número que dá origen al logaritmo, matemáticamente:

Antilog x = ax
Propiedades:

Antilog Log N = N

Log Antilog N = N

Ejemplos:
a) Antilog 3 = 23 = 8
b) Antilog -1/2 = 4-1/2 =

CAMBIO DE BASE “b” A BASE “x”
En general todo cambio de base implica un cociente de logaritmos, es decir:
Log N =
Caso particular: Log N =

REGLA DE LA CADENA

Si en un producto de logaritmos un número cualquiera y una base cualquiera son iguales entonces estos se cancelan incluso el símbolo logarítmico

Log a . Log b . Log c . Log d = Log a

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas se caracterizan por que tienen las mismas soluciones para cada ecuación que se presenta dentro del sistema.
La solución a un sistema depende en gran parte de la habilidad del operador, sustentado en las propiedades logarítmicas.

1. Determine el valor “N”, si

A) 10 B) 100 C) 1 000

D) 2 200 E) 512

2. Calcule

A) B) C)
D) E) 3,7

3. La expresión:

es igual a:

A) B) C)
D) E)

4. Halle el valor de

A) 0 B) 1 C) 2
D) 1,5 E) 0,75

5. Resolver , e indicar el producto de sus raíces.

A) -4 B) 9 C)
D) -3 E) 1

6. Resolver: , e indicar el valor

A) 15 B) 8 C) 24
D) 37 E)

7. Resolver , e indicar su conjunto solución:

A) B) C)

D) E)

8. Calcule el logaritmo de en base

A) B) C)

D) E)

9. Señale el valor de x que satisface a la igualdad.

A)
B)
C) Indeterminado
D) Incompatible
E)

10. Resolver la ecuación

A) 3 B) 4 C) 6
D) -8 E) C ó D

11. Resuelva la ecuación

A) 6 B) 8 C) 10
D) 100 E) Incompatible

12. Señale el producto de las raíces de la ecuación:
A) B) C)
D) E)

13. Señale el valor de “x” que verifica la igualdad

A) n B) C)
D) E)

14. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación

A) 16 B) 17 C) 19
D) 21 E) 32

15. Indicar el producto de las raíces de la siguiente ecuación

A) 5 B) 15 C) 125
D) 25 E)
16. Resolver el sistema:

,

e indicar el producto de valores “x”

A) 10 B) 100 C)

D) 1 E) 0

17. Si distintos de la unidad y además: ab = 1 averigüe el valor de:

A) 2 B) 5 C) 7

D) 10 E) 12

18. Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b

A) 2a+3b+1
B) 3a+2b+1
C) 4a+b+1
D) a+2b+1
E) 3a+b+1

19. El valor de la expresión:
; será:

A) 0,001 B) 0,1 C) 10

D) 1 000 E) 100 000

20. Halle el producto de los raíces de:

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