RECTAS , PLANOS , DIEDROS , TRIEDROS Y POLIEDROS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO PREUNIVERSITARIA EN PDF

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GEOMETRÍA DEL ESPACIO O ESTEREOMETRÍA
Estudia la forma y extensión de las figuras geométricas cuyos puntos no están en un mismo plano (espacio tridimensional)
ESPACIO TRIDIMENSIONAL
A dicha idea tenemos dos postulados importante:
a. Dada una recta cualquiera L, hay por lo menos un punto P, tal que P no pertenece a L.
b. Dado un plano cualquiera M, hay por lo menos un punto P, tal que P no pertenece a M.

POSTULADOS DEL PLANO
a. Todo plano contiene al menos tres puntos no colineales.
b. Dos puntos cualesquiera de un plano determinan una recta, que esta contenida en el plano.

POSTULADOS DEL ESPACIO
a. El espacio contiene al menos cuatro puntos que no son coplanarios.
b. Por un punto del espacio pasan infinitas rectas.
c. Por una recta del espacio pasan infinitos planos.

DETERMINACIÓN DE UN PLANO
Un plano queda determinado por:
a. Tres puntos no colineales.

b. Una recta y un punto exterior a ella.

c. Dos rectas secantes.

d. Dos rectas paralelas.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

a. Rectas secantes.- Cuando se intersectan y tiene por tanto un punto común. Las rectas secantes son coplanares.

b. Rectas paralelas.- Cuando se encuentran en un mismo plano y no se intersectan.

c. Rectas coincidentes.- Cuando se superponen, para lo cual basta que tenga dos puntos comunes.

d. Rectas alabeadas.- Llamado también rectas que se cruzan, son aquellas rectas que no están en un mismo plano y no tiene ningún punto común.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO
Dados una recta L y un plano M, que pueden estar situadas de tres distintas maneras.
a. Secantes.- Cuando se intersectan, la recta y el plano sólo tienen un punto común.

b. Coincidentes. La recta está contenida en el plano, en cuyo caso todos los puntos de la recta pertenecen al plano. Para que sean coincidentes, basta que la recta y el plano tengan dos puntos comunes.

c. Paralelos.- En cuyo caso no tienen punto común alguno.

Propiedad: Para que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea paralela a una recta del plano.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
a. Planos secantes.- Cuando se intersectan y tiene por tanto una recta común llamada intersección de dos planos.

b. Planos paralelos.- Son aquellos que no tienen punto común alguno.

c. Planos coincidentes.-
Cuando se superponen, para lo cual basta que tenga tres puntos comunes no colineales.

ANGULOS ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS
Es el ángulo que forman uno de ellos con una paralela a la otra trazada por un punto cualquiera de la primera.

: Es el ángulo que forman las rectas que se cruzan L1 y L2

RECTAS PERPENDICULARES
Son aquellas dos rectas que al interceptarse o al cruzarse en el espacio forman ángulo recto.
ANGULO DE UNA RECTA SECANTE CON UN PLANO
Es el ángulo que hace la recta con su proyección sobre el plano.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.
La longitud del segmento de perpendicular trazada del punto al plano.

MENOR DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
Es la longitud del segmento de perpendicular, común a ambas.

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
Si una recta es perpendicular a un plano entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.
Propiedad: Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano.

TEOREMA DE LAS 3 PERPENDICULARES
Si desde el pie de una perpendicular a un plano trazamos una segunda perpendicular a una recta del plano, entonces toda recta que une el pie de la segunda perpendicular con un punto cualquiera de la perpendicular al plano será perpendicular a la recta del plano.

mPDC = 90º

ANGULO DIEDRO
Es la figura formada por dos semiplanos que tienen la misma recta de origen común.

A los semiplanos se les denominan caras y a la recta común arista

a. La medida de un ángulo diedro  esta dada por la medida de su ángulo plano o rectilíneo que es aquel ángulo determinado al trazar por un punto cualquiera de la arista AB, dos rectas perpendiculares a la arista, una contenida en cada cara.

b. Los diedros se clasifican similarmente a los ángulos en el plano

b. SEMIPLANO BISECTOR
Es aquel semiplano que partiendo de la arista de un diedro, lo divide en dos diedros de igual medida.

Propiedad.- Todo punto sobre el semiplano bisector, se encuentra a igual distancia de las caras del diedro.

TEOREMA
Si los lados de un ángulo plano son perpendiculares a las caras de un diedro. El ángulo y el diedro son suplementarios.

mC + mF = 180º

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE
Si dos planos se interceptan, la recta de uno de ellos, que forma el ángulo máximo con el otro, es perpendicular a la intersección de ambos planos.
Hipótesis Tesis
A  P mABC > mADC
AC  Q
AB  MN
AB : Recta de máxima pendiente

PLANOS PERPENDICULARES
Son aquellos planos que al interceptarse forman diedros rectos.
a. Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella es perpendicular al primero.
b. Si dos planos son perpendiculares entre sí, toda recta contenida en uno de ellos y perpendicular a su intersección, es perpendicular al otro plano.

AREA DE LA PROYECCIÓN DE UN TRIANGULO EN EL PLANO

Area (AHC) = Area (ABC). Cos 

ANGULO POLIEDRO, SÓLIDO O ANGULOIDE
Es la figura formada por tres o más planos (caras), que se cortan dos a dos y cuyas intersecciones (aristas) concurren en un mismo punto denominado vértice.

ANGULO TRIEDRO

El triedro es un ánguloide de tres caras, tres aristas y tres diedros; es el ángulo poliedro de menor número de caras que puede haber, no pudiendo ser más que convexo.
- Caras : a, b, c
- Vértice : El punto V
- Aristas : VA, VB, VC.
- Diedros : , , 

Notación : Triedro V-ABC

PROPIEDADES DE LOS
TRIEDROS
a. En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos, pero mayor que su diferencia.

b – c < a < b + c

b. En todo triedro, la suma de sus caras es mayor que 0º pero menor que 360º.

0º < a + b + c < 360º

c. En todo triedro a mayor cara se opone mayor diedro y a caras congruentes se oponen diedros congruentes.

d. En todo triedro, la suma de sus diedros es mayor que 180º pero menor que 540º

CLASIFICACION DE TRIEDROS
a. Triedro escaleno: Sus 3 caras tienen diferentes medidas.
b. Triedro isósceles: Dos de sus caras miden iguales.
c. Triedro equiláteros: Sus 3 caras tienen igual medida (no necesariamente de 60º)
d. Triedro rectángulo: Una de sus caras miden 90º.
e. Triedro birectángulo: Dos de sus caras miden 90º cada una.
f. Triedro trirectángulo: Sus 3 caras miden 90º cada una.
g. Triedro Simétrico: Es aquel formado por las prolongaciones de las aristas de un triedro.
h. Triedro polar o suplementario: Dos triedros son suplementarios cuando las caras de uno son los suplementos de los diedros del otro.

POLIEDROS

Son aquellos sólidos limitados por cuatro o más regiones poligonales planos no coplanares llamados caras.

Elementos:
- Caras: Son polígonos
- Aristas: OA, OB, AB,…..
- Vértices: O, A, B,….
-Diagonal: Es el segmento que une dos vértices que no están en la misma caras.
- Diedros
- Ángulos poliedros

CLASES DE POLIEDROS
a. Poliedros Convexos.-
Cuando al considerar cualquiera de las caras, todo el sólido queda a un mismo lado de él.

b. Poliedros Cóncavos.-
Cuando al considerar alguna de las caras, todo el poliedro queda repartido a uno y otro lado de la cara considerada.

TEOREMA DE EULER
En todo poliedro se cumple que su número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2.

C + V = A + 2

TEOREMA

En toda poliedro la suma de los ángulos en todas sus caras es igual a 360º por el número de vértices menos 2.

SAng. = 360º (V-2)
caras

PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La distancia del punto “P” del espacio, a un plano “H” es 15m y la proyección de sobre el plano “H” mide 8m, Q  L y L  “H”. Hallar la distancia de “P” a L.

A) 17m B) 18m C) 19m
D) 20m E)

2. Dado el rectángulo ABCD, AB = 2m y BC = 4m. Por el vértice “B” se levanta un segmento de longitud 3m perpendicular al plano del rectángulo. Si “M” es punto medio de . Hallar
A) B) C)
D) E)

3. Desde un punto “P” a un plano, se trazan las oblicuas PA y PB (A y B sobre dicho plano), formando los ángulos de 30° y 45° respectivamente con el plano. Si PA= 6. Hallar PB
A) 3 B) C) 4
D) E)
4. Del centro “O” del círculo circunscrito a un triángulo equilátero ABC de lado “a” se levanta la perpendicular OD al plano del triángulo y se une el punto D con los tres vértices del triángulo ABC. Calcular la longitud del segmento OD para que el triedro sea trirectángulo.
A) a B) a/2 C) 0,5a
D) 0,41a E) 2ª
5. En un triedro SABC, el diedro SA es recto y las caras ASB y ASC son triángulos de 45°. Calcular la cara BSC.
A) 30° B) 60° C) 70°
D) 90° E) 120°
6. Se tiene un triángulo ABC de área 50cm² por AB se pasa un plano que forma un diedro con el plano el triángulo. ¿Cuál es el área del triángulo proyectado sobre el plano, si el diedro mide 60º?
A) 100cm² B) 40cm² C) 30cm²
D) 25cm² E) 50cm²

7. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de un tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, si la arista del tetraedro mide 2 cm?
A) 0.8cm² B) cm² C)0.5cm² D) cm²
E) 2 cm²

8. En el triángulo ABC recto en B, AB=3, BC=4; sobre la perpendicular al plano del triángulo levantado por el vértice B se toma un punto F. Hallar la distancia de F al lado AC, si BF = 1,8
A)1 B) 2 C) 3
D) 3,5 E) 4

9. ABC es un triángulo rectángulo isósceles (AB = BC = 2). Por “C” se levanta CT perpendicular a su plano. Hallar TM siendo M punto medio de AB además TC=AC
A) 1 B)1,5 C)2
D) 3 E) 3,5
10. Desde un punto “P” de la cima de un poste se observa los puntos A y B del suelo a una misma distancia, además el ángulo BPA = 60°. Hallar la altura del poste sabiendo que el ángulo que forma PA con el suelo es 45° y que AB = 10
A) 5 B) 10 C)15
D)12 E) 5

11. Se tiene un cuadrado de lado igual a 4. Por B se levanta BP perpendicular a su plano, tal que BP = . Si “M” es punto medio de CD. Hallar la medida del ángulo formado por PM y AD.
A)30° B)45° C)37°
D)53° E)60°

12. En un plano “H” está contenido una circunferencia de centro “O” y radio 5m así mismo la longitud de la cuerda MN es 8m, Por “O” se levanta la perpendicular OA al plano “H”. Siendo el ángulo que forman el plano “H” y el plano ANM de 53°, calcular el área de la región triangular.
A) 10m2 B) 20m2 C)30m2
D) 40m2 E) 48m2

1. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 4 puntos no coplanares.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 4 E) 6

RESOLUCIÓN

Z: Número de planos

RPTA.: D

2. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 20 puntos y 40 rectas.

A) 2 720 B) 2 820 C) 2 630
D) 2 650 E) 2 550

RESOLUCIÓN
20 Puntos 1 140
40 Rectos 780
20 Puntos y 40 rectas 20 x40 800
2 720

RPTA.: A

3. De las siguientes proposiciones Indicar verdadero (V) o falso (F)
* Tres puntos determinan siempre un plano.
* Dos rectas determinan siempre un plano.
* Una recta y un punto exterior a ella.
* Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

A) VVVV B) FFFF C) VVFF
D) FFVV E) FVFV

RESOLUCIÓN
* (F) Porque 3 puntos colineales no determinan un plano.
* (F) Porque 2 rectas que se cruzan no determinan un plano.
* (V) Determinación de planos.
* (V) Por recta perpendicular a un plano.
RPTA.: D

4. En la siguiente figura, la arista del cubo mide 2m. ¿Cuál es la longitud menor para ir de M a D recorriendo la superficie del cubo?

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN
Llevando los arcos LMNP y ALPD a un plano se tiene la figura:

Pitágoras

RPTA.: D

5. En un cubo, la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es . Calcule la longitud de su arista

A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 6m

RESOLUCIÓN

1)
……………………………………

2) Pitágoras ( ABO)
……………………………

3) en

a = 2m
RPTA.: B

6. En el cubo mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas .

A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°

RESOLUCIÓN

1) Trazar: //
2) El Triángulo ABC es equilátero porque sus lados son diagonales del cuadrado.

RPTA.: E

7. En el tetraedro regular mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas .

A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 75°
E) 90°

RESOLUCIÓN

1) Trazar las alturas de las caras ABC y DBC.
2) es perpendicular al plano ADH porque es perpendicular a .
3) es perpendicular a que está contenida en el plano ADH.


RPTA.: E

8. Por un punto exterior a una recta. ¿Cuántas perpendiculares a dicha recta se pueden trazar?

A) una B) dos C) tres
D) infinitas E) cero

RESOLUCIÓN

1) P es un punto exterior a la recta L.
2) Por P se traza un plano H perpendicular a la recta L.
3) L es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano H.
 Por P pasan infinitas rectas contenidas en el plano H.
RPTA.: D

9. En una circunferencia de centro “O” y cuyo diámetro mide 6 cm. Por O se levanta una perpendicular OF al plano que contiene a la circunferencia, OF = 4 cm. Calcule la distancia de F a cualquier recta tangente a dicha circunferencia.

A) 4 cm B) 5 cm C) 6 cm
D) 7 cm E) 8 cm

RESOLUCIÓN

1) Dato OF = 4 cm
2) radio =
3) L es una recta tangente a la circunferencia
4) Por teorema de las 3 perpendiculares
Luego FT es la distancia de F a

5) FOT Pitágoras

FT = 5 cm
RPTA.: B

10. Calcule la medida de la altura de un tetraedro regular cuya arista mide L.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

1) “O” es el circuncentro del triángulo ABC

………………………………………
2) AOD: Pitágoras

……………………………….

3) en

RPTA.: D

11. Sea “P” un punto exterior al plano que contiene a un rectángulo ABCD, PA = 15, PC = 20, PB = 7. Calcule PD

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 25

RESOLUCIÓN

Teorema de la mediana

Igualando

x = 24
RPTA.: D

12. En un triangulo rectángulo ABC recto en B, AB = 6 y BC= 8. Por su incentro I, se levanta la perpendicular IH al plano que contiene dicho triángulo, siendo IH = 3. Calcule HC

A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 10

RESOLUCIÓN

1) ABC Teorema de Porcelet

6 + 8 = 10 + 2r
r = 2 ………………………………

2) r + z = 8
2 +z == z = 6 .. …………….

3) Por teorema de las 3 perpendiculares
porque plano ABC y

4) Pitágoras
………………………………

5) en

………………..…………

6) HFC Pitágoras
……………….………

7) y en

x = 7
RPTA.: C

13. En la figura, P, Q y R son planos paralelos y y son rectas alabeadas, AB = 3, BC = 4, DE = x – 1, EF = x + 2. Calcule x.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN

Teorema de Thales

x = 10
RPTA.: E

14. El área de la región triangular ABC es 50 por se traza un plano que forma un diedro de 60º con el plano del triángulo. ¿Calcule el área de la proyección de dicha región sobre el plano?

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Incógnita Área (AHC)
1) Por teoría
Área (AHC)= Área (ABC) cos 60°
Área (AHC)=

RPTA.: C

15. Un folder de dimensiones 4u y 8u se halla abierto según muestra la figura; el ángulo que forman las caras entre si mide 120°. Calcule PQ.

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

Pitágoras PAQ

RPTA.: B

16. Se tiene un ángulo triedro trirrectángulo de vértice O. Sobre sus aristas se toman las longitudes OA = OB = OC = 8. Calcule la medida del diedro BC.

A) Arc cos
B) Arc cos
C) Arc cos
D) Arc cos
E) Arc cos

RESOLUCIÓN

Área (BOC)= Área (ABC) cos

RPTA.: E

17. En la figura, P – ABC es un ángulo triedro trirrectángulo . Calcule el área de la región triangular ABC.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

18. Calcule el área de la superficie de un icosaedro regular cuya arista mide .

A) B) C)
D) E)

RESOLUCIÓN

a: medida de la arista del icosaedro.
S: Área de la superficie del icosaedro regular.

Dato
2)

RPTA.: D

19. Calcule el número de vértices de un poliedro convexo formado por 60 triángulos y 80 cuadriláteros.

A) 60 B) 88 C) 92 D) 112 E) 140

RESOLUCIÓN
1) Teorema de Euler C +V = A + 2….

2) ………………..…

3) ………

4) y en

140 + V = 250 + 2

V = 112
RPTA.: B

20. En el cubo mostrado, calcule la distancia entre las rectas y , si = AB = .

A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm

RESOLUCIÓN

1) ABC Pitágoras

……………………………………….

2) ECD Pitágoras
………………………..
3) en

……………………………………
4) ECD OHD

Elevando al cuadrado
…………………………………

5) y en

x = 1
RPTA.: A
1. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 4 puntos no coplanares.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 4 E) 6

2. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 20 puntos y 40 rectas.

A) 2 720 B) 2 820 C) 2 630
D) 2 650 E) 2 550

3. De las siguientes proposiciones Indicar verdadero (V) o falso (F)
* Tres puntos determinan siempre un plano.
* Dos rectas determinan siempre un plano.
* Una recta y un punto exterior a ella.
* Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

A) VVVV B) FFFF C) VVFF
D) FFVV E) FVFV

4. En la siguiente figura, la arista del cubo mide 2m. ¿Cuál es la longitud menor para ir de M a D recorriendo la superficie del cubo?

A) B) C) D) E)

5. En un cubo, la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es . Calcule la longitud de su arista

A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 6m

6. En el cubo mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas .

A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°

7. En el tetraedro regular mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas .

A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 75°
E) 90°

8. Por un punto exterior a una recta. ¿Cuántas perpendiculares a dicha recta se pueden trazar?

A) una B) dos C) tres
D) infinitas E) cero

9. En una circunferencia de centro “O” y cuyo diámetro mide 6 cm. Por O se levanta una perpendicular OF al plano que contiene a la circunferencia, OF = 4 cm. Calcule la distancia de F a cualquier recta tangente a dicha circunferencia.

A) 4 cm B) 5 cm C) 6 cm
D) 7 cm E) 8 cm

10. Calcule la medida de la altura de un tetraedro regular cuya arista mide L.

A) B) C) D) E)

11. Sea “P” un punto exterior al plano que contiene a un rectángulo ABCD, PA = 15, PC = 20, PB = 7. Calcule PD

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 25

12. En un triangulo rectángulo ABC recto en B, AB = 6 y BC= 8. Por su incentro I, se levanta la perpendicular IH al plano que contiene dicho triángulo, siendo IH = 3. Calcule HC

A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 10

13. En la figura, P, Q y R son planos paralelos y y son rectas alabeadas, AB = 3, BC = 4, DE = x – 1, EF = x + 2. Calcule x.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

14. El área de la región triangular ABC es 50 por se traza un plano que forma un diedro de 60º con el plano del triángulo. ¿Calcule el área de la proyección de dicha región sobre el plano?

A) B) C) D) E)

15. Un folder de dimensiones 4u y 8u se halla abierto según muestra la figura; el ángulo que forman las caras entre si mide 120°. Calcule PQ.

A) B)
C) D)
E)

16. Se tiene un ángulo triedro trirrectángulo de vértice O. Sobre sus aristas se toman las longitudes OA = OB = OC = 8. Calcule la medida del diedro BC.

A) Arc cos
B) Arc cos
C) Arc cos
D) Arc cos
E) Arc cos