IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO Y REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ARCOS

Sen (+)= Sen.Cos +Sen.Cos

Cos (+)= Cos. Cos-Sen.Sen

Tg (+) =

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA RESTA DE DOS ARCOS

Sen (-)= Sen.Cos – Cos.Sen

Cos (-)= Cos.Cos + Sen.Sen

Tg (-) = tg – tg
1+ tg . tg

Ojo:
Ctg(+)= Ctg . Ctg + 1
Ctg  Ctg 
Aplicación:
a) Sen 75º = Sen (45º+30º)
= Sen 45º Cos30º+Cos45º Sen30º
=

 Sen75º =

b) Cos 16º = Cos (53º-37º)
= Cos 53º.Cos37º Sen37º
=

 Cos 16º =

c) tg 8º = tg (53º-45º)

= =
 Tg 8º

5

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Calcular:

E=(Sen17º + Cos13º)²+(Cos17º+Sen13º)²
= Sen²17º + Cos²13º+ 2Cos13ºSen17º +
Cos²17º+Sen²13º+ 2Cos17º.Sen13º
= 1+1+2Sen (17º+13º) = 2 + 2Sen30º= 3

2. Hallar: P=Cos80º+2Sen70º.Sen10º

Resolución
= Cos(70º+10º)+2Sen70º.Sen10º
= Cos70º.Cos10º-Sen70º.Sen10º+2Sen70º.Sen10º
= Cos70º.Cos10º+ Sen70ºSen10º
= Cos(70º-10º)=Cos60º =

3. Hallar Dominio y Rango:
f(x) = 3Senx + 4 Cosx

Resolución
Dominio: x R
Rango: y = 5
Y = 5 (Sen37º.Senx +Cos37º.Cosx)
Y = 5 Cos(x-37º)
Ymax = 5 ; Ymin = -5

Propiedad:
E = a Sen  b Cos x
Emáx =

Emin = -

Ejemplo:
-13  5 Senx + 12 Cos x  13
-  Sen x + Cosx 

4. Siendo Sen 20º = a, Cos 25º = b. Obtener tg 25º en término de “a” y “b”

Resolución
Sen 20º = a
Sen (45º-25º) = a

b- Sen 25º = a
Sen 25º = (b-a)

Tg25º =

5. Simplificar:

E=Sen²(+)+sen²-2sen (+) Sen.Cos

Resolución:
Ordenando:
E = Sen²(+) – 2Sen(+) Sen.Cos
+ Sen² + Cos²Sen² – Cos²Sen²

E = sen(+)-Cos.Sen²+Sen²(1-Cos²)

E = Sen²Cos² + Sen² . Sen²

E = Sen²(Cos² + Sen²)

E = Sen²

6. Siendo:
Sen + Sen + Sen =0
Cos + Cos + Cos  = 0
Calcular:
Cos (-) + Cos (-) + Cos (-)

Resolución:
Cos + Cos = – Cos 
Sen + Sen = – Sen 
Al cuadrado:
Cos² + Cos² + 2Cos . Cos = Cos²
Sen² + Sen² + 2Sen . Sen = Sen²
1 + 1 + 2 . Cos( – ) = 1
Cos ( – ) = -
Por analogía:
Cos ( – ) = -
Cos ( – ) = -
E = – 3/2

Propiedades :

Ejm.
Tg18º+tg17º+tg36ºtg18ºtg17º=tg35º

Tg20º + tg40º + tg20º tg40º =

(tg60º)

tg22º + tg23º + tg22º . tg23º = 1
tg + tg2 + tg tg2 tg3 = tg3

8. Hallar tg si:

Resolución:
……………………

9. Siendo:
tg (x-y) = , tg (y-z) = 1
Hallar: tg (x-z)

Resolución
……………………

10. Siendo “Tag ” + “Tag” las raíces de la ecuación:
a . sen  + b . Cos  = c
Hallar: Tg ( + )

Resolución:

Dato: a Sen + b Cos = c
a Tg + b = c . Sec 
a² tg² + b²+ 2abtg = c² (1+tg²)

(a² – c²) tg²  + (2ab)tg + (b² – c²)=0

tg + tg =

tg . tg =
tg (+) =
tg(+) =

Propiedades Adicionales

Si : a + b + c = 180°

Si: a + b + c = 90°

EJERCICIOS
1. Si : ;  III C;
,  IV C. Hallar:

a) 16/65 b) 16/65 c) 9/65
d) 13/64 e) 5/62

2. Reducir :

a) Taga b) Tagb c) Tag(a – b)
d) Tag( a +b ) e) Ctga

3. Si :
Hallar E =

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

4. Si : ;θ III C; Tag =1 ;   III C
Hallar E =

a) 17 /13 b) 17 /15 c)17 /14
d) 17 /26 e) 5 /26

5. Reducir :

a) Senb b) Sena c) Cosa
d) Cosb e) 1

6. Reducir :M =

a) 2Cosθ b) 2Senθ c) 3Cosθ
d) 2Senθ Cosθ e) Ctgθ

7. Reducir :

a) 1 b) -1 c)
d) e) 2

8. Reducir :

a) b) c)
d) e)

9. Si se cumple:
Hallar M =

a) 1 /2 b) 2 c) 1 /2
d) 1 e) 1/4

10. Si ABCD es un cuadrado. Hallar Tagx

a) 19/4
b) 4/19
c) 1/2
d) 7/3
e) 3/4

11. Reducir :

E =

a) 1 b) 2 c) 1 /2
d) 1 /4 e) 1 /8

12. Si: ;

Hallar E =

a) 11/ 10 b) 10 / 11 c) 5 /3
d) 13 / 10 e) 1 / 2

13. Hallar : Ctgθ

a) 1 /2
b) 1 /32
c) 1 /48
d) 1 /64
e) 1 /72

14. Hallar :M =

a) 2 b) 1 c) 1 /2
d) 3 e) 1 /3

15. Hallar el máximo valor de:

M =

a) 1 b) 2 /3 c ) 4 /3
d) 5 /3 e) 1 /7

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
PRIMER CASO:
Reducción para arcos positivos menores que 360º

f.t.
Depende del cuadrante

f.t.
Ejm:
Sen200º=(Sen180º+20º)=-Sen 20º

IIIQ
Tg300º = (tg300º – 60º) = -tg60º

IVQ
Cos = -Senx

II Q
Sec

SEGUNDO CASO:
Reducción para arcos positivos mayores que 360º
f.t. (360º . n + ) = f.t. (); “n”  Z

Ejemplos:
1) Sen 555550º = Sen 70º
555550º 360º
1955 1943
-1555
1150
- 70º

2) Cos

TERCER CASO:
Reducción para arcos negativos

Sen(-) = -Sen Ctog(-) = -Ctg
Cos(-) = Cos Sec(-) = Sec
Tg(-) =-tg Csc(-) = -Csc

Ejemplos:

Sen (-30º) = -Sen30º
Cos (-150º) = Cos 150º
= Cos (180º – 30º)
= – Cos 30º
Tg = -ctgx

ARCOS RELACIONADOS

a. Arcos Suplementarios
Si:  +  = 180º ó 

 Sen = Sen
Csc = Csc

Ejemplos:
Sen120º = Sen60º

Cos120º = -Cos60º

Tg

b. Arcos Revolucionarios
Si  +  = 360º ó 2 

 Cos = Cos
Sec = Sec

Ejemplos:
Sen300º = – Sen60º

Cos200º = Cos160º