CILINDRO Y CONO EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO PREUNIVERSITARIA EN PDF

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CILINDRO RECTO O CILINDRO DE REVOLUCIÓN
Es el sólido generado por un rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus lados tomado como EJE.

DESARROLLO DE SU SUPERFICIE

1. SLateral = 2rg
2. STotal = 2r (g + r)
3. V =  r² h

CILINDRO OBLÍCUO
Si se corta a un cilindro recto con dos planos paralelos se obtiene un cilindro oblicuo cuyas bases son elipses.

1. SLateral = 2Rg
R = Radio de la Sección Recta

2. STotal = SLateral + 2 SBase

3. Volumen = SSección recta x g
Volumen = SBase x h

ELIPSE

b  Semi-eje menor
a  Semi – eje mayor

S = ab

TRONCO DE CILINDRO RECTO
Es el sólido que se determina al cortar a un cilindro recto con un plano secante no paralelo a sus bases.

EJE DE UN TRONCO DE CILINDRO
Es el segmento de recta que une los centros de las bases de un tronco de cilindro, es igual a la semisuma de la generatriz máxima y la generatriz mínima
EJE =

1. SLateral = 2R . EJE
2. STotal = 2 R . EJE + R² + ab
3. V = R² . EJE

CONO RECTO O DE REVOLUCIÓN

Es el sólido generado por la rotación de un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos, tomado como eje. El cateto eje es la altura del cono, el otro cateto es el radio de la base y la hipotenusa es la generatriz del cono.

Desarrollo de su superficie

1. SLateral = rg
SLateral = g²
 =
2. STotal = r (g + r)
3. V = r²h

CONO OBLÍCUO
Es el sólido que se determina al cortar a un cono recto con un plano no paralelo a su base. Su base es una elipse.

V = SBase . h = abh

SBase =  ab

TRONCO DE CONO RECTO O DE REVOLUCIÓN
Es el sólido que se determina al cortar a un cono recto con un plano paralelo a su base. Se puede considerar como el sólido generado por la rotación de un trapecio rectángulo alrededor del lado perpendicular a las bases.

1. SLateral = g (r + R)

2. STotal = g . (r + R) + (R² + r²)

3. V = (R² + r² + Rr)

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En la figura “O” es el centro de la, base inferior del cilindro cuya área lateral se desea calcular, si OA = 16.
A) 96
B) 84
C) 128
D) 132
E) 106

Resolución

1) Triángulo OBA(15º y 75º)
x =  x = 4
2) Relaciones Métricas
Rh = 16x
Rh = 16(4) = 64
3) AL : Area lateral
AL : 2Rh
AL : 2(64)

AL = 128 Rpta. c

2. Calcular el volumen de un cilindro de revolución de 10cm de altura. Si el desarrollo de su superficie lateral tiene por área 100cm2
a) 250cm3 b) 240cm3
c) 210cm3 d) 80cm3

Resolución

2R (10) = 100
R = 5

Volumen = R2(10)
Volumen = 52(10)

Volumen = 250 Rpta. a

3. En un cono recto de revolución cuya altura mide 6 la mediatriz de una de sus generatrices intercepta a la altura tal que el segmento de mediatriz determinado mide 2. Hallar el área lateral del cono.

a) 16 b) 20 c) 24
d) 30 e) 27

Resolución

1) AL: Area lateral del cono
AL = Rg ……..(1)
2) Semejanza de triángulo

Rg = 24 ……..(2)

3) Reemplazando (2) en (1)
AL = (24)

AL = 24 Rpta. c

EJERCICIOS

1. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado de área “S”. Calcular el volumen del cilindro.

A) S /2  B)S /3 C)S /4
D) S /5 E) S /4

2. Un cilindro, cuya altura es igual al diámetro de la base, tiene un área total de 12cm2. Calcular su volumen.

A) 8cm3 B)16m3 C)32cm3
D) 4 cm3 E) 8 cm3

3. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro tiene una diagonal igual a 13. Si la altura del cilindro mide 5, calcular su volumen :
A) 720/π B)180/π C) 90/π
D) 45/π E) 360/π

4. Calcular el volumen de un cilindro de revolución, si el área de su superficie de total es 24 u2 y su sección axial es una región cuadrada.
A) 12 u2 B) 16 u2 C)18 u2
D) 24 u2 E) 28 u2

5. Hallar el volumen del cilindro de revolución generado por una región cuadrada de diagonal 4 que gira alrededor de uno de sus lados
A) 16u3 B) 64 u3 C) 8u3 D) 32u3 E) 60 u3

6. Se tiene un tronco de cilindro de revolución cuya generatriz mínima es nula, la generatriz máxima mide 8m, el radio de la esfera inscrita mide 2m. Hallar el volumen del tronco.
A) 24m3 B) 36m3 C) 42m3
D) 48m3 E) 60m3

7. Un cono de revolución tiene como radio de la base 6m y como altura 8m. A que distancia del vértice se le debe cortar con un plano paralelo a la base de tal manera que el área total del pequeño cono obtenido sea igual al área lateral del cono total.

A) 40 B) 50 C) 20D
D) 16 E) 10

8. Hallar el volumen de un cono si el ángulo del sector circular que se obtiene al desarrollar el área lateral del cono es 288° y la generatriz es 10m.
A) 24m3 B) 128 C) 32
D) 36 E) 100

9. Hallar el volumen de un cono equilátero. Sabiendo que la esfera inscrita tiene un radio que mide 6m.
A) 648m3 B) 636m3 C)484m3 D) 564m3 E) 600m3

10. Un recipiente tronco cónico de radios 3 y 6 en las bases contiene agua hasta los 2/3 de su altura; se le introduce una esfera de 182 m3 tal que queda sumergida elevándose el nivel de agua hasta enrasar la base superior. Hallar la altura del recipiente.
A) 16m B) 18 C)35 D) 20 E) 15

11. Un cilindro macizo de plomo tiene un diámetro “D” y una altura “D” se funde el cilindro para obtener 2 sólidos: un cono recto y una esfera. Si el cono tiene una altura D una base con diámetro “D”. ¿Que diámetro tendrá la esfera?.
a) D/3 b) D/2 c) D
d) 2D e) 3D

12. Los radios de las bases de un tronco de cono recto miden R y r (R mayor que r). ¿Cuál debe ser la medida de la altura para que el área lateral sea igual a la suma de las áreas de las bases?
a) b)
c) d) e) n.a.

CILINDRO Y CONO

1. Calcule el volumen del cilindro de revolución generado por una región rectangular de diagonal que gira alrededor de su lado mayor, dicho lados se encuentran en la relación de 1 a 2.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Del grafico:

RPTA.: C

2. Calcule la relación entre los volúmenes de los cilindros que genera un rectángulo de y de lados, cuando gira alrededor de cada uno de ellos.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

3. Calcule el volumen de un cilindro de revolución inscrito en un cubo de arita .

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Del gráfico: h= 3

RPTA.: E

4. Calcule el volumen de un cilindro de revolución circunscrito a un hexaedro regular de de volumen.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

*
a = 2
h = 2

RPTA.: C

5. Se inscribe un prisma regular hexagonal en un cilindro; en que relación estarán el radio y la altura del cilindro si su área es veces el área lateral del prisma.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Dato:
*

Reemplazando:

r = 2 h

RPTA.: B

6. Dado un cilindro de revolución cuya área lateral es numéricamente igual al volumen, si la generatriz mide 3 m; calcule el perímetro del desarrollo de la superficie lateral.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Dato:

r = 2

RPTA.: D

7. El área lateral del cilindro de revolución es y la altura mide 3m. Calcule la menor distancia para trasladarse de A a B recorriendo por la superficie del cilindro.

A) 4m B) 5m C) D) 8m E)

RESOLUCIÓN
El desarrollo lateral de cilindro será:

Dato:

d = 5 m
RPTA.: B

8. En un paralelogramo ABCD , AB=4m y AD=8m. Calcule el volumen de sólido engendrado por la región paralelográmica cuando gira alrededor de BC.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Del gráfico, podemos observar que el volumen pedido es equivalente al volumen del cilindro generado por la región rectangular AMND

RPTA.: E

9. Un cilindro de revolución cuyo radio mide 5m es interceptado por dos planos paralelos de manera que los ejes mayores de las elipses que se forman miden 16m y la generatriz del cilindro oblicuo determinado mide 30m. Calcule el volumen de cilindro oblicuo.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN
Del gráfico: los triángulos rectángulos son semejantes:

*

RPTA.: C

10. Que cantidad de agua será necesario vertir en un recipiente cilíndrico, si se desea que el nivel del líquido alcance la base superior del cubo de arista 2m interior al cilindro.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Del gráfico:
*

Sabemos que:

RPTA.: A

11. Si el área lateral de un cono de revolución es igual a veces el área de su base. Calcule el ángulo que forma la generatriz con la altura.

A) 30° B) 60° C) 37° D) 53° E) 45°

RESOLUCIÓN

Piden:
Dato:

RPTA.: E

12. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular de 60° en el cual se puede inscribir una circunferencia de radio 1. Calcule el volumen del cono.

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN
En el desarrollo del cono:

Del gráfico: g = 3
Luego:

RPTA.: A

13. La superficie total de un cono recto es y el producto de la generatriz y el radio es . Calcule el volumen del cono.

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN
Dato:
*
* r g= 136



 r = 8
 g = 17
*

RPTA.: D

14. La altura de un cono de revolución es congruente al radio de la base de un cilindro recto y viceversa. Si el volumen del cono es el doble del volumen del cilindro y la generatriz del cono mide . Calcule el área lateral del cilindro.

A) B)
C) D) E)

RESOLUCIÓN

Dato:

r = 6h

Del gráfico:
h = 2
r = 12

RPTA.: B

15. Se tiene una esfera inscrita en un cono recto tangente a las generatrices en sus puntos medios. Calcule el volumen del cono sabiendo que el radio de la esfera mide 2m.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Del gráfico:



RPTA.: E

16. Calcule el área de la superficie lateral de un cono de revolución, sabiendo que el segmento de mediatriz de una de sus generatrices limitada por la altura del cono es de 4m y la altura del cono es de 10m.

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

Del gráfico:



RPTA.: D

17. El volumen de un cono es y la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule el volumen del sólido determinado por dichos planos.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Dato: Vol =

……………………………..….(I)

…………………………………..(II)
Reemplazando (2) en (1)

RPTA.: B

18. Se tiene un cono circular recto de altura H y el radio de la base igual a R. Calcule la arista del cubo que se puede inscribir tal que una cara este sobre la base del cono y los vértices opuestos a esta sobre la superficie lateral del cono.

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN

Del gráfico:

Los son semejantes:

RPTA.: B

19. Calcule el volumen del tronco de cilindro circular recto mostrado en la figura, si OA =4m (O: centro)

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

* Eje
del gráfico :

RPTA.: C

20. Calcule el volumen de un tronco de cilíndro de revolución sabiendo que se puede inscribir una esfera y que la generatriz mayor mide 6m y la menor 2 m.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

* Eje =
* En el trapecio ABCD:
Por Pithot: 6 + 2 = 2r + AB
AB = 8 – 2r

En :

RPTA.: D

1. Calcule el volumen del cilindro de revolución generado por una región rectangular de diagonal que gira alrededor de su lado mayor, dicho lados se encuentran en la relación de 1 a 2.

A) B) C) D) E)

2. Calcule la relación entre los volúmenes de los cilindros que genera un rectángulo de y de lados, cuando gira alrededor de cada uno de ellos.

A) B) C) D) E)

3. Calcule el volumen de un cilindro de revolución inscrito en un cubo de arita .

A) B) C) D) E)

4. Calcule el volumen de un cilindro de revolución circunscrito a un hexaedro regular de de volumen.

A) B) C) D) E)

5. Se inscribe un prisma regular hexagonal en un cilindro; en que relación estarán el radio y la altura del cilindro si su área es veces el área lateral del prisma.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Dado un cilindro de revolución cuya área lateral es numéricamente igual al volumen, si la generatriz mide 3 m; calcule el perímetro del desarrollo de la superficie lateral.

A) B) C) D) E)

7. El área lateral del cilindro de revolución es y la altura mide 3m. Calcule la menor distancia para trasladarse de A a B recorriendo por la superficie del cilindro.

A) 4m B) 5m C) D) 8m E)

8. En un paralelogramo ABCD , AB=4m y AD=8m. Calcule el volumen de sólido engendrado por la región paralelográmica cuando gira alrededor de BC.

A) B) C) D) E)

9. Un cilindro de revolución cuyo radio mide 5m es interceptado por dos planos paralelos de manera que los ejes mayores de las elipses que se forman miden 16m y la generatriz del cilindro oblicuo determinado mide 30m. Calcule el volumen de cilindro oblicuo.

A) B) C) D) E)

10. Que cantidad de agua será necesario vertir en un recipiente cilíndrico, si se desea que el nivel del líquido alcance la base superior del cubo de arista 2m interior al cilindro.

A) B) C) D) E)

12. Si el área lateral de un cono de revolución es igual a veces el área de su base. Calcule el ángulo que forma la generatriz con la altura.

A) 30° B) 60° C) 37° D) 53° E) 45°

21. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular de 60° en el cual se puede inscribir una circunferencia de radio 1. Calcule el volumen del cono.

A) B)
C) D)
E)

22. La superficie total de un cono recto es y el producto de la generatriz y el radio es . Calcule el volumen del cono.

A) B)
C) D)
E)

23. La altura de un cono de revolución es congruente al radio de la base de un cilindro recto y viceversa. Si el volumen del cono es el doble del volumen del cilindro y la generatriz del cono mide . Calcule el área lateral del cilindro.

A) B)
C) D) E)

24. Se tiene una esfera inscrita en un cono recto tangente a las generatrices en sus puntos medios. Calcule el volumen del cono sabiendo que el radio de la esfera mide 2m.

A) B) C) D) E)

25. Calcule el área de la superficie lateral de un cono de revolución, sabiendo que el segmento de mediatriz de una de sus generatrices limitada por la altura del cono es de 4m y la altura del cono es de 10m.

A) B)
C) D)
E)

26. El volumen de un cono es y la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule el volumen del sólido determinado por dichos planos.

A) B) C) D) E)

27. Se tiene un cono circular recto de altura H y el radio de la base igual a R. Calcule la arista del cubo que se puede inscribir tal que una cara este sobre la base del cono y los vértices opuestos a esta sobre la superficie lateral del cono.

A)
B)
C)
D)
E)

28. Calcule el volumen del tronco de cilindro circular recto mostrado en la figura, si OA =4m (O: centro)

A) B)
C) D)
E)

29. Calcule el volumen de un tronco de cilíndro de revolución sabiendo que se puede inscribir una esfera y que la generatriz mayor mide 6m y la menor 2 m.

A) B) C) D) E)