ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES Y CUADRANGULARES EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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1. ÁREA DEL CUADRADO(S)

2. ÁREA DEL PARALELOGRAMO(S)

3. ÁREA DEL ROMBO (S)

4. ÁREA DEL TRAPECIO (S)

 TEOREMA
Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio.

7. ÁREA DE UN TRAPEZOIDE (S)

8. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA (S)

9. TEOREMA
En todo cuadrilátero convexo se cumple, que al unir los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo; cuya área es igual a la mitad del área del cuadrilátero.

S =

Demostración
Comparación de Áreas
S1 =
Sumando las 2 expresiones
S1 + S3 =

S1 + S3 =
Analógicamente:
S2 + S4 =
S = L.q.q.d
Observación: Igualando (1) y (2)

S1 + S3 = S2 + S4

10. ÁREA DEL CUADRILÁTERO
CIRCUNSCRITO
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, el área es igual al producto del semiperímetro y el radio de dicha circunferencia.

S = p.r.

p =
S = Area (ABCD)
Demostración
S = Area (AIB) + Area (BIC) +
Area (CID) + Area (AID)

S =

S =

S = p.r. L.q.q.d

11. Área del Cuadrilátero Inscrito (Teorema de Bramaguptha)

S =

S = Area (ABCD), p =
* Se deja la demostración al lector

12. Área del Cuadrilátero Bicéntrico (S)
(Teorema de Leudesdorf)

S =

Demostración:
1) PITHOT a+c = b+d = p
2) Teorema de Bramaguptha

S=
S =

S = L.q.q.d

13. PROPIEDADES DE LAS REGIONES CUADRANGULARES
13.1 Si en un cuadrilátero convexo se trazan las diagonales se determina cuatro triángulos parciales y cumple que los productos de las áreas de los triángulos opuestos son iguales.

S1 . S3 = S2 . S4

Demostración
1) Comparación de Áreas

2) Igualando

S1 . S3 = S2 . S4 L.q.q.d

13.2 En todo trapecio, las áreas de los triángulos laterales determinados al trazar las dos diagonales, son iguales. Es decir dichos triángulos son equivalentes.

S1 = S2

Demostración
1) Área (ABD) = Área (ACD) =
S1 + Z = Z + S2

2) Simplificando Z

S1 = S2 L.q.q.d.

13.3 Si ABCD es Trapecio

S1 = Area (BPC)
S2 = Area (APD)
S = Area (ABCD)

S =

Demostración
1) Propiedad 13.2
Area (APB) = Area (CPD) = X

2) Propiedad 13.1
X² = S1 . S2  X =
3) S = S1 + 2X + S2 ….. (2)
4) (1) en (2)
S=( )²+ 2 + ( )²
S = ( + )²

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

CIRCULO. Es la región del plano limitada por una circunferencia
Teorema 1. El área de todo círculo es igual al semiproducto de la longitud de su circunferencia y el radio
S: Área del Círculo
C: Longitud de la circunferencia

C = 2 R

S =
R = S =  R²
D: Diámetro S = 
R: Radio S =

II. SECTOR CIRCULAR
Es la porción del círculo limitada por dos radios
Teorema 2. El área de todo sector circular de radio R y ángulo central “” es:
S: Area del Sector Circular
R² —— 360º
s —— º

(I)


O es centro 2R —– 360º
R es radio  —— 
 es longitud de arco

 = (II)
Dividendo I entre II

S =

III. SEGMENTO CIRCULAR
Es la porción del círculo limitada por una cuerda y su respectivo arco.

S = Area del Segmento Circular

S = -

S =

S =

IV. ZONA O FAJA CIRCULAR
Es la porción de círculo limitada por dos cuerdas paralelas.
a) Las bases a un mismo lado del centro.
S: Área de la faja circular

mAOD = 
mBOC = 

S = SADsegmento – SBCsegmento

S =
Si  +  = 180º Sen  = Sen 
S =

b) Las bases a diferentes lados del centro.
O : Centro
S : Area de la faja circular

mAOD = º

mBOC = º
S = R² – S AD segmento – S BC segmento
S =
Si  +  = 180º => Sen  = Sen 

S =

V. CORONA CIRCULAR
Se llama así a la región del plano exterior a la menor de dos circunferencias concéntricas e interior a la mayor
S : Área de la
A B Corona Circular
S =  R² –  r²

S =  (R² – r²)

Pitágoras: R² – r² =
S =

AB es cuerda tangente a la circunferencia menor

VI. TRAPECIO CIRCULAR
O es el centro
S es área del trapecio circular

S =

S =

S =
a : Longitud del arco AB
b : Longitud del arco CD

OBSERVACION
En algunos problemas donde no sea necesario resaltar el ángulo central del sector circular al que hagamos referencia escribiremos las expresiones directas para el área, como una fracción del círculo correspondiente

La Mitad de circulo Un Tercio de circulo

Un cuarto de circulo Un Sexto de circulo

PROPIEDAD 1

S1 + S2 = S3

S1 : Área del semicírculo de
diámetro AB
S2 : Área del semicírculo de
diámetro BC
S3 : Área del semicírculo de
diámetro AC

Demostración.
1. S1 = AB², S2 = BC²,
S3 = AC²
2. S1 + S2 = (AB² + BC²)
3. S1 + S2 = AC²

4. S1 + S2 = S3 L.q.q.d.

LUNULAS DE HIPÓCRATES

S1 y S2 son áreas de las lúnulas.
S : Área del triángulo ABC

S1 + S2 = S

Demostración:
Por la propiedad 1

(S1 + X) + (S2 + Z) = (X + S + Z)

S1 + S2 = S L.q.q.d.

PROPIEDAD 2

S = S2 – S1

S : Area del triángulo ABC

Demostración:
Por la propiedad 1

(Z+X+S1)+(S1+Y+W) = (Z + S2 + W)

x + S1 + y + S1 = S2

S + S1 = S2

S = S2 – S1 L.q.q.d.

PROPIEDAD 3

S4 = S1 + S2 + S3

Demostración:

Propiedad 2 : S4 – S3 = Area (ABC)
Lúnulas: S1 + S2 = Area (ABC)
Igualando: S4 – S3 = S1 + S2

S4 = S1 + S2 + S3 L.q.q.d.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Las diagonales de un cuadrilátero miden 30m y 40m. Calcular el área del cuadrilátero sabiendo además que dichas diagonales forman un ángulo de 30°.
A) 100m2 B) 200 m2 C) 300 m2
D) 400 m2 E) 500 m2

2. Sobre la circunferencia de un círculo de 6m de radio se toma el punto “M”, luego haciendo centro en “M” y con radio m. se traza un arco en el interior, cortando a la circunferencia en los puntos A y B. Calcular el área de la lúnula que se ha formado.

A) 12m2 B) 20 m2 C) 30 m2
D) 36 m2 E) 46 m2

3. Se tiene un rectángulo ABCD en la que AB = 12m y BC= 6m; se toma como diámetro AB y se construye el semicírculo en el interior del rectángulo y luego haciendo centro en A y B se construyen en el interior del cuadrado, cuartos de círculos. Calcular el área común a los tres arcos.
A) 6( – ) B) 6( – )
C) 4( + ) D) 2( – )
E) 3( + )

4. ABCDEF, es un hexágono regular da lado 6cm. Con centro en “A”, se traza un arco CE. Luego con centro en “D” se traza un arco de radio 6cm. hallar el área de la región que encierran dichos arcos.
A) (30 – ) B)(30- )
C) ( +6) D) ( – 30)
E) ( – 36)

5. AC es diámetro de una semicircunferencia circunscrita al triángulo isósceles ABC. Con centro en A y radio AC, se traza un arco CF, estando F en la prolongación de AB. Luego exteriormente al triángulo ABC se dibuja otra semicircunferencia de diámetro AF. Hallar el área de la región que encierra las curvas ABC, CF y FA, si la región triangular ABC tiene un área de 8m2.

A) 4m2 B) 5 m2 C)6 m2
D) 8 m2 E) 16m2

6. Sobre el diámetro AC de un semicírculo se toma el punto B y se dibuja interiormente dos semicircunferencias AB y BC (ABBC). Hallar el área de la región que encierran los arcos AB, BC y AC, si el segmento tangente común a AB y BC mide 8cm.

A) 64cm2 B)24cm2 C)32cm2
D) 16cm2 E) 8cm2

7. Un rectángulo de 48m2 de superficie esta inscrito en una circunferencia de 10 metros de diámetro. Hallar el perímetro del rectángulo

A) 48m B) 28m C)30m
D) 40m E) 25m

8. En el interior de un rectángulo ABCD, se ubica el punto “P” y en AD se ubica el punto “M”, tal que el triángulo MPD es equilátero. Calcular el área de la región cuadrangular BDCP, si MD= 2AM=12u.

A) B) C)
D) E)

9. Hallar el área de un trapecio rectángulo cuyas base miden 4 y 13 metros, sabiendo que una diagonal es perpendicular a un lado

A) 42m2 B) 51m2 C)64m2
D) 36m2 E) 60 m2

10. Se tiene un cuadrado ABCD, en la prolongación de AD se ubica el punto “M” y en CD al punto “L” tal que DMNL sea un cuadrado y AM=10u. Calcular el área de la región cuadrangular ABNM

A)25 u2 B) 30 u2 C)50u2
D)100 u2 E) 60 u2

11. Hallar el área de un rombo ABCD si “M” biseca a BC; AM corta BD en R, RM=2u y BRM=45°.

A) 12u2 B) 24u2 C)36u2
D) 48u2 E) 60u2

12. Hallar el área de un trapecio rectángulo ABCD, si ADDC; la base menor es DC=4; el lado no paralelo CB = 13 y la diagonal DB = 15.

A) 68u2 B) 78u2 C)88u2
D) 98u2 E) 100 u2

13. Hallar el área de región limitada por el rectángulo ABCD. Si las proyecciones de AB y AD sobre AC son 4m y 8m repectivamente

A) B) C)
D) E)

1. En el romboide ABCD donde , se construyen exteriormente los cuadrados BCMR y DCPQ. Calcule el área de la región triangular CMP si el área de la región ABCD es

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

sen 30º

RPTA.: B

2. En que relación se encuentran las áreas de las regiones cuadradas ABCD y DRQP mostradas en la figura:

A) B) 2:1
C) D) 3:1
E) 5:1

RESOLUCIÓN

• Luego

RPTA.: D

3. En un trapezoide de área se unen los puntos medios de 3 lados consecutivos, luego los puntos medios de los lados del triángulo formado y así sucesivamente los puntos medios del nuevo triángulo hasta el infinito. Calcule la suma de las áreas de las figuras formadas al unir los puntos medios.

A) B) C)
D) E)

RESOLUCIÓN

Del dato = S

.
.

x

RPTA.: C

4. Las bases de un trapecio RUSO están unidas por un segmento MN (N en ) , US= 10 m, RO= 20 m y NO = 12 m Calcule MS si MS > UM y las áreas de las regiones parciales están en la relación de 1 A 2

A) 2 m B) 4 m C) 6 m
D) 8 m E) 10 m

RESOLUCIÓN

• Por áreas:

RPTA.: D

5. En la figura, calcule el área de la región triangular CAD si: , y siendo y lados del triángulo equilátero y cuadrado inscritos en la circunferencia, “Z” es el centro.

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN

 Por arcos

Luego:

 Por tanto

RPTA.: C

6. En el cuadrilátero MAON donde y . Calcule el área de la región triangular NAO.

A) B) C)
D) E)

RESOLUCIÓN

* (ALA)

*

RPTA.: A

7. En el cuadrante , OA = 1m. Calcule el área de la región sombreada.

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

(Isósceles):

Por relación de áreas:

Área

RPTA.: D

8. En la figura “M” es centro, CP = PM ND = 2 MN y el radio mide 60m. Calcule el área de la región sombreada.

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: E

9. Se tiene 2 circunferencias congruentes de radios “R” y secantes en los puntos C y D (Los centros de las circunferencias son A y B) de tal manera que el centro de una circunferencia pertenece a la otra circunferencia; la recta tangente en “A” intercepta a la otra circunferencia en “P” y luego intercepta a en Q. Calcule el área del segmento circular QAC.
A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

10. En la figura mostrada, “O” es centro. Calcule el área de la región sombreada.

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: A

11. En un cuadrante AOB de centro “O” y radio 2 m se ubica en el punto M y se traza una perpendicular a que intercepta a y en los puntos N y P respectivamente. Calcule el área de la región triangular mixtilínea ANP si MN = NP.

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN

OMP:

RPTA.: B

12. Calcule el área de la región sombreada si: AB = BC = CD y el radio mide (“O” es centro de la circunferencia).

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN

• OHD (Pitágoras)

Luego:

 2
RPTA.: D

13. En el octágono regular ABCDEFGH inscrito es una circunferencia de radio 2 m. Calcule el área de la región cuadrangular que se obtiene al unir los puntos medios de , ,
y .

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN
Radio = 2 m

• BF = Diámetro = 2R = 2 (2) = 4
• Trapecio


Área =

RPTA.: B

14. En la figura, calcule Sx, si: , y EF = FL

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

Área AEDF =
…………………
• Igualando =

8 + 18 =
36 =

RPTA.: E

15. Calcule el área de la región sombreada si: , AG = GF y el área de la región triangular ABC es

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN

• Por Thales: y
• Paralelogramo DBEF:
BO = OF
• ( BASC Media):

• y ( igual):

RPTA.: A

16. Calcule el área de la región sombreada si: AB =BC y R = 6 m.

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

17. En la figura el área de la región triangular mixtilínea AGE es , el área del sector DOC es y
= ; BG = BF = 2 AG.
Calcule el área de la región sombreada (O es centro de la circunferencia).

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN
• Por igual altura

RPTA.: C

18. En la figura: “O” centro, AM= 2 y . Calcule el área de la región sombreada.

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

19. En el triángulo ABC se traza la mediatriz MN de siendo , N en ; luego se traza la altura BH. Calcule el área de la región cuadrangular ABNH, si el área de la región triangular ABC es S.

A) B) C)
D) E)

RESOLUCIÓN

Se trata la mediana BM

• Luego trapecio BHMN, por propiedad:

• Finalmente:

RPTA.: D

20. Calcule el área de la corona circular si: AP = a y PC = b (C: pto. de tangencia)

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN
Por Teorema de la tangente

• Por Pitágoras AED:

RPTA.: C
1. En el romboide ABCD donde , se construyen exteriormente los cuadrados BCMR y DCPQ. Calcule el área de la región triangular CMP si el área de la región ABCD es

A) B)
C) D)
E)
2. En que relación se encuentran las áreas de las regiones cuadradas ABCD y DRQP mostradas en la figura:

A) B) 2:1
C) D) 3:1
E) 5:1
3. En un trapezoide de área se unen los puntos medios de 3 lados consecutivos, luego los puntos medios de los lados del triángulo formado y así sucesivamente los puntos medios del nuevo triángulo hasta el infinito. Calcule la suma de las áreas de las figuras formadas al unir los puntos medios.

A) B) C)
D) E)

4. Las bases de un trapecio RUSO están unidas por un segmento MN (N en ) , US= 10 m, RO= 20 m y NO = 12 m Calcule MS si MS > UM y las áreas de las regiones parciales están en la relación de 1 A 2

A) 2 m B) 4 m C) 6 m
D) 8 m E) 10 m

5. En la figura, calcule el área de la región triangular CAD si: , y siendo y lados del triángulo equilátero y cuadrado inscritos en la circunferencia, “Z” es el centro.

A)
B)
C)
D)
E)

RESOLUCIÓN

6. En el cuadrilátero MAON donde y . Calcule el área de la región triangular NAO.

A) B) C)
D) E)

7. En el cuadrante , OA = 1m. Calcule el área de la región sombreada.

A) B)
C) D)
E)

8. En la figura “M” es centro, CP = PM ND = 2 MN y el radio mide 60m. Calcule el área de la región sombreada.

A) B)
C) D)
E)

9. Se tiene 2 circunferencias congruentes de radios “R” y secantes en los puntos C y D (Los centros de las circunferencias son A y B) de tal manera que el centro de una circunferencia pertenece a la otra circunferencia; la recta tangente en “A” intercepta a la otra circunferencia en “P” y luego intercepta a en Q. Calcule el área del segmento circular QAC.
A) B)
C) D)
E)

10. En la figura mostrada, “O” es centro. Calcule el área de la región sombreada.

A) B)
C) D)
E)

11. En un cuadrante AOB de centro “O” y radio 2 m se ubica en el punto M y se traza una perpendicular a que intercepta a y en los puntos N y P respectivamente. Calcule el área de la región triangular mixtilínea ANP si MN = NP.

A)
B)
C)
D)
E)

12. Calcule el área de la región sombreada si: AB = BC = CD y el radio mide (“O” es centro de la circunferencia).

A)
B)
C)
D)
E)

13. En el octágono regular ABCDEFGH inscrito es una circunferencia de radio 2 m. Calcule el área de la región cuadrangular que se obtiene al unir los puntos medios de , ,
y .

A)
B)
C)
D)
E)

14. En la figura, calcule Sx, si: , y EF = FL

A) B)
C) D)
E)

15. Calcule el área de la región sombreada si: , AG = GF y el área de la región triangular ABC es

A)
B)
C)
D)
E)

16. Calcule el área de la región sombreada si: AB =BC y R = 6 m.

A)
B)
C)
D)
E)
17. En la figura el área de la región triangular mixtilínea AGE es , el área del sector DOC es y
= ; BG = BF = 2 AG.
Calcule el área de la región sombreada (O es centro de la circunferencia).

A)
B)
C)
D)
E)
18. En la figura: “O” centro, AM= 2 y . Calcule el área de la región sombreada.

A)
B)
C)
D)
E)
19. En el triángulo ABC se traza la mediatriz MN de siendo , N en ; luego se traza la altura BH. Calcule el área de la región cuadrangular ABNH, si el área de la región triangular ABC es S.

A) B) C)
D) E)