RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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TEOREMA DE LAS CUERDAS
Si en una circunferencia se tiene dos cuerdas secantes, el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

PA x PB = PC x PD

Demostración:

TEOREMA DE LAS SECANTES
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, los productos de las medidas del total de la secante y su parte externa son iguales.

PA x PB = PC x PD

Demostración:

TEOREMA DE LA TANGENTE
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una secante y un tangente, la medida de la tangente es media proporcional entre las medidas del total de la secante y su parte externa.

PA² = PB x PC

Demostración

PA² = PB x PC Lqqd

TEOREMA DEL PRODUCTO DE LOS LADOS
En un triángulo inscrito en una circunferencia, el producto de las medidas de dos lados cualesquiera es igual al producto de las medidas del diámetro y la altura relativa al tercer lado.

AB x BC = 2R x BH

h =

TEOREMA DE STEWART
Si en un triángulo se traza una ceviana interior se cumple que:

bx² = a²m + c²n – bmn

TEOREMA DE LA MEDIANA

En todo triángulo, la suma de los cuadrados de dos lados cualquiera es igual doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado, más la mitad del cuadrado de este mismo lado.

Si en un triángulo se traza una mediana se cumple que:

BM : Mediana
BM : mb

a² + c² =

Análogamente

a² + b² =

b² + c² =

TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA

La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al doble producto del tercer lado por la proyección de la mediana sobre el tercer lado.
BM : Mediana

m : Proyección de la mediana

a² – c² = 2bm

TEOREMA DE BOOTH
En todo triángulo se cumple que la razón entre la suma de los cuadrados de las medianas con la suma de los cuadrados de sus lados es igual a ¾

AN = ma
BP = mb
CM = mc

TEOREMA DE HERON
(Cálculo de Altura)
p = semiperímetro
p =

hb=

TEOREMA DE EULER
En todo cuadrilátero (convexo, cóncavo alabeado), la suma de los cuadrados de las medidas de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las diagonales más cuatro veces el cuadrado de la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

a
AP = PC

BQ = QD

d b

c

a² + b² + c² + d² = AC² + BD² + 4PQ²

COROLARIO.

En todo trapecio la suma de los cuadrados de las medidas de los lados no paralelos más el doble del producto de las medidas de las bases es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las diagonales.

CÁLCULO DE LA BISECTRIZ

BISECTRIZ INTERIOR
(BD = X)

X² = ac-mn

X

x =

AD = m, DC = n

BISECTRIZ EXTERIOR
(BF = X)

x² = mn – ac

x =

AF = m, CF = n

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar “x”

a) 6
b) 8
c) 12
d) 9
e) 7

Resolución

Teorema de las cuerdas
4x = a(2a)
6(8) = a(2a)
Igualando 4x = 6(8)

X = 12 Rpta. c

2. Hallar “x”

a) 6
b) 9
c) 5
d) 8
e) 10

Resolución
1) Teorema de las cuerdas

10y = 5(4)
y = 2 ……. (1)

2) Teorema de la tangente

x² = 4(14 + y) ….. (2)

3) Reemplazando (1) en (2)

x² = 4 (14 + 2)

x = 8 Rpta. d

3. Hallar “x”

a) 4
b) 3
c) 8
d) 9
e) 6

Resolución

Teorema de las Secantes

5(5+7) = PA.PB
x(x+4) = PA.PB

Igualando
X(x+4) = 5(12)
X(x+4) = 6(10)

X = 6 Rpta. e

4. Hallar “x”

a) 8 x + y
b) 16
c) 4
d) 12
e) 6

Resolución

1) Teorema de las cuerdas
5y = 10(2)
y = 4 ……. (1)
2) Propiedad de Tangentes
PA = PB = x + y …….. (2)
3) Teorema de la Tangente
PA² = x (x+y+5) ……. (3)
4) Reemplazando (2) en (3)
(x + y)² = x (x+y+5) ….(4)
5) Reemplazando (1) en (4)
(x+4)² = x(x + 4 + 5)
x² + 8x + 16 = x² + 9x

16 = x Rpta. b

5. Hallar “x”

a) 20
b) 10
c) 40
d) 25
e) 16

Resolución

1) Teorema de la tangente
x² = a(a+b) ………….. (1)

2) Teorema de la secante
16(16+9) = a(a+b) …..(2)

3) Igualando
x² = 16(16+9)
x = 4(5)

x = 20 Rpta. a

6. Hallar “x”

a) 9
b) 10
c) 8
d) 6
e) 7

Resolución

Teorema de la mediana
9² + 13² = 2x² +
250 =

5x² = 500

x = 10 Rpta. b

7. Hallar “x”

a) 13
b) 10
c) 15
d) 17
e) 14

Resolución
1) Teorema de Stewart
21x²=14(20)²+7(13)²-14(7)(21)

Sétima
3x² = 2(20)² + 13² – 14(21)
3x² = 800 + 169 – 294
3x² = 675
x² = 225

x = 15 Rpta. c

8. Hallar BM. Si: el diámetro AC mide 10 y AD = 2 , AM = MD, DNA = NC

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Resolución

1) Dato AC = 10
2) Pitágoras ABC
a² + b² = 10² …. (1)
3) Teorema de la mediana
a² + b² = 2x² +
4) Reemplazando (1) en (2)
10² = 2x² + 28

x = 6 Rpta. b

9. En un rombo ABCD se ubica el punto medio P de , tal que AP² + PD² = 250. Hallar AB

a) 6 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20

Resolución

1) Dato AP² + PD² = 250
a² + b² = 250 …….. (1)
2) Teorema de la mediana
a² + b² = 2² + … (2)

3) Reemplazando (1) en (2)
250 =

 = 10 Rpta. c

10. Los lados de un paralelogramo miden 15 y 20, la diagonal mide 17. Calcular la medida de la otra diagonal

a) 24 b) 27 c) 30 d) 31 e) 36

Resolución

Teorema de la mediana ABC
15² + 20² = 2
225 + 400 =
Por 2:
1250 = x² + 289
961 = x²

x = 31 Rpta. d

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si: AB = 9; 2(BC)=3(CD), calcule DE.
A) 9
B) 6
C) 4
D) 5
E)

2. Si: QD = 1; TB = 2 y ND = CB; calcule AD (D y T son puntos de tangencia).

A) 3
B) 5
C)
D) 4
E)

3. Si O es el centro del cuadrado ABCD; PQ = 2 y QC = 3; calcule AB.

A)
B)
C)
D)4
E)

4. Si G es baricentro de la región triangular ABC; (NC)2 – (AN)2 = 12. calcule BG.

A)
B)2
C)
D)
E)4

5. Si PQ = QH = 2; calcule QB.
A) 3
B)
C)
D)
E)

6. Si: DH = HP y PT = 4; calcule: (AB)(CD). (T: punto de tangencia)
A) 10
B)16
C)14
D)12
E)

7. Si: ABCD es un romboide; AD = 6; A y Q son puntos de tangencia; calcule PQ. PDAD
A)
B)
C)
D)3
E)4

8. En el lado AC de un triángulo equilátero ABC se ubica al punto P; luego se traza una circunferencia tangente a en P y que pasa por B; además interseca a y en R y T; calcule RT si AP=6 y PC=3.
A) 6 B) C) 7
D) E)

9. Del gráfico, calcule .
A) 1
B) 1:5
C) 2:3
D) 2:5
E) 4:5

10. Si A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule PH en función de a y b

A)
B)
C)
D)
E)

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. En una circunferencia de centro “O” se ubican los puntos A y B; luego se ubica “M” en tal que: AB = 9 m, AM = MO = 4m; calcule BO:

A) 4m B) 5 m C) 6 m
D) 7 m E) 8 m

2. Por lo vértices B y C de un rectángulo ABCD se traza una circunferencia tangente a que intersecta a en “M”; calcule “BC”, si BM = 99 m y AM = 1m

A) 10 m B) 15 m C) 20 m
D) 25 m E) 100 m

3. Dado un cuadrante AOB; se ubica el punto “M” en la prolongación de tal que intercepta al arco AB en “N”; calcule “MN” si: OB = 3 m y MB = 1 m.

A) 1 m B) 2 m C) 3 m
D) 2,8 m E) 1, 4 m

4. En un trapecio isósceles ABCD; calcule AC si: AB = CD = 4m; BC= y AD = .

A) 4 m B) 8m C)
D) 6 m E) 5 m

5. Dadas 2 circunferencias tangentes exteriores en “E”; se traza una recta tangente a una de ellas en “D” que intercepta a la otra circunferencia en “B” y “A”; ; la recta tangente común interior intercepta a en “C”; Calcule “DC” si:

A) 2,5 B) 5 C) 10
D) 15 E)

6. En un paralelogramo ABCD, la circunferencia circunscrita al triángulo ACD intercepta en “E” a la prolongación de ; calcule EB si: AC = 12 m y BD = 8m.

A) 6 B) 4 C) 3
D) 2 E) 5

7. En un triángulo ABC; se traza la altura .
Calcule AB.
A) 4 m B) 2 C) 6 m
D) 8 m E) 2 m

8. Dado un hexágono regular ABCDEF inscrito en una circunferencia; se ubica el punto “P” en el arco AB; calcule: “PE” si PC = 5 m y PA = 1 m.

A) 1 m B) 2 m C) 4 m
D) 6 m E) 3 m

9. Se tienen dos circunferencias exteriores, se trazan las rectas tangentes comunes exteriores AB y CD, A y C en una misma circunferencia; calcule la razón entre las longitudes de las cuerdas determinadas en las circunferencias por: AD.

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

10. En un cuadrado ABCD (AB = 20 m), con centro en “A” y radio AB se traza el arco BD que intercepta a la circunferencia inscrita en el cuadrado en: M y N; calcule “MP” si “P” es el punto de intersección de la circunferencia inscrita con .

A) 5 m B) 10 m C) 15 m
D) 20 m E) 25 m

11. En un cuadrante BOD se inscribe el cuadrado OFCE; ; en la prolongación de se ubica el punto “A” tal que AO = OD ; AF intercepta al arco BD en M; si: FM= a; calcule “ CE”.

A) a B) C)
D) E)

12. Exterior A un cuadrado ABCD de centro “O” se construye el triángulo rectángulo AEB (recto en “E”);calcule “EO”si:AE + EB = 6m.

A) 4 m B) 3 m C) 6 m
D) m E) m

13. Se tienen dos circunferencias exteriores, se trazan las rectas tangentes comunes interiores AB y CD; A y C en una misma circunferencia; BC intercepta a las circunferencias en M y N ; calcule MB si: CN=2 m.

A) 1 m B) 2 m C) 4 m
D) 0,5 m E) 1 ,5 m

14. En el triángulo ABC, se ubican los puntos D, E, F y G en y respectivamente; calcule BE; AD = 6 m, DB = EC = 4 m y AG = FC (B, D, G, F y E son puntos cíclicos)

A) 4 m B) 6 m C) 10 m
D) 14 m E) 11 m

15. En una semicircunferencia de diámetro AB se ubican los puntos D y C, ; .
Calcule EC, DE = 6 m, EB = 9m y AB = 17 m.

A) 6 m B) 9 m C) 4,8 m
D) 5,4 m E) 3, 6 m

16. Desde un punto exterior “E” a una circunferencia se trazan las rectas secantes EAB y ECD; es la cuerda tangente en “M” a ; calcule , si: , CD = 10 m y EA = AM.

A) 8 m B) 9 m C) 10 m
D) 11 m E) 12 m

17. En un triángulo ABC se traza una circunferencia tangente a y en M y N respectivamente, dicha circunferencia intercecta a y en P y Q respectivamente; calcule AM si: NC = 4 m, PC = 1m y AQ = 5 m.

A) 5 m B) 6 m C) 8 m
D) 9 m E) 10 m

18. Desde un punto exterior “E” a una circunferencia se trazan la recta tangente EA y la recta secante EBC; el punto medio “M” de determina en una cuerda de dicha circunferencia segmentos de longitudes 3 m y 4 m. Calcule EA si B y M trisecan a .

A) 4 m B) 5 m C) 6 m
D) 7 m E) 8 m

19. Desde un punto “A” exterior a una circunferencia, se trazan las rectas tangentes y , también se traza la recta secante ADE; . Calcule: AD; DM = 2 m y ME = 3 m

A) 10 m B) 5 m C) 21 m
D) 8 E) 16 m

20. Calcule la distancia entre el incentro y el circuncentro de una triángulo, si las longitudes del inradio y circunradio son: 2 m y 6 m respectivamente.