LA ESFERA EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO PREUNIVERSITARIA EN PDF

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SUPERFICIE ESFÉRICA

Es la superficie por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro tomado como eje.

PARTES DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA

1. ZONA ESFÉRICA

Es la parte de la superficie de la esfera comprendido entre dos planos paralelos; cuando los dos planos son secantes se obtiene, la zona de dos bases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se obtiene la zona de una base o casquete esférico.

a) Zona de dos bases

b) Zona de una base o casquete esférico

2. HUSO ESFÉRICO

Es la parte de la superficie esférica limitado por dos semicircunferencias máximas qT tienen un mismo diámetro.

SHuso = R² .

ESFERA
Es el sólido generado por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro tomado como eje.

V =

PARTES DE VOLÚMENES DE ESFERA

1. Sector esférico. Es el sólido generado por un sector circular que gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice sin cortarlo.

V =

v =

2. Anillo Esférico

Es el sólido generado por la rotación de un segmento circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro del círculo a que pertenece del segmento circular.

V =

3. Segmento Esférico
Es la parte del volumen de una esfera limitado por dos planos paralelos; cuando los dos planos son secantes se obtiene un segmento esférico de dos bases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se obtiene un segmento esférico de una base.

V =

V =

4. Cuña Esférica
Es la parte de la esfera limitado por dos semicírculos máximos que tienen su mismo diámetro.

VCuña = R3 x

TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDIN

1º TEOREMA

El área de la superficie que genera una línea plana cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad por la longitud de la línea.

S = 2d . LAB

2º TEOREMA

El volumen que genera una superficie plana cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad por el área de la superficie plana.

V = 2d . A

PROBLEMAS RESUELTOS
1. El volumen del sólido generado por la rotación sobre el segmento AB del triángulo.

a) 152 cm3
b) 239 cm3
c) 210 cm3
d) 156 cm3
e) 196 cm3
Resolución

1) ACB Relaciones Métricas
r2 = 4(9)
r = 6

2) Al girar, se forma dos conos

Volumen =
Volumen = 108 + 48

Volumen = 156 Rpta. d

2. En una esfera de radio R se inscribe un cono de altura h y base de radio r, la relación entre r, h y R es:

a) h+r =2R b) h = R+r
c) R2+h2 =2Rr d)r2+ h2 =2Rh
e) R2+ r2 = 2rh

Resolución

1) x + R = h
x = h – R …….(1)

2) Pitágoras
r2+x2 = R2 …..(2)

3) Reemplazando (1) en (2)
r2+(h-R)2 =R2
r2+h2-2Rh+R2 = R2

r2 + h2 = 2Rh Rpta. d

6. Los radios de dos esferas son entre si como 2 es a 3. Si el área de la primera es 400cm2 ¿Calcular el área de la segunda esfera?

a) 600cm2 b) 800cm2
c) 900cm2 d) 1200cm2
e) 1600cm2

Resolución

S: área de la segunda esfera

Rpta. c

3. Una esfera de cobre se funde y con el metal se hacen conos del mismo radio que la esfera y de altura igual al doble de dicho radio ¿Cuántos conos se obtienen?

a) 1 b) 2 c)3 d)4 e)5

Resolución

x : Número de conos

x = 2 Rpta. b

EJERCICIOS

01. Determinar a que distancia del centro de una esfera de radio se debe seccionar con un plano para que la diferencia de las áreas de los casquetes esféricos determinados sea igual al área de la sección que divide a la esfera en dichos casquetes.
a) 0,6m b) 0,8m c) 1m
d) 2m e) 3m

02. Hallar el área de la sección que se determina al intersecarse una esfera y un cono, ambos inscritos en un cilindro recto cuyo radio de la base es .
a) 2m2 b) 4m2 c) 8m2
d) 12m2 e) 15m2
4
03. Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro y un cono equilátero circunscrito a esta esfera hallar la suma de los volúmenes de los tres sólidos.
a) b) c)
d) e)
04. En una esfera de radio R se halla inscrito un cono circular recto de altura “h”, hallar la superficie lateral del cono.
a) b)
c) d)
e)
05. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un octaedro regular de 1/m3 de volumen.
a) 1m3 b) 0,5m3 c)1,5m3
d) m3 e) N.A.

06. Sean E1 y E2 dos esfera, si el volumen de E2 es el doble del volumen E1 y el radio de .
Hallar el volumen de E2.
a) 612cm3 b) c)412cm3 d) e) 552cm3
07. Hallar el área total de un cono circunscrito a dos esferas tangentes exteriores cuyos radios son 1 y 3m.
a) 9m2 b) 36m2 c)72m2
d) 81m2 e) 120m2

08. La suma de las inversas de las medidas de las 4 alturas de un tetraedro es 1/6. Hallar la medida del radio de la esfera inscrita.

a) 2 b) 3 c)6 d) 12 e) n.a.

09. Calcular el volumen de la cuña esférica, si el área del huso esférico de 30º es de 108m².
a) 624m3 b) 630m3 c) 640m3
d) 648m3 e) 650 m3

10. Es una esfera de 15m de radio, dos planos paralelos distantes 8m, seccionan a la esfera. Hallar el área de la zona.
a) 653.60 m² b) 753.60 m²
c) 743.60 m² d) 733.60 m²
e) n.a.

11. Un cilindro macizo de plomo tiene un diámetro “D” y una altura “D” se funde el cilindro para obtener 2 sólidos: un cono recto y una esfera. Si el cono tiene una altura D una base con diámetro “D”. ¿Que diámetro tendrá la esfera?.

a) D/3 b) D/2 c) D
d) 2D e) 3D

12. Los radios de las bases de un tronco de cono recto miden R y r (R mayor que r). ¿Cuál debe ser la medida de la altura para que el área lateral sea igual a la suma de las áreas de las bases?
a) b)
c) d) e) 2Rr

13. Se circunscribe un cono circular recto a 2 esferas tangentes exteriormente de radios 2 y 6.
Evaluar la altura del cono:

a) 18 b) 17 c) 15 d) 12 e) 20

ESFERA Y ROTACIONES

1. Calcule a que distancia del centro de una esfera de radio m se debe seccionar con un plano para que la diferencia de las áreas de los casquetes esféricos determinados sea igual al área de la sección que divide a la esfera en dichos casquetes.

A) 0,6m B) 0,8m C) 1m
D) 2m E) 3m

RESOLUCIÓN

Dato: R =

i) OHA: ………..
ii) A casquete -A casquete =
mayor menor

 ………………………………….

y :

RPTA.: C

2. Calcule el área del círculo limitado por la intersección de una superficie esférica y una superficie cónica, ambas inscritas en un cilindro de revolución cuyo radio de la base es .

A) 2  m2 B) 4  m2 C) 8  m2
D) 12  m2 E) 15  m2
4
RESOLUCIÓN

Dato:

i)

 x = 2r –R………………………………….

ii) OPQ:
……………………………….

en :

RPTA.: E

3. Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro de revolución y un cono equilátero circunscritos a esta esfera; calcule la suma de los volúmenes de los tres sólidos.

A) B) C)
D) E)

RESOLUCIÓN

Piden:

RPTA.: A

4. Sean E1 y E2 dos esfera, si el volumen de E2 es el doble del volumen E1 y el radio de . Calcule el volumen de E2.

A) 612  cm3 B) cm3
C)412  cm3 D) cm3
E) 552  cm3

RESOLUCIÓN

Condición:

RPTA.: D

5. Calcule el ángulo en la cúspide de un cono de revolución sabiendo que el área de la esfera inscrita es el área de la base del cono como 4 es a 3.

A) 15° B) 30° C) 60°
D) 74° E) 80

RESOLUCIÓN

Condición:


 a = r

HVE: VH=3 r

RPTA.: C

6. Calcule el volumen de una cuña esférica de 30° cuyo radio mide .

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN
…………………………
Datos:
……………………….

en

RPTA.: B

7. Calcule el área de un huso esférico de 90° si el radio mide 5cm

A) 24  cm2 B) 12,5  cm2
C) 25  cm2 D) 16  cm2
E)  cm2

RESOLUCIÓN
…………………………

Datos:
…………………………..

en

RPTA.: C

8. Se tiene dos esferas concéntricas; se traza un plano secante a la esfera mayor y es tangente a la esfera menor, determinando un círculo de área 16  cm2. Calcule el área del casquete menor determinado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 3 cm.

A) 9 cm2 B) 16 cm2
C) 20 cm2 D) 25 cm2
E) 36 cm2

RESOLUCIÓN

i) Área del círculo tangente= a la menor  r =4

ii) : R = 5
 h = R – 3 = 2
h = 2
Luego:
RPTA.: C

9. El área de una esfera inscrita en un cubo es 18 cm2; calcule el área de la esfera circunscrita a dicho cubo.

A) 18 cm2 B) 27 cm2
C) 36 cm2 D) 45 cm2
E) 54 cm2

RESOLUCIÓN

i) Esfera inscrita:
Área = ……….

ii) Esfera circunscrita:
Área=
Área=

RPTA.: E

10. Calcule la longitud de la altura de un casquete esférico incluido en una esfera de 4cm de radio, siendo su área la quinta parte del área de la superficie esférica.

A) 1 cm B) 1,5 cm
C) 1,6 cm D) 2 cm
E) 2,5 cm

RESOLUCIÓN

Dato:
Área de la esfera

RPTA.: C

11. Se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico incluidos en una superficie esférica de radio R; calcule la medida del ángulo del huso esférico si la altura de la zona es R/3.

A) 15° B) 25° C) 30°
D) 45° E) 60°

RESOLUCIÓN
Dato:



RPTA.: E

12. A que distancia del centro de una esfera de radio R debe trazarse un plano secante para que el área de los casquetes determinados estén en la relación de 1 a 3.

A) R/2 B) R/3 C) R/5
D) 2R/3 E) R/10

RESOLUCIÓN

Dato:

3R -3x =R+x
4 x = 2R

RPTA.: A

13. En una superficie esférica de radio 12cm se tiene una zona esférica y un huso esférico equivalentes y la altura de la zona esférica mide 3cm; calcule el volumen de la cuña esférica.

A) 248  cm2 B) 268  cm2
C) 278  cm2 D) 288  cm2
E) 300  cm2

RESOLUCIÓN
Dato: h = 3
Condición:

RPTA.: D

14. Una esfera de radio 2 cm es seccionado a un mismo lado del círculo máximo por dos planos paralelos, determinando un segmento esférico cuyas bases tienen radios que miden 6cm y 2cm. Calcule el volumen del segmento esférico.

A) cm3 B) cm3
C) cm3 D) cm3
E) cm3

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

15. El área de un huso esférico es igual a la tercera parte del área de la superficie esférica y el volumen de la esfera es 36 m3. Calcule el área de la cuña esférica.

A)12  m2 B) 16  m2
C) 18  m2 D) 21  m2
E) 25  m2

RESOLUCIÓN

Condición:

Área total de la cuña=

RPTA.: D

16. Dos planos perpendiculares son tangentes a una esfera y la distancia entre los puntos de tangencia es 3 cm. Calcule el volumen de la esfera.

A) 16  cm3 B) 21  cm3
C) 25  cm3 D) 28  cm3
E) 36  cm3

RESOLUCIÓN

Dato:

RPTA.: E

17. Calcule el volumen del sólido engendrado por una región hexagonal regular de perímetro 36cm y gira alrededor de una recta que contiene a uno de los lados del dicho polígono.

A) 962  cm3 B) 972  cm3
C) 925  cm3 D) 928 cm3
E) 936  cm3

RESOLUCIÓN
i) 2 p = 36 

ii) 
iii) Área del Hexágono=
Teorema de Pappus:
Volumen: RPTA.: B

18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, tal que AH = 4 cm y HC = 9 cm. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región triangular alrededor de su hipotenusa AC.

A) 122  cm3 B) 136  cm3
C) 125  cm3 D) 156  cm3
E) 166  cm3

RESOLUCIÓN

Semejanza:

 d = 2

i) ABC

…………………

ii) Área= ……………………….
Teorema de Pappus:

Reemplazando y :

Volumen=
RPTA.: D

19. Por un vértice de un triángulo equilátero pasa una recta exterior formando con un lado del triángulo un ángulo cuya medida es 15°. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región triangular alrededor de dicha recta, siendo el perímetro de la región triangular 12cm.

A) 12  cm3 B)16 cm3
C) 24  cm3 D) 32 cm3
E) 48  cm3
RESOLUCIÓN

…..
Área …………

Teorema de Pappus:
Volumen:

Reemplazando: y

 Volumen =
RPTA.: B

20. En un triángulo ABC, exteriormente se traza el cuadrado ABEF. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región cuadrada alrededor de la recta que contiene al lado AC, si los ángulos BAC y BCA miden 53° y 45° respectivamente y AC = 7cm.

A) 80  cm3 B) 100  cm3
C) 175  cm3 D) 200  cm3
E) 300  cm3

RESOLUCIÓN

i)
ii)
Teorema de Pappus: Volumen=

RPTA.: C
ESFERA Y ROTACIONES

1. Calcule a que distancia del centro de una esfera de radio m se debe seccionar con un plano para que la diferencia de las áreas de los casquetes esféricos determinados sea igual al área de la sección que divide a la esfera en dichos casquetes.

A) 0,6m B) 0,8m C) 1m
D) 2m E) 3m

2. Calcule el área del círculo limitado por la intersección de una superficie esférica y una superficie cónica, ambas inscritas en un cilindro de revolución cuyo radio de la base es .

A) 2  m2 B) 4  m2 C) 8  m2
D) 12  m2 E) 15  m2
3. Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro de revolución y un cono equilátero circunscritos a esta esfera; calcule la suma de los volúmenes de los tres sólidos.

A) B) C)
D) E)

4. Sean E1 y E2 dos esfera, si el volumen de E2 es el doble del volumen E1 y el radio de . Calcule el volumen de E2.

A) 612  cm3 B) cm3
C)412  cm3 D) cm3
E) 552  cm3

5. Calcule el ángulo en la cúspide de un cono de revolución sabiendo que el área de la esfera inscrita es el área de la base del cono como 4 es a 3.

A) 15° B) 30° C) 60°
D) 74° E) 80

6. Calcule el volumen de una cuña esférica de 30° cuyo radio mide .

A) B)
C) D)
E)

7. Calcule el área de un huso esférico de 90° si el radio mide 5cm

A) 24  cm2 B) 12,5  cm2
C) 25  cm2 D) 16  cm2
E)  cm2

8. Se tiene dos esferas concéntricas; se traza un plano secante a la esfera mayor y es tangente a la esfera menor, determinando un círculo de área 16  cm2. Calcule el área del casquete menor determinado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 3 cm.

A) 9 cm2 B) 16 cm2
C) 20 cm2 D) 25 cm2
E) 36 cm2

9. El área de una esfera inscrita en un cubo es 18 cm2; calcule el área de la esfera circunscrita a dicho cubo.

A) 18 cm2 B) 27 cm2
C) 36 cm2 D) 45 cm2
E) 54 cm2

10. Calcule la longitud de la altura de un casquete esférico incluido en una esfera de 4cm de radio, siendo su área la quinta parte del área de la superficie esférica.

A) 1 cm B) 1,5 cm
C) 1,6 cm D) 2 cm
E) 2,5 cm
11. Se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico incluidos en una superficie esférica de radio R; calcule la medida del ángulo del huso esférico si la altura de la zona es R/3.

A) 15° B) 25° C) 30°
D) 45° E) 60°

12. A que distancia del centro de una esfera de radio R debe trazarse un plano secante para que el área de los casquetes determinados estén en la relación de 1 a 3.

A) R/2 B) R/3 C) R/5
D) 2R/3 E) R/10

13. En una superficie esférica de radio 12cm se tiene una zona esférica y un huso esférico equivalentes y la altura de la zona esférica mide 3cm; calcule el volumen de la cuña esférica.

A) 248  cm2 B) 268  cm2
C) 278  cm2 D) 288  cm2
E) 300  cm2

14. Una esfera de radio 2 cm es seccionado a un mismo lado del círculo máximo por dos planos paralelos, determinando un segmento esférico cuyas bases tienen radios que miden 6cm y 2cm. Calcule el volumen del segmento esférico.

A) cm3 B) cm3
C) cm3 D) cm3
E) cm3

15. El área de un huso esférico es igual a la tercera parte del área de la superficie esférica y el volumen de la esfera es 36 m3. Calcule el área de la cuña esférica.

A)12  m2 B) 16  m2
C) 18  m2 D) 21  m2
E) 25  m2

16. Dos planos perpendiculares son tangentes a una esfera y la distancia entre los puntos de tangencia es 3 cm. Calcule el volumen de la esfera.

A) 16  cm3 B) 21  cm3
C) 25  cm3 D) 28  cm3
E) 36  cm3

17. Calcule el volumen del sólido engendrado por una región hexagonal regular de perímetro 36cm y gira alrededor de una recta que contiene a uno de los lados del dicho polígono.

A) 962  cm3 B) 972  cm3
C) 925  cm3 D) 928 cm3
E) 936  cm3

18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, tal que AH = 4 cm y HC = 9 cm. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región triangular alrededor de su hipotenusa AC.

A) 122  cm3 B) 136  cm3
C) 125  cm3 D) 156  cm3
E) 166  cm3

19. Por un vértice de un triángulo equilátero pasa una recta exterior formando con un lado del triángulo un ángulo cuya medida es 15°. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región triangular alrededor de dicha recta, siendo el perímetro de la región triangular 12cm.

A) 12  cm3 B)16 cm3
C) 24  cm3 D) 32 cm3
E) 48  cm3

20. En un triángulo ABC, exteriormente se traza el cuadrado ABEF. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región cuadrada alrededor de la recta que contiene al lado AC, si los ángulos BAC y BCA miden 53° y 45° respectivamente y AC = 7cm.

A) 80  cm3 B) 100  cm3
C) 175  cm3 D) 200  cm3
E) 300  cm3