TEXTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES PDF

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Problemas resueltos ,
Ecuaciones DIferenciaales de Variables Separables ,
la Ley de Torricélli ,
Elementos asociados a la tangente y Nomal de una curva ,
Ecuaciones diferenciales Homogéneas ,
Ecuaciones Diferenciales Lineales completas de Primer Orden ,
De la Ley de Enfriamiento de Newton ,
Ecuaciones Diferenciales de Bernouilli ,
Ecuaciones de Riccati ,
Factores Intégrantes,
Ecuaciones de Primer Orden no resueltas ,
Curvas de Persecución ,
Centro y Radio de Curvatura,
Ecuaciones Diferencial es de Orden superior ,
Ascenso y Descenso de Grave s,
movimientos Armónicos,
EcuaCiones Diferenciales Lineales Homogéneas,
Circuitos C-L-R,
Ecuaciones Diferenciales Lineales Completas,
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales,
Congruencias de Curvas Tridimensionales,
Sistemas Lineales,
El Sisterna de Volterra,
Integración por Desarrollo en Serie,
Ecuaciones de Hermite y Legendre,
Método de Frobenius ,
Ecuación de Bessel ,
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¿Qué es una ecuación diferencial?
Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya
estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de
ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una
solución aún cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el
caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes.
En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables.
Las primeras pueden def nirse como expresiones del tipo
F(x) = 0
donde x representa la variable en cuestión y F una función real de variable
real cuya regla de correspondencia está dada en términos de sumas, productos,
o potencias de funciones familiares como la idéntica, el logaritmo, las
funciones trigonométricas o las inversas de éstas. Si la ecuación tiene más
de una variable, digamos x1, x2, …, xn entonces quedaría def nida como una
expresión del tipo
F(x1, x2, …, xn) = 0
siendo F una función de Rn en Rm. En este caso la ecuación es vectorial
y constituye lo que conocemos como un sistema de ecuaciones. Si el sistema
¿Qué es una ecuación diferencial?
tiene tantas ecuaciones como incógnitas es de la forma siguiente:


F1(x1, x2, …, xn) = 0
F2(x1, x2, …, xn) = 0
· · · · · · · · · · · · · · ·· Fn(x1, x2, …, xn) = 0


Aquí el problema consiste en resolver simultaneamente varias ecuaciones y
conocemos métodos aplicables cuando F es una función lineal:
Fi(x1, x2, …, xn) = ai
1×1, ai
2×2, …, ai
nxn + bi.
Ejemplos de los tipos de ecuaciones mencionadas anteriormente son:
i) x + 2 = 0
ii) x2 + 3x + 2 = 0
iii) sen2x+cos2x −1 = 0
iv) 2x + y + 3 = 0
v)
(
x + 2y + 3 = 0
3x + 5y −2 = 0
)
Utilizando el lenguaje del cálculo diferencial podemos escribir ecuaciones
donde aparezca una función f : R → R , su variable x, y derivadas de
diferentes órdenes de f como por ejemplo:
i) f0(x) −5 = 0
ii) 8f00(x) + 6f0(x) + 3f(x) + 2 = 0
iii) f(vi)(x) + f(x) = 0
iv) (f00(x))3 + 2xf(x)+senx = 0
que son ecuaciones del tipo
F(x, f(x), f0(x), …, f(n)(x)) = 0
y son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias. El órden de la mayor
derivada que aparezca es entendido como el órden de la ecuación diferencial.
Podemos también escribir sistemas de ecuaciones deferenciales donde
aparezcan dos o más funciones de una misma variable como por ejemplo:
(
f0(x) − f(x) + q(x) = 0
q0(x) − f(x)q(x) = 0
)
Constituye un sistema de ecuaciones ordinarias, los cuales en general son de
la forma: 


F1(x, f1, f01 , …, f(n)
1 , …, fm, f0m, …, f(n)
m ) = 0
F2(x, f1, f01 , …, f(n)
1 , …, fm, f0m, …, f(n)
m ) = 0
……………………………………………
Fm(x, f1, f01, …, f(n)
1 , …, fm, f0m , …, f(n)
m ) = 0


el órden de la mayor derivada que aparece se def ne como el órden del sistema
de ecuaciones diferenciales. El sistema que se dió en el ejemplo anterior es
entonces uno de primer órden. Hay otros tipos de ecuaciónes que pueden ser
considerados como por ejemplo aquel donde aparece una función f de Rn en
R, sus variables y derivadas parciales de diferentes órdenes:
i) Si f : R3 → R, f = f(x, y, z)
∂f
∂x + 2x∂2f
∂y2 + y ∂2f
∂x∂y + ∂f
∂z = 0
ii) Si f : R2 → R, f = f(x, y)
∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 + f = 0
iii) Si f : R4 → R, f = f(x, y, z, t)
∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 + ∂2f
∂z2 = k ∂2f
∂t2
Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales parciales y también
en este caso el órden de la ecuación se def ne como el órden de la mayor
derivada que aparezca. Todas estas son ecuaciones funcionales pues las incógnitas
no son números sino funciones. Existen otros tipos de ecuaciones
funcionales como las ecuaciones integrales y las integro-diferenciales pero por
el momento estamos interesados en las ecuaciones diferenciales y de estas especialmente
en las ordinarias.
1.2 La Solución de una Ecuación Diferencial
Hemos visto que es posible, utilizando el lenguaje del Cálculo, escribir un
nuevo tipo de ecuaciones: Las ecuaciones diferenciales. Junto con ellas
surge también un problema, el de resolverlas. Pero, ¿qué signif ca resolver
una ecuación diferencial?. Antes de responder a esta pregunta regresemos
a aquellas ecuaciones para las cuales estamos familiarizados con el problema
de obtener soluciones. Consideremos el caso de una ecuación del tipo
F(x) = 0
por ejemplo
x2 − 4x + 3 = 0 (1)
Cuando nos planteamos el problema de encontrar soluciones de esta ecuación
estamos suponiendo que existe un conjunto X donde la variable x puede
tomar valores. En general la ecuación no es válida para toda x ∈ X y
el problema de resolver la ecuación consiste en encontrar S ⊂ X tal que
F(x) = 0 si y sólo si x ∈ S. S conforma el conjunto de soluciones y los
elementos de S son llamados soluciones de la ecuación. Para la ecuación (1),
sabemos que
S = {1, 3}
y por lo tanto decimos que 1, 3 son soluciones.
Ejemplos:
i) x + 2 = 0, en R tiene como solución al número −2.
ii) x + 2 = 0, en R+ = {x ∈ R | x > 0} no tiene solución.
iii) x2 − 3x + 2 = 0, en [0, 1] tiene una única solución, x = 1.
iv) x2 − 12x + 35 = 0, en R tiene a 7 y 5 como únicas soluciones.
v) x2 + x + 1 = 0, en R no tiene solución alguna.
vi) 1+ senx = 0, en R tiene una inf nidad de soluciones.
De forma análoga a los ejemplos anteriormente considerados, al escribir
una ecuación del tipo
F(x, f(x), f0(x), · · ·, f(n)(x)) = 0
se está pensando que existe un cierto conjunto de funciones X donde la
ecuación (1) está bien def nida. En este caso X necesariamente tendrá que
ser un subconjunto del conjunto de funciones que tienen derivadas hasta de
orden n en algún subconjunto de R, que para simplif car vamos a considerar
que es un intervalo I
X =
n
f : I → R |∀i = 1, · · ·, n ∃ f(i)(x) ∀x ∈ I
o
.
La ecuación no es válida para toda f ∈ X y resolverla es encontrar el subconjunto
S = {f0 ∈ X | F(x, f0(x), f00 (x), · · ·, f(n)
0 (x)) = 0 ∀x ∈ I}.
Los elementos de S son llamados soluciones de la ecuación diferencial.
Ejemplo: La función φ(x) = senkx ∀x ∈ R elemento de
X = {f : R → R |∃f0(x), f00(x)∀x ∈ R}
es una solución de la ecuación diferencial:
y00(x) + k2y(x) = 0
ya que
φ0(x) = kcoskx
φ00(x) = −k2senkx = −k2φ(x)
o lo que es lo mismo
φ00(x) + k2φ(x) = 0 ∀x ∈ R.
Ejemplo: f : (0,∞) → R tal que f(x) = 1
x es una solución de la ecuación
y0(x) = −
y(x)
x
en (0,∞) pues
f0(x) = −
1
x2 = −
1/x
x
= −
f(x)
x
.
1.3 Existencia y Unicidad
Una vez discutido lo que se entiende por una ecuación diferencial y por
una solución de esta surgen las siguientes preguntas: 1) ?‘Toda ecuación
diferencial tiene solución? 2) De tener solución ¿cuántas tiene?, ¿quienes
son? Para responder a estas preguntas conviene analizar algunos ejemplos:
a) (y0(x))2 + (y(x))2 + 1 = 0 Esta es una ecuación diferencial de
primer orden, pues es de la forma
F(x, y(x), y0(x)) = 0
sin embargo no tiene solución ya que
(y0(x))2 + (y(x))2 ≥ 0
para cualquier pareja de valores reales que las funciones y(x), y0(x)
tomen.
El ejemplo anterior nos sugiere una ecuación que tiene sólo una solución.
A saber
(y0(x))2 + (y(x))2 = 0
la única solución de esta ecuación es y(x) = 0 ∀x ∈ R.
b) y0(x) = 3×2 En este caso rápidamente podemos ver que
y(x) = x3 + c, ∀x ∈ R
es solución para cualquier valor de la constante c. Lo que quiere
decir que la ecuación tiene un número inf nito de soluciones.
c) y00(x) = 0 Cualquier función cuya gráf ca sea una línea recta
será solución de esta ecuación. Esto es, cualquier función del
tipo
y(x) = c1x + c2, ∀x ∈ R
con c1, c2 constantes. Otra vez la ecuación tiene un número inf
nito de soluciones.
d) y0(x) = 2 Esta ecuación exige sólamente que la pendiente de
la gráf ca de y sea constante e igual a 2. Por lo tanto
y(x) = 2x + c, ∀x ∈ R
es solución para cualquier valor real de la constante c. Resulta
también que asociadas a la ecuación diferencial aparece un
número inf nito de soluciones.
En los ejemplos anteriores se ha podido notar que una ecuación diferencial
puede no tener solución, tener un número f nito de soluciones o una
inf nidad. A medida que avancemos en nuestro estudio nos iremos dando
cuenta de que los dos primeros casos no son típicos y que lo común es que asociada
a cada ecuación diferencial exista un número inf nito de soluciones. El
hecho de que asociadas a una ecuación diferencial exista un número inf nito
de soluciones es de esperarse, pues para resolverla, de un modo u otro, hay
que hacer al menos una integración y en consecuencia aparece una constante
de integración que, al tomar diferentes valores, def ne una gama inf nita de
soluciones de la ecuación diferencial. Típicamente también uno quiere seleccionar
soluciones particulares dentro de este conjunto inf nito S. Esto
se hace imponiendo condiciones (compatibles con la propiedad de satisfacer
la ecuación) que sean característica exclusiva de la solución deseada. En
la siguiente sección veremos que una forma de distinguir soluciones es imponiendo
lo que se conoce como condiciones iniciales.
1.4 La Ecuación y0 = f(x)
Con objeto de profundizar en las observaciones hechas en la sección anteriór
analizaremos el problema que representa resolver la ecuación y0 = f(x). Este
problema no es más que el de encontrar una primitiva de la función f(x).
Ejemplo: y0(x) = 3×2. Sabemos que para cada valor real de c, la función
y(x) = x3 + c representa una primitiva de la funciónf(x) = 3×2 y en consecuencia
una solución. Aquí, el problema se redujo a hacer una integración
y de ahí el orígen de la constante arbitraria que determina una inf nidad de
soluciones. Sabemos pues que cualquier integrante de la familia de funciones
x3 + c es solución pero, ¿Serán todas las soluciones de esta forma?, es decir,
¿Cualquier solución de la ecuación se podrá obtener sumando una constante
a la función x3?. La respuesta está dada en el teorema siguiente:
Teorema: Si φ es una solución de la ecuación y0 = f(x) entonces φ+c también
es solución, y toda solución dif ere de φ por una constante. Obviamente
si φ es solución, esto es si φ0 = Dxφ = f entonces
Dx[φ+c]=Dxφ=f
y, por lo tanto, φ + c también es solución para todo c ∈ R. Además si
ψ es otra solución entonces también Dxψ = f y Dxψ = Dxφ de donde,
necesariamente, ψ = φ + c, siendo c algún número real.
Nótese que el teorema no af rma que la ecuación tiene soluciones. Pero,
si f(x) es contínua en un intervalo I, el teorema fundamental del cálculo
garantiza que f tiene primitiva en I. De hecho para cualquier x0 ∈ I
la función y(x) =
R x
x0 f(s)ds es una primitiva. Escoger diferentes valores
para x0 signif ca tomar diferentes primitivas que dif eren entre sí por una
constante. Esto prueba el siguiente:
Teorema: Si f es contínua en un intervalo I, la ecuación y0 = f(x)
en el intervalo I tiene inf nidad de soluciones que dif eren entre sí por una
constante. Que las soluciones dif eran entre sí por una constante quiere decir,
geométricamente, que sus gráf cas se obtienen una de otra haciendo una
traslación en la dirección del eje de las ordenadas.
Ejemplo: y0 = 2, ∀x ∈ (0, 1). Todas las soluciones son de la forma
y(x) = 2x + c.
Figura 1
Así las soluciones de la ecuación cubren íntegramente la banda del plano
entre las rectas x = 0 y x = 1. Observemos que: (1) dado cualquier punto
(x0, y0) en esta banda, hay una solución que pasa por él y (2) ésta es única,
pues hay sólo una recta de pendiente 2 que pase por ese punto.
Esta condición de unicidad también se puede verif car analíticamente: si
y(x0) = y0 esto implica que y0 = 2×0 + c y entonces la única función del
tipo y = 2x + c que cumple con la condición dada es aquella para la cual,
c = y0 − 2×0. En general si G(x) es solución de y0 = f(x) entonces todas las
soluciones serán de la forma y(x) = G(x) + c. De todas estas sólo aquella
para la cual c = y0 − G(x0) cumple la propiedad y(x0) = y0. Así queda
demostrado que:
Teorema. Dada la ecuación y0 = f(x) si f es contínua en I y x0 ∈ I, y0 ∈ R entonces existe una y sólo una solución, y(x), con la propiedad de que
y(x0) = y0.
Ejercicios:
1) Considere la ecuación y00 = f(x) con f contínua en el intervalo
I. Demuestre que dado x0 ∈ I y y0, y1 ∈ R existe una única
solución de la ecuación tal que:
y(x0) = y0, y0(x0) = y1.
2) Considere la ecuación y(n) = f(x) con f contínua en el intervalo
I. Demuestre que dado x0 ∈ I y yi ∈ R, i = 0, 1, 2, · · ·, n − 1
existe una única solución de la ecuación tal que:
y(i)(x0) = yi, i = 0, 1, 2, · · ·, n − 1.
Capítulo 2
SISTEMAS DINAMICOS
2.1 Introducción
El objetivo de este capítulo es llamar la atención acerca de la utilidad de las
ecuaciones diferenciales para la modelación de sistemas dinámicos.
Con este propósito discutiremos algunos modelos biológicos de crecimiento
de población y, con el objeto de hacer algunas comparaciones ilustrativas,
trataremos un problema clásico, el del movimiento. Lo que se quiere
es revisar la noción del sistema dinámico y, a través de la discusión de un
número reducido de problemas simples, dar una idea del camino que se sigue
para la construcción de un modelo matemático que de cuenta del comportamiento
de este tipo de sistemas.
Si f jamos nuestra atención en cualquier porción del universo, no importa
si es un átomo, una célula, un hombre, una sociedad, la atmósfera terrestre
o el sistema solar, encontramos que ésta se encuentra en un proceso permanente
de cambio. Estos cambios por lo general son de interés para el
hombre y de ahí que un problema típico en las disciplinas científ cas es: dado
un sistema (una porción del Universo) de interés, estudiar la forma en que
operan los cambios en él. Idealmente querría uno estudiar el grán sistema
dinámico que constituye el Universo, pero no es posible para la mente humana
comprender y modelar en su totalidad a este inmenso sistema. El Universo
constituye un todo en sí mismo y en consecuencia no podríamos concebir
dos partes de él que no se encuentren en constante interacción. Esta idea
esta bellamente expresada en el viejo aforismo que dice: No podrá moverse
una partícula de polvo sin que se conmueva el Universo. Sin embargo, por
12
fortuna para la Ciencia es posible delimitar mentalmente subsistemas que están
relativamente aislados en el sentido de que su comportamiento dinámico
puede comprenderse tomando en cuenta las interacciones entre sus diferentes
partes y la acción de una colección manejable de factores externos. Así es
posible, estudiar y comprender sistemas dinámicos que constituyen sólo una
parte del Universo haciendo abstracción de todas aquellas partes del resto que
no tienen una inf uencia relevante. Pero aún teniendo delimitada una porción
del Universo como sistema de estudio, nos encontramos otra vez con que
su estructura , por pequeño que el sistema sea, es inf nitamente complicada.
Debido a esto, es necesario realizar otra vez un proceso de abstracción para
enfocar nuestra atención solamente en aquellas partes del sistema que nos
interesan y cuya interacción es determinante para el estudio de los procesos
que se quieren estudiar.
Para algunos sistemas una vez que se ha podido:
(1) Especif car con suf ciente precisión lo que constituye el sistema;
(2) Listar las propiedades del sistema cuyo cambio se quiere estudiar;
(3) Tomar en cuenta todos aquellos agentes externos al sistema
que a través de su interacción con éste pueden afectar de manera
relevante las propiedades de interés.
Resulta que:
a) Si x1, x2, · · ·, xn simbolizan las propiedades de interés del
sistema, entonces cada xi es cuantif cable y el estado en que se
encuentra el sistema queda especif cado, en cada tiempo, por una
eneada (a1, a2, · · ·, an) de números reales. El hecho de que el
estado del sistema esté sujeto a cambios se traduce en que cada
una de las magnitudes xi es una función del tiempo y que el
estado estará dado en cada tiempo por los valores de una función
vectorial
x(t) = (x1(t), x2(t),···,xn(t)).
b) Experimentalmente se pueden encontrar leyes gene- rales
que rigen los cambios que tienen lugar en el sistema;
c) Estas leyes se pueden escribir matemáticamente como ecuaciones
diferenciales que determinan las funciones xi(t).
A lo largo del capítulo discutiremos algunos ejemplos de este tipo de modelos.
En estos la atención se enfoca hacia las propiedades (x1, x2, · · ·, xn)
del sistema y se hace abstracción de cualquier otra restante. De acuerdo al
modelo, el conocimiento de la eneada (x1, x2, · · ·, xn) en cada tiempo representa
el máximo conocimiento que se puede tener del sistema. Por esta
razón se dice x(t) = (x1(t), x2(t), ···, xn(t)) especif ca el estado del sistema al
tiempo t y a las funciones xi(t) se les llama variables de estado del sistema.
2.2 Dos Problemas: Crecimiento de Población
y Movimiento
CRECIMIENTO DE POBLACIONES. Supongamos que estamos interesados
en estudiar la forma en que el número de integrantes de una población,
ubicada en cierto medio, cambia en el tiempo.
Como ejemplo podemos pensar que se trata de la población de conejos
en una isla. En este caso el conjunto de los conejos de la isla es nuestro
sistema de estudio y todo aquello que interaccione de manera relevante con él,
será considerado como el ambiente del sistema. Por interacción relevante se
entiende una interacción que tenga como consecuencia un cambio signif cativo
en el número de pobladores. Así, no convendrá considerar como el ambiente
del sistema a un cazador inexperto que cada verano mata unos pocos conejos,
mientras que una “plaga” de cazadores sí es de tomarse en cuenta.
Lo que nos interesa de la población es la forma en que ésta cambia numéricamente
en el tiempo y el estudio de este cambio puede ser tratado con diferentes
grados de detalle. Por ejemplo, podríamos f jarnos en el cambio de
la cantidad total de conejos; o en el de la cantidad de machos y hembras; o
en el de la cantidad de conejos de cada raza o de cada color o de diferentes
edades que haya en cada momento; o también en el cambio de la cantidad
de conejos de cada región de la isla, etc..
Si sólo estamos interesados en el número total de conejos y no nos interesa
distinguirlos respecto a alguna otra propiedad que a éstos pueda asignárseles,
entonces un modelo con una sola variable de estado es suf ciente para
el estudio de nuestro sistema. A esta variable la podemos llamar N(t), el
número de conejos que hay en la isla en el tiempo t. Esta determina completamente
el estado del sistema, siendo el conocimiento de N(t) el máximo
conocimiento que, de acuerdo al modelo que se está construyendo, puede
obtenerse del sistema.
Si estamos interesados en un mayor conocimiento, por ejemplo distinguir
sexos, habrá que considerar un modelo de dos variables de estado Nm(t) y
Nh(t); el número de conejos machos y el número de conejos hembras que hay
en la isla en el tiempo t respectivamente. En este caso el modelo resulta
“más f no” quedando su estado descrito por dos variables de estado.
Si además de considerar sexos quisiéramos distinguir los conejos adultos
de los no adultos, daríamos lugar a un modelo con las variables de estado
Na
m(t),Nn
m(t),Na
h (t) y Nn
h (t), donde los superíndices a y n se ref eren a conejo
adulto y no adulto respectivamente. Así, a medida que un conocimiento
más detallado del sistema es requerido, el modelo crece en complejidad pues
tienen que aparecer más variables de estado que tomen en cuenta las nuevas
características que se quieren considerar.
MOVIMIENTO. Pensemos ahora que nos interesa conocer la forma en
que se mueve un cuerpo. Por “conocer la forma en que se mueve el cuerpo”,
entendemos conocer la posición del cuerpo y su velocidad durante el lapso en
que realiza su movimiento. Estas son las dos propiedades que determinan
el estado de movimiento de un cuerpo. Las magnitudes que las caracterizan
constituyen las variables de estado del sistema.
Supongamos por ejemplo que se trata de un cuerpo que soltamos y cae
sobre la superf cie terrestre. Con tal cuerpo, debido a la atracción gravitacional,
interaccionarán todos los cuerpos del Universo. También en su
caída sufrirá una fuerza de fricción debida al contacto con el aire de la atmósfera.
Obviamente sería muy complicado tomar en cuenta todos estos
factores, pero esta complicación puede evitarse si suponemos que el comportamiento
observado está determinado única- mente por la inf uencia del
campo gravitacional terrestre. Esto lo podemos hacer porque la magnitud
de este efecto es aplastantemente mayor que la de los otros. Haciendo esto
hemos delimitado sistema y ambiente del sistema como el cuerpo y el campo
gravitacional te- rrestre respectivamente. El problema de la localización del
cuerpo se simplif ca si lo consideramos como un punto. Sin duda esto es
una idealización, pero será de mucha utilidad para una gran cantidad de problemas
donde, ya sea porque sus dimensiones son despreciables, o que su
volumen y forma no juegan un papel importante en su movimiento, la aproximación
es válida. El cuerpo en caída libre se mueve a lo largo de una línea
vertical y para localizarlo basta considerar un punto de referencia en ella y
entonces tomar como variable de estado a x(t): la distancia entre el punto de
referencia y el punto que representa la posición del cuerpo. La otra variable
de estado del modelo es ϑ(t), la velocidad con que el punto que representa
al cuerpo se mueve en la recta vertical imaginaria. Así el estado del sistema
queda totalmente especif cado en cualquier tiempo por la pareja (x(t), ϑ(t)).
De manera similar, si el cuerpo que nos interesa se moviera en un plano,
una mesa de billar por ejemplo, entonces para localizarlo usariamos dos variables
de estado x(t) y y(t) medidas respecto a un sistema de coordenadas f jo
en el plano de la mesa; para la velocidad otras dos ϑx(t) y ϑy(t): las componentes
de la velocidad en cada una de las dos direcciones. Así, el estado
del sistema en cada tiempo t queda dado por
(x(t), y(t), ϑx(t), ϑy(t)).
Si se tratase de un sistema constituído por dos bolas de billar, la bola 1
y la bola 2 entonces el estado quedaría dado por
(x1(t), y1(t), x2(t), y2(t), ϑx1(t), ϑy1(t), ϑx2(t), ϑy2(t)).
2.3 Leyes del Comportamiento
MOVIMIENTO: Para estudiar el movimiento de un cuerpo interesa conocer
la posición y velocidad del cuerpo en cada instante. Vimos en la sección
anterior (para el ejemplo del cuerpo que cae) que considerando en el modelo
dos funciones, x(t) y ϑ(t), podíamos especif car tanto la posición como la
velocidad del cuerpo en cada instante. El problema queda resuelto en el momento
en que averiguemos la dependencia temporal de x y ϑ. Para esto se
requiere más información relativa al sistema que nos permita determinar estas
funciones x(t) y ϑ(t). La única forma de obtener esta información es experimentando,
esto es, observando, de una u otra forma, el comportamiento del
sistema real. El objetivo de la experimentación es encontrar regularidades
y principios de carácter general. Una vez encontradas algunas normas que
rigen comportamiento del sistema real, la idea es traducirlas apropiadamente
al modelo como expresiones matemáticas que permitan trabajar el problema
en el papel como uno de naturaleza enteramente matemática.
Para el tipo de problema que estamos considerando es conocida una ley
de caracter muy general: la ley de Newton. Esta ley toma en cuenta la
inf uencia del ambiente sobre el sistema en términos de fuerzas y especif ca
el efecto de éstas sobre el movimiento del cuerpo.
La Ley de Newton dice que: Si sobre un cuerpo de masas m actúa una
fuerza F, entonces el cuerpo sufre un cambio en su velocidad que instantáneamente
es igual en magnitud a F/m. Matemáticamente esto se escribe
como

dt
=
F
m
.
Veamos ahora, para el ejemplo del cuerpo que cae, cómo esta ley nos permite
determinar las funciones x y ϑ. La velocidad, por def nición, es una
medida del cambio relativo de posición respecto al tiempo y esto matemáticamente
queda expresado por la siguiente ecuación:
dx
dt
= ϑ.
En este problema la fuerza que actúa sobre el cuerpo es el peso del cuerpo
debido a la fuerza de gravedad y está dado por mg. Tomando esto en cuenta
tenemos como punto de partida para encontrar a x(t) y ϑ(t) el siguiente
sistema de dos ecuaciones diferenciales:


dx
dt = ϑ

dt = g


. (1)
La segunda ecuación es satisfecha por la familia de funciones:
ϑ(t) = gt + c1
siendo c1 una constante real cualquiera. Si sustituimos esta expresión en la
primera ecuación tendremos que
dx
dt
= gt + c1
y entonces
x(t) =
gt2
2
+ c1t + c2
siendo c2 otra constante real cualquiera.
Así, hemos encontrado que las expresiones
x(t) =
gt2
2
+ c1t + c2
ϑ(t) = gt + c1
representan la familia S de soluciones del sistema (1) de ecuaciones diferenciales.
Cada pareja de constantes (c1, c2) determina una pareja de funciones
en el conjunto S.
Notemos también que c2 = x(0) y c1 = ϑ(0). Entonces cada pareja
(c1, c2) representa un diferente estado inicial (x(0), ϑ(0)) del sistema. El
resultado es que para cada estado inicial (x(0), ϑ(0)) tenemos un movimiento
distinto dado por
(x(t), ϑ(t)) = (
gt2
2
+ ϑ(0)t + x(0), gt + ϑ(0)).
Esto quiere decir que, a partir del conocimiento del estado inicial del
sistema, podemos conocer el estado del sistema en cualquier otro tiempo.
Estos modelos causaron gran revolución en el pensamiento f losóf co de la
época pues sugieren un comportamiento determinista de la naturaleza en el
sentido de que el estado de cosas en un momento dado determina todo estado
futuro.
CRECIMIENTO DE POBLACIONES. Volvamos al problema de los
conejos en una isla. En la sección anterior vimos que la aproximación más
simple al problema nos lleva a considerar un modelo con una sola variable
de estado, N(t).
Igual que para el movimiento, en este problema, necesitamos más información
para determinar teóricamente la dependencia temporal de la función
N.
Del conocimiento que tenemos acerca del comportamiento de los seres
vivos sabemos que la población aumenta o disminuye debido a los fenómenos
de natalidad y muerte respectivamente. En consecuencia el cambio global
en el número de pobladores se deberá al balance que haya entre estos dos
factores de cambio.
Este constituye una ley en nuestro problema y la podemos formular
matemáticamente de la manera siguiente:
1
N
dN
dt
= n −m (2)
donde n y m representan las razones percapita de natalidad y muerte, esto
es:
n = número de nacimientos por unidad de tiempo y por poblador.
m = número de muertes por unidad de tiempo y por poblador.
Ahora tenemos una ley general formulada matemáticamente pero, ¿podremos
a partir de la ecuación (1) determinar a N(t)?.
Antes de responder a este pregunta recordemos que, para los pro- blemas
de movimiento, no basta conocer la Ley de Newton para poder encontrar la
dependencia funcional de las variables de estado, sino que se requiere conocer
además la expresión de la fuerza que interviene en el problema. Conocer
la expresión de la fuerza, en este contexto, signif ca conocer la función
F(x, ϑ, t)1. Si F no se conoce como función de estas variables entonces F
en la ecuación no es más que una simple letra y el problema no está bien
planteado matemáticamente.
Para el caso de la ecuación (2) la situación es completamente análoga.
Para que podamos atacar matemáticamente el problema de encontrar N(t),
necesitamos conocer las funciones n(N, t) y m(N, t).
En el estudio de poblaciones veremos que la ley (2) no es tán útil en la
práctica como la ley de Newton en la mecánica. La razón es que, para las
poblaciones, la forma en que las funciones n y m dependen de N y t no
es fácil de encontrar debido a la complejidad del sistema. En cambio las
fuerzas para ciertas clases importantes de problemas se han podido encontrar
experimentalmente. Este ha sido el caso, por ejemplo, de las fuerzas
gravitacionales y las electromagnéticas. Hay que aclarar, sin embargo, que
la situación no ha sido la misma para todos los tipos de fuerzas conocidas.
Por ejemplo en el dominio nuclear esto no se ha podido lograr, esto es, así
como se sabe que la fuerza entre dos masas gravitacionales m1 y m2 que se
encuentran a una distancia r es Fq = ρm1m2/r2 con ρ = cte. , para la fuerza
entre dos partículas subatómicos no se ha podido encontrar una ecuación de
este tipo.
Así el problema que se presenta en la Física Núclear guarda cierta analogía
con el de población es que estamos considerando; en el primero, podríamos
decir que se conoce la ley y no se conoce la expresión de la fuerza que aparece
en la ley; en el segundo también tenemos la ley pero no conocemos las expresiones
de las razones de natalidad y muerte.
Esta dif cultad no limita del todo el estudio de poblaciones pues se puede
1 En el ejemplo del cuerpo que cae F(x, ϑ, t) = mg, ∀(x, ϑ, t)
hacer lo que han hecho los físicos nucleares. Ellos, guiados por el conocimiento
cualitativo que tienen de estas fuerzas, proponen una expresión matemática
para la fuerza, trabajan teóricamente con la expresión propuesta y posteriormente
la confrontan los resultados teóricos con el experimento para ver, con
qué exactitud y dentro de qué márgenes lo que se ha modela describe bien
la realidad.
De manera semejante, ante el problema de crecimiento de una población,
se puede proponer una expresión para la función [n − m](N, t) que
se apegue a las características cualitativas que se conocen del pro- blema.
Una vez hecho esto analizando las ecuaciones del modelo se puede obtener
información teórica.
A continuación discutiremos algunos ejemplos para ilustrar la forma de
proceder que discutimos anteriormente.
2.4 Modelo de Población Joven
Supongamos que estamos interesados en estudiar una población que se encuentra
en las siguientes circunstancias hipotéticas:
(1) La población está aislada.
(2) La población habita un medio inf nito.
(3) El medio es homogéneo.
Discutimos un poco estas suposiciones. Por (1) queremos decir que, con
la población, no interactúan agentes externos. Esto obviamente no es el
caso para ninguna población real, pero servirá como una apro- ximación
para poblaciones donde la inf uencia de agentes externos no afecta sensiblemente
el número de pobladores. Un ejemplo donde se satisface con buena
aproximación esta suposición podría ser el de una población de truchas en
un acuario donde los criadores la protegen de las inclemencias del clima, de
enfermedades y depredadores.
La condición (2) signif ca que la población puede expandirse sin límite en
su territorio. Dicho de otra forma, la densidad 2 de pobladores en el área
ocupada puede mantenerse constante aún cuando el número de pobladores
tienda a inf nito. Esta suposición tampoco se cumple en la realidad, pero la
podríamos aceptar como válida para una población, que en relación con su
2 El número de pobladores por unidad de superf cie
medio, es pequeña. Pequeña en el sentido de que ese mismo medio puede soportar
una población considerablemente mayor y el espacio no constituye un
factor limitante para su desarrollo. Lo más probable es que, con el tiempo,
una población como esta crezca y la suposición deje de valer, por esto, en
el encabezado de la sección, le hemos llamado población joven a nuestra
población hipotética.
Por último, lo que signif ca (3) es que los recursos del medio, que la
población requiere para su sustento, se encuentran en todo el territorio, en
igual cantidad y con la misma calidad.
Para estudiar esta población, de acuerdo a la discusión de las secciones
anteriores, nuestro problema consiste en proponer una expresión matemática
para n y m en términos de N y de t. O lo que es más sencillo, proponer
globalmente una expresión para la función diferencia [n −m].
Para ver qué función [n−m](N, t) nos conviene para esta población analizemos
que quiere decir que:
(1) n −m dependa de N;
(2) n −m dependa de t.
(1) Quiere decir que, las razones de natalidad y mortalidad per cápita
son mayores o menores dependiendo del número de pobladores. Esto sólo
se puede concebir, cuando en la población se da un fenómeno de competencia
o de cooperación.
(2) Quiere decir que, en diferentes momentos, las razones de natalidad y
de muerte per cápita, son diferentes. O lo que es lo mismo, las condiciones
de reproducción y de subsistencia cambian en el tiempo. Esto sólo puede
ocurrir cuando algún factor externo afecta directamente a los pobladores o los
afecta indirectamente a través de los recursos necesarios para su desarrollo.
Las condiciones en que se encuentra la población que estamos considerando,
no permiten suponer, que en esta se vaya a dar un fenómeno importante de
competencia. Por otra parte un fenómeno de cooperaci- ón no es de esperarse
en una población de animales bajo los supuestos que hemos hecho.
Por estas razones, es natural proponer que n −m no dependa de N. Como
también hemos supuesto que la población no sufre efectos externos, por estar
aislada, es natural suponer que n − m no dependa de t.
Estas conclusiones sugieren que propongamos que
[n − m](N, t) = k ∀(N, t)
donde k es una constante, cuyo valor depende del tipo de pobladores y de las
características particulares (homógeneas) del medio en que se encuentran.
En consecuencia, la ley de crecimiento toma la forma particular:
1
N
dN
dt
= k (3)
como N(t) no puede ser negativo entonces,
1
N
dN
dt
=
d
dt
lnN
siempre que N(t) 6= 0. Escribiendo la ecuación (2) como
d
dt
lnN = k
concluimos que
lnN(t) = kt + c
24ptN(t) = e(kt+c)
24ptN(t) = ecekt
siendo c una constante real cualquiera. Además def niendo
N0 = N(0) = ec
por lo tanto tenemos que
N(t) = N0ekt. (4)
El resultado que hemos obtenido nos dice que, para cada N0 ≥ 0 tenemos
una diferente solución de (2) o lo que es lo mismo un número diferente de
pobladores en cada tiempo. Esto concuerda con lo esperarado: el número
de pobladores que vaya haber en cada tiempo debe depender del número de
pobladores que haya inicialmente.
Conociendo N0, para conocer la dependencia temporal de N, solo falta
conocer el valor de k. Este es un parámetro característico de este sistema
dinámico que podemos calcular con la fórmula
k =
1
t1
ln

N(t1)
N0
#
a paratir del conocimiento del número de pobladores, N(t1), en cualquier
instante t1 > 0.
Dependiendo del valor de k tenemos tres tipos posibles de comportamiento
para la función N(t):
a) k > 0. La población crece sin límite.
Figura 1
b) k = 0. La población se mantiene constante.
Figura 2
c) k < 0. La población tiende a extinguirse.
Figura 3
2.5 Modelo de Población con Saturación
Consideremos ahora otra población que hipotéticamente se encuentra bajo
las siguientes circunstancias.
(1) La población está aislada.
(2) El medio es homogéneo.
(3) El medio es f nito.
Como en la sección anterior discutimos las suposiciones (1) y (2), ahora
sólo analizaremos las modif caciones que tienen lugar cuando el medio es
f nito. Primero aclararemos que, por f nito, entendemos un medio razonablemente
grande como para que puedan ocuparlo un número considerable
de individuos. Subrayemos también que por ser f nito el medio no podrá,
por rico que sea, sustentar una cantidad arbitraria de individuos. Obviamente
el hecho de que el medio sea f nito no tendrá consecuencias mientras la
población sea suf cientemente pequeña y el medio, efectivamente, no la limite3
. Por esto es de esperarse que mientras esto ocurre su comportamiento
esté gobernado por la ecuación (3).
Esto quiere decir que para una población pequeña tendremos, dependiendo
de las caracterísiticas del medio y de la población las tres posibilidades
siguientes:
(a) la población tiende a extinguirse.
(b) la población se mantiene constante.
(c) la población crece.
También es importante notar que, si (a) es el caso, dado que inicialmente
la población es pequeña y la tendencia es a disminuir, entonces la población
siempre se podrá considerar como suf cientemente pequeña y en consecuencia
esta efectivamente se extinguirá. El caso (b) implica que la población se
mantiene constante para cualquier valor inicial N0. Esto corresponde a una
situación ideal que no se observará en un sistema ecológico:cualquier perturbación
natural tendrá como consecuencia que el parámetro k se haga positivo
o negativo. Si (c) es el caso, como la población aumenta exponencialmente,
pronto la población dejará de ser “suf cientemente pequeña” y empezará a
sentir las limitaciones del medio.
3Recordemos que: población pequeña en comparación con el medio fué la apro- ximación
que corresponde, en la realidad, a la suposición de un medio inf nito.
Aún cuando tengamos un medio favorable al crecimiento de una población
pequeña (k > 0), si número de pobladores es “suf cientemente grande” entonces
la población disminuirá. En consecuencia, es natural esperar que
exista un número crítico de pobladores que marque la frontera entre lo que
estamos entendiendo por población “suf cientemente pequeña” y “suf cientemente
grande”.
Este número crítico η, de pobladores, sería algo así como la “capacidad
de carga” del medio respecto a esos pobladores. Debe ocurrir que si se ubican
inicialmente un número de pobladores N0 > η entonces la población
disminuirá hasta tener un número de pobladores N(t) = η. Asimismo, si
N0 < η entonces al población deberá crecer hasta que N(t) = η. Idealmente,
si N0 = η entonces la población se debe mantener constante.
Habiendo visto que el caso (c) es el interesante, por dar lugar a un comportamiento
que no se daba en el modelo de población joven, propongamos
una expresión [n − m](N, t) para este caso.
Otra vez, como la población es aislada es de esperarse que n − m no
dependa de t. Por otra parte, del análisis hecho en los párrafos anteriores
se concluye que n−m debe depender de N y que la función [n−m](N) debe
cumplir:
[n −m](N) =
1
N
dN
dt
> 0 si N <η
[n −m](N) =
1
N
dN
dt
< 0 si N >η
[n − m](N) =
1
N
dN
dt
= 0 si N = η.
Existen muchas funciones con tal propiedad, conviene para modelar este
comportamiento, proponer la expresión más simple:
[n −m](N) = η − N.
La ley de crecimiento será entonces:
1
N
dN
dt
= ηN − N2. (5)
Esta ecuación es llamada la ecuación logística y para encontrar sus soluciones
denotamos por dN/dt la derivada de N respecto a t y escribimos:
N0
N(η − N)
= 1
Z t
0
N0dt
N(η − N)
=
Z t
0
dt
Z N(t)
N(0)
dN
N(η − N)
= t
descomponiendo el integrando en fracciones parciales tenemos que:
1
η
Z N(t)
N(0)
dN
N
+
1
η
Z N(t)
N(0)
dN
(η − N)
= t
1
η
Z N(t)
N(0)
dN
N −
1
η
Z η−N(t)
η−N(0)
dN
N
= t
para que estas integrales esten def nidas se requiere que:
1) Los límites de integración no se anulen;
2) Tanto N(t) y N0 como η −N y η −N0 tengan el mismo signo.
Bajo estas suposiciones
ln
N
N0
+ ln
η − N0
η − N
= ηt
y despejando llegamos a que
N(t) =
ηN0
(η − N0)e−ηt + N0
. (6)
Aunque la ecuación (6) vale sólo cuando se cumplen las condiciones (1)
y (2), es importante notar que la condición (2) no restringe realmente a la
ecuación (6) pues esta garantiza, de por sí, la validez de la suposición. Esto
es, se puede demostrar que la ecuación (6) implica que
N(0) > 0 ⇒ N(t) > 0, ∀t ∈ R
N(0) < 0 ⇒ N(t) < 0, ∀t ∈ R
N(0) < η ⇒ N(t) < η, ∀t ∈ R
N(0) > η ⇒ N(t) > η, ∀t ∈ R.
Consideremos ahora la suposición 1), de acuerdo a ella la ecuación (6)
no es válida cuando N(0) = 0 ni cuando N(0) = η. Sin embargo, aún en
este caso esta ecuación indica el resultado correcto, a saber que si N(0) =
0 entonces N(t) = 0 ∀t y que si N(0) = η entonces N(t) = η ∀t. Que
estas funciones constantes son soluciones lo podemos checar directamente de
la ecuación diferencial N0 = N(η − N); el miembro izquierdo se anula (la
derivada de una función constante es cero) y lo mismo ocurre con el derecho.
Estas soluciones constantes son conocidas como soluciones de equilibrio.
Observación. En general para una ecuación del tipo N0 = f(N), las
funciones de la forma N(t) = α, ∀t donde α es un cero de f, son soluciones
de equilibrio.
Ahora terminaremos el análisis de este modelo discutiendo qué valor de
η debe utilizarse en la ecuación (5).
En la sección anterior, para proponer el valor del parámetro k resultó
suf ciente conocer N0 y el valor N(t1) para un tiempo t1 6= 0, cualquiera. Si
procedemos en este modelo con la misma idea, nos topamos con la dif cultad
de resolver la ecuación trascendente
N(t1)e−ηt1 − N0 = −N(t1)N0/η (7)
para encontrar el valor del parámetro η.
Geométricamente, resolver esta ecuación signif ca encontrar los puntos de
intersección de las gráf cas de las funciones:
f(x) = N(t1)e−xt1 − N0yg(x) = −N(t1)N0/x.
Como N(t1),N0 y t1 son números positivos, tenemos una situación como
la que muestra la siguiente f gura.
Figura 4
En esta f gura podemos ver que se dan dos intersecciones, una para x = η1
y otra para x = η2. Como en nuestro problema no tiene sentido un valor
negativo de η, el número que buscamos es η1.
Dado que no podemos resolver analíticamente la ecuación (6), no será
posible encontrar exactamente a η1 y habrá que recurrir a algún método
numérico para dar una aproximación. Esto se puede hacer utilizando algún
algoritmo ( como el famoso método de Newton ) para encontrar los ceros
de la función F(x) = f(x) − g(x) que coinciden con las intersecciones antes
mencionadas.
Capítulo 3
ANALISIS GEOMETRICO DE
LA ECUACION DE PRIMER
ORDEN
3.1 Campo de Direcciones
El caso más general de ecuación de primer orden está representado por la
expresión
F(x, y, y0) = 0
En la discusión siguiente nos ocuparemos sólo de las ecuaciones para las
cuales se puede despejar y0 como función de x y de y es decir aquellas del
tipo
y0 = f(x, y) (1)
Las soluciones de (1) son funciones y las podemos representar gráf camente
como una curva en el plano xy. Dejemos que sea Df el subconjunto
del plano donde está def nida la función (ver f gura 1). Conside- remos un
punto cualquiera (x0, y0) ∈ Df y y(x) una solución de (1) tal que su gráf ca
pase por el punto (x0, y0) esto es que satisfaga la condición inicial y(x0) = y0.
Entonces la ecuación (1) nos dice que f(x0, y0) es el valor de la pendiente de
la tangente a la gráf ca de x(y) en el punto (x0, y0).
29
Figura 1
Así de la ecuación diferencial, específ camente de la función f(x, y), conocemos
en cada punto de Df una tangente. Esto lo podemos visualizar si en
cada punto (x, y) ∈ Df nos imaginamos un segmento con la dirección que
f(x, y) determina (ver f gura 2).
Figura 2
Un subconjunto del plano como éste, en el que para cada punto se ha
def nido una dirección, es llamado campo direccional.
En estos términos lo que se ha hecho al plantear la ecuación (1) es def nir
un campo direccional y el problema de encontrar sus soluciones es el de
encontrar aquellas curvas en con la propiedad de ser tangentes en cada punto
al campo direccional dado.
Ejemplo: La ecuación diferencial y0 = y2 def ne un campo direccional en
todo el plano cuyas direcciones son constantes a lo largo de rectas paralelas
al eje x.
Figura 3
El dibujar algunos segmentos representativos de las direcciones de campo
sugiere que las gráf cas de las soluciones son curvas como las que aparecen
en la f gura 3.
Observación: Debido a que la dirección, que def ne el campo de la ecuación
y0 = y2, en cada punto del plano depende solamente de la coordenada y,
entonces para cualquier y0 los puntos de laforma (x, y0), con x ∈ R, se encuentran
rodeados de un campo direccional idéntico y por lo tanto, como
puede notarse en la f gura 3, las soluciones pueden obtenerse una de otra haciendo
traslaciones en la dirección del eje x.Así mismo podemos af rmar que
en general para una ecuación del tipo y0 = f(y), las gráf cas de las soluciones
se obtienen una de otra haciendo traslaciones en la dirección del eje x. En
contrate con esto, en el capítulo I vimos que las soluciones de la ecuación
y0 = f(x) dif eren entre sí por una constante y por lo tanto sus gráf cas son
traslaciones unas de otras en la dirección del eje.
La ecuación de este ejemplo puede resolverse analíticamente. Sus soluciones
son las funciones de la forma. y = − 1
x+c ,cuyas gráf cas son como
muestra la f gura 4. Comparese las gráf cas de la f guras 4 y 5.
Figura 4
Para la ecuación que acabamos de considerares muy fácil encontrar una
fórmula general de sus soluciones y comprobar la validez de los resultados
geométricos. Esta no es la situación general, por el contrario,en la mayoría de
los casos es imposible encontrar expresiones elementales para las soluciones
lo cual hace conveniente, si no necesario, un análisis geométrico para obtener
conocimiento referente a las soluciones.
Ejemplo: y0 = x2 + y2
En el ejemplo anterior después de notar que el campo direccional era constante
a lo largo de rectas paralelas al eje x procedimos a dibujar segmentos
direccionales a lo largo de estas rectas y de esta manera pudimos obtener
la forma de las gráf cas de las soluciones. En el presente ejemplo el campo
direccional depende tanto de x como de y.En consecuencia no es constante
a lo largo de rectas paralelas aalguno de los ejes. A pesar de esto podemos
utilizar el mismo método y encontrar las curvas que unen los puntos de igual
dirección (estas son llamadas curvas isoclinas) que, para el presente ejemplo,
son círculos con centro en el origen. Así por ejemplo en el círculo de radio 2
tenemos que x2 + y2 = y0 = 4 lo que indica que,. para cualquier punto sobre
éste, la correspondiente dirección será la de una recta de pendiente 4. Ver
f gura 5.
Figura 5
3.2 El Problema de Existencia de Soluciones
Consideremos la ecuación diferencial y0 = f(x, y) siendo f tal que:
f(x, y) =
(
1 si x es racional
−1 si x es irracional
)
La función f determina en el plano xy un campo direccional. Este campo
no depende de y. Por lo tanto es constante a lo largo de cualquier recta
paralela al eje y las direcciones cambian discontinuamente del valor 1 al
valor -1 a medida que nos movemos en la dirección del eje x. Es en vano
tratar de encontrar una familia de curvas que sean tangentes a un campo
como éste. Tal familia no existe.
Esto nos hace ver que si tenemos la ecuación y0 = f(x, y) con f(x, y)
def nida en una región R del plano, entonces el problema de encontrar las
soluciones de esta ecuación no siempre podrá resolverse. Esta observación
sugiere la siguiente pregunta: ?‘Qué debe satisfacer f(x, y) en R para que
tales curvas existan?
Claramente es la discontinuidad de f lo que imposibilita el ejemplo anterior,
la existencia de curvas tangentes al campo direccional. Por el contrario,
si f(x, y) es continua en R la situación cambia. En este caso, si dejamos que
el segmento direccional correspondiente a un punto arbitrario (x0, y0) ∈ R
se mueva en su propia dirección, adoptando después de cada movimiento la
nueva dirección correspondiente al punto al que se ha trasladado, entonces
este segmento se desplazará, en la región R cambiando dirección de manera
contínua y dibujando en esta región una curva lisa. Este razonamiento
intuitivo sustenta la plausibilidad del siguiente teorema.
3.3 Teorema (de Peano)
Sea f(x,y) continua en un abierto, R, del plano. Entonces dado cualqui- er
punto (x0,y0) ∈ R existe una solución de la ecuación y0 = f(x,y) tal que su
gráf ca pasa por el punto (x0,y0).
3.4 La Unicidad de las Soluciones
En el capítulo I consideramos la ecuación y0 = f(x) y vimos que el hecho de
que f sea continua nos garantiza que, dado x0 en el dominio de continuidad
de f y y0 un real arbitrario, existe una solución de la ecuación diferencial
que pasa por el punto (x0, y0) y esta es única. De acuerdo al teorema de
Peano, la continuidad de f(x, y) en una región R también garantiza que por
cada punto (x0, y0) de R pasa una solución de la ecuación y0 = f(x, y). ¿Será
cierto que la continuidad de f(x, y) garantiza también que por cada punto
de R pasa una única solución?. El análisis del siguiente ejemplo nos dará
la respuesta.
Ejemplo:
y0 = y2/3
y0y−2/3 = 1
d
dx
(3y1/3) = 1
3y1/3 = x + c
y = (
x
3
+ k)3, k = cte.
Las funciones de esta familia def nidas en todo R son soluciones, pero la
expresión y = (x
3 +k)3 no es la solución general de la ecuación pues y(x) = 0,
∀x ∈ R es solución y no es elemento de la familia. Por otra parte cada una
de las funciones de la familia se anula en el correspondiente valor x = −3k
(ver f gura 6).
Figura 6
Esto quiere decir que, para cualquier número k, por el punto (−3k, 0)
del plano pasan al menos dos soluciones: y = 0 y y = (x
3 + k)3. Si analizamos
con más cuidado situación, notamos que realmente por cada punto
del plano pasan inf nitas soluciones, curvas como ABCE o ABCDF también
son soluciones que tienen muchos puntos en común.
El análisis de este ejemplo nos ha mostrado una ecuación diferen- cial
cuyo campo direccional es continuo y sin embargo no satisface la condición de
unicidad. Esto quiere decir que para garantizar esta condición es necesario
hacer hipótesis adicionales sobre la función f. Puede demostrarse que una
condición suf ciente (pero no necesaria) para que por un punto (x0, y0) ∈ R
pase una única solución, es que exista ∂f
∂y en R y sea continua.
3.5 Campos con Direcciones Verticales
Hemos visto que la ecuación diferencial y0 = f(x, y) def ne un campo direccional
en aquella región del plano donde la función f(x, y) esta def nida.
Este campo no puede tener direcciones verticales (paralelas al eje y) pues,
a tales direcciones habrían de corresponder pendientes inf nitas y f(x, y) en
su dominio debe tomar valores reales. Por esta razón las curvas tangentes a
él son gráf cas de funciones. (Una curva lisa1 en el plano xy, que no pueda
entenderse como gráf ca de una función de variable x, tiene necesariamente
alguna tangente vertical).
1Una curva lisa es aquella que no tiene “picos” y es contínua.
Este análisis nos permite además concluir que no cualquier curva lisa en
el plano xy que pueda entenderse como gráf ca de una función de x puede
ser solución de alguna ecuación diferencial del tipo x0 = f(x, y).
Ejemplo: Claramente una función cuya gráf ca sea como se muestra en la
f gura 7 es lisa y no puede ser solución de una ecuación de la forma y0 = f(x, y)
pues en el punto (x0, y0) no está def nida la derivada.
Figura 7
Ejemplo: Considere la ecuación
y0 =
1
y2
y2y0 = 1
d
dx
(
y3
3
) = 1
y3
3
= x + c
y =3 √3x + 3c =3 √3x + k
k una constante arbitraria.
Las funciones de la familia están def nidas en todo el plano y sus gráf cas,
como se pueden ver en la f gura 8, no tienen derivada en el punto −k/3 lo que
indica, contrario a las primeras apariencias, que estas funciones, pensándolas
def nidas en todos los reales, no son soluciones de la ecuación diferencial.
Figura 8
De hecho, si sustituimos en la ecuación tenemos que
1
3
q
(3x + k)2
=
1
3
q
(3x + k)2
igualdad que se verif ca solamente si x 6= − k/3. Por lo tanto la ecuación
diferencial y0 = 1
y2 no tiene alguna solución def nida en todos los reales y una
función de la familia (A) es solución sólo si tomamos como dominio para ella
un subconjunto de los reales que no contenga al correspondiente punto −k/3.
Eliminando al punto −k/3 del dominio de estas funciones estamos prohibiendo
que las correspondientes gráf cas crucen el eje x restrición que, por
otra parte, pudimos haber notado directamente de la ecuación diferencial,
donde la función f(x, y) = 1
y2 no está def nida cuando y = 0.
En el ejemplo anterior pudimos notar que el campo direccional de la
ecuación y0 = 1
y2 está def nido solamente en los dos semiplanos que no contienen
al eje x y por lo tanto sólo podemos encontrar curvas tangentes a él
que yazcan en solamente uno de ellos. Este campo direccional, sin embargo
puede ser extendido a la región donde no está def nido de tal manera que el
campo total resultante sea continuo, esto es, existe una dirección, la vertical,
que si se def ne para los puntos del eje x entonces resulta un campo continuo.
Por esta razón la discontinuidad que este campo presenta no se debe
a la conformación misma de éste sino a que el lenguaje que hemos utilizado
para describir el campo tiene limitaciones que le impiden def nir direcciones
paralelas al eje de la variable dependiente2. Como la discontinuidad no es
intrínseca a la naturaleza del campo entonces podríamos buscar otra forma
de def nirlo en la que no aparezcan discontinuidades.
En el ejemplo anterior, como ya hemos indicado, el problema para def nir
un campo direccional en todo el plano usando la ecuación y0 = 1
y2 , radicaba en
que una función y(x) derivable, no puede tener tangentes verticales (paralelas
al eje y) esto sugiere que si, para def nir el campo direccional, consideramos a
y como variable independiente y a x como dependiente, entonces será posible
def nir el campo donde las correspondientes direcciones son paralelas al eje y
pues esta variable ya no juega el papel de dependiente sino de independiente.
El cambiar los papeles de x por los de y signif ca considerar las funciones
inversas x(y) y escribir, para def nir el campo, una ecuación x0 = g(y, x) para
que el campo de esta ecuación coincida con el de y0 = 1
y2 donde este último
está def nido, hacemos x0 = y2. El campo de esta ecuación no sólo está
def nida donde lo estaba el de la ecuación original sino que lo está en todo el
plano; cuando y = 0 (en el eje x), las direcciones que def ne son paralelas al
eje y.
Las soluciones de dx
dy = y2 están dadas por la ecuación x(y) = y3
3+c ∀y ∈ R
y sus gráf cas (f gura 9) ahora si “pintan” en el eje x.
2 Esta limitación tiene origen en el hecho de que para cuantif car las pendientes de rectas
usamos números reales y este conjunto resulta “chico” para este propósito pues después
de haber asignado direcciones de cada número real, resta una dirección y ningún real que
asignarles.
Figura 9
NOTA 1. La extensión que hemos hecho para el campo direccional de la
ecuación y0 = 1
y2 la podremos hacer en general para una ecuación y0 = f(x, y)
siempre que el campo de ésta presente el problema de direcciones verticales
y no tenga direcciones horizontales. Para esto basta considerar el campo de
la ecuación dx/dy = 1/f(x, y) en todos aquellos puntos (x, y) donde f(x, y)
esté def nida y naturalmente hacemos dx
dy = 0 donde lim f(x, y) = ±∞.
NOTA 2. Hemos visto un ejemplo de campo direccional discontinuo que
puede ser extendido continuamente. Esto no quiere decir que siempre que
el campo direccional def nido por la ecuación y0 = f(x, y) sea discontinuo,
este puede extenderse continuamente. Por el contrario existen ejemplosf de
ecuaciones, más adelante veremos alguno, cuyos campos direccionales presentan
discontinuidades que son característica intrínseca del propio campo y
no es posible salvarla de manera alguna.
3.6 Campos con Direcciones Verticales y Horizontales
En la sección anterior vimos que existe una estrecha relación entre las ecuaciones
dy
dx
= f(x, y) (1)
dx
dy
=
1
f(x, y)
(2)
La relación está básicamente en que:
i) Si f(x, y) es continua y diferente de cero en R entonces en este conjunto
el teorema de Peano garantiza la existencia de soluciones tanto de (1) como
de (2) y las soluciones de (2) son las inversas de las soluciones de (1). En
este caso decimos que (1) y (2) son equivalentes en el sentido de que sus
soluciones, entendidas como curvas en el plano, son las mismas.
ii) Cuando f(x, y) es continua en R pero f(x, y) = 0 en H ⊂ R entonces
por cada punto de R pasa una solución de 1, pero como 1/f(x, y)
no está def nida en H, no hay soluciones de (2) que pasen por estos puntos.
Obviamente en la región R − H las gráf cas de las soluciones de (1) y (2)
coinciden.
Por lo que hemos visto ni la ecuación (1) ni la (2) sirve para def nir un
campo direccional arbitrario, la (1) sirva para def nir campos direccionales
que no contengan direcciones paralelas al eje y y la ecuación (2) para los que
no tengan direcciones paralelas al eje x.
Si queremos trabajar con un campo direccional con direcciones tanto verticales
como horizontales entonces habremos de tomar en cuenta ambas ecuaciones,
la (1) para la región donde no haya direcciones verticales y la (2) donde
esto ocurre.
De este manera, “pegando” los campos direccionales def nidos por ambas
ecuaciones y haciendo lo mismo para las correspondientes soluciones podemos
obtener el campo direccional total así como el conjunto de curvas tangentes
a él. Este procedimiento, aunque no parezca muy elegante, nos permite
tratar el problema de def nir un campo direccional arbitrario y encontrar
las curvas tangentes a él, que obviamente ya no tendrán porqué ser gráf cas
de funciones. Las curvas tangentes al campo direccional def nido por las
ecuaciones (1) y (2) son llamadas curvas integrales tanto de la ecuación (1)
como de la ecuación (2).
Ejemplo:
Encontraremos el campo direccional y las curvas tangentes a él def nido
por las ecuaciones:
dy
dx
= −
x
y
,
dx
dy
= −
y
x
El campo direccional de la ecuación dy
dx = −x
y no está def nido en el eje x
y el de dx
dy = −y
x no lo está en el eje y.
De dy
dx = −x
y podemos ver que para cada punto (x, y) del plano con y 6= 0,
la dirección asociada es la perpendicular al segmento que va del origen al
punto (x, y), y usando la ecuación dx
dy = −y
x podemos ver que las direcciones
en el eje x son perpendiculares a este como se muestra en la f gura 10. Esto
sugiere que las curvas integrales de estas ecuaciones sean círculos con centro
en el origen.
Figura 10
Observación: No hay que pasar por alto que ninguna de las ecuaciones,
(1) o (2), def ne dirección en el orígen. En este punto está indef nido el
campo y no sólo esto sino, que la discontinuidaddd que este presenta es
esencial pues no es posible def nir en él alguna dirección de tal manera que
el campo resultante sea continuo.
3.7 Otra Forma de Definir un Campo de Direcciones
De acuerdo con la discusión de las secciones anteriores, hemos visto que a
partir de una función f : R2 → R, si interpretamos los valores f(x, y) como
pendientes, podemos def nir un campo direccional en el plano. Esta forma
de def nir un campo de direcciones no es la única posible y hemos visto que
tiene limitaciones para def nir un campo direccional arbitrario.
Otra forma de def nir un campo direccional es mediante una función F :
R ⊂ R2 → R2 podemos pensar que ésta a cada punto (x, y) ∈ R le asocia
un vector del plano (ver f gura 11), cada uno de estos vectores
Figura 11
tiene dirección, sentido y magnitud, pero basta tomar en cuenta la dirección
de cada uno de ellos para que en R quede def nido un campo direccional.
Observación: Un campo direccional def nido de esta manera puede tener
direcciones, tanto verticales, como horizontales. De hecho si
F(x, y) = (A(x, y),B(x, y))
el campo tendrá direcciones verticales en aquellos puntos (x, y) donde A(x, y) =
0 y horizontales donde B(x, y) = 0 donde A(x, y) = B(x, y) = 0 y el vector
F(x, y) no def ne dirección alguna.
Tengamos pues un campo direccional def nido por
F(x, y) = (A(x, y),B(x, y)) ∀ (x, y) ∈ R ⊂ R2
y consideremos ahora el problema de encontrar las curvas tangentes a este
campo. En consecuencia con la observación anterior, las curvas tangentes a
este campo no tienen porqué ser gráf cas de funciones ni de la variable x ni
de la variable y.
El problema de encontrar curvas tangentes al campo dado por F(x, y), es
el mismo que el de encontrar curvas ortogonales al campo dado por
F⊥(x, y) = (−B(x, y),A(x, y)).
Consideremos para las curvas buscadas una parametrización,
γ(t) = ((x(t), y(t)),
tal que [x0(t)]2 + [y0(t)]2 6= 0 ∀t, entonces como γ0(t) = ((x0(t), y0(t)) es un
vector tangente a la curva (f gura 12)
Figura 12
la condición de ortogonalidad queda formulada, en términos del producto
escalar de dos vectores, de la manera siguiente:
(−B,A) · (x0, y0) = 0
−Bx0 + Ay0 = 0
y para cualquier h 6= 0
−Bx0h + Ay0h = 0
o sea
−Bdx + Ady = 0.
Capítulo 4
ECUACIONES DE SEGUNDO
ORDEN
4.1 Introducción
En este capítulo nos ocuparemos de las ecuaciones diferenciales de segundo
orden. La forma general de tales ecuaciones es:
F(x, y(x), y0(x), y00(x)) = 0.
No existe un método que nos permita encontrar una fórmula general que
represente a todas las soluciones de una ecuación como esta. Esto no se
puede hacer ni siquiera para las ecuaciones de la forma:
y00 = f(x, y, y0). (1)
Entre las ecuaciones del tipo (1) existe una clase muy importante, aquellas
para las que
f(x, y, y0) = p(x)y0 + q(x)y − b(x)
Este tipo de ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales li- neales
de segundo orden y son interesantes porque surgen en la práctica científ ca al
estudiar matemáticamente algunos sistemas dinámicos y porque son susceptibles
de un tratamiento algebráico que sirve para estudiar sus soluciones.
Antes de entrar al estudio de las ecuaciones lineales de segundo orden, en
las próximas dos secciones trataremos dos casos particulares de la ecuación
44
(1). En el capítulo I vimos que el problema de resolver una ecuación de
orden n de la forma
y(n) = f(x)
consiste en resolver n veces una ecuación de primer orden de la forma y0 =
f(x). Esta situación no es la misma para cualquier ecuación de orden n.
En particular el problema de resolver una ecuación de segundo orden no se
puede reducir, en todos los casos, a resolver por separado dos ecuaciones
de primer orden. Para las dos clases de ecuaciones que consideraremos a
continuación la reducción de orden es operativa. Más adelante, veremos
que esta reducción de orden no es necesaria para encontrar las soluciones de
algunas ecuaciones de segundo orden.
4.2 La Ecuación y00 = f(x, y0)
Consideremos una ecuación del tipo
y00 = f(x, y0), (2)
por ejemplo
y00 = xy0
si def nimos una nueva función
z = y0 (3)
sustituimos en la ecuación (2) obtenemos la siguiente ecuación de primer
orden
z0 = f(x, z) (4)
si esta última ecuación la pudieramos resolver entonces las solucines de (2)
se encuentran resolviendo la ecuación (3) y el problema de segundo orden
quedaría reducido a resolver ecuaciones de primer orden: (3) y (4).
Para el ejemplo dado anteriormente las ecuaciones (3) y (4) toman la
forma
z = y0
z0 = xz
la segunda ecuación tiene variables separadas y sus soluciones están dadas
por la fórmula general z = c1ex2/2. Sustituyendo z en la primera la ecuación
obtenemos que
y0 = c1ex2/2
resolviendo esta ecuación diferencial obtenemos la expresión
y = c1
Z
ex2/2dx + c2
para las soluciones de la ecuación de segundo orden y00 = xy0.
4.3 La Ecuación y00 = f(y, y0)
Consideremos ahora la ecuación
y00 = f(y, y0) (5)
y como ejemplo
y00 =
(y0)3
y2
si en este tipo de ecuación se hace la sustitución y0 = z obtenemos
dz
dx
= f(y, z)
con el inconveniente de que es una relación entre las tres variables x, y, z.
Sin embargo, suponiendo que la función y(x) es invertible, podemos pensar
a z como z(x(y)), es decir, como función de y. Por la reglas de la cadena
tenemos entonces que
dz
dy
=
dz
dx
dx
dy
,
despejando y aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa
dz
dy
=
dz
dy
(
dx
dy
)−1 =
dz
dy
dy
dx
=
dz
dy
z
así para encontrar las soluciones de (5) solo hay que resolver la ecuación de
1er. orden
z
dz
dy
= f(y, z) (6)
y sustituir las soluciones en la ecuación
dy
dz
= z (7)
para encontrar y(x).
En el ejemplo la ecuación (6) toma la forma
z
dz
dy
=
z3
y2
separando variables se obtienen las soluciones
z(y) =
1
((1/y) − c1)
,
sustituyendo en (7) e integrando obtenemos la ecuación
ln(y) − c1y = x + c2
que nos da en forma implícita la relación entre la variable x y la variable y.
Observese que por ser esta una ecuación trascendente no podemos despejar la
función y(x) para obtener la fórmula general de las soluciones de la ecuación
original.
4.4 Ecuaciones Lineales
Una ecuación diferencial del tipo
y00 + p(x)y0 + q(x)y = b(x) (8)
se conoce como ecuación lineal de segundo orden. Así mismo por una ecuación
lineal de orden n, se entiende una del tipo
y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · · + a0(x)y = b(x).
En esta sección estudiaremos solamente el caso de segundo orden pero los
resultados que obtendremos se pueden generalizar para ecuaciones de orden
superior se dice que la ecuación (8) es homogénea si b(x) ≡ 0 para toda x, y
no homogénea en caso contrario.
Entre las propiedades más importantes de la ecuación (8) está la interesante
relación que existe entre sus soluciones y las soluciones de la correspondiente
ecuación homogénea, es decir la ecuación
y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0 (9)
La relación es la siguiente: Si Y0 es la solución general de (8), Y0 es la
solución general de (9) y yp es una solución cualquiera de (8) entonces
Y (x) = yp(x) + Y0(x)
Este resultado se apoya en el razonamiento siguiente: Si y0 es una solución
de (9) entonces yp + y0 es solución de (8). Esto demuestra que Y ⊃ yp +Y0. Además, si y es solución de (8) entonces existe (y−yp) solución de
(9) tal que y = yp + (y − yp). Lo que demuestra que Y ⊂ yp + Y0.
Habiendo hecho esta abstracción, el problema de resolver la ecuación (8)
se convierte en el de resolver (9) y encontrar una solución cualquiera de (8).
Antes de proceder al estudio de las soluciones de las ecuaciones lineales,
conviene que veamos bajo que condiciones podemos garantizar que estas
existen.
Teorema: (de existencia y unicidad) Si:
i) p(x), q(x) y b(x) son continuas en [a, b]
ii) x0 ∈ [a, b]
iii) y0, y1 ∈ R
entonces existe una y sólo una solución de
y00 + p(x)y0 + q(x)y = b(x),
def nida en todo el intervalo [a, b], con la propiedad de que
y(x0) = y0, y0(x0) = y1.
Así, bajo las hipótesis de este teorema, dado cualquier punto en la franja
del plano entre los puntos a y b existe una solución que pasa por él. A
diferencia de lo que ocurría con las ecuaciones de primer orden ahora no hay
única solución con esta propiedad, pero sí hay una única que pase por el
punto en cuestión con una pendiente dada.
4.5 La Ecuación Homogénea
Es muy fácil verif car que si φ1 y φ2 son soluciones de la ecuación homogénea
entonces, para cualquier pareja de constantes reales c1 y c2, la función φ =
c1φ1 + c2φ2 también es solución. En álgebra lineal la expresión c1φ1 + c2φ2
se conoce como una combinación lineal de φ1 y φ2.
Proposición: Si φ1 y φ2 son soluciones de la ecuación
y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0
entonces cualquier combinación lineal de ellas también es solución.
En vista de este resultado conociendo una pareja de soluciones φ1, φ2 entonces
podemos conocer también toda una familia de soluciones determinada
por los dos parámetros c1 y c2. Por otra parte, de acuerdo a nuestra experiencia
con las ecuaciones diferenciales es de esperarse que la solución general,
de la ecuación (si esta existe) involucre dos constantes por ser de segundo orden.
Entonces surge la siguiente pregunta: ¿Es c1φ1+c2φ2 la solución general
de la ecuación? esto es, ¿será que dada φ una solución cualquiera se
pueden encontrar cons- tantes c1 y c2 tales que φ = c1φ1+c2φ2?. Apelemos
al teorema de existencia y unicidad para dar respuesta a por esta pregunta.
Por éste sabemos que toda solución de la ecuación lineal de segundo orden
está determinada por el valor que ella y su derivada tomen en un punto dado.
Así para que cualquier solución φ determinada por las condiciones iniciales
φ(x0) = y0, φ0(x0) = y1 se pueda escribir como combinación lineal de φ1 y φ2,
se debe cumplir que: dada cualquier terna (x0, y0, y1), x0 ∈ [a, b], y0, y1 ∈ R
existan c1 y c2 tales que
c1φ1(x0) + c2φ2(x0) = y0
(10)
c1φ01(x0) + c2φ02(x0) = y1
Cumpliéndose esto, la solución c1φ1 + c2φ2 coincide con la función φ en el
punto x0 y entonces, por la unicidad debe coincidir con ella en todo punto
del intervalo [a, b].
Para que la condición (10) se cumpla tiene que ocurrir que el determinante
del sistema ¯¯¯¯¯
φ1(x0) φ2(x0)
φ01(x0) φ02(x0)
¯¯¯¯¯
= [φ1φ02 − φ2φ01](x0)
sea diferente de cero para cada x0 ∈ [a, b]. La función
w(x) = [φ1φ02 − φ2φ01](x)
es conocida como el Wronskiano de la funciones φ1 y φ2. Para poder entender
lo que signif ca el que el Wronskiano de dos soluciones φ1 y φ2 nunca se
anule, en la próxima sección daremos algunas def niciones de álgebra lineal
y discutiremos una propiedad fundamental de la función w(x).
4.6 El Wronskiano
Observemos que si φ1 y φ2 son soluciones de la ecuación homogénea (9)
entonces W(x) = 0 ∀x ∈ [a, b] ó W(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]. Esto se debe a que
bajo tales condiciones
φ00 1 + p(x)φ01 + q(x)φ1 = 0
φ00 2 + p(x)φ02 + q(x)φ2 = 0
multiplicando la primera ecuación por φ2, la segunda por φ1, y restando la
primera a la segunda tenemos que
φ1φ00 2 − φ2φ00 1 + p(x)(φ1φ02 − φ2φ01) = 0, ∀x ∈ [a, b]
y como W0 = φ1φ00 2 − φ2φ00 1 entonces W(x) cumple la ecuación
W0(x) + p(x)W(x) = 0
de donde
W(x) = ce−
R x
p(s)ds
y esta función se anula sólo cuando c = 0 ya que la exponencial siempre es
mayor que cero.
Así pues, tenemos que c1φ1 +c2φ2 será la solución general de la ecuación
(9) si el Wronskiano de estas dos soluciones no se anula en todo punto del
intervalo [a, b].
Obviamente W(x) es la constante cero si alguna φ1 ó φ2 resulta ser la
constante cero1. Por lo tanto en este caso c1φ1 + c2φ2 no será la solución
1 Note que este caso es de interés pues la función constante cero es solución de (9)
general de (9), lo que era de esperarse pues en realidad c1φ1 + c2φ2 = cφ1 es
una familia dependiente de un sólo parámetro y no de dos.
Supongamos que ni φ1 ni φ2 son la constante cero, en este caso podemos
encontrar un punto en [a, b] donde φ1 no se anula. Como φ1 es continua en
[a, b] existe un intervalo [c, d] ⊂ [a, b] tal que φ1(x) 6= 0, ∀x ∈ [c, d]. En este
intervalo
φ1φ02 − φ2φ01
φ2
1
=
d
dx
Ã
φ2
φ1
!
= 0
de donde φ2 = kφ1 en [c, d], con k enR. La fuinción kφ1, es también solución
de la ecuación (9) y como coincide con la solución φ2 en el intervalo [c, d],
entonces por unicidad debe coincidir con ella en todo punto del intervalo
[a, b].
Recíprocamente, si φ2 = kφ1, en [a, b] entonces
W(x) = φ1φ02 − φ2φ01 = kφ1φ01 − kφ1φ01 = 0, ∀x ∈ [a, b].
Así pues queda demostrado que:
Teorema: Si φ1 y φ2 son soluciones de la ecuación homogénea (9), entonces
la familia de funciones
φ(x) = c1φ1(x) + c2φ2(x)
es la solución general de (9) si y sólo si no existe k ∈ R tal que
φ2(x) = kφ1(x), ∀x ∈ [a, b].
Cuando no existe k ∈ R tal que φ2 = kφ1 en [a, b] se dice que las funciones
φ1 y φ2 son linealmente independientes. Este nombre viene del álgebra lineal
donde, en un contexto más general, se def ne el concepto de la manera
siguiente:
Definición: Si φ1 y φ2 son elementos de un espacio vectorial2 y cualqui- er
combinación lineal de ellos igualada a cero
c1φ1 + c2φ2 = 0
implica que c1 = c2 = 0, entonces se dice que φ1 y φ2 son linealmente
independientes.
2 Se puede demostrar que {φ | φ : [a, b] → R} es un espacio vectorial sobre el campo de
los reales.
Fácilmente se puede demostrar que la proposición
c1φ1 + c2φ2 = 0 ⇒ c1 = c2 = 0
es equivalente a la proposición
6∃k ∈ R · 3 · φ2 = kφ1
utilizando este lenguaje el teorema anterior se escribe como:
Teorema: Si φ1 y φ2 son soluciones de (9) entonces φ =c1φ1 + c2φ2 es
la solución general de (9) si y sólo si φ1 y φ2 son soluciones linealmente
independientes.
4.7 El Uso de una Solución para Encontrar
Otra
Hemos visto que a partir de dos soluciones linealmente independientes se
pueden obtener todas las soluciones de la ecuación (9). En algunos casos este
par de soluciones puede encontrase por pura inspección, sin embargo esto no
es siempre posible. En la próxima sección veremos un método general para
resolver la ecuación (9), pero aplicable solamente cuando los coef cientes p(x)
y q(x) son funciones constantes. Cuando estos coef cientes no son constantes
el problema es más difícil y no se he podido obtener una fórmula general para
las soluciones de la ecuación diferencial.
En esta sección veremos un método general para resolver la ecuación (9)
a partir del conocimiento de una sola solución. La idea es producir a partir
de la solución conocida otra linealmente independiente a ella. Para esto
llamémosle φ1 a la solución conocida y supongamos que existe una solución
φ2 que es linealmente independiente a φ1. Entonces la función
ϑ(x) = φ2(x)/φ1(x)
no es constante y, si la podemos encontrar, conoceremos también a φ2.
Busquemos entonces unas función ϑ(x) tal que φ2 = ϑ(x)φ1 sea solución,
es decir, que satisfaga
φ200 + p(x)φ20 + q(x)φ2 = 0 (11)
tenemos que
φ2 = ϑφ1
φ02 = ϑφ01 + ϑ0φ1
φ00 2 = ϑ00φ1 + ϑφ00 1 + 2ϑ0φ01.
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (11) tenemos que
ϑ00φ1 + ϑ0(2φ01 + p(x)φ1) + ϑ(φ00 1 + p(x)φ01 + q(x)φ1) = 0
y como φ1 es solución de (9), la ecuación que determina a la función ϑ es:
ϑ00φ1 + ϑ0(2φ01 + p(x)φ1) = 0
ϑ00 = −
(2φ01 + p(x)φ1)
φ1
ϑ0
ϑ = ce
n

R x (2φ01+p(s)φ1)
φ1
ds
o
=
c
φ2
1
e−
R x
p(s)ds
de donde tomando c = 1
ϑ(x) =
Z x e−
R z
p(s)ds
φ2
1(z)
dz
resultando en conclusión que la solución φ2 buscada está dada por:
φ2 = φ1
Z x e−
R z
p(s)ds
φ2
1(z)
dz
4.8 La Ecuación Lineal con Coeficientes Constantes
Ahora, consideremos la ecución
y00 + py0 + qy = 0 (12)
donde p y q son constantes reales. La forma de la ecuación sugiere buscar
soluciones que satisfagan las ecuaciones
y0 = k1y
y00 = k2y.
En ese caso tendríamos que
y(x)(k1 + kp + q) = 0 (13)
y, si las constantes k1y k2 se escogen de tal manera que
k1 + kp + q = 0,
entonces la función que hemos propuesto será una solución de la ecuación
diferencial..
El hecho de que y0 = ky implica que y(x) = cekx. Sustituyendo esta
expresión en la ecuación y00 = k1y observamos que k1 debe tomar el valor k2.
Así concluimos que la función
y(x) = cekx
es solución si la constante k cumple la ecuación
k2 + pk + q = 0 (14)
entonces la función y(x) = ekx es solución.
La ecuación (14) es llamada la ecuación característica de la ecuación
diferencial y el miembro izquierdo, el polinomio característico.
(a) En el caso en que la ecuación característica tiene dos soluciones reales
diferentes, digamos r1 y r2 tendremos que
φ1(x) = er1x y φ2(x) = er2x
son soluciones de la ecuación diferencial y como la razón
φ1(x)/φ2(x) = e(r1−r2)x
no es constante cuando r1 6= r2 entonces la solución general de (12) será:
φ = c1φ1 + c2φ2 = c1er1x + c2er2x.
(b) En el caso en que el polinomio tenga raíces múltiples
r1 = r2 = −p/2
y por lo tanto obtendremos sólo una solución
φ1(x) = e−px/2.
Utilizando el método que ya obtendremos para encontrar una solución
linealmente independiente a una conocida resulta que
φ2(x) = ϑ(x)φ1(x) con ϑ(x) = x.
La solución general estará dada por
φ(x) = c1φ1(x) + c2φ2(x) = c1e−px
2 + c2xe−px
2
también puede ocurrir que la ecuación característica tenga dos soluciones
complejas. Si una de ellas es a + ib entonces la otra será su complejo conjugado
a − ib. Las soluciones que surgen a partir de estas dos raíces son:
y1(x) = e(a+bi)x , y2 = e(a−bi)x.
Estas funciones son formalmente soluciones aunque asumen valores complejos. de debe a que todos los razonamientos que hemos hecho hasta aquí servirían
para encontrar las soluciones conplejas (y : R → C) de la ecuación (12)
con coef cientes p y q en los complejos. Como hemos supuesto coef cientes
p, q ∈ R, queremos obtener soluciones reales. Para esto usamos la fórmula
de Euler (eiθ = cosθ + isenθ) para escribir las soluciones como:
y1(x) = eax(cos bx + isenbx)
y2(x) = eax(cos bx − isenbx).
Ahora, para encontrar dos soluciones reales, linealmente independientes
entre sí, basta notar que
φ1(x) =
y1(x) + y2(x)
2
= eax cos bx
φ2(x) =
y1(x) − y2(x)
2i
= eaxsenbx
son soluciones pues son combinación lineal de soluciones y además son reales. Por
lo tanto
φ(x) = eax(c1senbx + c2 cos bx)
es la solución general de (12).
4.9 La Ecuación no Homogenea. Variación
de Parámetros
En la sección 4.4 vimos que la solución general de la ecuación no homogénea
y00 + p(x)y0 + q(x) = b(x) (8)
está dada por la expresión Y (x) = yp(x)+Y0(x) cuando se conoce la solución
general de la ecuación homogénea, para encontrar la solución general de la
no homogénea sólo resta encontrar una solución cualquiera de esta última.
A continuación veremos un método para encontrar una solución de la no
homogénea a partir del conocimiento de dos soluciones linealmente independientes,
φ1 y φ2 de la ecuación homogénea. La idea será encontrar yp de la
forma:
yp(x) = ϑ1(x)φ1(x) + ϑ2(x)φ2(x) (15)
como queremos que yp sea solución de (8) tiene que ocurrir que
y00 p + p(x)y0p + q(x)y = b(x) (16)
al sustituir (15) en (16) resultará una ecuación de segundo orden para ϑ1y
ϑ2 . Esta ecuación representa una sola condición sobre las dos incógnitas
ϑ1 y ϑ2 . Para poder determinar estas dos funciones necesitamos imponer
una condición adicional. Como
y0p = (ϑ1φ01 + ϑ2φ02) + (ϑ01φ1 + ϑ02φ2),
al obtener y00 p aparecerán en el segundo paréntesis segundas derivadas de
ϑ1y ϑ2. Por lo tanto conviene imponer la condición adicional de que dicho
paréntesis se anule y así
y0p = ϑ1φ01 + ϑ2φ02 (17)
y00 p = ϑ01φ01 + ϑ1φ00 1 + ϑ02φ02 + ϑ2φ00 2 (18)
sustituyendo (15), (17) y (18) en la ecuación (8), tenemos que ϑ1 y ϑ2 quedan
determinadas por el sistema
(
b(x) = ϑ1(φ00 1 + p(x)φ01 + q(x)φ1) + ϑ2(φ00 2 + p(x)φ02 + q(x)φ2) + ϑ02φ02 + ϑ01φ01
0 = ϑ01φ1 + ϑ02φ2
)
como φ1, φ2 son soluciones de la ecuación homogénea, este sistema se reduce
al sistema de ecuaciones lineales
(
ϑ01φ01 + ϑ02φ02 = b(x)
ϑ01φ1 + ϑ02φ2 = 0
)
.
Resolviéndolo para ϑ01 y ϑ02 se obtiene que:
ϑ01 =
b(x)φ2
−W(φ1, φ2)
ϑ02 =
b(x)φ1
W(φ1, φ2)
.
Estas ecuaciones están bien def nidas pues W(φ1, φ2) 6= 0. Integrándolas,
obtenemos la solución particular que buscamos:
yp(x) = φ1(x)
Z x

b(s)φ2(s)ds
W(φ1(s), φ2(s))
+ φ2(x)
Z x b(s)φ1(s)ds
W(φ1(s), φ2(s))
.
4.10 Ecuación de Cauchy-Euler
La ecuación de Cuchy-Euler es de la forma x2y00 + axy0 + by = 0,donde
a, b ∈ <.para encontrar su solución, usamos la siguinte sustitución: y = xm,
y sus derivadas:
y0 = mxx−1
y00 = m(m− 1)xm−2
x2m(m− 1)xm−2 + axmxm−1 + bxm=0
m(m − 1)xm + amxm
xm[m(m − 1) + am + b] = 0
como xm 6= 0,por ser la solución propuesta, entonces
m(m − 1) + am + b = 0
y m2 + (a − 1)m + b = 0
es la ecuación auxiliar cuyas raíces m1 y m2 si son reales y diferentes dan
y = c1xm1 + c2xm2 como solución general.
Si son reales e iguales: m1 y m2 entonces y = c1xm+c2(ln x)xm es solución
general.
Si son complejas: m = α±iβ entonces y = xα[Acos(ln xβ)+Bsen(ln xβ)]
es solución general.
EJEMPLO: Resolver la siguiente ecuación de Cuchy-Euler:
x2y00 − xy0 + 2y = 0.
En esta ecuación tenemos: a = −1 y b = 2, su ecuación auxiliar es:
m2 + (a − 1)m+ b = 0
→ m2 − 2m+ 2 = 0
m = 1± i
α = 1, β = 1
y = x(Acos(ln x + Bsenln x), es la solución general.
4.11 Eciaciones de Orden Arbitrario con Coeficientes
Constantes
Una ecuación diferencial con coef cientes constantes tiene la forma ge- neral:
any(n) + an−1y(n−1) + ... + a2y00 + a1y0 + a0y = 0
donde ai, i = 0, 1, ..., n son constantes.
Su ecuación auxiliar caracteristica es:
anmn + an−1mn−1 + ... + a2m2 + a1m+ a0 = 0,
que tendrá n raices.
Estas raices pueden ser, como en el caso de segundo orden: reales o
complejas, iguales o distintas.
Si las raíces son reales y distintas, la solución es:
y = c1em1x + c2em2x + ... + cnemnx.
Si las raíces son reales e iguales, la solución es:
y = emx(c1 + c2x + c3x2 + ... + cnxn−1).
Si las raíces son reales y de ellas unas son iguales y otras, diferentes, se
usan las dos leyes anteriores según el caso; así supongamos 6 raíces:
m1 6= m2 = m3 6= m4
m1 6= m4 = m5 = m6
entonces la solución es:
y = c1em1x + c2em2x + c3xem3x + c4em4x + c5xem5x + c6x2em6x.
Si las raices son complejas, para cada par conjugado, la solución es:
y = eαx
(Acos βx + Bsenβx).
Si hay otro par igual entonces:
y = eαx
x(Acos βx + Bsenβx)
es solución, y así sucesivamente.
EJEMPLO: Resolver y000 + 6y00 + 11y0 + 6y = 0 su ecuación auxiliar es:
λ3 + 6λ2 + 11λ + 6 = 0
cuya factorización es
(λ + 1)(λ + 2)(λ + 3) = 0
con raíces
λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3,
y = c1e−x + c2e−2x + c3e−3x, es la solución general.
4.12 EJERCICIOS:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo
orden.
1) y00 − 5
2y0 + y = 0
2) y00 − 1
2y0 + 1
16y = 0
3) y00 + 2y0 + 3y = 0
4) y00 − 2y0 − 3y = 0
5) y00 + 10y0 + 25y = 0
6) y00 − 4y0 + 13y = 0
7) 16y00 + 16y0 + 3y = 0
8) y00 + 2
3y0 + 1
9y = 0
9) y00 − 6y0 + 13y = 0 ∈
10) 5y” + 24y0 − 5y = 0
11) y” − 2√3y0 + 3y = 0
12) y00 − 8y0 + 17y = 0
13) y00 − 4
3y0 + 4
9y = 0
14) y00 + 4y0 + 5y = 0
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de
segundo orden con coef cientes constantes para las condiciones iniciales dadas.
1) y00 − y = 0 para y(0) = 0, y(0) = −8
2) y00 + 25y = 0 para y(0) = 0, y0(π
5) = 1
3) y00 − 16y = 0 para y(0) = 2, y0(0) = 4
4) y00 = 4y + 0 para y(π
2) = −1, y0(π
2) = −2
5) 4y00 + 4√3y0 + 3y = 0 para y(0) = −1, y0(0) = 3
6) 2y00 − 3y − 2y = 0 para y(0), y0(0) = 5/2
7) 114y” − 24y0 + y = 0 para y(0) = 4, y0(0) = 2
8) y00 + 2y0 + 8y = 0 para y(0) = −2, y0(0) = 1
9) y00 − 2√2y0 + 2y = 0 para y(0) = √2, y0(0) = 0
10) 25y00 − 30y0 + 9y = 0 para y(0) = 5
3, y0(0) = 0
Resolver las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler:
1) x2y00 − 12y = 0
2) x2y00 + 2
3xy0 − 2
9y = 0
3) x2y00 + 2xy0 − 12y = 0
4) x2y00 + 5xy0 + 4y = 0
5) x2y00 + 8xy0 + 10y = 0
6) x2y00 − 3xy0 + 5y = 0
Encontrar la ecuación diferencial correspondiente a la solución pro- puesta.
1) y = c1x−1 + c2x2
2) y = x−2(Acos ln x2 + Bsen ln x1/2
3) y = x3(c1 + c2 ln x)
4) y = c1x + c2x ln x
5) y = x−1(Acos ln x1/2 + Bsenln x1/2)
Resolver para las condiciones iniciales dadas:
1) x2y00 + 3xy0 + y = 0, y(1) = 0, y0(1) = 4
2) x2y00 + 2xy − 2y = 0, y(1) = 4, y0(1) = 0
3) x2y00 + xy0 − 1
4y = 0, y(1) = 0, y0(1) = 1
4) 9x2y00 + 3xy0 + y = 0, y(1) = 3, y0(1) = 0
5) x2y00 − xy0 + 10y = 0, y(1) = 1, y0(1) = 1
6) xy00 + 11
6 xy0 + 1
6y = 0, y(1) = 1, y0(1) = 0
Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales de
orden arbitrario con coef cientes constantes:
1) y000 − 2y00 − y0 + 2 = 0
2) y000 − y00 − 4y0 + 4y = 0
3) y000 − y00 − 4y0 + 4y = 0
4) y000 − 2y00 − 4y0 + 8y = 0
5) y000 − 6y00 + 12y0 − 8y = 0
6) y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0
7) y000 − 11y00 + 35y0 − 25y = 0
8) yiv − 2y000 − 3y00 + 4y0 + 4y = 0
9) yiv − 4y000 + 6y00 − 4y0 + y = 0
10) yiv − 4y000 + 7y00 − 6y0 + 2y = 0
11) yiv − y = 0 para
y(0) = 2, y0(0) = 1, y00(0) = 4, y000(0) = −2
12) yiv + 5y00 + 4y = 0 para
y(π
2) = 0, y0(π
2) = 1, y00(π
2) = −1, y000(π
2) = 0
13) y000 − 7y00 + 4y0 + 12y = 0
para y(0) = 1, y0(0) = 0, y00(0) = 36
14) y000 − 2y00 + t0 − 2y = 0
para y(0) = 5, y0(0) = 2, y00(0) = 0
15) yiv + 2y00 + y = 0
para y(0) = 0, y0(0) = 0, y00(0) = 2, y000(0) = −2
Capítulo 5
SISTEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
5.1 Introducción
En el capítulo II vimos ejemplos de problemas que surgen en la investigación
científ ca para los cuales se pueden construir modelos matemáti-cos. Estos
se ref eren a sistemas tales que las leyes que rigen su comportamiento se
pueden escribir matemáticamente en términos de ecuaciones diferenciales.
Cuando el modelo cuenta con más de una variable de estado, dos por
ejemplo, es natural esperar que una sola ecuación diferencial no baste, para
determinar a ambas variables de estado, sino que la ley de comportamiento
quede expresada por dos ecuaciones diferenciales en las que aparezcan relacionadas
ambas variables.
Un ejemplo de modelo con dos variables de estado apareció en la sección
2.3 del capítulo II cuando consideramos el problema del cuerpo que cae
bajo la acción de la gravedad. Para este sistema resultaban como leyes de
movimiento las ecuaciones
dx
dt
= ϑ

dt
= g
que constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el capítulo I vimos que un sistema de dos ecuaciones diferenciales de
63
primer orden está representado por un par de ecuaciones del tipo
(
F1(t, x(t), x0(t), y(t), y0(t)) = 0
F2(t, x(t), x0(t), y(t), y0(t)) = 0
)
(1)
y el problema de resolver el sistema es el de encontrar las parejas de funciones
x(t), y(t) que satisfacen las igualdades del sistema.
En este capítulo nos restringiremos a considerar sistemas del tipo
(
dx
dt = f(x, y, t)
dy
dt = g(x, y, t)
)
(2)
que constituyen un caso particular de los sistemas de la forma (1) que aparece
frecuentemente en las aplicaciones.
El caso particular del sistema (2) donde los miembros derechos no dependen
explícitamente de t, (
dx
dt = f(x, y)
dy
dt = g(x, y)
)
(3)
se conoce con el nombre de sistema de ecuaciones diferenciales autónomo
mientras que el sistema (2) es llamado no autónomo. La diferencia entre estos
sistemas es que, en el autónomo, t aparece solamente como un parámetro
mudo, mientras que en el no autónomo aparece también como variable.
Si pensamos que las funciones x(t), y(t) representan las variables de estado
de algún sistema dinámico, podemos interpretar que la aparición del tiempo
como variable en el sistema no-autónomo signif ca que el sistema que se
está modelando interactúa con el exterior. Esto puede ilustrarse con los
siguientes:
Ejemplos:
A). Oscilador armónico simple. Considérese una masa m
que se desliza sobre una mesa sin fricción sujeta únicamente a la
acción de un resorte. Ver f gura 1.
Figura 1
A semejanza del tratamiento hecho en el capítulo II para la caida
de un cuerpo bajo la acción de la gravedad, aquí consideraremos
dos variables de estado, la velocidad y la posición. La posición,
como se muestra en la f gura 1, la medimos desde la posición de
equilibrio de la masa del resorte.
Para un sistema de este tipo, de la relación física entre las variables
y de la ley de Newton para un cuerpo sobre el que actúa
una fuerza F(x, ϑ, t) , tenemos que las ecuaciones que determinan
sus comportamiento son las siguientes:
(
dx
dt = ϑ

dt = F(x,ϑ,t)
m
)
(4)
Experimentalmente se ha encontrado que la fuerza que el resorte
ejerce sobre el cuerpo depende únicamente de la posición y que
esta es en magnitud directamente proporcional a la elongación del
resorte. De esto podemos concluir que la magnitud de F(x) es
kx, siendo k una cons- tante positiva de proporcionalidad. Como
el movimiento del cuerpo puede ser lo mismo a la derecha que a la
izquierda del origen del eje de las x , y la fuerza es en la dirección
positiva del eje x cuando x es negativa y viceversa, entonces para
que el signo de la x nos de el signo de la fuerza necesitamos escribir
F(x) = −kx.
De esta manera cuandox > 0, F(x) < 0 , y cuandox < 0, F(x) >
0, lo que indica que la fuerza actúa en la dirección negativa del
eje x en el primer caso y en la dirección positiva en el segundo.
Sustituyendo la expresión para F(x) en (4) obtenemos
(
dx
dt = ϑ

dt = −kx
m
)
.
Este es un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo, lo que
corresponde a la realidad física de que este sistema no interactua
con el exterior y tiene una dinámica determinada únicamente por
los elementos que lo constituyen.
B). Oscilador armónico forzado. Si ahora hacemos que sobre
este sistema actúe algún agente externo, por ejemplo, un
niño que con su abanico le echa aire al cuerpo, entonces este aire
ejercerá una fuerza adicional sobre el resorte y ya no tendremos
el mismo comportamiento que cuando el sistema no interactuaba
con el exterior. La fuerza que el niño ejerce por medio del abanico
no está en función de la posición del cuerpo ni de su velocidad,
ésta depende de que el niño abanique o no y su magnitud, de que
abanique con más o menos fuerza. Aunque esta fuerza esté sujeta
al capricho del niño y no se pueda expresar en términos de las
variables de estado x y ϑ, resulta, que en cada tiempo t, el niño
ejercerá una fuerza de una magnitud que llamaremos f(t). Si de
antemano conocemos la función f(t), entonces podemos formular
matemáticamente el problema.
La fuerza que actúa ahora sobre el cuerpo será la del resorte más
la que el niño ejerce con el abanico. Si llamamos FT a la “fuerza
total” que actúa sobre el cuerpo entonces
FT (x, t) = −kx + f(t).
sustituyendo FT en (4) tenemos
(
dx
dt = ϑ

dt = 1
m(−kx + f(t))
)
.
Este es un sistema de ecuaciones no autónomo, pues la inf uencia
del niño ha hecho aparecer en la ecuación un término que depende
explícitamente del tiempo.
Ahora el tiempo juega un papel distinto. Actúa como si fuera
una variable de estado, pues la forma en que el sistema se comporta
a partir de un momento dado no depende únicamente del
valor de la pareja (x, ϑ), sino también de en que tiempo toma los
valores x y ϑ. Es decir, depende de la terna (x, ϑ, t).
En el sistema autónomo, lo que ocurra a partir del momento en
que las variables del sistema tomen los valores (x, ϑ) depende
únicamente de estos valores. Esto permite manejar al tiempo
únicamente como parámetro y establecer el origen del tiempo arbitrariamente,
diciendo que t = 0 cuando el sistema se encuentre
en cualquier estado (x, ϑ) que que- ramos. Para el sistema no
autónomo no se puede f jar la escala de tiempo de manera arbitraria
pues tenemos la res- tricción de sincronizarla con la que fue
usada para dar la función f(t).
5.2 Equivalencia entre Sistemas de Primer Grado
y Ecuaciones de Orden Superior
Para los ejemplos mecánicos que se han considerado las leyes de comportamiento
han tomado la forma de un sistema de ecuaciones de primer orden.
También es común encontrar que tales leyes aparezcan enunciadas como una
ecuación diferencial de segundo orden, por ejemplo podemos encontrar que
para el cuerpo en caída libre su ley de movimiento se escriba como
mx00 = mg
y para el oscilador armónico simple como
mx00 + kx = 0
lo que ocurre es que esas ecuaciones diferenciales de segundo orden, y los
sistemas de ecuaciones de primer orden que anteriormente escribimos para
los mismos problemas, son equivalentes.
En general, una ecuación de segundo orden, digamos
y00 = f(x, y, y0) (5)
puede convertirse en un sistema de primer orden si def nimos las variables
y1, y2 como y1 = y, y2 = y0. Haciendo este cambio de variables resulta el
sistema equivalente (
dy1
dx = y2
dy2
dx = f(x, y1, y2)
)
. (6)
si este sistema es resuelto de alguna manera, entonces y1(x) será solución
de (5). Recíprocamente, si tenemos un sistema del tipo (6), sustituyendo
y2 por dy1/dx en la segunda ecuación obtendremos la ecuación de segundo
orden
y00 1 = f(x, y1, y01)
y si ésta es resuelta entonces la solución de (6) queda dada por la pareja
(y1(x), d/dt y1(x)).
Nota: Análogamente, se puede ver que la ecuación
y(n)
1 = f(x, y1, y01 , · · ·, y(n)
1 )
y el sistema 


dy1
dx = y2
dy2
dx = y3
· · · · · · · dyn
dx = f(x, y1, y2, · · ·, yn)
 
son equivalentes.
5.3 Espacio de Fases
Consideremos un sistema del tipo:
(
x0 = A(x, y, t)
y0 = B(x, y, t)
)
(7)
De acuerdo a lo que hemos convenido anteriormente, por una solución de
(7) entendemos una pareja de funciones x(t), y(t) tal que al sustituirlas en
(7) hacen valer sus ecuaciones. En consecuencia, podemos pensar que cada
solución del sistema es una función F : R → R2 con regla de correspondencia
F(t) = (x(t), y(t)).
Ejemplo: Para el sistema
(
x0 = −y
y0 = x
)
por inspección se encuentra que las soluciones son funciones de la forma
F(t) = (r cos(t + c), r sen(t + c)) ∀t ∈ R
donde r y c son constantes arbitrarias.
Para estudiar geométricamente las soluciones podemos tomar dos caminos
que señalaremos a continuación:
A) Podemos considerar las gráf cas de las soluciones que, entendiendo
a las soluciones como funciones de R en R2, resultan curvas
en R3. Para el ejemplo anterior éstas curvas son como muestra
la f gura 2.
Figura 2
B) En el ejemplo considerado es relativamente fácil graf car las
soluciones, pero cuando esto no es así se puede obtener una imagen
de las soluciones graf cando, en el plano xy , la imagen de la
función F(t) que representa la solución.
El plano xy donde graf camos las imágenes de las soluciones de (7) es
llamado espacio de fases de (7) y las curvas, en este espacio, que constituyen
las imágenes de las soluciones son llamadas curvas integrales o trayectorias
en el espacio de fases del sistema (7).
Desde el punto de vista de las aplicaciones es conveniente pensar en las
trayectorias del sistema en el espacio de fases por que si el sistema (7) representa
algún sistema físico caracterizado por las variables de estado x e y ,
entonces cada punto (x, y) del espacio de fases, representa un estado del sistema
y en cada tiempo t al correspondiente estado del sistema le corresponde
un punto de este espacio. Así, si en cada tiempo nos f jamos en el punto del
espacio fase que representa el estado del sistema en ese tiempo, tendremos
que al evolucionar el sistema real de un estado a otro, lo que ocurre en el
espacio fase, es que el punto que representa al sistema se moverá a lo largo
de una curva; de la correspondiente trayectoria integral del sistema.
Para el ejemplo que estamos considerando, las trayectorias en el espacio
de fases resultan círculos con centro en el origen.
Figura 3
Este resultado, pensando que el sistema del ejemplo se ref ere a algún sistema
dinámico1, nos dice que el sistema en estudio tiene un comportamiento
periódico.
Nota 1. Las trayectorias del sistema en el espacio fase son las proyecciones
de las gráf cas de las soluciones sobre el plano xy.
1 Si x representa la distancia de la posición de equilibrio a que se encuentra una masa
unitaria en un oscilador sin fricción y constante del resorte K = 1, entonces las ecuaciones
del ejemplo describen el comportamiento del oscilador.
Nota 2. Si x = y(t) y y = ψ(t) es una solución de (7) entonces éstas son
ecuaciones paramétricas de la correspondiente trayectoria en el espacio de
fases y eliminando el parámetro t en estas ecuaciones, obtenemos la relación
entre la variable x y la variable y y que debe obedecer la correspondiente
trayectoria en el espacio de fases.
Nota 3. Al obtener las trayectorias del sistema en el espacio de fases obtenemos
un conjunto de puntos en el plano y, por descartar el parámetro t,
perdemos información acerca de la forma en que estas curvas se van dibujando
al transcurrir el tiempo.
Si el sistema es autónomo2 , una parte de la información perdida, la dirección
en que se dibuja la curva al incrementar el parámetro, se puede
recuperar si directamente de la ecuación analizamos el signo de x0 o de y0
en las diferentes regiones del plano. Hecho esto, podemos asignarle dirección
a las trayectorias en el espacio de fases. Para ejemplif car consideremos
el sistema (7). Sabemos que las trayectorias son círculos y de la ecuación
y0 = x, que y crece en aquellas regiones del plano donde x > 0 tomando esto
en cuenta podemos af rmar que las trayectorias se recorren en el sentido de
las manecillas del reloj como muestra la f gura 4.
Figura 4
2 Si el sistema no es autónomo las f echas en el espacio fase pueden invertirse al incrementar
el parámetro. Analice por ejemplo x0 = −yt, y0 = xt y considere el cambio de
signo en t.
5.4 Campos Vectoriales
El problema de resolver el sistema autónomo
(
x0 = A(x, y)
y0 = B(x, y)
)
(8)
tiene una interpretación geométrica simple en términos de campo direccionales.
La idea es f jarse en la función F(x, y) = (A(x, y),B(x, y)) y notar
que ésta def ne un vector en cada punto del plano donde A y B estén def nidas.
Así, la función F determina un campo vectorial en el plano xy.
Encontrar las parejas de funciones (x(t), y(t)) que satisfacen (8) es lo
mismo que encontrar aquellas curvas lisas γ(t) =(x(t), y(t)) con la propiedad
de que si (x(t), y(t)) es un punto cualquiera de γ entonces
F(x(t), y(t)) = (x0(t), y0(t)).
Dicho de otra forma: resolver la ecuación diferencial (8) es encontrar
la familia de curvas tangentes al campo vectorial determinado por dicha
ecuación.
Figura 5
Nota 1: La función F también determina un campo de direcciones en aquella
región del; plano donde sus funciones componentes, A y B no se anulan
simultáneamente. Para esto basta considerar en cada punto del plano un
segmento con pendiente B/A (o considerar el cociente A/B en aquellos puntos
en los que A se anule). Entonces, el problema de resolver el sistema (8)
está relacionado con el problema de encontrar la familia de curvas tangentes
al campo direccional def nido por F, en el sentido en que fue planteado en el
capítulo III. La relación es la siguiente:
1) Al resolver (8) estamos buscando curvas tangentes al campo
direccional def nido por F pero que tengan además una parametrización
tal que los vectores derivada coincidan en cada punto
con los vectores del campo.
2) Al resolver la ecuación −Bdx+Ady = 0 , que nos da las curvas
tangentes al campo direccional def nido por F, obtendremos las
trayectorias en el espacio de fases del sistema (8).
Nota 2: Si la curva γ parametrizada como
γ(t) = (x(t), y(t)), ∀t ∈ R,
es tal que γ0(t) = F(γ(t)) ∀t, entonces
∀c ∈ R [γ(t + c)]0 = F(γ(t + c)).
Esto quiere decir que las traslaciones en la dirección del eje t, de las gráf cas
de las soluciones del sistema (8) también son gráf cas de soluciones de (8).
Nota 3: Para el sistema (8), si (x0,y0) es tal que
A(x0,y0) = B(x0,y0) = 0,
entonces
γ(t) = (x(t), y(t)) = (x0,y0)
es solución.
Estas soluciones son llamadas soluciones de equilibrio, sus gráf cas son
rectas paralelas al eje y sus trayectorias en el espacio fase degeneran en
puntos. Estos puntos son llamados puntos de equilibrio.
5.5 Teorema de Existencia y Unicidad
En esta sección presentaremos un teorema de existencia y unicidad para el
sistema (7) y discutiremos algunas interpretaciones geométricas de él.
Teorema: Si A(x,y, t) y B(x,y, t), son continuas en una región R ⊂ R3
y (x0, y0, t0) es un punto cualquiera de R entonces existe una solución
(x(t), y(t)) del sistema (7) que cumple con
(x(t0), y(t0)) = (x0, y0). (9)
Si además3, Ax(x, y, t), Ay(x, y, t), Bx(x, y, t) y By(x, y, t) son continuas
en R, podemos af rmar que la solución de (7) que cumple (9) es única.
Geométricamente este resultado nos dice que si consideramos el espacio
(x,y, t) (ver f gura 2) y en él la región R donde se cumplen las hipótesis
del teorema, entonces por cada punto de R pasa una y sólo una gráf ca de
solución del sistema (7).
Para el caso de los sistemas autónomos este teorema tiene consecuencias
de carácter geométrico interesantes en el espacio fase.
Resultado 1: Las órbitas en el espacio de fases de un sistema autónomo no
se traslapan. Esto es que: las proyecciones en el espacio de fases de las
gráf cas de las diferentes soluciones de un sistema autónomo son curvas que
no se cortan en ningún punto. Si las curvas proyección de dos soluciones
coinciden en un punto, entonces coinciden en todos sus puntos.
Demostración: Obviamente si ϕ(t) es una solución y
Fϕ = {ϕ(t + c) | c ∈ R}
entonces a las gráf cas de todas las soluciones que pertenecen a la familia Fϕ
les corresponde la misma proyección en el espacio de fases. Por otra parte
si ϕ1(t) y ϕ2(t) son soluciones tales que Fϕ1 6=Fϕ2 entonces ϕ1(t) y ϕ2(t) no
se cortan en ningún punto, pues de lo contrario: ϕ1(t1) = ϕ2(t2) = (x0,y0) y
entonces considerando a ϕ(t) = ϕ2(t+t2−t1) tendr´?amos que ϕ1(t1) = ϕ(t1)
pero como ϕ es solución, por el teorema de existencia y unicidad ϕ1(t) =
ϕ(t) ∀t o lo que es lo mismo ϕ1(t) = ϕ2(t + c) con c = (t2 − t1), de donde
Fϕ1 = F ϕ2 , contrario a lo que supusimos.
Resultado 2: La proyección en el espacio de fases de la gráf ca de una solución
del sistema autónomo, o no se corta o es cerrada.
Para demostrar este resultado es suf ciente demostrar que si la mencionada
proyección se corta, entonces la solución es periódica4 .
Demostración: Llamémosle ϕ(t) a la solución en consideración y supongamos
que ϕ(t∗) = ϕ(t∗ + c) para algún t∗, entonces la función ϕ1(t) =
ϕ(t + c) es una solución que cumple que ϕ1(t) = ϕ(t∗) y por el teorema de
existencia y unicidad ϕ1(t) = ϕ(t) ∀t, de ahí que ϕ(t) = ϕ(t + c) ∀t.
3Ax denota parcial respecto a x.
4 Obviamente, si la solución es periódica, la trayectoria es cerrada.
Observación: Hemos demostrado también que, para el sistema autó- nomo,
si la trayectoria es cerrada entonces la correspondiente solución es periódica.
¿vale este resultado para un sistema no autónomo?.
5.6 Sistemas Lineales
Los sistemas conviene clasif carlos para su estudio, en lineales y no lineales,
la razón es la siguiente: para los primeros es posible hacer un estudio de
carácter general que permite obtener un conocimiento bastante completo de
sus soluciones. Para los no lineales la situación es mucho más complicada y
se conocen pocos resultados de carácter general.
Por un sistema lineal se entiende uno del tipo:
x01 = a1(t)x1 + b1(t)x2 + h1(t)
x02 = a2(t)x1 + b2(t)x2 + h2(t)
(10)
El sistema (10) es llamado sistema no homogéneo y cuando
h1(t) = h2(t) = 0 ∀t,
se le llama homogéneo.
Para un sistema de este tipo se pueden demostrar los siguientes resultados:
A) Si (x1(t), y1(t)) y (x2(t), y2(t)) , son soluciones de (10) en
el intervalo I, entonces (c1x1(t) + c2x2(t), (c1y1(t) + c2y2(t), es
solución para cualquier t ∈ I.
B) Si (X, Y) es la solución general del sistema no homogéneo
(X0,Y0), la solución general del homogéneo y (xp, yp) una solución
cualquiera del no homogéneo entonces
(X, Y) = (xp +X0, yp +Y0)
C) Def niendo el wronskiano de dos soluciones (x1, y1) y (x2, y2)
como
W((x1, y1), (x2, y2)) = det
¯¯¯¯¯
x1 x2
y1 y2
¯¯¯¯¯
entonces W((x1, y1), (x2, y2)) = 0 para toda t en el dominio
común de las soluciones o nunca se anula.
D) Si W((x1, y1), (x2, y2)) 6= 0 en el dominio común de estas
soluciones entonces la solución general del homogéneo esta dada
por:
(X0,Y0) = (c1x1 + c2x2, c1y1 + c2y2)
las demostraciones de estos resultados son análogas a las presentadas
en el capítulo IV para las ecuaciones lineales de orden dos.
5.7 Sistemas Homogéneos con Coeficientes Constantes
Estos sistemas son de la forma
(
x01 = ax1 + bx2
x02 = cx1 + dx2
)
(11)
y obviamente (0, 0) es una solución de equilibrio del sistema.
5.7.1 Sistemas Desacoplados
Para comenzar el estudio de estos sistemas consideremos el caso en que b =
c = 0. Este caso es muy simple pues las ecuaciones del sistema se desacoplan
y resulta la solución general
(x1, x2) = (Aeat,Bedt).
Para analizar las trayectorias en el espacio fase podemos eliminar el parámetro
en las ecuaciones
x1 = Aeat
x2 = Bedt
resultando que
x2 = cxd/a
1 , c =
B
Ad/a
así, para cada valor de la constante c tenemos una trayectoría en el espacio
de fases. La forma de estas curvas depende del valor de la razón d/a: si
d/a = 1 son rectas; si d/a > 0 o d/a < 0 son especies de parábolas o
hipérbolas respectivamente.
Para estudiar con más detalle estas posibilidades analizaremos unos ejemplos.
Caso 1: a = d. Para ilustrar el caso supongamos primero que a y d son
mayores que cero y tomemos como ejemplo al sistema
(
x01 = 2x1
x02 = 2x2
)
que tiene la solución general
(x1, x2) = (Ae2t,Be2t) (12)
Si A = 0, B 6= 0 tenemos dos trayectorias que yacen sobre el eje x2, una
que se mueve sobre la parte positiva de este hacia∞ y otra que sobre la parte
negativa se mueve a −∞. Si B = 0, A 6= 0 tenemos la misma situación pero
ahora sobre el eje x1. Si A y B son distintos de cero entonces, eli- minando
el parámetro en (12), tenemos que x2 = (B/A)x1 y las trayectorias se alejan
del origen a lo largo de rectas como muestra la f gura 6.
Figura 6
Nota 1: Los sistemas lineales con coef cientes constantes satisfacen las
hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Como el origen es una solución
entonces ninguna de las trayectorias rectilineas pasa por él.
Nota 2: Si a y d fueran negativos también se tendrían órbitas como en la
f gura (7), pero con el sentido de las f echar invertido.
Caso 2: a y d distintos y del mismo signo. Consideremos como ejemplo al
sistema (
x01 = −x1
x02 = −3x2
)
que tiene la solución general
(x1, x2) = (Ae−t,Be−3t). (13)
Si A = 0, B 6= 0, las trayectoriass se acercan al origen a lo largo del eje x2
, si B = 0, A 6=0, se acercan a lo largo del eje x1 y si A y B son distintos de
cero eliminando el parámetro en (13) obtenemos la ecuación x2 = (B/A3)x31 que nos indica que las trayectorias se acercan al origen a lo largo de parábolas
cúbicas como muestra la f gura 7.
Figura 7
Nota: En el ejemplo a/d > 1 y tanto a como d son negativos: si a/d < 1
entonces la f gura correspondiente quedaría como la f gura 7 cambiando el
eje x1 por x2 y viceversa; si a y d fueran positivos solo habría que invertir el
sentido de las f echitas.
Caso 3:. a y d y de signos contrarios. Consideremos el ejemplo
(
x01 = x1
x02 = −3x2
)
de solución general
(x1, x2) = (Aet,Be−3t)
Analizando los casos con condiciones iniciales sobre los ejes (A o B igual
a cero) vemos que: sobre la parte positiva del eje x1 las trayectorias tienden
a ∞ y sobre la negativa a −∞; sobre el eje x2 las trayectorias tienden a cero.
Si A y B son distintas de cero, de la ecuación x2 = (B/A−3)x−3
1 tenemos,
como muestra la f gura 8, que las trayectorias tienen forma hiperbólica.
Figura 8
Figura 9
Sistemas Interactuantes
Si en el sistema (11) tenemos que b2 + c2 6= 0 entonces por el método
de eliminación de variable lo podemos reducir a una ecuación equivalente de
orden dos.
Suponiendo que b 6= 0 y despejando x2 de la primera ecuación de (11)
tenemos
x2 =
x01 − ax1
b
, x02 =
x00 1 − ax01
b
. (14)
Sustituyendo (14) en la segunda ecuación del sistema obtenemos la ecuación
x00 1 − (a + b)x01 + (ad − bc)x1 = 0.
Esta es una ecuación lineal de 2o. orden con coef cientes constantes y
podemos aplicar los métodos del capítulo IV para resolverla. Una vez encontrada
x1(t) encontramos a x2(t) usando las ecuaciones (14).
Así resulta que podemos tener tres casos dependiendo del tipo de raíces
del polinomio característico:
r2 − (a − b)r + (ad − bc) = 0.
I) Raíces reales y distintas. Si r1 y r2 son estas raíces tenemos que la
solución general de (11) resulta:
(x1, x2) = (Aer1t + Ber2t,
A(r1 − a)er1t
b
+
B(r2 − a)er2t
b
)
II) Raíz múltiple. Si r es la raíz la solución general es:
(x1, x2) = (A + Bt)ert, (A + Bt)ert (r − a)
b
+
B
b
ert)
III) Raíces complejas. Si las raíces son α + iβ y α − iβ entonces
(x1, x2) = (eαt(A1 cos βt + A2 senβt),
eαt
b
(A1 cos βt + A2 senβt)(α-1)
+β(A2 cos βt + A1 senβt))
A continuación analizaremos por separado estos tres casos para encontrar
la forma de las trayectorias en el espacio de fases.
I) Reescribiendo la solución general como
(x1, x2) = A(1,
(r1 − a)
b
)er1t + B(1,
(r2 − a)
b
)er2t
vemos que conviene considerar nuevos ejes de coordenadas determinados por
los vectores5:
v1 = (1,
(r1 − a)
b
), v2 = (1,
(r2 − a)
b
)
pues, en estos ejes la solución toma una forma muy sencilla. Si llamamos
(ϑ1(t), ϑ2(t)) a la solución de (11) en estos ejes resulta que
(ϑ1(t), ϑ2(t)) = (Aer1t,Ber2t)
y usando los resultados de (II) y (III) de (A) tenemos que las trayectorias en
el espacio fase son como muestran las f guras 8 y 9.
Puede ocurrir que ϑ1 y ϑ2 no sean ortogonales y en este caso, aunque
cualitativamente las trayectorias siguen siendo las mismas, sufren alguna
deformación. Ver f guras 9 y 10.
Figura 10
II) Reescribiendo la solución general como
(x1, x2) = (A + Bt), (1,
(r − a)
b
ert + B(0,
1
b
)ert
5 Note que v1 y v2 no son paralelos.
tenemos que respecto a los ejes determinados por los vectores
v1 = (1,
(r1 − a)
b
), v2 = (0,
1
b
)
la solución es
(ϑ1(t), ϑ2(t)) = (A + Bt)ert,Bert)
Para analizar las trayectorias supondremos primero que v1 y v2 son ortogonales
(esto ocurre cuando con a = d y c = 0 ) y que r = −λ, λ > 0, los
casos restantes los consideraremos más adelante.
En este caso tenemos también que ϑ1(0) = A y ϑ2(0) = B. Si la condición
inicial está sobre el eje ϑ1 (B = 0) tenemos dos trayectorias que se
acercan al origen a lo largo del semieje positivo de ϑ1 o del negativo dependiendo
respectivamente de que A > 0 ó A < 0. Si la condición inicial está
sobre la parte positiva del eje ϑ2 (A = 0, B > 0) tenemos ϑ1 = Bte−λt,
ϑ2 = Bte−λt de donde podemos ver que:
(1) ϑ2(t) > 0 ∀t.
(2) ϑ1(t) > 0 ∀t, ϑ1(t) < 0 ∀t < 0.
(3) A partir del punto (ϑ1(0), ϑ2(0)) = (0, B), a medida que
t→∞, ϑ2 → 0.
(4) dϑ1
dt = Be−λt(1 − λt) de donde
dϑ1/dt > 0 ⇔ λt < 1
y
dϑ1/dt < 0 ⇔ λt > 1
esto indica que, mientras t aumenta de 0 a t = 1/λ, ϑ1 aumenta
y, a partir de t = 1/λ, ϑ1 disminuye.
(5) dϑ2
dϑ1
= dϑ2/dt
dϑ1/dt = −λ
(1−λt) ,entonces
lim
t→∞
dϑ2
dϑ1
= 0
por valores positivos y
lim
t→−∞
dϑ2
dϑ1
= 0
por valores negativos.
Estas ecuaciones nos llevan a la conclución de que las curvas en el semiplano
superior son como muestra la f gura 11. En esta f gura se han dibujado
también las trayectorias en el semiplano inferior cuyas características resultan
de un análisis semejante al hecho anteriormente. En la f gura 12 aparecen
las curvas correspondientes al caso en que r > 0.
Figura 11
Figura 12
En la f gura 13 aparecen estas curvas cuando ϑ1 y ϑ2 no son orto- gonales.
Figura 13
III) Reescribiendo la solución general para este caso como
(x1, x2) = (A1 cos βt + A2 senβt)eαt(1,
α − a
b
) +
(A2 cos βt −A senβt)eαt(0,
β
b
)
y considerando los ejes determinados por
v1 = (1,
α − a
b
), v2 = (0,
β
b
)
tenemos que
(ϑ1(t), ϑ2(t)) = ((A1 cos βt + A2senβt)eαt, (A2 cos βt − A1 senβt)eαt)
y que
ϑ2
1 + ϑ2
2 = (A21
+ A22
)e2αt. (15)
Consideremos ahora dos casos:
a) Raíces Imaginarias (α = 0). La ecuación (15) nos dice que la
trayectoria con condiciones iniciales
(ϑ1(0), ϑ2(0)) = (A1, A2),
se mueve sobre el círculo de radio
q
A21
+ A22
con centro en el
origen.
En la f gura 14 aparecen las f guras cuando los ejes ϑ1 y ϑ2 son ortogonales
y en la f gura 15 cuando no lo son. Los sentidos en que
se recorren las curvas en estas f guras fueron tomados arbitrariamente,
pero estos se pueden encontrar en cada caso directamente
del sistema de ecuaciones, ana- lizando los signos de dx1/dt o de
dx2/dt en las diferentes regiones del plano.
Figura 14
Figura 15
En la f gura 15 hemos dibujado estas curvas para el caso en que
los ejes ϑ1 y ϑ2 no son ortogonales.
b) Parte real distinta de cero. Naturalmente en este caso tendremos
espirales que entran o salen del origen dependiendo de
que α sea negativo o positivo respectivamente. En la f gura 16
mostramos curvas correspondientes al caso en que α < 0 y v1 es
ortogonal a v2. En la f gura 17 aparecen curvas para un caso de
no ortogonalidad con α < 0.
Figura 16
Figura 17
5.8 Clasificación de los Puntos Críticos
Los resultados de la sección anterior nos permiten ver quelos sistemas del tipo
(11) se pueden clasif car de acuerdo al tipo de raíces que tenga la ecuación6
r2 − (a + d)r + (ad − bc) = 0. (16)
Esta clasif cación nos da escencialmente seis tipos de comportamientos
distintos (cualitativamente hablando) para las trayectorias del sistema (11)
alrededor del punto de equilibrio en el origen. Decimos, alrededor del origen
porque, “en lo pequeño”, si consideramos la vecindad de un punto del espacio
fase que no sea de equilibrio, tenemos que las trayectorias son paralelas y es
fundamentalmente la estructura de éstas alrededor de los puntos de equilibrio
lo que determina el comportamiento global de las trayectorias.
A continuación y a manera de resumen mencionaremos estos seis grupos
y los nombres que reciben los puntos de equilibrio en cada caso.
I) Raíces iguales
a) Si b = c = 0 entonces tenemos la situación mostrada en la
situación mostrada en la f gura 18 y el origen se dice que es un
punto estrella.
b) Si b2 + c2 6= 0 entonces se dice que el punto es un nodo
impropio. Figura 19.
6 Como recurso nemotécnico note que si A =
¡
ac
b
d
¢
entonces la ecuación (16) se puede
escribir como r2 − traza(A) + det(A) = 0 .
II) Raíces de signo opuesto. En este caso tenemos un punto silla.
Figura 20.
III) Distintas del mismo signo. Es el caso de un punto tipo nodo.
Figura 21.
IV) Complejas con parte real distinta de cero. Tenemos un punto
tipo foco. Figura 22.
V) Imaginarias. Es el caso de un centro. Figura 23.
Figura 18
Figura 19
Figura 20
Figura 21
Figura 22
Figura 23
5.8.1 La Noción de Estabilidad de las Soluciones
Desde el punto de vista de las aplicaciones, cuando el sistema de ecuaciones
en estudio corresponde a algún sistema físico7 , cada solución del sistema de
ecuaciones representa una posible forma de comportamiento para el sistema
físico.
En muchas ocasiones se tiene especial interés en una forma específ ca de
comportamiento del sistema, esto es, en el comportamiento de acuerdo a
alguna solución particular. Pensemos con más detalle lo que esto signif ca:
a) Teóricamente para lograr que el sistema de desenvuelva de acuerdo a
alguna solución deseada, basta establecer la condición inicial adecuada, sin
embargo, en la práctica, no es posible poner exactamente al sistema físico
en un estado dado, entre otras cosas, porque esto implica mediciones y éstas
siempre involucran algún error.
b) Teóricamente también tenemos que, si el sistema evoluciona de acuerdo
a alguna solución entonces su comportamiento se mantendrá regido por ésta,
pero, como los modelos no toman en cuenta todos los factores que intervienen
en el problema, en la práctica pueden aparecer perturbaciones que hagan que
el sistema, al transcurrir el tiempo, cambie de una solución a otra.
7 Físico no de la física sino en la aceptación más general de la palabra, es decir un
sistema dinámico cualquiera.
Por estas razones, si estamos f jándonos en el comportamiento a través
de una solución y1, es interesante saber qué diferencia de comportamiento
se obtiene si, en lugar de evolucionar a lo largo de y1, el sistema evoluciona
a lo largo de y2; una solución que en algún momento se encontraba cerca
de y1. Este tipo de estudio constituye lo que se conoce como estudio de la
estabilidad de la solución y1.
En las aplicaciones las soluciones de equilibrio son de particular importancia
pues representan auténticos estados de equilibrio del sistema en los
cuales no se produce cambio alguno.
Si consideramos por ejemplo la solución de equilibrio en el origen para los
sistemas de las f guras 19 y 22, podemos notar que: aunque el sistema no se
encuentre inicialmente en el punto de equilibio (0, 0), al transcurrir el tiempo,
el estado del sistema se acerca asintóticamente a este punto. Esto indica que
este estado de equilibrio es estable, en el sentido de que: si el sistema está en
su estado de equilibrio y sufre una perturbación que lo haga evolucionar a
través de otra solución, entonces el sistema “responde” tratando de regresar
a la situación original.
Para los sistemas de las f guras 18, 20, y 21 la situación sería de inestabilidad
y en la f gura 23 tendríamos que el origen representa un estado de
equilibrio indiferente en el sentido de que: si el sistema tiene una condición
inicial (x0, y0) a una distancia dada del origen, entonces guarda al evolucionar
esta distancia. Los equilibrios de las f guras 19 y 21 son llamados
puntos atractores y representan situaciones de estabilidad.
5.8.2 Estabilidad Estructural
En esta sección introduciremos la noción de estabilidad estructural.
Si tenemos dos sistemas como
(
x0 = A(x, y)
y0 = B(x, y)
) (
x0 = A(x, y) + t1(x, y)
y0 = B(x, y) + t2(x, y)
)
y t1(x, y), t2(x, y) son muy pequeñas en cierta región R del plano entonces
podemos decir que, en R, las ecuaciones son muy parecidas. ?‘Serán parecidas
las soluciones?
Este un problema difícil desde su misma formulación pues, ?‘qué quiere
decir precisamente que los sistemas son parecidos? y ?‘que quiere decir que
las soluciones son parecidas?
Por otra parte el problema es importante pues:
a) cuando estamos ante la imposibilidad de resolver cierto sistema podríamos
recurrir a un sistema “parecido”, pero más fácil de trabajar, que
tenga soluciones “parecidas”, para obtener información del primero.
b) desde el punto de vista de las aplicaciones, cuando decimos que un
sistema de ecuaciones representa la ley de comportamiento de un sistema
físico, sabemos que hemos hecho ciertas aproximaciones que no corresponden
estrictamente a la realidad y podría ocurrir que el modelo que se ha
construido es tal que los resultados que obtenemos en él se vean modif cados
radicalmente, por poco que se modif que el sistema de ecuaciones.
Por el momento no entremos con mucho detalle y poniéndonos en el papel
del buen entendedor al que pocas palabras bastan aceptemos que:
1) Los sistemas son parecidos en una región R signif ca que
A(x, y) + t1(x, y) ‘ A(x, y)
B(x, y) + t2(x, y) ‘ B(x, y) ∀(x, y) ∈ R
2) Que las soluciones son parecidas signif ca que cualitativamente son
las mismas, entendiendo por esto cosas como que: si para un sistema las
trayectorias son espirales, para el otro son también espirales; si para uno son
elipses, para el otro también son elipses.
Con este acuerdo podemos decir que: un sistema es estructuralmente
estable si pequeños cambios en él no cambian el comportamiento cua- litativo
de sus soluciones.
Si tomamos como ejemplo un sistema de la forma
(
x0 = λx
y0 = λy
)
(17)
y consideramos una perturbación de la forma
t1(x, y) = αx, t2(x, y) = βx
entonces si α y β son pequeños entonces el sistema
(
x0 = (λ + α)x
y0 = (λ + β)y
)
(18)
será parecido a (17).
Para el sistema (17) sabemos que las trayectorias en el espacio fase son
rectilíneas como muestra la f gura 18, sin embargo para el sistema (18), por
pequeños que sean y , basta que sean distintos para que las trayectorias ya no
sean rectas y tomen la forma que muestra la f gura 21. Este razonamiento
nos lleva a concluir que el sistema (17) no es estructuralmente estable.
Se puede verif car, haciendo razonamientos semejantes, que el sistema
(
x0 = ax
y0 = cx + ay
)
a, c 6=0
tampoco es estructuralmente estable. Para éste resulta que perturbaciones,
por pequeñas que sean, pueden provocar cambios de la situación de la f gura
19 a la de la 21.
Lo mismo se puede verif car par un sistema
(
x0 = ax + by
y0 = cx + dy
)
tal que las raíces de (16) son imaginarias. En este caso se pueden encontrar
perturbaciones, tan pequeñas como se quiera, que hacen que las raíces de
(16) tengan parte real distinta de cero y esto se traduce en un cambio de la
situación en la f gura 23 a la de la f gura 22.
Se puede demostrar, pero esto es mucho más complicado, que para el
sistema lineal (11), los casos restantes son estructuralmente estables.
5.9 Introducción al Estudio de los Sistemas
no Lineales: Tres Problemas Clásicos
En esta sección se hará una discusión introductoria al concepto de estabilidad
de las soluciones de equilibrio de un sistema dinámico y se presentarán tres
ejemplos: uno de Mecánica, otro de Neurobiología y otro de Dinámica de
Poblaciones. El análisis de estos sistemas requiere de una combinación de
métodos analíticos y simulaciones numéricas. Estas últimas pueden en la
actualidad ser llevadas a cabo de una forma interactiva y con el recurso de una
amable interfaz gráf ca, gracias a la disponibilidad de sistemas de software
como el sistema INTEGRA que ha sido desarrollado en el Laboratorio de
Dinámica no Lineal de la Facultad de Ciencias de la UNAM.
5.9.1 El Péndulo
El péndulo es el ejemplo clásico de sistema dinámico. Actualmente, el estudio
de las diferentes formas en que puede moverse cuando está sujeto a la
acción de forzamientos, constituye una rica área de investigación.
Consideremos primero la dinámica de este sistema cuando oscila sujeto,
exclusivamente, a la acción constante de la fuerza de gravedad. Bajo estas
condiciones un péndulo, con un brazo rígido de longiud l que puede girar 360
grados alrededor de un eje, obedece la ecuación
¨θ
+ β˙θ +
g
l
senθ = 0 (∗1)
donde el parámetro g representa la aceleración de la gravedad y β el coef -
ciente de fricción de la masa del péndulo con el aire.
Figura 24
Si denotamos por ω la velocidad angular del péndulo entonces la ecuación
(*1) es equivalente al sistema de primer órden
˙θ
= ω
ω˙ = −k senθ − βω
(∗2)
donde k = g/l. En el caso en que el péndulo esté sujeto, además a la acción
de una fuerza externa, f(t), su movimiento queda gobernado por el sistema
˙θ
= ω
ω˙ = −k senθ − βω + f(t).
(∗3)
Para estudiar la dinámica del sistema (*3) es muy poco lo que se puede
hacer analíticamente y su exploración tiene que hacerse fundamentalmente
por medio de simulaciones numéricas. Cuando no hay fricción (β = 0), el
retrato de fases del sistema (*2) puede obtenerse sin tener que recurrir a
cálculos numéricos. Esto es porque entonces es un sistema conservativo es
decir, que la función energía dada por
E(0, ω) =
l2ω2
2
+ k(1 − cos θ)
se mantiene constante durante el movimiento del péndulo. En este caso, las
órbitas del sistema en el espacio de fases están dadas por las curvas de nivel
de esta función. En consecuencia las órbitas del sistema están dadas por la
familia de curvas que se obtienen de la expresión
ω = ±
1
l
q
2(E − k(1 − cos θ)
variando la constante E. Para dibujar estas curvas se puede recurrir a diversos
métodos cualitativos, pero es un buen ejercicio verif car por integración
numérica directa que éstas deben tener la forma que muestra la f gura 25.
Es también un buen ejercicio el identif car cada tipo de órbita en el espacio
de fases, con el movimiento correspondiente del péndulo.
Figura 2. Orbitas del péndulo en el espacio de fases, obtenidas con el
analizador INTEGRA, para el caso conservativo (β = 0, k = @)
Cuando estudiamos el oscilador armónico (sección 5.2 ), vimos que este
sistema tiene una frecuencia característica de oscilación a la que están sujetos
todos sus movimientos. Generalmente se consideran estas oscilaciones
armónicas como una aproximación a las oscilaciones de amplitud pequeña
del péndulo. Esta aproximación está motivada por el hecho de que, para
ángulos pequeños la función k senθ está bien aproximada por su parte lineal:
kθ. En la f gura 25 puede observarse que alrededor del punto de equilibrio
(θeq, ωeq) = (0, 0) aparece una familia de curvas cerradas que conf rman la
validez de la aproximación. Sin embargo, al hacer las simulaciones numéricas,
se observa que estas órbitas cerradas del pédulo, a diferencia de las órbitas
cerradas del oscilador armónico, corresponden todas ellas a movimientos
de frecuencias distintas. A medida que las oscilaciones son de amplitud
mayor su periodo es mayor y este tiende a inf nito cuando la condición inicial
θ0 se acerca al valor θ = π. Esto quiere decir que para el péndulo, a diferencia
del oscilador armónico, no existe una frecuencia que sea característica de
todas las oscilaciones. Por otra parte, en el límite en el que θ0 tiende al valor
θ = 0, el periodo de las oscilaciones del péndulo tiende al valor 2π/√k que
es el período de las oscilaciones li- neales correspondientes. También puede
demostrarse usando métodos de la teoría de perturbaciones que la función
T(θ0), que nos da el período de las oscilaciones del péndulo en función de la
amplitud θ0 de la oscilación, es una función que tiene una gráf ca tangente
a la recta T = 2π/√k. Esto puede interpretarse como que las oscilaciones
pequeñas del péndulo tienen una frecuencia característica en el límite θ0 → 0.
Figura 26
5.9.2 La Ecuación de Van der Pol como Modelo de un
Nervio
Una característica distintiva de las células nerviosas es su actividad eléctrica.
La capacidad que tiene estas células para producir y propagar impulsos
eléctricos se debe a la ocurrencia de varios procesos no lineales, de orígen
físico-químico, que tienen que ver con la forma en que la membrana celular
manif esta una permeabilidad selectiva a los diferentes iones del medio intra
y extracelular.
En esta sección nos ocuparemos de un modelo que sirve para ayudar a
entender la dinámica de los procesos involucrados en la producción de impulsos
nerviosos. El modelo, estudiado independientemente por R. FitzHugh
y K. Nagumo, está dado por el sistema
v˙ = −f(v) − ω + I(t)
ω˙ = b(x − γω).
(FHN)
Aquí la variable de estado v(t) representa la diferencia de potencial eléctrico
a través de la membrana celular, ω(t) es una variable de recuperación
del sistema, I(t) representa una corriente externa proveniente de otra célula
o aplicada por el experimentador y tanto b como γ son constantes positivas.
La función f(x) es la responsable de la no linealidad del sistema y se considera
de tipo cúbico con una región de pendiente negativa. Aquí supondremos
que f(x) = x(x − a)(x − 1), siendo a otra constante positiva del sistema.
Figura 27
El sistema de FitzHugh-Nagumo tiene una estructura similar al famoso
sistema de van der Pol. Ambos sistemas son equivalentes a una ecuación de
segundo orden del tipo
x¨ + f(x, x˙ ) + g(x) = h(t)
que es conocida como la ecuación de Lienard.
Al cambiar los valores de los parámetros del sistema FHN se pueden
observar distintos comportamientos de interés biológico. En uno de ellos,
como se muestra en la f gura 28 A y B, el sistema muestra un comportamiento
excitable mientras que en la f gura 28 C y D, se observa que el sistema obedece
a un régimen periódico caracterizado por la producción repetida de impulsos.
Figura 28. A. Curvas ceroclinas y órbitas en el espacio de fases de la
ecuación FHN. B. Curso temporal del voltaje. C. Gráf ca hecha con INTEGRA
usando el método de Runge-Kutta con h = 0.5 cuando I = 0, C y
D muestran la dinámica oscilatoria que se produce al aplicar una corriente
constante I = 1, a = 0.2, b = .001 y γ = 5.2.
Estos impulsos son conocidos como potenciales de acción entre los neurof
siólogos. La presencia de un potencial umbral para la excitación y la
transición del régimen excitable al régimen oscilatorio que muestra el modelo
FHN al aplicar una corriente constante I, coincide con las observaciones
experimentales:
(1) Cuando el voltaje de reposo de la membrana celular es perturbado,
pero sin que vaya más allá de un voltaje umbral vµ después
de un breve lapso se relaja a su valor original;
(2) Cuando la perturbación del voltaje a través de la membrana
rebasa el valor de umbral vu , se produce un potencial de acción
y después de un lapso del orden de milisegundos el voltaje de la
membrana recupera a su valor de reposo;
(3) Cuando, en lugar de una perturbación instantánea del voltaje
a través de la membrana, se aplica una corriente constante para
sostener la perturbación, se observa que la membrana responde
produciendo una serie periódica de potenciales de acción. Estos
se producen con una frecuencia que crece con la intensidad de la
corriente aplicada.