PLANTEO DE ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO EN PDF

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PLANTEO DE ECUACIONES
Para resolver un problema relativo a números o cantidades desconocidas se debe expresar una información escrita en idioma normal, en el simplificado idioma de las proposiciones matemáticas, las cuales nos permiten operar con más comodidad y rapidez que otros procedimientos. Esto implica realizar una especie de traducción de situaciones de la vida real, al simbolismo matemático, tarea que constituye el argumento más útil en todo el proceso de solución.
A continuación presentamos un listado de frases típicas que suelen aparecer en los problemas, y a un costado su respectiva traducción matemática:

El resultado de sumar
un número a 7 7 + X

La suma de algún
número y 13 + 13

El resultado de restar
a 18 algún número 18 – Z

Dos veces la suma de
un número y 5 2( + 5)

Nótese que cada vez que nos hemos referido a un número o algún número, en la traducción matemática, ésta se ha representado por una letra (X,Y,Z) o un símbolo: □ ; 
Ahora, cuando tengas que traducir una frase a una ecuación, debes determinar el significado de cada parte y asimismo tendrás que reconocer qué es lo que vas a reemplazar por una variable.
Ejemplos:
Un número, aumentado en 5 da como suma 23

n + 5 = 23
S/.6 menos que el costo de un sombrero es S/. 17

-6 x
 x – 6 = 17

Procedimiento para resolver problemas
La experiencia nos permite proponer que lo esencial para resolver un problema planteando ecuaciones, consiste en la habilidad para seguir cada uno de los siguientes pasos:
1) Representación de las cantidades desconocidas o incógnitas por variables (x, y, z, … etc.).
2) Planteo de las ecuaciones que relacionan a las incógnitas con los datos del problema.
3) Solución de las ecuaciones planteadas; esto es, determinar los valores de las variables.
4) Prueba o verificación de los valores obtenidos para ver si cumplen las condiciones del problema.
No está demás afirmar que las etapas de representación y planteo, requieren la mayor concentración posible, pues al realizarlas correctamente se asegura una solución del problema. Es por eso que a estas etapas les daremos mayor énfasis en los ejemplos que presentaremos a continuación.

Ejemplo 1
El cuadrado de un número, disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2.
Hallar el número.

Resolución:
Sea “N” el número buscado e interpretando la información, tenemos:
N² – 9 = 8 (N-2)
N² – 9 = 8N – 16
N² – 8N + 7 = 0
(N-7) (N-1) = 0
N-7 = 0 ó N – 1 = 0
N = 7 N = 1
Ejemplo 2
El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hallar el número.

Resolución
Sea “N” el número.
Del primer párrafo obtenemos:
8N – 60
Del segundo párrafo obtenemos:
60 – 7N
Las cuales son equivalentes
8N – 60 = 60 – 7N
15N = 120
N = 8

Ejemplo 3
Compré el cuádruple del número de caballos que vacas, si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más, el número de caballos sería 2 veces mayor que el número de vacas. ¿Cuántos caballos compré?

Resolución
Del primer párrafo encontramos:
Caballos: 4x
Vacas : x
Del segundo párrafo obtenemos:
Caballos: 4x + 5
Vacas: x + 5

Caballos sería 2 veces mayor que vacas

3
4x + 5 = 3(x+5)
4x + 5 = 3x + 15
x = 10
 caballos comprados son:
4(10) = 40

Ejemplo 4
En cada día, de lunes a jueves, gané $6 más que lo que gané el día anterior. Si el jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el miércoles?

Resolución
De la información obtenemos que:

Lunes : x
Martes: x + 6
Miércoles: x + 12
Jueves: x + 18
Además lo del jueves es el cuádruple del lunes; Es decir:
x + 18 = 4x
3x = 18
x = 6
El miércoles gané: 6 + 12 = S/. 18

Ejemplo 5
El largo de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión aumentara 4 m, el área aumentaría al doble. Hallar las dimensiones de la sala.

Resolución

Haciendo el esquema de una sala, para la primera condición, tenemos:

x

x + 4
A1 = x (x + 4)
Si las dimensiones aumentaran en 4 m tendríamos:

x + 4

x + 8

A2=(x+4 )(x+8)
Del dato tenemos que: A2 = 2A1

 (x + 4) (x + 8) = 2x (x + 4)
x + 8 = 2x
x = 8
 dimensiones 8 m y 12 m.

Ejemplo 6
Una mecanógrafa escribe 85 palabras por minuto. Empieza su trabajo a las 8:00 am; y 40 minutos después, empieza otra mecanógrafa que escribe 102 palabras por minuto.
¿A qué hora habrán escrito estas el mismo número de palabras?

Resolución
La 1º mecanógrafa escribe 85 palabras por minuto, entonces:
en x minutos escribirá: 85x
La 2º mecanógrafa escribe 102 palabras por minutos, y empieza 40 min después, entonces:
en (x-40) min escribirá: 102 (x-40)
Como las mecanógrafas han escrito el mismo número de palabras:
102 (x-40) = 85x
102x – 4080 = 85x
17x = 4080
x = 240 min (4 horas)
 hora 8 a.m. + 4 h = 12 m

Ejemplo 7
En un aula los alumnos están agrupados en bancas de 6 alumnos por banca. Si se les coloca en bancas de 4 alumnos por banca se necesitarían 3 bancas más. Cuántos alumnos hay en el aula?

Resolución
Sea N el número de alumnos en el aula y “x” el número de bancas.
Al agruparlos de 6 en 6 tenemos:
N = 6x
Al agruparlos de 4 en 4 tenemos:
N = 4(x+3)
Como son iguales entonces
6x = 4x + 12
2x = 12
x = 6
Finalmente N = 6.6 = 36 alumnos

Ejemplo 8
Con 950 ladrillos se han hecho tres tabiques. En el primero entran una tercera parte más que el segundo, y en este la cuarta parte de los que entran en el tercero. ¿Cuántos ladrillos se emplearon en cada tabique?

Resolución
Si la cantidad de ladrillos en el segundo tabique consideramos como 3x, entonces la tercera parte será x; por lo tanto:
Segundo tabique: 3x
Primer tabique: 3x+ x = 4x
Los ladrillos del segundo tabique son la cuarta parte de los del tercer tabique; esto quiere decir también que lo que hay en el tercero es el cuádruple de lo que hay en el segundo; es decir:
4(3x) = 12x.

Gráficamente

1º 2º 3º

Sumando todos los ladrillos debemos tener 950.
4x + 3x + 12x = 950
19x = 950
x = 50
Primer tabique : 200
Segundo tabique : 150
Tercer tabique : 600

Ejemplo 9
Se tiene tres números tales que el segundo es 4/5 del primero, el tercero es ¾ del segundo y el producto de los tres números es 3840. Hallar el menor.

Resolución
Sea N1, N2 y N3 los tres números

De esta proporcionalidad obtenemos que:
N2 = 4K
N1 = 5k
N3 = 3K
El producto es 3840
 (5K) (4K) (3K) = 3840
60K3 = 3840
K3 = 64
K = 4
 el menor es N3 = 3 (4) = 12
Ejemplo 10
Se reparte 3000 soles entre 4 personas de tal manera que a la primera le corresponda 400 soles más que a la segunda; a ésta, 4/5 de lo que le corresponde a la tercera; y ésta 100 soles más de lo que le corresponde a la cuarta. ¿Cuánto recibió la segunda persona?

Resolución
Al repartir los S/. 3000 entre 4 personas y empezando el análisis entre la 2da y 3era persona, luego entre la 1era y la 2da y finalmente entre la 3era y la 4ta tendremos
P1 = 4k + 400
P2 = 4K
3000 P3 = 5K
P4 = 5k – 100

 4k+400+4k+5k+5k–100 = 3000
18k = 2700
k = 150
 La segunda persona recibió:
4(150) = S/. 600

Ejemplo 11
De un tonel de 140 litros se extrae tanto como 4 veces no se extrae, de lo que queda se extrae tanto como no se extrae. ¿Cuánto queda en el tonel?

Resolución
Graficando un tonel e interpretando la primera condición, tenemos:

4x + x = 140
5x = 140
x = 28

140
 Ha quedado 28 litros
Graficando en un tonel lo que a quedado e interpretando la segunda condición, tenemos:

y + y = 28
 y = 14

 Queda en el tonel 14 litros.

PROBLEMAS PARA
RESOLVER EN CLASE

1. Traducir a su respectiva expresión matemática.
a) El triple, de un número aumentando en 8
b) El triple de un número, aumentado en 8
c) Lo que gana Ana es dos más de lo que gana Betty
d) Ana gana dos veces lo que gana Betty
e) Ana gana dos veces más lo que gana Betty
f) Un número es dos veces menos que otro número
g) La edad de María excede a la de Diana en 19
h) Lo que tiene A excede a B, tanto como 100 excede al doble de B
i) La suma de cuatro impares consecutivos equivale al doble del mayor, mas 6.
j) El doble, del cuadrado de un número disminuido en 6 equivale al exceso de 105 sobre el máximo número de dos cifras.
k) El cuadrado, del doble de un número disminuido en 3

2. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación de segundo grado un estudiante comete un error en el término independiente de la ecuación y obtiene como raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error en el coeficiente del término de primer grado y obtiene como raíces –9 y –1. La ecuación correcta es:

Rpta:……………………

3. Se tienen 48 palitos de fósforo, divididos en 3 grupos, del primer grupo se pasan al segundo tantos palitos como hay en este; luego del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como este tiene, y lo mismo se hizo del tercero al primero, quedando los tres grupos con la misma cantidad de palitos. ¿Cuántos palitos tenía el primer grupo al inicio?

Rpta:……………………

4. Encontrar un número impar, tal que al agregarle sus cuatro impares consecutivos nos dé un total de 555.

Rpta:……………………

5. Un kilo de manzanas cuestan 3 soles más medio kilo de manzanas. ¿Cuánto cuesta el kilo y medio?

Rpta:……………………

6. El producto de tres números enteros consecutivos es 24 veces el número central. Calcular su suma.

Rpta:……………………

7. En un corral hay gallinas y conejos, y el número de patas es 14 más 2 veces el número de cabezas. ¿Cuántos conejos hay?

Rpta:……………………

8. En una fiesta habían 68 personas; Un primer caballero bailó con 7 damas; el segundo con 9, el tercero con 11 y así sucesivamente hasta que el último bailó con todas. ¿Cuántas damas habían?

Rpta:……………………

9. Un comerciante tenía determinada suma de dinero. El primer año se gastó 100 libras y aumentó el resto con un tercio de este. El año siguiente volvió a gastar 100 lbs y aumentó la suma restante en un tercio de ella. El tercer año gastó de nuevo 100 lbs y después de que hubo agregado su tercera parte, el capital llegó al doble del inicial. Hallar el capital inicial.

Rpta:……………………
10. Un grupo de abejas igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo el enjambre se posó sobre cierta flor, dejando atrás a 8/9 de todo el enjambre y sólo una revoloteaba en torno a una flor atraída por el zumbido de una de sus amigas. ¿Cuántas abejas forman el enjambre?

Rpta:……………………

11. Entre 4 hermanos tienen 30 manzanas. Si el número de manzanas del primero se incrementa en 1, el del segundo se reduce en 4, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos tendrán la misma cantidad. El primero y el tercero tenían juntos.

Rpta:……………………

12. Al dividir un número de 3 cifras, entre otro de 2 cifras, se obtiene 11 de cociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se les vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la suma de las cifras del dividendo.

Rpta:……………………

13. Una persona fabrica un número determinado de sillas. Si duplica su producción y vende 60, le quedan más de 24 sillas; luego fabrica 10 más y vende 28, quedándole entonces menos de 10 sillas. Señale cuántas sillas se fabricaron.

Rpta:……………………

14. Un número entero consta de 3 dígitos. El dígito de las centenas es la suma de los otros dos, y el quíntuplo de las unidades es igual a la suma de las decenas y de las centenas. Hállese este número sabiendo que si se invierten los dígitos resulta disminuido en 594.

Rpta:……………………
15. Una persona se pone a jugar con cierta suma de dinero en la primera vuelta duplica su dinero y gasta luego S/. 100. En la segunda vuelta gana el doble de lo que tiene y gasta luego S/. 400. En la tercera vuelta triplica su dinero y gasta luego S/. 500. Si aún le quedan S/. 1000, ¿cuánto tenía inicialmente?

Rpta:……………………

16. Cuatro personas: A, B, C y D, se pusieron a jugar teniendo en cuenta las siguientes reglas:
• El que pierda el primero cuadruplicará el dinero de cada uno de los demás .
• El segundo perdedor aumentará S/. 50 a c/u de los demás.
• El tercero aumentará S/. 20 a cada uno de los demás.
• El cuarto aumentará S/. 30 a cada uno.
Se sabe que perdieron en el orden alfabético y al finalizar la cuarta partida cada uno quedó con S/150, S/180, S/120 y S/40 , respectivamente. Cuánto tenía C al principio ?

Rpta:……………………

17. En una playa de estacionamiento hay 20 vehículos entre autos y motos. Si cada auto lleva una llanta de repuesto, y en total se cuentan 73 neumáticos. ¿Cuántos autos hay?

Rpta:……………………

18. Al vender una articulo pensé ganar la mitad de los me costó, pero al momento de vender tuve que rebajar la mitad de lo que pensé ganar, por lo que gané S/. 600 menos de lo que me costó. ¿Cuánto me costo?

Rpta:……………………

19. El número de alumnos de un salón puede ubicarse en filas de 9. Pero si se ponen dos alumnos menos en cada fila hay que poner dos filas más. ¿Cuántos alumnos hay?

Rpta:……………………

20. Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en cuatro horas y el segundo en tres horas. Si cada cirio se quemó en forma constante, cuántas horas después de haber encendido los ciros, la altura del primero es el doble de del segundo?.

Rpta:……………………

21. En una reunión se cuentan tantos caballeros como tres veces el número de damas. Si luego de retirarse 8 parejas el número de caballeros que aún quedan es igual a 5 veces el número de damas, cuántos caballeros habían inicialmente?.

Rpta:……………………

22. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de 8 soles le faltaría 12 soles y si adquiere entradas de 5 soles le sobraría 15 soles ¿ Cuantos hijos tiene el matrimonio?.

Rpta:……………………

23. Lo que cobra y lo que gasta un profesor suman 600. Lo que gasta y lo que cobra esta en la relación de 2 a 3. En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5.

Rpta:……………………

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Halle el número cuyo quíntuplo, disminuido en los del mismo, es igual al triple, de la suma de dicho número con cinco.

A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN
Sea “x” el número

Por (4):
 20x  3x = 12x + 60
17x 12x = 60
5x = 60
x = 12
RPTA.: C

2. El producto de tres números enteros consecutivos es igual a 600 veces el primero. ¿Cuál es la suma de dichos números?

A) 76 B) 81 C) 71
D) 73 E) 3

RESOLUCIÓN
(x) (x+1) (x+2) = 600x
X[(x+1)(x+2)  600] = 0
x = 0  (x+1) (x+2) = 600
x = 0  x² + 3x  598 = 0
(x23) (x+26) = 0
x = 0  x = 23  x = 20

x = 0 0, 1, 2 

x = 23 23, 24, 25

x = 26 26, 25, 24

RPTA.: E
3. ¿Cuál es el número negativo que sumado con su inverso, da igual resultado que el doble de su inverso, disminuido en el número?

A) 2 B)  C)
D) 3 E) 

RESOLUCIÓN
Sea “x” el número

2x² = 1 

RPTA.: C

4. Julio es asesor y gana el primer mes 7x soles, el segundo mes le duplicaron el sueldo, el tercer mes le pagan el triple del sueldo inicial, al cuarto mes lo despiden pagándole lo del primer mes. ¿Cuánto ganó en los 4 meses?

A) (49)x B) (35)x C) (35)4x
D) 7x+1 E) 14x

RESOLUCIÓN
RPTA.: D

5. Si el recíproco, del inverso de un número disminuido en cinco; es disminuido en el opuesto aditivo del número disminuido en cinco, resulta 30. Halle el número.

A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25

RESOLUCIÓN
Sea “x” el número.

x  5 + x  5 = 30
2x  10 = 30
2x = 40
x = 20
RPTA.: D

6. El cuádruplo de un número, aumentado en 3, es equivalente al triple, del número aumentado en uno, más el número. Halle el número.

A) No existe tal número
B) 0
C) 1
D) 2
E) Cualquier número real

RESOLUCIÓN
Sea “x” el número.
4x + 3 = 3(x+1)+x
4x + 3 = 3
4x  4x = 3  3
(4  4) x = 0
0x = 0
 x cualquier número real.
RPTA.: E

7. ¿Cuántos números cumplen lo siguiente: si al doble del número se le aumenta el número disminuido en 8, se obtiene el triple, del número disminuido en seis, más cuatro?

A) Ninguno
B) Uno
C) Dos
D) Tres
E) Todos los reales

RESOLUCIÓN
Sea “x” el número
2x + (x  8) = 3(x  6) + 4
3x  8 = 3x  18 + 4
0x = 6
CS = 
RPTA.: A

8. El largo de un rectángulo es el doble de un número, mas tres y el ancho es el exceso de cinco sobre el duplo del número. ¿Cuál es la máxima área del rectángulo?

A) 18 µ² B) 16 µ² C) 14 µ²
D) 12 µ² E) 10 µ²

RESOLUCIÓN

5  2x

2x + 3

A(x) = (2x+3)(52x)
A(x) = 10x  4x² + 15  6x
A(x) = 4x² + 4x + 15
A(x) = (4x²  4x+1  1) + 15
A(x) = ((2x1)² 1) + 15
A(x) = (2x1)² + 16

El máximo valor del área es 16 µ².
Para
RPTA.: B

9. Si el exceso de “a” sobre “b” es un factor, del exceso de “c” sobre “a” y el otro factor, es factor del exceso de a² sobre c². Indique ¿cuál es el otro factor de a² sobre c²?

A) a . c B) c C) a
D) b  a E) (a+c)(ba)

RESOLUCIÓN
(ab)F = c  a
F: el otro factor
 F =

 y = (a+c)(ba)
RPTA.: E

10. Un número excede al cuadrado más próximo en 30 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 29 unidades. Indique la suma de las cifras del número.

A) 14 B) 16 C) 18
D) 20 E) 22

RESOLUCIÓN
Sea “x” el número.
k² …………. x ……………. (k+1)²

30 29

x  k² = 30 ……………….(I)
(k+1)²  x = 29 ………………(II)
k²+2k+1x = 29
2k + 1 = 29 + (x  k²)
De (I)
2k + 1 = 29 + 30
2k + 1 = 59
k = 29

En (I) x  29 ²= 30
x = 871
Se pide:
8 + 7 + 1 = 16
RPTA.: B

11. Se ha comprado cierto número de libros por 200 soles. Si el precio por ejemplar hubiese sido dos soles menos, se tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos libros se compro?

A) 30 B) 28 C) 25
D) 23 E) 20
RESOLUCIÓN
Sea “x” el número de libros comprados.
 Uno cuesta:
Sea: (x + 5) libros que se tendrá
 Uno costaría:
Condición:

 100(x+5) = 100x = x(x+5)
100x + 500  100x = x (x+5)
500 = x(x+5)
500 = 20(25)
x = 20
RPTA.: E

12. Se tienen 600 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 5 niños, los restantes reciben 4 caramelos más. ¿Cuántos niños habían inicialmente?

A) 20 B) 23 C) 25
D) 28 E) 30

RESOLUCIÓN
Sea “x” el número de niños
c/u:
Si se retiran 5,
Condición:

600x  600x + 3000 =4(x)(x5)
3000 = 4x (x5)

750 = x(x5)
750 =30(305)
x = 30
RPTA.: E
13. Si tuviera lo que no tengo, más la tercera parte de lo que tengo, tendría de lo que tengo, pero si tuviera 10 soles más de lo que no tengo tendría de lo que tengo. ¿Cuánto no tengo?

A) 40 B) 35 C) 30
D) 20 E) 15

RESOLUCIÓN
x : tengo y : no tengo

RPTA.: E

14. Una persona compró objetos a los precios de 48 y 42 soles, pero no recuerda cuántos, solamente recuerda que gastó S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 era impar y no llegaba a diez. ¿Cuántos objetos compró?

A) 19 B) 17 C) 51
D) 36 E) 40

RESOLUCIÓN
x : # objetos de S/. 48
y : # objetos de S/. 42

48x + 42y = 1542
8x + 7y = 257

Evaluando para x = 5  y = 31
Se pide: x + y = 36
RPTA.: D

15. Dame S/. 30 y tendré tanto como tu tengas, pero si te doy S/. 40, tu tendrás el triple de los que yo tengo. ¿Cuánto tienes?

A) S/. 170 B) S/. 110
C) S/. 80 D) S/. 100
E) S/. 150

RESOLUCIÓN
Yo tengo: x
Tu tienes: y
 x + 30 = y  30  x = y 60
Yo tengo: x
Tu tienes: y
 3(x40) = y + 40
3x 120 = y + 40
3(y  60)  120 = y + 40
3y  180  120 = y +40

2y = 40 + 300
2y = 340
y = 170
RPTA.: A

16. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 4 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

A) 50 B) 60 C) 70
D) 80 E) 90

RESOLUCIÓN

# pasos : # pasos:
Condición:
En el primero se dan 4 pasos más que en el segundo.

 5x  4x = 80
x = 80 escalones
RPTA.: D

17. De los gatitos que tenía Angela se le murieron todos menos los que se murieron. ¿Cuántos quedaron vivos?

A) Absurdo B) Ninguno
C) Todos D) La mitad
E) Dos

RESOLUCIÓN
Tenía: x
Se le murieron: 

Dato:  = x  
2 = x
  =
Se le murieron la mitad, quedaron vivos la otra mitad.
RPTA.: D

18. Jerry razonaba: tenía S/. 50, primero compré una camiseta y luego una gorra que me costó S/.15. Si no hubiera comprado la gorra, tan sólo hubiera gastado de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gasté en total?

A) S/. 20 B) S/. 30 C) S/. 35
D) S/. 25 E) S/. 45

RESOLUCIÓN
Tenía : 50
 x + 15

Si no hubiera comprado la gorra hubiera gastado: x
No hubiera gastado: (50  x)
Entonces:
7x = 150  3 x
10x = 150
 x = 15
Gasto total:
x + 15 = 15 + 15 = S/. 30
RPTA.: B

19. Los hijos de Pedro tienen tres hermanas cada uno y sus hijas tantos hermanos como hermanas. ¿Cuántos varones, por lo menos hay en la casa de Pedro?

A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN
Cada hijo tiene 3 hermanas
 Cada hija tiene 2 hermanas y 2 hermanos
 Hay 3 varones
RPTA.: B

20. El alcalde de un distrito ha observado con respecto a las mascotas de su distrito que por cada mono hay 3 gatos y por cada gato hay 4 perros. Si en total se han contado 768 extremidades de animales. ¿Cuántos monos hay?

A) 12 B) 11 C) 10
D) 9 E) 8

RESOLUCIÓN
Mono : a
Gatos : 3a Total 16a
Perros: 4(3a) = 12a cuadrúpedos

# extremidades:
4(16a) = 768
a = 12 monos

RPTA.: A

21. Al sumar tres números enteros consecutivos y dividir entre su producto se determina el numerador y denominador respectivamente de un número racional cuyo equivalente es . ¿Cuál es el menor de los tres números?
A) 12 B) 13 C) 9
D) 13 E) 12
RESOLUCIÓN
x1
Sean los números: x
x+1

Condición:

x  1; x  0, x  1

RPTA.: A

22. Gaste los de lo que no gasté y aún me quedan 60 dólares más de los que gasté. ¿Cuánto tenía?

A) $ 250 B) $ 240 C) $ 200
D) $ 190 E) $ 150

RESOLUCIÓN
Gasté :
No gasté : x
Tenía :

x = 60 +
5x = 300 + 3x
x = 150

Tenía :
RPTA.: B

23. Un anciano deja una herencia de 2mn dólares a cierto número de parientes. Sin embargo “m” de estos renuncian a su parte y entonces, cada uno de los restantes se beneficia en “n” dólares más. ¿Cuántos son los parientes?

A) (m+n) B) 2m C) 2n
D) m E) n

RESOLUCIÓN
Sea “x” el # de parientes, c/u inicialmente recibiría:
* Pero “m” renuncian a su parte, entonces cada uno recibe ahora:
* Con lo cual cada uno de los restantes se beneficia en “n” dólares mas.
2mx  2mx  2m² = x (xm)

 x = 2m
RPTA.: B

24. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos, si toma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles les sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos?

A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN

35. La inscripción como socio de un club de natación cuesta 840 soles para las 12 semanas de la temporada de verano. Si un socio ingresa después de comenzada la temporada, sus derechos se fijan proporcionalmente. ¿Cuántas semanas después de iniciada la temporada ingresaron 3 socios simultáneamente si pagaron juntos 1680 soles?

A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN
12 semanas cuestan 840
 1 semana cuesta:
 x semanas cuestan:
 los 3 socios pagan:
210x = 1680
x = 8
(se les cobró por 8 semanas), luego ya habían transcurrido:
12  8 = 4 semanas
RPTA.: D

36. Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10 m, ella podría abarcar cuatro veces el área original. Entonces la longitud original de la cuerda es:

A) 20 m B) 15 m C) 10 m
D) 5 m E) m

RESOLUCIÓN

Para el radio inicial: 
El área será:
Si se alarga la cuerda 10 m. El área que abarcaría sería:

Según condición:

4r² = (r+10)²
(2r)²  (r+10)² = 0
(2r+r+10)(2rr10) = 0
(3r+10)(r10) = 0
3r + 10 = 0  r 10 = 0

RPTA.: C

37. En la biblioteca PRE-UNAC unos alumnos estudian Física, otros Aptitud Matemática, y la quinta parte del total Aptitud Verbal; después 14 de ellos dejan Física por Aptitud Verbal, 2 dejan Aptitud Verbal por Física y 4 Aptitud Verbal por Aptitud Matemática. Resulta entonces que estudian Física tanto como los que estudian Aptitud Matemática y estudian Aptitud Matemática tantos como los que estudian Aptitud Verbal. ¿Cuántos alumnos hay en la biblioteca?

A) 35 B) 45 C) 55
D) 65 E) 75

RESOLUCIÓN
Asumiendo el total de alumnos: 15x
En un inicio estudian Aptitud Verbal la quinta parte del total: 3x
Al final el # de alumnos que estudian las 3 materias es el mismo: 5x
Entonces:

Inicio F AM AV Final
Física 14 2 5x
Ap. Mat. 2 4 5x
Ap. Verbal 3x 14 4 5x

Para A.V. tenemos
 3x + 14  4 = 5x
10 = 2x
 x = 5

 total= 15 (5) = 75
RPTA.: E

38. Un comerciante tenía una determinada suma de dinero. El primer año se gastó 100 soles y aumento el resto con un tercio de este; el año siguiente volvió a gastar 100 soles y aumentó la suma restante en un tercio de ella; el tercer año gastó de nuevo 100 soles y después de que hubo agregado su tercera parte, el capital llego al doble del inicial. Halle el capital inicial.

A) 1480 B) 1840 C) 8140
D) 4180 E) 1520

RESOLUCIÓN
Capital inicial: x

Al final del primer año: x  100
Al aumentar en

Luego de tres años tendrá:

32(x100) = 3(9x+1400)
5x = 7400
x = 1480
RPTA.: A

39. La suma de dos números es tres y la suma de sus cuadrados 4,52. Halle la raíz cuadrada de la diferencia de sus cuadrados aumentada en cuatro centésimos.

A) 0,8 B) 0,6 C) 0,5
D) 0,4 E) 0

RESOLUCIÓN
x + y = 3
x² + y² = 4,52
……………(I)

(x + y)² = x² + y² + 2xy
3² = 4,52 + 2xy
2xy = 4,48

(xy)² = x² + y²  2xy
(xy)² = 4,52  4,48
x  y = 0,2

En (I):
=
RPTA.: A