POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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DEFINICIÓN:
Sean P1, P2, P3, P4,…… Pn-1, Pn puntos distintos en el plano y no colineales con n>2. La unión de los segmentos P1 P2, P2,P3, ……., Pn-1Pn, PnP1, recibe el nombre de POLÍGONO, si los segmentos tienen las siguientes propiedades:
- Dos segmentos con un punto común no deben ser colineales.
- Dos segmentos cualesquiera sólo pueden interceptarse en sus extremos.

En la figura, la parte punteada indica otros posibles puntos y segmentos puesto que n es un número natural cualesquiera igual o mayor que 3.

ELEMENTOS DEL POLÍGONO
- Los puntos P1, P2,…….,Pn se llaman verticales del polígono.
- Los segmentos P1P2, P2P3, …., Pn-1, PnP1, son los lados del polígono.
- Dos segmentos con un vértice común determinan un ángulo al cual llamaremos ángulo interno del polígono.
- Un ángulo es ángulo externo de un polígono si y solo si forma un par lineal adyacente con uno de los ángulos internos del polígono.
- Un segmento que une dos vértices no consecutivos lo denominaremos diagonal del polígono.
- Un segmento que une los puntos medios de dos lados cualesquiera, lo llamaremos diagonal media del polígono.

OBSERVACIÓN: En un polígono de n lados existen n vértices, n ángulos internos.

NOTA 1:
Todo polígono divide al plano en tres subconjuntos de puntos:

- Puntos interiores al polígono.
- Puntos exteriores al polígono
- Puntos que pertenecen al polígono.

Un punto está en el interior de un polígono si está en el interior de cada uno de los ángulos internos del polígono, y está en el exterior, si no está ni en el interior ni en el polígono.

NOTA 2.
El perímetro del polígono es igual a la suma de todos sus lados.
NOTA 3
Región poligonal es una figura formada por los puntos del polígono y los puntos interiores al polígono.

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Los polígonos se clasifican en:
a) Por el número de lados
Triángulo 3 lados
Cuadrilátero 4 lados
Pentágono 5 lados
Hexágono 6 lados
Heptágono 7 lados
Octágono 8 lados
Nonágono o Eneágono 9 lados
Decágono 10 lados
Endecágono o Undecagono 11 lados
Dodecágono 12 lados
Pentadecágono 15 lados
Icoságono 20 lados

Los polígonos restantes se llaman según su número de lados. Por ejemplo: polígono de 14 lados, polígono de 25 lados, etc.

b) Por su forma
1. Polígono Convexo:
Es interceptado en sólo dos puntos por una recta secante.

2. Polígono no Convexo
Es interceptado en más de dos puntos por una recta secante.

3. Polígono Equilátero:
Es aquel polígono cuyos lados son todos congruentes.Ejemplo:

4. Polígono Equiángulo
Es aquel polígono cuyos ángulos internos son todos congruentes

5. Polígono Regular
Es aquel polígono que es a la vez equiángulo y equilátero.
Ejemplo:

1. Polígono No Regular
(Irregular)
Es aquel polígono que no cumple las condiciones del polígono regular.

FÓRMULAS GENERALES EN UN POLÍGONO DE N LADOS.
d: Números de diagonales que se pueden trazar desde un vértice.

d = N-3

D : Número total de diagonales que se pueden trazar.

D =

Z : Número de diagonales que se pueden trazar desde “V” vértices consecutivos.

Z : V x N -

Si : Suma de las medidas de los ángulos internos

Si = 180º (N-2)

Se: Suma de las medidas de los ángulos externos

Se = 360º

FORMULAS PARA POLÍGONOS REGULARES DE N LADOS

i : Medida de un ángulo interno

i =

e: Medida de un ángulo externo

e =

c : Medida de un ángulo central

c =

CUADRILÁTERO
Se llama cuadrilátero, al polígono de 4 lados.

Considerando la medida de sus ángulos internos pueden ser convexo o cóncavo.

CONVEXO CÓNCAVO

Elementos:

x

1) Lados:
2) Vértices: A, B, C y D
3) Angulos Interiores: X, Y, Z, W
4) Angulos Exteriores: , , , .
Nota 1.
En todo cuadrilátero, la suma de las medidas de sus ángulos es 360º.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS
Atendiendo al paralelismo de sus lados, se clasifican en tres:
Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides.

A) PARALELOGRAMOS.
Son aquellos que tienen sus lados opuestos paralelos. Se clasifican en:

A1. ROMBO. Llamado también Losange. Es un paralelogramo que tiene sus 4 lados congruentes.

Rombo
o Losange
 

 

A2. Romboide. Es un paralelogramo.

A.3 Rectángulo. Llamado también Cuadrilongo. Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos rectos

A.4 Cuadrado. Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos rectos y sus 4 lados congruentes. (Polígono Regular de 4 lados).

 


Nota 2.
Cuando en un problema se menciona paralelogramo, se dibuja como un romboide.
Nota 3
El Cuadrado es un rombo y también es rectángulo.
Nota 4
De todos los rectángulos de igual perímetro, el que tiene más área es aquel cuya diferencia de lados es menor. Por lo tanto el que tiene área máxima es el cuadrado.

PROPIEDADES DEL PARALELOGRAMO

1. En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes.

2. En todo paralelogramo, los ángulos opuestos miden iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios.

3. En todo paralelogramo las diagonales se bisecan mutuamente. (bisecan: se cortan en su punto medio).

4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes (miden igual).

5. Las diagonales de un rectángulo se interceptan en su punto medio, determinando 4 segmentos de igual longitud.

OA = OB = OC = OD

6. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si y bisectrices de sus ángulos.

BD : Diagonal mayor
AC : Diagonal menor

x = 90º

AO = OC
BO = OD
 

 

7. Las diagonales de un cuadrado son congruentes, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.

X = 90º

AC = BD

B. TRAPECIOS.
Son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos paralelos y se les llama base mayor y base menor. Se sub-clasifican en 3:

B.1 Trapecio escaleno. Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.

B.2 Trapecio isósceles: Es aquel que tiene sus lados no paralelos congruentes (miden igual).

B.3 Trapecio Rectángulo. Es aquel que tiene dos ángulos rectos.

Nota 5.
Cuando se dice altura del trapecio, se sobrentiende que es la distancia entre las bases.
Nota 6.
Mediana del trapecio: Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.

Nota 7.
Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósceles y los ángulos opuestos son suplementarios.

PROPIEDADES DEL TRAPECIO
I) MEDIANA DE UN TRAPECIO: MN

AM=MB, CN=ND

MN =

Demostración:

1. Se traza BN cuya prolongación intercepta a la prolongación de AD en E.

2. BNC  NDE (caso ALA)
BC = DE = b
BN = NE

3. ABE Teorema de la base media

MN =

MN = l.q.q.d.

II) SEGMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS DIAGONALES DEL TRAPECIO: PQ

Demostración:

1) Se traza CQ cuya prolongación intercepta a AD en E.

2) BQC  QED (ALA)
BC = ED = b
CQ = QE
3) ABE Teorema de la base media
PQ =

PQ = l.q.q.d.
C. TRAPEZOIDES
Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro. Existen dos clases:

C.1 Trapezoide Simétrico:
Si una de sus diagonales es mediatriz de la otra. La figura es simétrico respecto al eje BD (lo que ven al lado izquierdo de BD es igual a lo que ven al lado derecho).
Trapezoide
Simétrico
o
Bisosceles

AB = BC
AD = CD

c.2 Trapezoide asimétrico
Es aquel cuadrilátero que no tiene ninguna simetría.

PROPIEDADES DEL TRAPEZOIDE

I) En todo trapezoide, al unir los puntos medios de los lados consecutivos, se forma un paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales de dicho trapezoide.

CONVEXO CÓNCAVO

1) MNPQ es paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las medidas de las diagonales.

Perímetro (MNPQ) = (AC + BD)

2) El área del paralelogramo MNPQ es igual a la mitad del área del cuadrilátero ABCD.

3) En el cuadrilátero convexo se cumple que:

Area(MBN)+Area(PDQ)=Area(AMQ)+Area(PCN)

4) En el cuadrilátero cóncavo se cumple que:

Ara(MBN)-Area(PDQ)=Area (AMQ)+Area (PCN)

II)

X =
Demostración:

1) ABCD 2  + 2 + m + m = 360º
Mitad ++ =180º (I)

2) BEC

 +  + X = 180º (II)

3) II – I
 +  + X =  +  +

X = l.q.q.d.

III

Demostración:

1) BADP Z =  + m +  (I)

2) BCDP
Z++m += 360º (II)

3) I + II

2Z+ + m +  =  + m +  + 360º

2Z + m – m = 360º

Mitad Z+ = 180º (III)

4) X + Z = 180º (IV)
5) IV=III X+Z=Z+

X = l.q.q.d.

Demostración

1) EBCD  = X +  + m I

2) X +  = m +  II

3) I en II

X + X +  + m = m + 

2X = m – m

X = l.q.q.d.

EJERCICIOS


1. Si la medida del ángulo externo de un polígono regular es “k” veces el interior. Calcular “k” (k  Z).
A) 1 y 3 B) 1 y 2 C) 1 y 4
D) 2 y 3 E) 2 y 4

2. Es un polígono regular ABCDE… la m ACE =144°. ¿Cuántas diagonales medias tiene?
A) 100 B) 150 C) 160
D) 170 E) 190

3. Los ángulos interiores B, C y D de un pentágono convexo ABCDE miden 70°, 160° y 50° respectivamente. Las bisectrices interiores de los ángulos BAE y AED, forman un ángulo que mide:
A) 30° B) 35° C)40°
D) 45° E) 50°

4. En un hexágono equiángulo ABCDEF, BC = 2, DE = 1, CD = 4 y AF = 3. Hallar su perímetro.
A) 10 B) 15 C) 18
D) 24 E) 28

5. La diferencia del número de diagonales de cierto polígono y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 8. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
A) 4 B) 5 C) 8
D) 12 E) 18

6. Las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos convexos regulares se diferencian en 20° y las medidas de los ángulos exteriores suman 100°. ¿Cuántas diagonales tienen el polígono de mayor número de lados?
A) 27 B) 18 C) 32
D) 40 E) 52

7. Se tienen dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencias en 342 y cuyas medidas de sus ángulos, centrales están en la relación de 2 a 3. Hallar la diferencia de las medidas de sus ángulos interiores.
A) 5° B) 25° C)10°
D) 40° E) 50°

8. El perímetro de un octágono equiángulo ABCDEFGH es , dicho polígono tiene dos tipos diferentes de lados los cuales se presentan en forma alternada. Hallar .
A) B) C)
D) E)

9. Calcular el ángulo central de un polígono regular en donde al disminuir el número de lados en 2 máximos números de diagonales disminuye en 15.
A) 30° B) 45° C)36° D) 70° E) 90°

10. En un trapecio ABCD;
m A=m B=90; las bisectrices interiores de los ángulos C y D se intersecan en P. Calcular AB, si la distancia desde el punto P a es 4.
A)6 B)8 C)10
D)12 E)16

11. En un rombo ABCD, se traza ⊥ , tal que AH = HD, calcular m C.
A)30º B)45º C)40º
D)60º E)75º

12. En un trapecio ABCD se sabe que: m < B = 2m < D; BC = 4; AB = 5. Calcular la medida de la base mayor .
A)6 B)7 C)8
D)9 E)10

13. En un romboide ABCD se traza la bisectriz (M en ). Si AB = 6, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de y .

A)2 B)3 C)4
D)5 E)2

POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS

1. Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos.

A) 20 B) 27 C) 35
D) 44 E) 55

2. Se tienen los polígonos regulares ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto a , Calcule: .

A) 72º B) 45º C) 20º
D) 24º E) 27º

3. Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN… están ubicados en distintos semiplanos respecto a Calcule:

A) 72º B) 36º C) 24º
D) 69º E) 60º

4. 9 es un número de diagonales que se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos de un polígono regular de “n” lados. Calcule “n”.

A) 5 lados B)7 lados
C) 6 lados D) 8 lados
E) 9 lados

5. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si

A) 540º B) 720º C) 900º
D) 1080º E) 1260º

6. En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º.

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7

7. Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH,
AB=EF= ; , 3, y GF=8.

A) B)
C) D)
E)

8. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes.

A) 190º B) 200º C) 210º
D) 220º E) 230º

9. En un polígono regular cuyo semi-perímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular?

A) B) C)
D) E)1

10. Si un polígono de n lados tuviera (n-3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es?

A) Triángulo B) Cuadrilátero
C) Pentágono D) Hexágono
E) Octógono

11. Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente.

A)2 B) 10 C) 3
D)5 E) 7

12. Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y 4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a dicha recta. La recta intercepta a y .

A)7 B)5 C) 3
D) 8 E)1

13. En un trapecio ABCD, P y Q son puntos medios de y ; = ,  .La prolongación de intercepta a en G, BC=a, AD=50, calcule 2EF+GD.

A) B)
C) D) 50
E) 40

14. En un trapecio ABCD , las bisectrices interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segmento PQ si AB=6 , BC=4, CD=8, AD=10

A) 1 B) C) 0
D) 2 E)
15. En un trapecio ABCD, y se ubica el punto medio M de B, tal que y se traza . Si , y toma su máximo valor entero, calcule .

A) 37º B) 53º C)
D) E) 30º

16. En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la distancia del punto medio de hacia la bisectriz del ángulo ABC; si .

A) 10 B)8 C)6
D) 4 E) 12

17. Calcule la medida del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles; si una diagonales el doble de la base media.

A) 60º B) 45º C) 30º
D) 53º E) 37º

18. Calcule la longitud de la base media de un trapecio isósceles, si las diagonales forman 106º y tienen por longitud 5m c/u.

A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 5

19. En un cuadrado ABCD, de lado 6, en y se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que CM=MD. Si la . Calcule MN.

A) 3 B)4 C)
D) E) 5

20. Un trapecio rectángulo ABCD, es recto en A y B. Si:
y BC =b. Calcule AC.

A) a+b B) C) 2a-b
D) a-b E) 2a+b

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