PRISMA Y PIRAMIDE EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO PREUNIVERSITARIA EN PDF

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PRISMA
Es el sólido geométrico que tiene por bases polígonos paralelos e iguales y por caras laterales paralelogramos.

CLASIFICACIÓN

I. Los prismas se clasifican según sus bases en:
a) Prisma triangular, si su base es un triángulo.
b) Prisma cuadrangular, si su base es un cuadrilátero.
c) Prisma pentagonal, si su base es un pentágono.

II. PRIMA RECTO.
Es aquel prisma que tiene sus aristas laterales perpendiculares a las bases; sus caras laterales son rectángulos; arista lateral igual a la altura del prisma.
AL = Area Lateral
2pB = Perímetro de la base
SB = Area de la base

AL = (2pB) (h)

h = Altura
AT = Area total

AT = AL + 2SB

Volumen = SB . h

III. PRISMA REGULAR
Es un prisma recto, cuyas bases son polígonos regulares.

IV. PRISMA OBLICUO
Es aquel prisma cuyas aristas laterales son oblicuas a las bases, sus caras laterales son paralelogramos (romboides), la altura es menor que la arista lateral.
Sección Recta del Prisma (SR)
Es la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales.

SR = Área de la sección recta.
2pSR = Perímetro de la sección recta.

AL = (2pSR) (aL)

aL = Arista lateral

AT = AL + 2SB

Volumen = SB.h Volumen = SR . aL

V. PARALELEPÍPEDOS
Son prismas cuyas caras son todos paralelogramos.

Clasificación:
a) Paralelepípedo Rectangular
Es un prisma, llamado también caja rectangular, ortoedro o rectoedro. Todas sus caras son rectángulos.

Volumen = abc

AL = 2ac + 2bc

AT = AL + 2SB

AT = 2ac + 2bc + 2ab

D² = a² + b² + c²

Nota:
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ac+2bc+2ab

Suma de las ²
3 dimensiones = D² + AT

b) CUBO O HEXAEDRO REGULAR
Es paralelepípedo en el cual todas sus caras son cuadrados.

Volumen = a3

AL = 4a²

AT = 6a²

D = a

c) ROMBOEDRO
Es un paralelepípedo oblicuo. Todas sus caras son rombos.

TRONCO DE UN PRISMA TRIANGULAR RECTO
Es el sólido que se determina al interceptar a una prima recto con un plano no paralelo a su base.

Volumen = SB

AT = AL + SB + S1

TRONCO DE UN PRISMA RECTANGULAR OBLICUO
Es el sólido que se determina al interceptar a un prisma oblicuo con un plano no paralelo a su base.

AT = AL + SB + S1

Volumen = SR

Volumen = SB

PIRÁMIDE
Es el sólido geométrico que tiene como base un polígono que tienen un vértice común que viene a ser el vértice de la pirámide y los otros dos vértices de cada triángulos coincide con los vértices de la base respectivamente.

Clasificación:
I. Por el número de lados de su base en:
a) Pirámide triangular, si su base es un triángulo, llamado también tetraedro.
b) Pirámide cuadrangular, si su base es un cuadrilátero.
c) Pirámide pentagonal, si su base es un pentágono, etc.

II. PIRÁMIDE REGULAR.
Es una pirámide cuya base es un polígono regular, sus caras laterales son triángulo isósceles iguales. El pie de la altura coincide con el centro de la base.
APOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR: Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista básica.

Ap = Apotema de la Pirámide
ap = Apotema de la base.

Ap² = h² + ap² aL² = h² + R²

R = Radio de la circunferencia circunscrista a la base.

AL = Semiperímetro de la base x Ap

AT = AL + SB

Volumen =

III. PIRAMIDE IRREGULAR:
Es aquella que no cumple con las condiciones de la pirámide regular.
TEOREMA
Si se corta una pirámide cualquiera por un plano paralelo a la base se obtiene una pirámide parcial semejante a la pirámide total.
Propiedades
1) Si dos pirámides son semejantes, las áreas de sus bases son proporcionales a los cuadrados de sus dimensiones homólogas.
2) Los volúmenes de dos pirámides semejantes, son proporcionales a los cubos de sus dimensiones homólogas.

Pirámide S-DEF  Pirámide S – ABC

TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Es el sólido que se determina al interceptar a una pirámide regular con un plano paralelo a su base. Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales.
Apotema del Tronco de Pirámide Regular: Es el segmento que une los puntos medios de las bases de una cara lateral.

AL = (pb + pB) Ap

AT = AL + Sb + SB

pb y pB: Semiperímetro de bases.

Volumen =

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Hallar el número de caras de un prisma que tiene 360 aristas

a) 120 b) 121 c) 122
d) 123 e) 124

Resolución
C : Número de Caras del
prima
x : Número de Caras
laterales

C = x+2  C= 120+2

C = 122 Rpta. c

2. Hallar el número de vértices de un prisma que tiene 120 aristas.
a) 80 b) 81 c) 82
d) 83 e) 84
Resolución
V : Número de vértices del prisma
X : Número de caras laterales
X =  x = 40
V = 2x  V = 2(40)

V = 80 Rpta. a
3. Hallar la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un prisma que tiene “A” aristas

a) 120º (A-2) b) 180º (A-2)
c) 360º (A-2) d) 240º (A-3)
e) 240º (A-2)
Resolución
X : Número de caras laterales
S: Suma de las medidas de los ángulos de todas las caras del prisma.
1) S = 2 [180º(x-2)]+360ºx ..(1)
2) x = ….(2)
3) Reemplazando (2) a (1)
S = 360º
S = 120ºA – 720 + 120ºA
S = 240º A – 720º

S = 240º(A-3) Rpta. d

4. La distancia de un vértice al centro de la cara opuesta de un cubo es . Calcular el área total.
a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 28 Resolución

1) 2x = a
x= …(1)
2) Pitágoras a2+x2= 2 …(2)
3) Reemplazando (1) en (2)
a2 + = 6
a2 = 4
4) AT: Area Total
AT = 6a2
AT = 6(4)
AT = 24 Rpta. d

5. Calcular el volumen de un hexaedro regular cuya diagonal mide 20 cm.
a) 80 cm3 b) 800 cm3
c) 400 cm3 d) 80 dm3
e) 8 dm3
Resolución

1) Dato D = 20 cm…(1)
2) Formula D = a …(2)
3) Igualando (2)=(1)
a = 20 cm
a = 20cm
a = 2dm
4) Volumen = a3
Volumen = (2dm)3
Volumen = 8dm3 Rpta. e
6. Calcular el volumen de una pirámide regular, si su apotema mide 15 y la arista de la base mide 18
a) 314 b) 628 c)972 d) 916 e) 428

Resolución

1) Pitágoras
h2+92 =152
h = 12…(1)
2) Volumen = ..(2)
3) B : Area de la base

B = 243 ..(3)
4) Reemplazando (1) y (3) en (2)
Volumen
Volumen = 972 Rpta. c

7. El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 74cm3. Si su altura mide 6cm y el área de una de sus bases es 16cm²? ¿Cuál es el área de la otra Base?
a) 3cm2 b) 6cm2 c) 8cm2
d) 9cm2 e) 4cm2
Resolución
Volumen =
74 =
37 = 16 + b+4

37 = 16 + x2 + 4x
x2 + 4x – 21 = 0
(x + 7) (x – 3) = 0
x = 3

b =32 = 9 Rpta. d

8. Calcular el volumen de un prisma triangular oblicuo. Si el área de una cara lateral es 30 y la distancia de la arista lateral opuesta a dicha cara es 5.

a) 100 b) 125 c) 90
d) 80 e) 75
Resolución
El volumen del prisma triangular oblicuo vale la mitad del paralele-pípedo.

Volumen =
Volumen = 75 Rpta. e

EJERCICIOS

1. En un prisma recto triangular ABC – A´B´C´, MB´= 5, AB = BC = 6, mABC = 120°. Calcular el volumen del prisma si “M” es punto medio de AC.
A)12 B)24 C)24
D)36 E)18

2. Calcular el volumen de un prisma recto ABCD – A´B´C´D´ cuya base ABCD es un trapecio isósceles, sabiendo que AA´ = AD = 2BC = 12 y AB = 5. Las bases son AD y BC y AD BC.

A) 432 B)156 C) 312
D) 104 E) 300

3. En un recipiente cúbico que contiene 35m3 de agua se introduce un cubo macizo de modo que el agua se eleva hasta alcanzar el nivel del recipiente. Si la arista del cubo macizo es la mitad de la arista del recipiente, calcular el volumen del recipiente.
A) 20m3 B) 40 m3 C)60 m3
D) 80 m3 E) 100 m3

4. La base de un prisma triangular regular es inscriptible en una circunferencia de radio igual a 83 cm. Si la altura del prisma es el doble del apotema de la base. Hallar el área lateral del sólido.
A) 576 B) 192 C) 576
D) 288 E) 288

5. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 3m. Hallar el volumen del prisma.
A) /2 B) 2 /3 C) 2
D) 3 /2 E) 3

6. Calcular el volumen de un prisma regular cuadrangular ABCD – EFGH, si el área de la base es 4m2 y m EBH = 30°.
A) 16m3 B) 6 m3 C)8 m3
D) 4 m3 E) 5 m3

7. Calcular el volumen de un prisma regular de base pentagonal si se sabe que el apotema de la base mide 4u y el área de una cara lateral es 16 u2.

A) 80u3 B)120u3 C)140u3
D) 160u3 E) 180u3

8. La arista lateral de un paralelepípedo rectangular mide 4cm y las otras dos medidas están en la relación de 1 a 3. Si el área total es 88cm2. Calcular el volumen del paralelepípedo.
A) 32cm3 B) 60cm3 C)36cm3
D) 24cm3 E) 48cm3

9. La base de un prisma recto es un rombo de área S. Las áreas de las secciones diagonales son iguales a S1 y S2. Haller el volumen del prisma.
A) B) C)
D) E)

10. Calcular el volumen de un rectoedro, sí su diagonal mide 10 y forma un ángulo de 45° con la base y un ángulo de 30° con una cara lateral.

A) 120 B) 120 C) 125
D) 100 E) 125 .

11. En una pirámide triangular, su apotema mide 16 y sus aristas laterales miden 20. Halle el área lateral de dicha pirámide.
A) 570 B) 600 C) 576
D) 610 E) 616

12. Si una pirámide posee 242 aristas. Calcular su cantidad de vértices y su cantidad de caras.
A) 120 ; 120 B) 122 ; 122
C) 124 ; 121 D) 118 ; 126
E) 126 ; 118

PRISMAS Y PIRÁMIDE

1. Calcule el número de caras de un prisma donde el número de vértices más el número de aristas es 50.

A) 10 B) 20 C) 30 D) 12 E) 18

RESOLUCIÓN
Sea “n” el número de lados de la base del prisma:
C: Números de caras del prima
V: Número de vértices
A: Número de aristas

Piden:C = n + 2
Dato:V + A = 50
2 n + 3 n = 50
n = 10
C = 10 + 2 = 12
RPTA.: D

2. Calcule el volumen de un prisma hexagonal regular cuyas caras laterales son regiones cuadradas.
El área lateral del prisma es 864

A) 2 592
B) 2 590
C) 3 024
D)
E)

RESOLUCIÓN

Piden:

Dato:

a =12

RPTA.: D

3. Calcule el área lateral de un prisma regular cuadrangular, si su arista básica mide 2m y su arista lateral 8m.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Piden:
Dato:
RPTA.: A

4. Se tiene un prisma cuya altura es congruente con la arista básica. Calcule el número de lados de la base del prisma, si su área total y lateral están en la relación de 3 a 2.

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8

RESOLUCIÓN

Piden: “n”
Dato:

 a = 2 m

n = 4

RPTA.: B

5. Desde un vértice de la base de un prisma regular cuadrangular, se trazan: la diagonal del sólido y la diagonal de la base, las cuales forman 45°. Si el área de la superficie lateral del sólido es , calcule su volumen.

A) B)
C) D)
E)

RESOLUCIÓN

Piden:
Dato:

 a = 2

RPTA.: E

6. Calcule el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 y sus dimensiones suman 82.
A) 4 000 B) 4 224
C) 4 424 D) 4 624
E) 4 864
RESOLUCIÓN

Piden: ………..(I)
Dato: ……………………………(II)
a + b +c = 82………………………..(III)
Elevamos

RPTA.: B

7. Calcule el volumen de un prisma regular octagonal, sabiendo que el área de una de sus caras laterales es 50 y el apotema de su base mide 4.

A) 500 B) 600 C) 700 D) 800 E) 900

RESOLUCIÓN

Piden:
…………………………………..(I)
Dato: Área de una cara = 50

ah =50
En (I)

RPTA.: D

8. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular cuadrangular, es una región cuadrada inscrita en una circunferencia cuyo radio mide . Calcular el volumen del prisma.

A) B) C) 2
D) E) 4

RESOLUCIÓN

Piden: ……………………..(I)
Dato: r = 2
 h = 2
4 a = 2 
En (I)

RPTA.: A

9. La base de un prisma recto es una región limitada por un rombo de área ; las áreas de las secciones diagonales son iguales a y . Calcule el volumen del prisma.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Piden: …………………..(I)
Dato:
Dato:

 h = 6
En (I)

RPTA.: E

10. Calcule el área lateral de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regular de de área. La altura del prisma mide y las aristas laterales forman ángulos de 60° con la base.

A) 300 B) 384 C) 328
D) 382 E) 381

RESOLUCIÓN

Piden: …………….…(I)
Dato:
 b = 4

Notable: a =16

En (I)
RPTA.: B

11. Calcule el volumen de un tetraedro regular de arista

A) B) C)
D) E)

RESOLUCIÓN

Piden: ….(I)
EN LA BASE:

TEOREMA DE PITÁGORAS:

 h = 2
En (I)


RPTA.: C

12. Calcule el volumen de un octaedro regular de arista

A) 32 B) C) 16
D) E) 18

RESOLUCIÓN

Piden: …………(I)
Diagonal:

 h = 2

En (I)

RPTA.: D

13. Calcule el volumen del sólido cuyos vértices son los centros de las caras de un prisma recto triangular de volumen

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Piden: ………………….(I)
Dato:

En (I)
RPTA.: E

14. En el interior y exterior de un cubo ABCD – EFGH, se ubican los punto M y N, de modo que: M – ABCD – N es un octaedro regular cuya área de su superficie es ; calcule la diferencia de volúmenes del cubo y octaedro regular.

A) B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

Se observa: es diagonal del octaedro y diagonal del cuadrado ABCD.
AM = AB = a
Dato:
 a = 3
Piden:

RPTA.: C

15. Calcule el número de arista de una pirámide donde la suma del número de caras con el número de vértice es 16.
A) 7 B) 21 C) 12
D) 14 E) 16
RESOLUCIÓN
Sea: “n” el número de lados de la base de la pirámide.
Piden: A =2 n ……..…………………(I)
Dato: C + V = 16

n +1 + n + 1 = 16
n = 7

En (I) A = 14
RPTA.: D

16. Calcule el volumen de una pirámide regular cuadrangular si su apotema mide 5 y la apotema de la base mide 3

A) 40 B) 48 C) 36
D) 60 E) 50

RESOLUCIÓN

Pide:

 V = 48
RPTA.: B

17. Calcule el área total del sólido que resulta al unir los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular, sabiendo que el área total del tetraedro es 18.

A) 6 B) 9 C) 3 D) 18 E) 4,5

RESOLUCIÓN

Pide: Área sólido= 4 A + 4 A =?
* 4A: Ubicados en las caras del tetraedro.
* 4A: Ubicados en el interior del tetraedro.

Dato:

RPTA.: B

18. En una pirámide regular triangular, el perímetro de su base es 30 y su altura mide ; calcule su volumen.

A) 15 B) 45 C) 65 D) 75 E) 80

RESOLUCIÓN

Piden:


RPTA.: D

19. Se tiene un foco a 12 m. de altura con respecto al suelo. ¿A qué distancia del suelo se tiene que colocar una plancha rectangular de 8 cm. por 4 cm. para que proyecte una sombra de ?

A) 8 m B) 6 m C) 4 m D) 5 m E) 2 m

RESOLUCIÓN

Piden: x = ?

Propiedad:

 x = 8
RPTA.: A

20. En una pirámide de vértice “V” y arista lateral VA se trazan 2 planos paralelos a la base de la pirámide que intersectan a en M y N (M en ). Calcule el volumen de sólido determinado por los planos en la pirámide, si el volumen de la pirámide es “K” y

A) B) C) 6 k
D) 2 k E)

RESOLUCIÓN

Dato:
Volumen Pirámide=
Piden:

RPTA.: A

PRISMAS Y PIRÁMIDE

1. Calcule el número de caras de un prisma donde el número de vértices más el número de aristas es 50.

A) 10 B) 20 C) 30
D) 12 E) 18

2. Calcule el volumen de un prisma hexagonal regular cuyas caras laterales son regiones cuadradas.
El área lateral del prisma es 864

A) 2 592
B) 2 590
C) 3 024
D)
E)

3. Calcule el área lateral de un prisma regular cuadrangular, si su arista básica mide 2m y su arista lateral 8m.

A) B) C) D) E)

4. Se tiene un prisma cuya altura es congruente con la arista básica. Calcule el número de lados de la base del prisma, si su área total y lateral están en la relación de 3 a 2.

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8

5. Desde un vértice de la base de un prisma regular cuadrangular, se trazan: la diagonal del sólido y la diagonal de la base, las cuales forman 45°. Si el área de la superficie lateral del sólido es , calcule su volumen.

A) B)
C) D)
E)

6. Calcule el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 y sus dimensiones suman 82.

A) 4 000 B) 4 224
C) 4 424 D) 4 624
E) 4 864

7. Calcule el volumen de un prisma regular octagonal, sabiendo que el área de una de sus caras laterales es 50 y el apotema de su base mide 4.

A) 500 B) 600 C) 700 D) 800 E) 900

8. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular cuadrangular, es una región cuadrada inscrita en una circunferencia cuyo radio mide . Calcular el volumen del prisma.

A) B) C) 2
D) E) 4

9. La base de un prisma recto es una región limitada por un rombo de área ; las áreas de las secciones diagonales son iguales a y . Calcule el volumen del prisma.

A) B) C) D) E)

10. Calcule el área lateral de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regular de de área. La altura del prisma mide y las aristas laterales forman ángulos de 60° con la base.

A) 300 B) 384 C) 328
D) 382 E) 381

11. Calcule el volumen de un tetraedro regular de arista

A) B) C)
D) E)

12. Calcule el volumen de un octaedro regular de arista

A) 32 B) C) 16
D) E) 18

13. Calcule el volumen del sólido cuyos vértices son los centros de las caras de un prisma recto triangular de volumen

A) B) C) D) E)

14. En el interior y exterior de un cubo ABCD – EFGH, se ubican los punto M y N, de modo que: M – ABCD – N es un octaedro regular cuya área de su superficie es ; calcule la diferencia de volúmenes del cubo y octaedro regular.

A) B)
C) D) E)

15. Calcule el número de arista de una pirámide donde la suma del número de caras con el número de vértice es 16.

A) 7 B) 21 C) 12
D) 14 E) 16

16. Calcule el volumen de una pirámide regular cuadrangular si su apotema mide 5 y la apotema de la base mide 3

A) 40 B) 48 C) 36
D) 60 E) 50

17. Calcule el área total del sólido que resulta al unir los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular, sabiendo que el área total del tetraedro es 18.

A) 6 B) 9 C) 3 D) 18 E) 4,5

18. En una pirámide regular triangular, el perímetro de su base es 30 y su altura mide ; calcule su volumen.

A) 15 B) 45 C) 65
D) 75 E) 80

19. Se tiene un foco a 12 m. de altura con respecto al suelo. ¿A qué distancia del suelo se tiene que colocar una plancha rectangular de 8 cm. por 4 cm. para que proyecte una sombra de ?

A) 8 m B) 6 m C) 4 m
D) 5 m E) 2 m

20. En una pirámide de vértice “V” y arista lateral VA se trazan 2 planos paralelos a la base de la pirámide que intersectan a en M y N (M en ). Calcule el volumen de sólido determinado por los planos en la pirámide, si el volumen de la pirámide es “K” y

A) B) C) 6 k
D) 2 k E)

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RECTAS , PLANOS , DIEDROS , TRIEDROS Y POLIEDROS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO PREUNIVERSITARIA EN PDF