PROPIEDADES EN LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias de centro O1 y O2 en un mismo plano y de radios R y r respectivamente, pueden tener las siguientes proposiciones.

1 Circunferencias Exteriores:
Si la distancia entre los centros es mayor que la suma de sus radios.

d > R + r

2. Circunferencias tangentes exteriores
Es la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

d = R + r

T : Punto de Tangencia

• El segmento que une los centros pasa por el punto de tangencia.
• La recta tangente común interior a ambas circunferencias es perpendicular al segmento que une sus centros.

3. Circunferencias Secantes
Su la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios y mayor que su diferencia.

d = O1 O2

R – r < d < R + r

Existencia del triángulo

• Tiene dos puntos comunes (A y B)
• La cuerda común AB es perpendicular al segmento que une los centros

4. Circunferencias Ortogonales
Si el cuadrado de la distancia entre los centros es igual a la suma de los cuadrados de los radios.

d² = R² + r²

m01BO2 = 90º

L1 : Recta tangente a la circunferencia de centro O2 en el punto B
L2 : Recta tangente a la circunferencia de centro O1 en el punto B

5. Circunferencias tangentes interiores
Si la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

L : Tangente común

d = R – r

T : Punto de Tangencia

* La recta que pasa por los centros, también pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente común.

6. Circunferencias Interiores
Si la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

d + r < R

d < R – r

• Los puntos de una de ellas (circunferencia de centro O2) son interiores a la otra. (Circunferencia de centro O1)

7. Circunferencias concéntricas
Si la distancia entre los centros es cero, es decir, sus centros coinciden. (Tienen el mismo centro).

M : Punto de tangencia

OMB : PITÁGORAS

= R² – r²

AB = 2

TEOREMAS RELACIONADOS A LA CIRCUNFERENCIA
1. Circunferencia Inscrita
Se dice que una circunferencia está inscrita en un polígono, si se encuentra en el interior de éste y sus lados son tangentes a dicha circunferencia. A su radio se le llama INRADIO.

• r : INRADIO

• ABC : Triángulo

circunscrito

• ABCD : Cuadrilátero
circunscrito

• La circunferencia es inscrita

2. Circunferencia Circunscrita
Es aquella circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono. A su radio se le llama CIRCUNRADIO.

• R : Circunradio
• O : Circuncentro
• ABC : Triángulo inscrito
• ABCD : Cuadrilátero inscrito
• La circunferencia es circunscrita.

3. Circunferencia Exinscrita
Se dice que una circunferencia es exinscrita a un triángulo, si se encuentra en el exterior de dicho triángulo y es tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados. A su radio se le llama EXRADIO.

F, T y E: Son puntos de tangencia.

• ra : Exradio Relativo al lado BC
• ABC : Triángulo exinscrito
• En todo triángulo, hay tres circunferencias exinscritas.

TEOREMAS DE TANGENTE
1. Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes.

PA = PB

Demostración:

OAP  OBP (4º caso)

PA = PB l.q.q.d.

2. Los tangentes interiores comunes a dos circunferencias exteriores son congruentes y la recta que pasa por los centros también pasa por el punto de intersección de dichas tangentes.

AB = CD

Demostración

1) PA = PD
2) PB = PC

Sumando:
PA+PB=PD + PC AB = CD l.q.q.d.

3. Los tangentes exteriores comunes a dos circunferencias son congruentes y su punto de intersección se halla sobre la recta que pasa por los centros.

AB = CD

Demostración

1) PA = PD
2) PB = PC
Restando
PA – PB = PD – PC

AB = CD lqqd.

TEOREMA DE PITOT
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia o circunscriptible, se cumple que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.

AB + CD = BC + AD

Demostración

AB = x + n
CD = y + m

Sumando:
AB + CD = x + y + n + m

AB + CD = BC + AD lqqd

GENERALIZANDO:
En todo polígono circunscrito con un número par de lados, la suma de los lados no consecutivos es igual a la suma del resto de lados.

TEOREMA DE STEINER

En todo cuadrilátero exinscrito o exinscriptible la diferencia de las medidas de dos lados opuestos es igual a la diferencia de las medidas de los otros dos lados.

AB – CD = AD – BC

Demostración

1) AM = AN
AB + BP = AD + DR
AB + BC + x = AD + CD + x

AB – CD = AD – BC l.q.q.d.

TEOREMA DE PONCELET

En todo triángulo rectángulo la suma de las medidas de los catetos es igual a la medida de la hipotenusa mas la medida del diámetro de la circunferencia inscrita.

AB + BC = AC + 2r

r : Inradio

Demostración
AB = m + r
BC = n + r
Sumando:
AB + BC = m + n + 2 r

l.q.q.d. AB + BC = AC + 2r

PROPIEDADES

1. En todo triángulo circunscrito se cumple:

x = p – AC
y = p – BC
z = p – AB

Demostración

1) 2x + 2y + 2z = perímetro (ABC)

2) mitad x + y + z = p

x + AC = p

x = p – AC lqqd

2. En todo triángulo ex-inscrito se cumple:

AP = AQ = p

p : Semiperímetro del  ABC

Demostración
Perímetro (ABC) = AB + BC + AC
= AB + x + y + AC

= AP + AP
Perímetro (ABC) = 2AP

Mitad
p = AP lqqd

3. Circunferencias exinscritas relativas al lado AB y al lado BC, cumple:

FA = CE

Demostración

1) FA + AC = semiperímetro (ABC)
2) AC + CE = semiperímetro (ABC)
3) Igualando
FA + AC + AC + CE

FA = CE lqqd

4. Circunferencia exinscrita relativa al lado AB y circunferencia inscrita, cumple:

x = y

PA = AF = x
BE =BG = y

Demostración
PC = DC
x + x + a + b = a + y + y + b
2x = 2y

Mitad x = y L.q.q.d.

5. La suma de las medidas de los radios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo, es igual a la medida de la hipotenusa.
Recomendaciones para resolver problemas de ángulos en la circunferencia

1. Se tiene dos circunferencias tangentes interiormente o tangentes exteriormente, por lo general los datos están en una circunferencia y la incógnita está en la otra, trace en estos casos por el punto de contacto una tangente común.

TANGENTE COMÚN

2. Debemos tener en cuenta que la medida del ángulo semi-inscrito es igual a la medida del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.

mACB = mABD

3. Debemos tener en cuenta que la medida del ángulo adyacente a un ángulo circunscrito es igual a la medida del arco que subtiende los lados de este último.

 = mAC

Demostración

 : ángulo circunscrito
 +  = 180º
mAC +  = 180º
Igualando:

 = mAC lqqd

CUADRILÁTERO INSCRITO
Es aquel cuadrilátero que tienen sus cuatro vértices en una misma circunferencia.

CASO I CASO II CASO III

 +  = 180º  =   = 

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

Es aquel cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia, para ello debe cumplir cualquiera de los casos de cuadrilátero inscrito o de la propiedad, sin que se dibuje la circunferencia. Ejemplo: El rectángulo, el cuadrado, el trapecio isósceles.

AB  BC

RECTAS ANTIPARALELAS

Dos rectas son antiparalelas con respecto a los lados de un ángulo, cuando forman con los lados del ángulo, un cuadrilátero inscriptible.

ABCD: Cuadrilátero
inscriptible

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Sobre la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo ABC se construye exteriormente el cuadrado ACEF de centro O. Calcular la medida del ángulo OBC.
a) 30º b) 36º c) 45º
d) 53º e) 60º
Resolución

El cuadrilátero ABCO es inscriptible ya que: mABC + mAOC = 180º
Entonces:

X = 45º =

Rpta. C

2. En la figura, calcular el producto X.Y; si AB = 13, BC = 15, AC=14, AQ = X, QC = Y

a) 49
b) 30
c) 42
d) 56
e) 64

Resolución:

x

1. Propiedad:
FB = EB = semiperímetro (ABC)
FB = EB = 21

2. 13 + x = 21
x = 8

3. 15 + y = 21
y = 6

4. El Producto x . y = 48 Rpta

3. En la figura mostrada. Hallar la medida del segmento PQ. Si ABCD es un cuadrilátero, además: AB + CD = 24 cm,
BC + AD = 40 cm

a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cm
d) 12 cm d) 16 cm

Resolución
Incognita: PQ
Dato: AB + CD = 24
BC + AD = 40

1. PITOT AB + PQ = BP + AQ
2. PITOT CD + PQ = PC + QD
Suma AB+CD+2PQ=BC+AD

24 + 2PQ = 40

PQ =

PQ = 8 Rpta.

EJERCICIOS
1. La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo miden 30 y 24. Hallar el radio de la circunferencia Ex – inscrita al otro cateto.
A) 10 B) 9 C) 7
D) 12 E) 8

2. En la figura hallar “x” si “O” es centro.

A) 30º B) 37º C) 45º
D) 53º E) 60º
3. En la figura mostrada, Hallar “x” (P y Q son puntos de tangencia)

Q

P

A) 30º B) 50º C) 70º
D) 80º E) 85º

4. En la semicircunferencia hallar m AT. Si “O” es centro.

A) 40º B) 20º C) 45º
D) 60º E) 80º

5. En el gráfico mostrado hallar m FBE si m EBD = 30º.

A) 15º B) 20º C) 25º
D) 30º E) 60º

6. Según el gráfico. Hallar “x”.

A) 60º B) 70º C) 80º
D) 90º E) 100º

7. Si AB = BC. Hallar “x”

A) 10°
B) 20°
C) 30°
D) 40°
E) 60°

8. Si La mediana de un trapecio circunscrito mide 9u. Calcular su perímetro.
A) 18 B) 36 C) 27
D) 45 E) 24

9. En un triángulo ABC, recto en B se traza la altura BH y las bisectrices BM y BN de los ángulos ABH y CBH respectivamente. Si MN = 4. Calcular la longitud del inradio del triángulo ABS
A) 4 B) 2 C) 8
D) 1 E) 12

10.La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC recto en B, en donde BC  AB, es tangente en N a AB y en P a BC. Exteriormente se construye el trapezoide BCED en el cuál la circunferencia inscrita es tangente en M a BD y en Q a BC. Hallar PQ si ED = 5, AC = CE y DM + AN = 3
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3

11. Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de perímetro 30, si el radio de la circunferencia inscrita a dicho triángulo mide 2.
A) 10 B) 15 C) 13
D) 17 E) 20

12. De acuerdo al gráfico AB = BC. Calcule EM, si NC = 8cm. (A y D son puntos de tangencia).

A) 4cm
B) 6cm
C) 8cm
D) cm
E) cm

13.Dado un trapecio isósceles ABCD ( // ) circunscrito a una circunferencia de centro O. La prolongación de interseca a en P. Si AP=2PD, calcular m< BAD.
A) 45 B) 60 C)75
D) 63,5 E) 72,5

14. Si, la suma de las medidas de los arcos AB y CD es igual a 160. Calcule el valor de x. (A, B, C y D son puntos de tangencia).

A) 40
B) 50
C) 70
D) 80
E)90
CIRCUNFERENCIA

1. En un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 37° y 53°. Calcule la relación entre las medidas inradio y el circunradio.

A) 2/5 B) 1/5 C)3/10 D) 3/5 E) 2/7

2. En un triángulo rectángulo las medidas del inradio y el circunradio están en la relación de 1 a 3. Calcule la longitud del inradio si el perímetro del triángulo es 42.

A) 2 B) 2 C) 3
D) 3 E) 6

3. En un rectángulo ABCD se traza la bisectriz del ángulo B, interceptando en “E” a . Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero BEDC, si ésta determina el punto “N” en y BN – NE = 16.

A) 16 B) 12 C) 10
D) 8 E) 4

4. En un paralelogramo ABCD se traza la altura BH (H en ). Si la longitud del inradio del triángulo ABH es igual a r y el cuadrilátero HBCD es circunscriptible a una circunferencia de radio cuya longitud es R, calcule HD.

A) B) C)
D) E)

5. En una circunferencia de centro “O” se ubican los puntos A, B y C de modo que es diámetro y º. En y en la prolongación de se ubica los puntos P y S respectivamente. Siendo m

A) 30º B) 45º C) 60º
D) 37º E) 20º

6. Desde el punto C exterior a la circunferencia de diámetro AB se traza la tangente CT (T en el arco AB) y (H en ) siendo , calcule la .

A) 53º B) 37º C) 30º
D) 60º E) 45º
7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) de incentro “I”, AI = 1 e IC = . Se traza la perpendicular CH a la prolongación de AI; calcule la longitud del inradio del triángulo rectángulo AHC.
A) 3 B) 5 C)4
D) 2 E) 1

8. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC recto en B, (BC  AB), es tangente en N a y en P a . Exteriormente se construye el trapezoide BCED en el cuál la circunferencia inscrita es tangente en M a y en Q a . Calcule PQ si ED = 5, AC = CE y DM + AN = 3.

A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3

9. La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a 8u. Calcule la suma de las longitudes de su inradio y de su exradio relativo a la hipotenusa.

A) 8u B) 12u C) 4u
D) 16u E) 6u

10. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 24 cm. Calcule la distancia del incentro al circuncentro.

A) cm B) cm C) cm D) cm
E) 3 cm

11. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. Las circunferencias inscritas en los triángulos ABM y BMC determinan los puntos de tangencia P y Q sobre . Calcule PQ si BC – AB = 12.

A) 10 B) 8 C) 6
D) 4 E) 3

12. De la figura calcule UN-CP; Si QT = 3 y el perímetro de la región UNC es igual al de la región QUCP (T Punto de tangencia).

A) 3 B) 6 C) 9
D) 5 E) 2

13. En un rectángulo ABCD en se ubica el punto P de modo que la siendo AB = 10, calcule la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos ABP, APD y PCD.

A) 2,5 B) 5 C) 10
D) 15 E) 20

14. En una circunferencia se ubica los puntos A, B, C y D de modo que Si el inradio del triángulo BPC mide 1 cm, cm y calcule BP.

A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm
D) 5 cm E) 8 cm

15. En un triángulo ABC, la mediatriz de intersecta a Y en M y N respectivamente; luego se traza la altura AH (H en ). Si y . Calcule .

A) 10º B) 20º C) 15º
D) 18º E) 12º

16. En un cuadrado ABCD de centro “O”. en la región exterior relativa al lado AB se ubica el punto Q de modo que la luego se traza . Siendo , calcule la

A) 30º B) 15º C) 16º
D) 26,5º E) 18,5º

17. Una circunferencia se encuentra inscrita en un trapecio ABCD cuyo perímetro es 20 m. Calcule la longitud de la base media de dicho trapecio.

A) 2,5 B) 5 C) 7,5
D) 10 E) 12

18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, T es el punto de contacto entre y la circunferencia inscrita. P es el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita. La medida del ángulo PTC es:

A) 30 B) 45 C) 60
D) 63,5 E) 71,5

19. Calcule “x” en el gráfico

A) 15° B) 84° C) 63°
D) 60° E) 75°

20. En un triángulo ABC mBAC= 60 y BC = 6u. Calcule la distancia del incentro al excentro relativo a .