PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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CONCEPTO DE PROPORCIONALIDAD:
Relativo a proporción.

RAZÓN GEOMÉTRICA
Dado dos números racionales a y b diferentes de cero, la razón geométrica entre estos dos números es el cociente a/b.

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Si a/b y c/d son dos razones iguales, la proporción geométrica es a/b = c/d, se lee “a es a b como c es a d”.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
Dada la proporción a/b = c/d se cumple:

1. a.d = c.b
2. (a+c)/(b+d)=a/b;(a-c)/(b-d)=a/b
3. (a-b)/b=(c-d)/d; (a+b)/b=(c+d)/d

PROPORCIONALIDAD ENTRE
LONGITUDES DE SEGMENTOS
Sean los segmentos de longitudes:

a = 2u
a

b = 3u

c = 4u

d = 6u

Luego a/b = c/d Proporción

PARALELAS EQUIDISTANTES

Si sobre una recta se toman puntos equidistantes y por ellas se trazan paralelas, cualquier recta secante que intercepte a dichas paralelas quedará dividida en partes iguales.

TEOREMA DE THALES
Tres o más rectas paralelas al ser interceptados por dos o más rectas secantes determinan segmentos proporcionales.

COROLARIO DE THALES
Toda paralela a un lado de un triángulo que intercepta a los otros dos lados, lo divide en partes directamente proporcionales.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ
Bisectriz interior

(I)

Bisectriz exterior BF

(II)

TEOREMA DEL INCENTRO

I : Incentro

CALCULO DE LA BISECTRIZ A LA HIPOTENUSA

Bisectriz interior: BD = X

Bisectriz exterior: BF = X

TEOREMA DE MENELAO

a.b.c = d.e.f

TEOREMA DE CEVA

a.b.c = d.e.f

SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Dos triángulos se llaman semejantes cuando sus ángulos miden respectivamente iguales y los lados homólogos proporcionales.

Lados homólogos.- Son lados opuestos a los ángulos respectivamente congruentes.

K : constante de proporcionalidad.

 ABC ~  DEF

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULO

1. CASO AAA.- si dos triángulos tienen 2 ángulos que miden respectivamente iguales.

 ABC ~  DEF

2. CASO LAL.- Si dos triángulos tienen 2 lados proporcionales y los ángulos comprendidos miden iguales

 ABC ~  DEF

3. CASO LLL. Si dos triángulos tienen 3 lados proporcionales (ver figura uno de semejanzas de Triángulo)

HACES ARMONICOS
Se llama haz armónico todo sistema de 4 rectas concurrentes en O (AMBN) que pasan por los puntos A.M.B.N. de una cuaterna armónica

Corolario.- Toda sección rectilínea AMBN de un haz armónico, constituye una cuarterna armónica de puntos.
PROPIEDADES DE SEMEJANZA

1.
x2 = a.b

2.
a2 = c (b+c)

3.
x =

4. ABCD es trapecio,

FO = OE =

FE =

5. x =

POLIGONOS SEMEJANTES

Dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales.
Así, en la figura tenemos:

A  A´ B  B´

C  C´ D  D´

Polígono ABCD  Polígono A´B´C´D´

TEOREMA DE PTOLOMEO
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

AC.BD = a.c + b.d

Demostración:

1.Trazar CE tal que mECD = mACB = 

2.  ACD   BCE

3.  ABC   CED

AC.ED= b.d
Suma AC(BE+ED)= a.c+b.d

l.q.q.d AC BD = a.c + b.d

TEOREMA DE VIETTE
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, la razón de las diagonales es igual a la razón de las sumas de los productos de los lados que concurren a sus extremos.

TEOREMA DE CHADÚ
En un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia, se ubica un punto P sobre el arco BC entonces cumple: la distancia del punto P al vértice A es igual a la suma de las distancias del punto P a los vértices B y C.

PA = PB + PC

Demostración:

Teorema de Ptolomeo

PA .  = PB .  + PC . 

PA = PB + PC

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcular FE. Si: , perímetro del triángulo FBE es igual al perímetro del trapecio AFEC, AB = 10, AC=BC=15.

a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14

Resolución

Incognita FE = x

1. THALES

y = ……… (1)

2) AF = 10-y
EC = 15-x

3) Perímetro (FBE) = Perímetro (AFEC)
2x + y = 10-y + x + 15-x + 15
2x + 2y = 40 ….(2)

4) Reemplazando (1) en (2)

x = 12 Rpta. c

2. Calcular FE, si A,B y E son puntos de tangencia, R = 9, r = 4 (R y r son radios)

a) 36/13 b) 49/13 c) 63/13
d) 72/13 e) 84/13

Resolución

R

Incognita: FE = x

1) THALES:

 X =

X =  X = Rpta.

3. Calcular x

a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) 2

Resolución

1. Trazar

2. THALES

x = 4 Rpta

4. Calcular BE. Si: AF = 3; BF=EC=2; AC = 8, CD = 4

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Resolución

Teorema de Menelao

3 . x . 4 = 2 . 2 . 12

x = 4 Rpta

5. Calcular CF. Si: AD=6; DC=3

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Resolución:

AF = a
BF = d
BE = b
EC = e

MENELAO: a b x = d e (9 + x)

CEVA: a b 3 = d e 6

divido

x = 9 Rpta

6. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se traza la bisectriz interior de A que intercepta a la bisectriz exterior de B en P y a BC en E. Si: BE = 4 y EC = 3. Calcular AC.
a) 4,25 b) 4,75 c) 5,25
d) 5,75 e) 6,25

Resolución

7

1) Dato AB = BC = 7
2) Dato
AB = BP = 7

3) AEC   BEP
  x = 7
  3 4
x = 5,25 Rpta

7. Calcular la altura de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 9 y 16, además, sus diagonales son perpendiculares.
a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 25
Resolución

ABC  BAD

  h = 16
  9 h
h² = 144
h = 12 Rpta.

8. En un triángulo ABC, AB = 4, AC=5 y mA = 2(mC) < 90º.
Calcular BC.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Resolución

EBC   EAB
 x = 4 x = 6 Rpta
 9 x

EJERCICIOS

1. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC corta a BC en P y a la prolongación de AB en Q. Si 2AB = 3BQ y BP = 3.
Calcular PC.
A) 6 B) 7 C)7,5
D) 8 E) 9

2. Si AB = 7 y BC = 9 son los lados de un triángulo ABC, si la bisectriz interior de B determina sobre AC dos segmentos cuya diferencia de longitudes es 1. Hallar AC.
A 10 B) 8 C)8,5
D) 9,5 E) 10,5

3. En la figura AQ = QB, si LT=4; calcule LA. (T y Q son puntos de tangencia)

A)6 B)8 C)10
D)12 E) 9

4. En un triángulo ABC se trazan las cevianas interiores BF y BE tal que los ángulos ABF, FBE y EBC miden 37°, 37° y 53° respectivamente. Calcular EC si AF = 4 y FE = 3.
A) 18 B) 17 C) 14
D) 16 E) 21

5. En un triángulo ABC, donde BC = 2AB, se traza la altura BH, tal que mHBC = 3mABH. Si AH = 2, calcular HC.

A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12

6. En un triángulo ABC, por el punto F de AB se traza FG paralelo a AC ( G en BC) y luego se traza FP paralelo a AG ( P en BG). Calcular CG si BP = 5 y PG = 3.
A) 3 B) 4,2 C)2,4
D) 3,6 E) 4,8

7. En un trapecio ABCD sobre AB y CD se ubican los puntos P y Q respectivamente tal que PQ // BC // AD y 3QD = 5CQ. Hallar PQ si además BC = 2, AD = 10.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 6,5 E) 8

8. En un triángulo ABC se sabe que AC = 12, BC = 10 se traza la bisectríz interior CD y luego DM paralelo a AC (M en BC). Calcular DM.
A) 6 B) 5 C)5,5
D) 6,5 E) 60/11

9. En un triángulo ABC, se traza el paralelogramo AGDC (G es baricentro de la región triangular ABC). M es punto medio de , intersecan a en E y F respectivamente, calcular: .
A) 3/4 B) 2/3 C)3/2
D) 3/5 E) 2/5

10. Calcular NG, si FC=5, ABCD, EGEH son cuadrados y
A) 2
B) 3
C)
D)
E)

11. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y en se ubica al punto E tal que // , calcular BC si: DE=3 y BC=3(AB)
A) 10 B)9 C) 8
D) 12 E)16

12. Se tiene un triángulo ABC en el cual la ceviana interior interseca a la bisectriz BD en N; si BN=ND; BE=4 y EC=12; calcule AB.

A) 8 B) 6 C)
D) E)

13. Se tiene un paralelogramo ABCD tal que un punto de dista de y 2u y 3u respectivamente; si AB=15. Calcule BC

A) 8 B) 10 C) 12
D) E) 16

14. Si: AB=10; BC= 8 y // . Calcule QT (P y T son puntos de tangencia)

A) 8 B) 8,2 C)9,2
D) 9,6 E) 10

15. Se tiene un romboide ABCD; en se ubica al punto M tal que MD = 3(AM); si la distancia de M a es 6; calcule la distancia del punto medio de hacia .

A) 18 B)15 C) 14
D) 20 E) 19

16. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC en el cual se trazan las alturas BP y AL; ; calcule PL si BQ=5 y QP=4.

A) 6 B) C)
D) E)

17. En un rectángulo ABCD en el lado BC se toman los puntos P y Q tal que BP = PQ = QC y en el lado AD se toman los puntos M y N tal que AM = MN = ND. La diagonal AC = 20 es interceptada en F y E por BN y DP. Calcular FE.

A) 5 B) 4 C) 2
D) 6 E) 3

18. En un triángulo ABC, una circunferencia que pasa por B y A corta en G a AC y en F a BC tal que la tangente que pasa por B es paralela a AC. Calcular AB si BF = 9 y FC = 16.

A) 15 B) 12 C) 18
D) 19 E) 16

19. En el cuadrilátero convexo ABCD, la recta que pasa por los puntos medios de AC y BD intercepta a AB y CD en P y Q respectivamente. Si AB = a y CD = b. Hallar BP/QD.

A) a/b B) b/a C) (a+b)/a
D) a/a+b E) b/a+b

1. En la figura calcule z, si:

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

2. En la figura, calcule BF si: , CD=6

A) B) C)
D) E) 12

3. En la figura, calcule AB, si: BD=4 y DC = 5

A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15

4. En la figura, calcule CF, si: AD=3 y DC=2.

A) 5 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12

5. En la figura, calcule CF, si: el triángulo ABC es equilátero, BD=3, AD=5, BE=4.

A) 8 B) 9 C) 10
D) 12 E) 15
6. En un cuadrilátero convexo ABCD, el ángulo externo D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Calcule BD, si AB = 25 y BC = 16.

A) 12 B) 15 C) 18
D) 20 E) 36

7. Calcule AF en la figura, Si: BD = 5 y DF= 4.

A) 5 B) 5,5 C) 6
D) 6,5 E) 8
8. En un triángulo ABC la base AC mide 30 cm. y la altura BH mide 15 cm. Calcule la longitud del lado del cuadrado inscrito en dicho triángulo y que tiene un lado contenido en
A) 15 cm. B) 12 cm.
C) 10 cm. D) 8 cm.
E) 13 cm.

9. En la figura, es paralela a , AB = 18 cm, AC = 27 cm y BC = 36 cm. Calcule AM para que el perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio MNCB.
A) 14,5 cm.
B) 16,2 cm.
C) 12,5 cm.
D) 18,2 cm.
E) 19,2 cm.
10. En la figura, calcule EC, si: BD = 12 y DE = 15

A) 20
B) 22
C) 24
D) 25
E) 27

11. En la figura, calcule AB, si ABCD es cuadrado, BF = 3 y FE = 2.

A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 18
12. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, AB=6, BC=8, se trazan: la mediana BM y la bisectriz interior que se intersectan en P. La prolongación de intersecta a en E; calcule AE.
A) 3 B) 4 C)
D) E)

13. En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y EC= 2

A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 16

14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B cuyo circunradio mide R, el inradio mide r, R=5r, siendo “I” el incentro, se traza cuya prolongación intersecta a en D. Calcule

A) 1,2 B) 1,5 C) 1,6
D) 1,8 E) 2,1

15. Calcule x en la figura.

A) B) 2 C)
D) E) 1

16. En un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia, los lados AD y BC son tangentes a la circunferencia en M y N respectivamente, intersecta a en P, si PC = 10, NC = 8 y AM = 4; calcule AP.

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
17. En un triángulo ABC se inscribe un rombo BFDE, F en AB, D en y E en . Calcule la longitud del lado de dicho rombo, si: AB = 6 y BC = 12

A) 3 B) 4 C) 8
D) 9 E) 10

18. Las medidas de los lados de un triángulo son tres números pares consecutivos además el mayor interno mide el doble de la medida del menor ángulo interno. Calcule la medida del menor lado.

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

19. En la figura, calcule ET, si: DP=3 y PE = 2, D, E y F son puntos de tangencia.

A) 5 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12

20. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, la prolongación de la altura BH intersecta a la bisectriz exterior del ángulo C en el punto P.
Calcule BP, Si: AB = 4, BC = 3 y AC = 5

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8

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