RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS – TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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Teorema de senos y cosenos



1. Ley de Senos
En todo triángulo la longitud de cada lado es D.P. al seno del ángulo que se opone al respectivo lado.

Sea “S” el Area del ABC
S = S =

Igualando áreas: , luego:
COROLARIO DEL TEOREMA DE SENOS

TBA : Sen A =

R = Circunradio
* Observaciones:
a = 2RSenA, b = 2RSenB, c = 2RSenC

2. Ley de Cosenos

a² = b² + c² – 2bc CosA
b² = a² + c² – 2ac CosB
c² = a² + b² – 2ab CosC

Observaciones:
CosA = ,
CosB = ,
CosC =

3. Ley de Tangentes

4. Ley de Proyecciones

a = bCosC + c CosB
b = aCosC + c CosA
c = aCosB + b CosA
* Funciones Trigonométricas de los semiángulos de un  en función de los lados:
Sabemos:
2Sen² = 1 – CosA
2Sen² = 1 –
=
Sen² =

Perímetro
2p = a + b + c
2p – 2c = a + b + c – 2c
 2 (p-c)  a + b – c

También 2(p-b) = a – b + c
Luego:
Sen² =
Por analogía:

 Sen = ; Sen = ; Sen =
También:
Cos = ; Cos ; Cos

Tg = ; Tg ; Tg

Área de la Región Triángular

Donde : R = Circunradio r = Inradio
p = Semiperimetro

Bisectriz Interior:

Bisectriz Exterior:

Inradio:

Exradio:

EJERCICIOS

1. Hallar “ x” si : Ctg θ =

a) 24
b) 30
c) 32
d) 36
e) 42

2. En un triángulo ABC ; B = 60° ; b = ; y c = 3 + . Hallar el ángulo A

a) 25° b) 30° c) 45° d) 15° e) 20°

3. Si los lados b y c de un triángulo miden 31 cm. y cm. respectivamente y el ángulo A = 45°. Hallar el lado “a”.

a) 20° b) 15° c) 28° d) 30° e) 25°

4. El Coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres números enteros y consecutivos es iguales a 1 /5. Hallar el perímetro del triángulo.

a) 15 b) 20 c) 18 d) 21 e) 24

5 En un triángulo ABC simplificar:
M =
a) b + c b) a + c c) 1 d) 2 e) a  c

6. En un triángulo de lados : x ; x + 3 y ( x  4 ) el ángulo medio mide 60°. Hallar “ x “

a) 25 b) 28 c) 30 d) 37 e) 42

7. En un triángulo ABC se sabe que : ; y . Calcular el valor del lado a.

a) 42 b) 52 c) 56 d) 62 e) 64

8. Hallar : E =

a) 9 /10|
b) 9 /20
c) 10 /9
d) 19/20
e) 10 /19

9. En un triángulo ABC se cumple :
Hallar el valor del ángulo “A”

a) 80 b) 45 c) 70 d) 30 e) 60

10. En un triángulo ABC se cumple :
Hallar E = TagA

a) 1 b) c) d) e)

11. En la figura ABCD es un cuadrado; M y N son puntos medios. Hallar “Sec x”

a)
b)
c)
d)
e)

12. Hallar el perímetro de un triángulo si los lados son tres números consecutivos y además de los ángulos miden 30° y 37° respectivamente.

a) 12 b) 14 c ) 16 d) 18 e) 20

13. En un triángulo ABC se tiene que : , , mA = 37°y el radio inscrito r = 0.9 . Hallar el lado a.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14
14. En la figura si .Hallar

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

15. En un triángulo ABC se cumple que:
abc = 16 y
Calcular el circunradio de dicho triángulo.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. Los lados de un triángulo son 3 ; 5 y 7 respectivamente; se traza la bisectriz relativa al lado mayor. Hallar la longitud de esta bisectriz sabiendo que la proyección de esta sobre el lado menor es 2.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

17. En un triángulo ABC se cumple.

Hallar E = bc CosA + ac CosB + ab CosC

a) 10 b) 20 c) 5 d) 15 e)15 /2

18. En un triángulo ABC ; C = 60° y a = 3b . Hallar E = Tag ( A  B )

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

1. En un triángulo ABC, si: A = 60°; .
Halle el lado “a”

A) 7 B) 10 C) 13 D) 14 E) 20

2. Los lados de un triángulo son proporcionales a los números 3;5 y 7. Siendo “ ” la medida de su menor ángulo interno; halle .

A) B) C) D) E)

3. En un triángulo ABC, la expresión:

es equivalente a:

A) tg B B) ctg B C) 1 D) 2 E) 1/2

4. En un triángulo ABC, se conoce que: B = 45°; b = 2 y . Indicar la medida del ángulo C.

A) sólo 30° B) sólo 45º
C) sólo 60° D) 30° ó 150°
E) 60° ó 120°

5. En un triángulo ABC, se conoce que: A = 120°, b = 7 cm y c = 8 cm. Halle la longitud del lado a.

A) 13 m B) 130 m
C) 1,3 m D) 0,13 m
E) 0,013 m

6. En un triángulo ABC de lados AB=c; AC = b; BC =a Determine:

A) B) C) D) E)

7. Halle la medida del ángulo B de un triangulo ABC cuyos lados a, b, y c cumplen la relación:

A) 30° B) 45° C) 60°
D) 120° E) 150°

8. En un triangulo ABC de lados BC = a, AC = b, AB = c Se cumple: (a+b+c)(a+ b – c)=
Calcule:

A) B) C) D) E)

9. Siendo P el semiperimetro de un triangulo ABC, indicar el equivalente reducido de:

A) p B) 2 p C)
D) E) 4p

10. En un triangulo ABC, reduce:

A) 1 B) -1 C) -2 D) 2 E) –

11. En un triangulo ABC se cumple:

Luego su ángulo “A” mide:

A) 120° B) 127° C) 143°
D) 135° E) 150°

12. En un triángulo uno de sus lados mide 20 cm y los ángulos internos adyacentes con él miden 16° y 37°. Halle su perímetro.

A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm
D) 44 cm E) 50 cm

13. En un triángulo ABC, simplifique la expresión:

A) b cos (B-C) B) a cos (B-C)
C) c cos (B-C) D) a sen (B-C)
E) b sen (B-C)

14. Halle “x” en la figura:

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

15. En un triángulo ABC reduce:

A) 3 B) a + b + c
C) 3 (a + b + c) D) abc
E) 3abc

16. En un triángulo ABC, simplifique la expresión:

Siendo p el semiperimetro de dicho triángulo

A) p B) 2p C)
D) p/4 E) 4p

17. En un triángulo ABC, determine el valor de x para que verifique la siguiente expresión:

A) B) C) D) E)

18. En un triángulo ABC, BC = a, AC = b, AB = c
Simplifique:

A) B) C) D) E)

19. En un triángulo ABC (AB = c, AC = b, BC = a), si b = 3a, , calcule el valor de:

A) B) C)
D) E)

20. En un triángulo ABC, si: A + B = 72° A – B =36°
Halle:

A) B) C)1 D) 5 E)

21. En un triángulo ABC, BC = a, AB = c, AB = c si

Halle la medida del ángulo agudo C.

A) 90° B) 60° C) 45°
D) 30° E) 15°

22. En un triángulo ABC (BC = a; AC = b, AB = c) inscrito en una circunferencia de radio R, se cumple , además