SEGMENTOS Y ÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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CONCEPTO DE GEOMETRIA
La Geometría es la ciencia que estudia las propiedades de las figuras geométricas, atendiendo a su forma, tamaño y relación entre ellas.

Una figura geométrica es un conjunto no vacío de puntos, representada por líneas, superficies y sólidos. Toda figura se distingue de otra por su tamaño y forma.

LINEAS

L. Recta L. Quebrada L curva L. Mixta

SUPERFICIES

SÓLIDOS

cilindro cono esfera cubo

1.2 ETIMOLOGIA

La palabra Geometría procede de las palabras griegas “geos” que significa “Tierra” y “metron” que significa medida, es decir geometría deriva de la palabra griega que significa “medida de la tierra”, concepto que no estuvo muy desligado de la realidad en sus comienzos, como una necesidad de solucionar el problema de los deslindes (delimitación) de tierras originados por las inundaciones periódicas del río Nilo en el antiguo Egipto.
1.3 CONCEPTOS PRIMITIVOS

Los conceptos primitivos no definidos de la geometría son el punto, la línea y el plano.

1.3.1 El Punto:

– Es un concepto imaginario
– Tiene ubicación
– No tiene longitud: anchura o grosor
– Lo idealizamos al cortarse dos rectas

– Un punto dibujado a diferencia de un punto conceptual, tiene tamaño.

Se designa al punto conceptual por medio de una letra mayúscula junto al punto dibujado o un aspa.

Ejemplo:
.A .B xC x D

1.3.2 La Línea:
– Es un concepto imaginario
– Tiene longitud pero no anchura o grosor
– No se puede medir
– Es ilimitada en ambos sentidos
– Puede ser recta, curva o una combinación de ambas
– La línea recta tiene dirección

Una línea se designa con letras mayúsculas en dos puntos cualesquiera sobre ella o con una letra minúscula. La doble flecha, pone de manifiesto que la línea se extiende indefinidamente en ambos sentidos:

Ejemplo:

Puntos Colineales. Son aquellos que pertenecen a una misma línea recta.

Puntos No Colineales. Son aquellos que no están ubicados en una misma línea recta.

1.3.3 El Plano:
– Es un concepto imaginario
– Tiene dos dimensiones
– No se puede medir
– No tiene espesor
– Superficie plana ilimitada en todo sentido

Postulados sobre planos
* Existen infinitos planos
* Por tres puntos no colineales pasa un plano y solamente uno
* En cualquier plano existen infinitos puntos y rectas

1.4 SEGMENTO DE RECTA
Es una porción de recta limitado por dos puntos denominados extremos.

Se denota por y se lee segmento AB. La medida de un segmento AB denota por m o AB, y es un número positivo que compara la longitud del segmento dado con la longitud del segmento unitario (u).

1.4.1 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Un punto B se llama punto medio de un segmento , si B está entre A y C y se verifica que AB = BC.

1.4.2 OPERACIONES CON SEGMENTOS
Para sumar dos segmentos cualesquiera, se toman en una recta dos segmentos consecutivos cualesquiera y congruentes respectivamente a los segmentos que se quieren sumar.

Suma:

AC = AB + BC

Diferencia:

BC = AC – AB

1.5 ANGULO
rayos que tienen el mismo punto de origen.
Elementos
Lados:
Vértice: O

Notación

AOB , AOB

O,

m AOB = º : Medida del ángulo AOB es igual a º
Bisectriz de un Angulo:
Es el rayo que partiendo del vértice de un ángulo, lo divide en dos ángulos congruentes.

B

: Bisectriz de AOB

mAOX = mXOB = 

AOX  XOB

Clasificación de los Angulos
Los ángulos se clasifican según su medida, de acuerdo a su posición y según sus características.

I. SEGÚN SU MEDIDA
1. Angulo Llano. Llamado también ángulo rectilíneo, es aquel ángulo cuyos lados son dos rayos opuestos es decir una recta. Su medida en;

– Sistema Sexagesimal:  = 180º

2. Angulo Agudo. Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90º pero mayor que 0º

Oº < º < 90º

3. Angulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º

90º < º < 180º

4. Angulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90º.

 = 90º

5. Angulo Nulo: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 0º

mAOB = 0º

II. SEGUN LA POSICION DE SUS LADOS
1. Angulos Adyacentes. Dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común tal que los ángulos se encuentran a uno y otro lado del lado común.

AOB y BOC son ángulos adyacentes, llamado también ángulos consecutivos.

Dos o más ángulos serán adyacentes cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato.

AOB, BOC y COD son ángulos adyacentes.

AOB, BOC y COD son ángulos adyacentes sobre una recta.

AOB, BOC, COD y AOD son ángulos adyacentes alrededor de un punto

2. Ángulos Opuestos por el Vértice
Son dos ángulos en donde los lados de uno son los rayos opuestos del otro.
Es decir, se determinan al trazar dos rectas secantes, dichos ángulos con congruentes (tienen la misma medida).

 = 

III. SEGUN SUS CARACTERÍSTICAS
1. Angulos Adyacentes Complementarios
Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 90º.

AOB y BOC son ángulos adyacentes complementarios

 +  = 90º

2. Ángulos Complementarios
Son dos ángulos cuyas medidas suman 90º.

 +  = 90º

Nota 1. Complemento de un ángulo es lo que le falta a este ángulo para medir 90º.

COMPLEMENTO DE  = 90º –  = 

Nota 2:

1º <> 60´ , 1´ <> 60”
90º <> 89º60´ <> 89º59´60”

3. Ángulos Adyacentes Suplementarios
Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 180º.

AOB y BOC son ángulos adyacentes suplementarios.

 +  = 180º

4. Ángulos Suplementarios
Son dos ángulos cuyas medidas suman 180º

 + = 180º

Nota 3. Suplemento de la medida de un ángulo es lo que le falta para medir 180º.

SUPLEMENTO DE  = 180º –  = 

Nota 4:
180º <> 179º60´<>179º59´60”

Nota 5:
Cuando la palabra suplemento se repite un número par de veces, el resultado es el mismo valor del ángulo y si el número es impar, el resultado es su suplemento.

Sup del Sup ……… Sup de  = 

ro. veces par

Sup del Sup ……… Sup de  = 180º- 

ro. veces impar

ANGULOS ENTRE PARALELAS
Paralelas: Se llama rectas paralelas cuando no tienen ningún punto en común y están situados en un mismo plano.

L1
L1//L2

L2

Ángulos formados por dos rectas al ser cortados por una Secante
Angulos Internos 3,4
5,6

Angulos Externos 1,2
7,8

Alternos Internos 4 y 6
3 y 5

Alternos Externos 1 y 7
2 y 8

Conjugados Internos 4 y 5
3 y 6

Conjugados Externos 1 y 8
2 y 7

Ángulos correspondientes
1 y 5; 2 y 6
4 y 8; 3 y 7

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS AL SER CORTADOS POR UNA SECANTE

a) Los ángulos alternos internos o externos son congruentes.

b) Los ángulos conjugados internos o externos son suplementarios.

c) Los ángulos correspondientes son congruentes.

ANGULOS DE LADOS PARALELOS

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, serán congruentes cuando ambos ángulos sean agudos o cuando ambos sean obtusos; y serán suplementarios cuando uno de ellos sea agudo y el otro sea obtuso.

 = 

 +  = 180º

ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares serán congruentes cuando ambos sean agudos o cuando ambos sean obtusos; y serán suplementarios cuando uno de ellos sea agudo y el otro obtuso.

 = 

 +  = 180

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Sobre una línea recta se considera los puntos consecutivos A, B, C y D. Luego los puntos medios M y N de AB y CD respectivamente. Hallar MN si: AC + BD = 50.

a) 20 b) 25 c)30
d) 40 e) 50.

Resolución

1) Dato: M y N son puntos medios de AB y CD.

AM = MB = a , CN = ND = b

2) Dato: AC + BD = 50
(2a + c) + (c + 2b)= 50
2a + 2c + 2b = 50
2 (a + c + b)= 50

2MN = 50

MN = 25 Rpta. B

02. sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Luego los puntos medios M y N de AC y BD respectivamente. Hallar MN si: AB + CD = 60

a) 20 b) 25 c) 30
d) 40 e) 60

Resolución

1) Dato: M y N puntos medios de AC y BD
AM = NC = a , BN = ND = b

2) Dato: AB + CD = 60
(a + x – b) + (x + b – a) = 60
2x = 60
x = 30

MN = 30 Rpta. C

03. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que B es punto medio de AD y AC – CD = 50. Hallar BC

a) 20 b) 25 c) 30
d) 40 e) 50

Resolución

1) Dato: B es punto medio de AD
AB = BD = a

2) Dato AC – CD = 50
(a + x) – (a – x) = 50
2x = 50
x = 25

BC = 25 Rpta. B
04. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C siendo “0” punto medio de BC, AB² + AC² = 100.
Hallar A0² + B0²

a) 10 b) 25 c) 50
d) 100 e) 20

Resolución

1) Como nos pide AO² + BO² ponemos AO = a y BO = b

2) Dato: O punto medio de BO=OC=b

3) Dato: AB² + AC² = 100
(a – b)² + (a + b)² = 100
2(a² + b²) = 100
a² + b² = 50

AO² + BO² = 50 Rpta. C

05. En el gráfico, halle el máximo valor entero de y.

a) 45
b) 50
c) 60
d) 59
e) 58

Resolución

1) xº – 2yº + 3yº = 180º
xº + yº = 180º

xº = 180º – yº (I)

2) Todo ángulo es positivo
0º < xº – 2yº
2yº < xº (II)

3) I en II
2yº < 180º – yº
3yº < 180º
yº < 60º

y = 59 Rpta. D

06. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces el ángulo. El suplemento del complemento de dicho ángulo es:
a) 15º b) 75º c) 105º
d) 120º e) 150º

Resolución

1) Sup  – Comp  = 6
(180º – ) – (90º – ) = 6

 = 15º

2) Nos piden E
E = Sup. Comp. 15º
E = Sup. 75º

E = 105º Rpta. C

07. Las medidas de tres ángulos consecutivos sobre una recta están en progresión aritmética. Calcular la medida del mayor ángulo, si el menor y el mayor están en la relación de 3 a 7.

a) 30º b) 36º c) 42º
d) 60º e) 84º

Resolución

1)

a, b y c están en progresión aritmética
Dato: a = 3k c = 7k
2) b =

b = 5k

3) a + b + c = 180º
3k + 5k + 7k = 180º
15k = 180º
k = 12º

4) El mayor ángulo es c = 7k
c = 7 (12º)

c = 84º Rpta. E

08. Calcular x si: L1//L2
a) 10º b) 20º
c) 30º d) 40º
e) 50º

Resolución
Propiedad (Serrucho)
80º + x + 70º = 90º + 90º

x = 30º Rpta. C

09. En la figura L1//L2 y L3//L4, el valor numérico de 3xº – 12º es:

a) 15º b)16º c)17º
d) 18º e) 19º

L1

Resolución

1) a + b + 11xº = 180º……. I
2) Angulos correspondientes
a = 2xº, b = 5xº…… II
3) II en I:
2xº + 5xº + 11xº = 180º
18xº = 180º

xº = 10º

4) Hallanfo E:
E = 3xº – 12º
E = 3(10º) – 12º

E = 18º Rpta. D

EJERCICIOS

1. Dado los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E tal que: AC = DE; BC = CD y CE – AB = 10. Calcule “BD”

A) 10 B) 5 C) 6
D) 8 E) 20

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que AC = BD; (BD)(AB – BC) = 12 y (CD)(BC) = 8. Calcular “BC”

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

3. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que: BC=2(AB)= 2(CD) y (AC)(BD) = 81. Calcular “BC”

A) 9 B) 3 C) 12
D) 6 E) 8

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R, S, T; tal que: PR = QS = RT y PQ + ST = 6. Calcular “PT”
A) 6 B) 5 C) 12
D) 18 E) 15

5. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B y C; M y N bisecan a y , respectivamente: AB + MN + BC = 60; hallar “AC”

A) 40 B) 50 C) 30
D) 20 E) 15

6. En un recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que: AB = DE; CD = EF; AC = 30; CF = 40 y AB + CD = 30. Hallar “BC”

A) 16 B) 15 C) 20
D) 10 E) 5

7. En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que: 3(CE) = 2(AC); AE = 50 y AB + DE = 20 y “C” biseca al segmento ; hallar “BD”

A) 20 B) 10 C) 30
D) 15 E) 25

8. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D: tal que:
4(AB) = 3(BC) = 6(CD) y 3(BC – AB)=2(BC – CD) – 2; hallar “BD”

A) 20 B) 6 C) 12
D) 4 E) 1

9. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; se sabe que AC= y se cumple las siguientes relaciones:
AB.AD = BC.CD; BC2 – AB2= AB. CD. Hallar (CD2)

A) m2 B) C)
D)m E) m2/2

10.Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos P, Q, R y S con la siguiente condición:
PQ = mQR y n – m+n = 1.
PS nRS QR PR
Hallar RS

A) m B) n C) m – n
D) (m – n)/2 E) 2(m – n)

11.Si los x/y del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de “a” es igual a los m/n de la diferencia entre el complemento de  y el suplemento del suplemento de  . Hallar 

A) 45° B) 40° C)50°
D) 55° E) 60

12. Dados los ángulos consecutivos: AOB, BOC y COD, tal que mAOC = 70°; m  BOD = 80° y m  AOB + mCOD = 50°, calcular la medida del ángulo BOC

A) 30° B) 40° C)50°
D) 60° E) 70°

13. Un ángulo llano es dividido por 4 rayos de tal manera que se forman ángulos consecutivos cuyas medidas están en progresión aritmética. Calcular la medida del ángulo determinado por el primer y último rayo

A) 100° B)108° C)112°
D) 120° E) 110°

14. Calcular “x”, si:
a + b + c =130° y  + = 70°

A)20° B)30° C)40°
D)50° E)60°

15. Si las rectas L1 y L2 son paralelas y m es el complemento de n, Calcular “x”.

A)15° B)30° C)20°
D)40° E)60°

16. En la figura, L1 // L2, calcule “x”.

A)100° B)105° C)110°
D)115° E)120°

16. En el grafico L1 // L2, hallar “x”

SEGMENTOS – ÁNGULOS

1. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E; siendo: AD + BE = 20 y BD = . Calcule BD.

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7

2. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C; tal que:
(AB).(AC) = 2(AB2–BC2 ), AC = 6u. Calcule BC.

A) 1 u B) 2 u C) 3 u
D) 4 u E) 5 u

3. En una recta se tienen los puntos consecutivos: G, E, O, M y T, siendo y “O” es punto medio de . Calcule EO + 2MT.

A) 27 B) 39 C) 31
D) 33 E) 35

4. En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y
= . Calcule QS

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

5. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si (AB)2 + b(AC) = (AC)2 + (BC)2 ; calcule BC.

A) b B) 2b C) b/2
D) b/4 E) 4b

6. Sobre la línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, luego se ubican los puntos medios X de , y de y Z de .
Si: AB – BC = 36, calcule ZB.

A) 12 B) 18 C) 9
D) 20 E) 8

7. En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S.
Si (QR)(RS) = K(RS – RQ) y . Calcule PR

A) 2K B) K C) K/3
D) K/2 E) K/4

8. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos O ,A, B y C. Calcule OA,

Si: , (AB).(AC) = 289

A) 11 B) 13 C) 15
D) 17 E) 19

9. En una recta se tienen los puntos consecutivos P, Q, R, S; siendo: y PQ.RS = m. Calcule PS.QR

A) B) C) 2m
D) m E)

10. En una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B, C; siendo AC = 10, luego se ubican los puntos medios: M, N, R y Q de respectivamente. Calcule RQ.

A) 2,0 B) 2,5 C) 2,8
D) 3,0 E) 3,5

11. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD , tal que:
luego se traza bisectriz del AOC, de tal forma que:
m AOM – m COB+m COD = 40º.
Calcule m MOB + m COD

A) 30º B) 35º C) 40º
D) 45º E) 60º

12. Sean dos ángulos cuya suma de sus medidas es 100º y la diferencia de sus complementos es 20º. Calcule la razón de las medidas de dichos ángulos.

A) 2/3 B) 1/3 C) 1/4
D) 3/7 E) 2/9

13. Se tienen los ángulos adyacentes y complementarios AOB y BOC, luego se trazan las bisectrices de los ángulos AOB, BOC, AON y MOC respectivamente. Calcule .

A) 15º B) 18,5º C) 20º
D) 22,5º E) 25º

14. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que:
m AOD=m BOE=m COF y m DOF + m AOD=224º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo , si : m BOC = 52º.

A) 52º B) 60º C) 70º
D) 82º E) 102º

15. Si: m AOB = , calcule “x” si el AOB es dividido en partes de medidas iguales por “n” rayos interiores.

A) /n B)
C) D)
E)

16. El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo.
A) 120º B) 45º C) 135º
D) 60º E) 75º

17. Se tiene dos ángulos adyacentes, AOB y BOC, cuya suma de sus medidas es 100º (m AOB< m BOC). Se trazan las bisectrices y . Calcule la medida del ángulo BOC si la bisectriz del ángulo NOM determina con un ángulo que mide 20º.
A) 90º B) 40º C) 80º