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Variable aleatoria continua,Distribución de probabilidad normal,Aplicaciones de la distribución normal, Aproximación de la normal a la binomial., Distribución de medias muestrales, Estimación de la media poblacionaL ,

• Relacionar y aplicar los conceptos de función de densidad y distribución
de probabilidad para el caso de una variable aleatoria continua.
• Conocer y aplicar la distribución normal en diversas situaciones.
• Describir los resultados de un experimento aleatorio, aplicando las
distribuciones normal y binomial.
• Aproximar la probabilidad de la binomial por la probabilidad de la normal.
• Realizar conjeturas sobre el tipo de distribución al que tienden las medias
muestrales.
• Estimar intervalos de confianza para la media de una población con
distribución normal y varianza conocida.

Antes de comenzar, resuelve las siguientes actividades, que te permitirán recordar conceptos
y procedimientos necesarios para abordar los contenidos de esta unidad.
1. En el experimento “escoger al azar una persona
en la calle” se define la variable aleatoria
X: edad de la persona, medida en años.
a. ¿Cuáles son los posibles valores que puede
tomar la variable aleatoria?
b. Define otra variable aleatoria para el mismo
experimento y determina los posibles valores
que esta puede tener.
2. En el experimento “lanzar dos dados”, considera
las variables aleatorias X: suma de los puntos, e
Y: puntaje menor entre los dos dados.
a. Describe el espacio muestral del experimento.
b. Calcula las probabilidades P(X = 7), P(X < 7),
P(Y = 3), P(Y > 2).
3. En el experimento “escoger una persona en
la calle”, se define la variable aleatoria X:
estatura de la persona.
a. ¿Cuáles son los posibles valores que puede
tomar la variable aleatoria?
b. Define otra variable aleatoria para el mismo
experimento.
c. Explica con tus palabras qué es una variable
aleatoria.
4. Determina si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a. La esperanza siempre es un valor positivo.
b. La desviación estándar siempre es un valor
positivo.
c. La esperanza de una muestra siempre es uno
de los valores de la muestra.
d. La esperanza siempre es mayor que la varianza.
e. La varianza siempre es mayor que la esperanza.
5. Si X es una variable aleatoria que tiene
distribución X ~ B(10; 0,7), determina:
a. μ
b. σ2
c. P(X = 8)
d. P(X < 3)
e. P(X < 5)
f. P(X > 5)
6. Si X ~ B(n, p), con μ = 12 y σ = 3, determina:
a. n
b. p
c. P(X < 14)
d. P(X = 1)
e. P(X < 5)
f. P(X > 5)
7. Considera los siguientes resultados de un
experimento aleatorio.
{1,70; 1,67; 1,72; 1,82; 1,72; 1,73; 1,65; 1,77; 1,66;
1,67; 1,65}
a. Calcula la media, la varianza y la desviación
estándar de los datos.
b. Dibuja una tabla de frecuencias indicando:
frecuencia absoluta, frecuencia relativa y
frecuencia acumulada.
c. ¿A qué experimento aleatorio puede
corresponder esta muestra?, ¿cuál sería la
variable aleatoria?
8. Considere los siguientes resultados de un
experimento aleatorio.
A = {1, 7, 7, 6, 1, 2, 1, 7, 1, 5, 1, 2}
B = {4, 3, 3, 4, 5, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4}
a. Sin hacer ningún cálculo, ¿qué muestra
consideras tú que tiene mayor desviación
estándar?, ¿cómo llegaste a esa conclusión?
b. Si tanto la muestra A como la muestra B
corresponden a notas de dos alumnos
distintos, ¿qué estudiante tuvo mejor
rendimiento?, ¿por qué?
c. Agrega tres valores a la muestra A, que no
cambien la media de la muestra.
9. Una ruleta de casino tiene 36 números, un 0 y
un 00. Si apuestas un número y la bolita cae en
ese número, ganas 36 veces lo que apostaste.
¿Cuánta es la cantidad que puedes ganar si
apuestas 100 pesos?, ¿conviene jugar a la ruleta?
Justifica tu respuesta.

10. Manuel juega al siguiente juego: saca un naipe
al azar de una baraja inglesa sin comodín
(52 cartas, 13 números, 4 pintas). Si sale un 2, 3,
4 o 5, Manuel gana 5 puntos; si sale un 6, 7, 8, 9
o 10, Manuel pierde 5 puntos; si sale J, Q o K, no
gana nada, y si sale un As, gana 20 puntos.
a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?
b. ¿Cuál es la variable aleatoria asociada al juego?
c. Encuentra el “valor esperado” de puntos que
ganará Manuel cada vez que juegue.
11. Una fábrica de ampolletas tiene estimado
que el 5 % de sus ampolletas llega defectuosa
a las tiendas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar
2 ampolletas, ambas salgan quemadas?
b. Si las ampolletas vienen en cajas de
20 unidades, ¿cuál es el valor esperado
de ampolletas defectuosas que vienen
en una caja?
12. A partir de los siguientes datos, desarrolla
las actividades.
{1, 2, 6, 7, 9, 11, 4, 6, 15, 21}
a. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 pueden
seleccionarse del conjunto anterior?
b. Selecciona 5 muestras al azar de tamaño 2 y
calcula la media de ellas.
Marca la opción correcta en los ítems 13 y 14.
13. Indica cuál o cuáles de las siguientes
afirmaciones es(son) verdaderas respecto
de la media de una muestra.
I. Es posible agregar datos a una muestra
sin que cambie la media.
II. El único valor que se puede añadir a una
muestra, sin que se altere la media, es el 0.
III. Si m es el valor de la media y agregas ese
valor a la muestra, se mantiene la media
de la muestra.
A. Solo I
B. Solo I y II
C. Solo II y III
D. Solo I y III
E. I, II y III
14. ¿Cuántas muestras de tamaño 3 pueden
extraerse con los siguientes datos con y sin
reposición, respectivamente?
{4, 8, 4, 6, 1, 2, 6, 7}
A. 6 561 y 336
B. 512 y 336
C. 20 160 y 6 561
D. 20 160 y 336
E. 6 561 y 512
En el curso anterior conociste la distribución binomial, que es una distribución de probabilidad
de una variable aleatoria discreta. Recuerda que la distribución de probabilidad
de una variable aleatoria discreta describe cómo se distribuyen las probabilidades de
los diferentes valores que puede tomar dicha variable aleatoria.
Así, en una variable aleatoria discreta la distribución de probabilidad se describe mediante
una función de probabilidad f (x). Esta función proporciona la probabilidad de que la
variable tome un valor particular; en las variables aleatorias continuas, la función de
probabilidad es llamada función de densidad de probabilidad (también se denota
f (x)). A diferencia de la función de probabilidad, la función de densidad no determina
directamente dicha probabilidad, sin embargo, el área bajo la gráfica de f (x) entre dos
puntos, a y b, determina la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome un
valor en dicho intervalo.
En otras palabras, si la variable aleatoria continua X tiene función de densidad
f (x), la probabilidad de que X pertenezca al intervalo [a, b] está dada por el área
bajo la curva de f entre a y b, tal como se representa en la figura de la derecha.
Para que una función f (x) sea una función de densidad se debe cumplir que:
1. f (x) > = 0 para todo valor de x.
2. El área bajo la curva de f en su dominio es igual a 1. Esta propiedad es análoga
a aquella que en el caso de variables aleatorias discretas establece que la
suma de todas las probabilidades debiera ser igual a 1.

1. Escribe al menos cuatro experimentos aleatorios en los cuales esperarías que la mayor cantidad de
resultados estén concentrados alrededor de la media y que, a medida que te alejas hacia los extremos,
la frecuencia baje cada vez más. Menciona, además, cuatro experimentos o situaciones en que esperas
que esto no ocurra.
2. Determina cuál o cuáles de los siguientes casos se podrían modelar con una distribución normal.
a. Sueldos que se pagan en una empresa.
b. Edad a la que una persona muere.
c. Masa de los estudiantes de la misma edad de un colegio.
d. Estatura de una persona en el tiempo.
e. Velocidad de los vehículos en cierto punto de la carretera.
f. Notas de los estudiantes en una prueba.
3. De un colegio mixto egresaron 210 varones y 225 damas. Las estaturas de los varones se
distribuyen N(1,71; 0,4), y las de las damas, N(1,64; 0,3), en metros.
a. ¿Cuántos varones miden más de 1,71 m?
b. ¿Cuántas damas miden menos de 1,64 m?
c. Si se selecciona a un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida a lo más 1,67 m?
4. Los tiempos, en segundos, realizados en las prácticas de atletismo del Colegio Cordillera se
distribuyen N(12,8; 0,8) y los tiempos del Colegio Entrelagos, N(12,2; 1). Determina qué porcentaje
de atletas:
a. del Colegio Cordillera demoraron más de 12,8 s.
b. del Colegio Cordillera demoraron menos de 13,6 s.
c. del Colegio Entrelagos demoraron más de 10,2 s.
d. del Colegio Entrelagos demoraron menos de 13,2 s.
5. La variable aleatoria X tiene distribución normal con media 2 y desviación estándar 1. Escribe su función
de densidad.
Si tenemos una variable aleatoria continua con distribución normal, en la que la
media es igual a 0 y la desviación estándar igual a 1, es decir, μ = 0 y σ = 1, entonces la
variable aleatoria tiene distribución normal estándar y se denota X ~ N(0, 1).
Para el cálculo de probabilidades en distribución normal estándar se han construido
tablas que presentan las áreas bajo las curvas y, por lo tanto, permiten determinar de
manera rápida las probabilidades de que el valor de una variable aleatoria se encuentre
en un intervalo. En la página 429 se presenta una tabla que permite calcular la probabilidad
de que una variable aleatoria con distribución normal estándar sea menor que
un valor dado z, es decir, P(X < z).
Por ejemplo, calculemos la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución
normal estándar tome un valor menor o igual a 1,41, o sea, P(X G 1,41). Para esto
usamos la tabla de la página 429 de la siguiente manera:
En la primera columna de la tabla ubicamos las unidades y
las décimas de z; en este caso, el 1,4. Luego, en la primera fila
buscamos las centésimas de z, es decir, el 0,01. Finalmente,
intersecamos la fila con la columna correspondiente donde
están los valores anteriores. En nuestro ejemplo, obtenemos
finalmente el número 0,92073. Es decir, la probabilidad de que
la variable aleatoria tome un valor menor o igual a 1,41 es 0,92073.
1. Z es una variable aleatoria con distribución normal estándar. Utilizando la tabla de la distribución
normal, encuentra los valores de z tales que:
a. P(Z < z) = 0,5
b. P(Z < z) = 0,5871
c. P(Z > z) = 0,2396
d. P(Z > z) = 0,91149
e. P(Z < z) = 0,8289
f. P(Z > z) = 0,07927
2. Usando la tabla de la distribución normal, calcula las siguientes probabilidades, asumiendo que
Z es una variable aleatoria que distribuye N(0, 1).
a. P(Z < 1,34)
b. P(Z G 1,34)
c. P(Z < –1,85)
d. P(Z > 1)
e. P(2 < Z < 3,4)
f. P(Z = 1)
3. Sea X una variable aleatoria con distribución normal estándar.
a. ¿Cuál es la desviación estándar de la distribución?, ¿y la media?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor que 1?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor que 0,57?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea igual a 1?
4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas respecto de una variable aleatoria
Z con distribución normal estándar. Justifica las falsas.
a. P(Z = 0) es igual a la media de la distribución.
b. P(Z > 1) = P(Z < 1)
c. P(Z > 1) = 1 – P(Z < 1)
d. P(0 < Z < 1) < P(0 G Z G 1)
6. En una fábrica de clavos, la diferencia entre la medida ideal de un clavo y su medida real tiene una
distribución normal estándar, considerando las medidas en milímetros.
a. En promedio, ¿cuántos milímetros de
diferencia hay entre la medida real del
clavo y su longitud ideal? Explica tu
respuesta.
b. Si se escoge un clavo al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que mida 0,34 mm menos
de lo que debiera medir realmente?
c. Si se escoge un clavo al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que mida 1,23 mm más
de lo que debiera medir realmente?
1. Para cada una de las siguientes variables aleatorias con distribución normal, escribe el cambio de
variable adecuado para que el resultado sea una variable aleatoria con distribución normal estándar.
a. X ~ N(1, 1)
b. X ~ N(1, 2)
c. X ~ N(0, 2)
d. X ~ N(2, 2)
e. X ~ N(–6, 8)
f. X ~ N(–3, 5)
2. Considera la variable aleatoria X ~ N(2, 3). Usando la tabla de la distribución normal estándar, calcula las
siguientes probabilidades.
a. P(X > 0)
b. P(X < 1,1)
c. P(X > 2,3)
d. P(X > –1,3)
e. P(0 < X < 2,3)
f. P(–1,3 < X < 1,1)
3. Considera las variables aleatorias X ~ N(1, 2) y Z ~ N(0, 1). Encuentra valores de a para que se cumpla
lo pedido.
a. P(Z < a) = 0,5
b. P(Z > a) = 0,5
c. P(Z < a) = 0,05
d. P(X > a) = 0,1
e. P(X > a) = 0,5
f. P(X > a) = 0,05
4. Una variable aleatoria tiene distribución normal con media 80 y desviación estándar 54,8. Determina la
probabilidades que la variable aleatoria tome un valor:
a. menor que 87,2.
b. mayor que 76,4.
c. entre 81,2 y 86.
d. entre 71,6 y 88,4.
5. Explica qué significa X ~ N(a, b). ¿Cuál es la media de la variable aleatoria X?, ¿cuál es su varianza?,
¿y su desviación estándar?
6. Si X ~ N(a + b, 2a – 4b), determina los valores de a y b, de modo que X tenga distribución
normal estándar.
7. Los siguientes casos involucran variables aleatorias con distribuciones normales. Determina si la primera
probabilidad es mayor, la segunda probabilidad es mayor o las dos probabilidades son iguales.
a. La probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal con media 50 y desviación
estándar 10 tome un valor menor que 60, o la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene
distribución normal con media 500 y desviación estándar 100 tome un valor menor que 600.
b. La probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal con media 40 y desviación
estándar 5 tome un valor mayor que 40, o la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene
distribución normal con media 50 y desviación estándar 6 tome un valor mayor que 40.
1. La cantidad anual de terremotos a nivel mundial es una variable aleatoria que tiene aproximadamente
una distribución normal con μ = 20 y σ = 4,5. Determina la probabilidad de que en cualquier año de
referencia haya:
a. exactamente 19 terremotos.
b. a lo sumo 19 terremotos.
c. como mínimo 19 terremotos.
2. El tiempo promedio que emplea un suscriptor de una revista de farándula en leer la publicación es de
49 minutos, con una desviación estándar de 16 minutos. Supongamos que los tiempos de lectura tienen
una distribución normal.
a. Calcula la probabilidad de que el suscriptor tarde al menos una hora en leer la revista.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el suscriptor no demore más de 30 minutos en leer la revista?
c. Determina la probabilidad de que el lector tarde entre 33 y 65 minutos en leer la revista.
3. La cantidad promedio de agua caída en una ciudad en el mes de abril es de 35 mm. Supón que la
cantidad de lluvias es una variable aleatoria distribuida normalmente y con una desviación estándar de
8 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que en un año cualquiera la cantidad de agua caída en la ciudad sea
menor que 20 mm?
1. Determina si las siguientes distribuciones binomiales pueden aproximarse, usando una distribución
normal, de manera aceptable.
a. B(4; 0,5) b. B(20, 0,6) c. B(50; 0,04) d. B(20; 0,8) e. B(100; 0,995) f. B(75; 0,52)
2. Si X ~ B(n, p), calcula aproximadamente las siguientes probabilidades con los valores n y p dados. Utiliza
la tabla de la página 429.
a. n = 200, p = 0,4. P(x < 120)
b. n = 100, p = 0,5. P(x > 45)
c. n = 200, p = 0,45. P(x > 80)
d. n = 100, p = 0,6. P(50 < x < 70)
e. n = 96, p = 0,4. P(x > 90)
f. n = 50, p = 0,75. P(42 < x < 58)
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. Un jugador de básquetbol lanza 230 tiros libres a lo largo de la temporada. Si su probabilidad de
encestar en un lanzamiento libre es de 85 %, ¿cuál es la probabilidad de que enceste más de 185 tiros
libres en la temporada?
b. La probabilidad de que un piloto de carreras sufra un reventón en un circuito es 0,04. Si en la carrera
participan 200 conductores, ¿cuál es la probabilidad de que se registren entre 12 y 18 reventones?
c. El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Si se empaquetan en cajas de 80 unidades
para distribuirlos, ¿cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 10 pantalones defectuosos?
d. Leonardo y Ximena están jugando al ludo. Leonardo asegura que ha lanzado el dado 60 veces y no le ha
salido ningún 5. Ximena afirma que eso es imposible. ¿Es realmente imposible? Justifica tu respuesta.
4. El 10 % de las personas de una ciudad afirma que nunca ve televisión. Calcula la probabilidad de que:
a. escogidas 100 personas al azar, haya al menos 14 personas que no ven televisión.
b. estas personas sean exactamente 4.
c. de 250 personas elegidas al azar, menos de la mitad
vea televisión.
5. Una fábrica de componentes elabora 2 000 circuitos
electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un
circuito defectuoso es del 1 %, ¿cuál es la probabilidad
de que en un día el número de circuitos defectuosos
sea mayor que 50?, ¿y menor que 25?
Resuelve las siguientes actividades para consolidar los conceptos y los procedimientos que
has aprendido.
1. Describe tres situaciones en las cuales podrías
definir una variable aleatoria continua y tres
situaciones en las que podrías determinar una
variable aleatoria discreta.
2. Grafica cada una de las siguientes funciones
e indica cuál de ellas define una función de
densidad para una variable aleatoria continua.
a. f (x) = 1 en el intervalo [0, 1]
b. f (x) = x en [–1, 1]
c. f (x) = 2 en el intervalo [0, 1]
d. f (x) = x en el intervalo [0, 2]
3. ¿Qué características debe cumplir una función
para que pueda ser una función de densidad de
una variable aleatoria continua?
4. Utilizando la tabla para calcular probabilidades
en una distribución normal estándar, y
suponiendo que Z ~ N(0, 1), calcula lo siguiente.
a. P(Z < 0,46)
b. P(Z < –0,78)
c. P(Z < 1,29)
d. P(Z > 2,18)
e. P(0,3 < Z < 0,46)
f. P(–0,16 < Z < 0,2)
5. X es una variable aleatoria con distribución
normal, cuya media es 7 y cuya varianza es 4.
a. Determina la función de densidad de X.
b. Escribe la transformación que convierte a
X en una variable aleatoria Z con distribución
normal estándar.
c. Calcula P(x < 6,3), P(x < 7,9) y P(x > 8,5).
d. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome
un número positivo?
6. ¿Qué características debe tener una variable
aleatoria con distribución binomial para que
sea pertinente aproximarla por una variable
aleatoria normal?, ¿cuál es la media y la
desviación estándar de esa nueva variable
aleatoria?
7. Sea Z una variable aleatoria tal que
Z ~ B(150; 0,45). Usando la tabla para
calcular probabilidades de la distribución
normal estándar, aproxima las siguientes
probabilidades.
a. P(Z < 75)
b. P(Z > 60)
c. P(55 < Z < 60)
d. P(Z > 80)
e. P(50 < Z < 70)
f. P(Z > 145)
8. Sea X una variable aleatoria con distribución
normal estándar. Encuentra el valor de a en cada
caso para que se cumpla lo pedido.
a. P(X < a) = 0,5
b. P(X > a) = 0,5
c. P(X < a) = 0,602
d. P(X > a) = 0,398
e. P(X < a) = 0,398
f. P(X > a) = 0,602
9. Claudia posee una cuerda de 3 metros de largo.
Si la cuerda se corta en cualquier punto al azar,
y todos los puntos tienen la misma probabilidad
de cortarse, ¿cuál es la probabilidad de que el
trozo izquierdo de la cuerda sea de largo menor
o igual a 1 m? Hint: Defina la función densidad
correspondiente.
10. Explica qué es una variable aleatoria con
distribución normal estándar y en qué se
diferencia de una normal no estándar.
11. Describe dos situaciones que se podrían modelar
con una distribución normal, y dos que no
tengan distribución normal.
12. Explica con tus palabras qué significa “simular un
experimento aleatorio”, cuál es su importancia
y qué simulaciones se hicieron durante el
desarrollo de la unidad.
13. Da un ejemplo de un experimento aleatorio
en el cual definas dos variables aleatorias, una
discreta y una continua. Explica qué utilidad
puede tener el considerar cada una de esas
variables aleatorias.
1. Indica si las siguientes variables aleatorias son
discretas o continuas.
a. El diámetro de un tornillo producido por un
torno electrónico.
b. La cantidad de respuestas acertadas en un
examen de veinte preguntas.
c. El diámetro de la cabeza de un niño de
cinco años.
d. La cantidad de minutos de espera en un
paradero.
e. La talla de calzado de un grupo de estudiantes
de un colegio.
2. Utilizando la tabla de la página 429, calcula las
siguientes probabilidades, asumiendo que Z es
una variable aleatoria que distribuye N(0, 1).
a. P(Z < 0,78)
b. P(Z > 0,07)
c. P(Z < –0,88)
d. P(Z > –1,23)
3. Esboza la gráfica de una variable aleatoria con
distribución normal estándar.
4. Si una variable aleatoria X presenta una
distribución normal estándar, ¿para qué valor de
X se cumple que P(X < 0,9)?
5. Supongamos que la estatura en metros de un
grupo de personas, se distribuye N(1,65; 0,15).
a. ¿Qué puedes decir sobre la cantidad de gente
que mide más de 1,80 m, en relación con la
cantidad de gente que mide menos de 1,50 m?
b. Describe la forma que tendrá la gráfica de
la función de densidad. ¿Cuál será su eje de
simetría?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a una
persona al azar, su estatura sea de 1,65 m?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger a una
persona al azar, esta mida entre 1,5 m y 1,7 m?
6. Considera el experimento aleatorio “lanzar tres
monedas al aire” y la variable aleatoria
X: cantidad de caras que aparecen.
a. ¿Qué distribución de probabilidad tiene la
variable aleatoria X?, ¿qué valores puede tomar
la variable aleatoria?, ¿con qué probabilidades?
b. La distribución anterior, ¿puede aproximarse a
una distribución normal?
7. Si X ~ B(n, p), calcula aproximadamente las
siguientes probabilidades con los valores con n y
p dados. Utiliza la tabla de la página 429.
a. n = 30, p = 0,5. P(X < 20)
b. n = 100, p = 0,4. P(X > 50)
c. n = 200, p = 0,25. P(10 < X < 30)
d. n = 150, p = 0,6. P(60 < X < 90)
e. n = 500, p = 0,8. P(300 < X < 400)
8. Martín dice que cualquier variable aleatoria con
distribución binomial puede aproximarse con
una distribución normal. ¿Estás de acuerdo con
él?, ¿por qué?
9. El 30 % de los trabajadores de una empresa llega
en bicicleta. Si se eligen 100 personas al azar,
determina la probabilidad de que:
a. más de la mitad llegue en bicicleta.
b. menos de la cuarta parte llegue en bicicleta.
c. más del 75 % no llegue en bicicleta.
10. La cantidad de palabras por minuto que una
persona lee puede modelarse por medio de
una distribución normal en la que la media es
150 palabras y la desviación estándar es 24.
Determina la probabilidad de que, al escoger a
una persona al azar, esta lea:
a. menos de 120 palabras por minuto.
b. más de 130 palabras por minuto.
c. entre 100 y 200 palabras por minuto.
6. De las siguientes variables aleatorias, ¿cuál o
cuáles se pueden aproximar fielmente como una
distribución normal? Justifica tu respuesta.
a. B(4; 0,5)
b. B(3; 0,1)
c. B(20; 0,3)
d. B(25; 0,25)
e. B(40; 0,9)
f. B(100; 0,42)
7. La variable aleatoria X tiene distribución
binomial X ~ B(50; 0,45).
a. ¿Cuál es la media y la varianza de
la distribución?
b. La distribución binomial, ¿puede aproximarse
fielmente por medio de una distribución
normal? Justifica tu respuesta.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un
valor menor que 20?
8. La cantidad real de café instantáneo que una
máquina llenadora vierte en pocillos de 180 g
varía de un pocillo a otro y se puede considerar
como una variable aleatoria que tiene una
distribución normal con una desviación estándar
de 2 g. ¿Cuál debe ser la cantidad media vertida
en estos pocillos si solo el 2 % de ellos debe
contener más de 200 g de café?
9. La cantidad promedio de lluvias en una ciudad
en el mes de abril es de 70 mm. Supón que la
cantidad de lluvias es una variable aleatoria
distribuida normalmente y con una desviación
estándar de 1,6 mm.
a. ¿Qué porcentaje del tiempo la cantidad de
lluvia en el mes de abril es mayor que 60 mm?
b. ¿Qué porcentaje del tiempo la cantidad de
lluvia en el mes de abril es menor que 50 mm?
10. Dibuja la gráfica de una función que puede
ser una función de densidad de una variable
aleatoria continua.
11. ¿Para qué valor de a la función f (x) = 2x + 1, en
]1, a[, puede ser una función de densidad de una
variable aleatoria continua?
12. Dado el experimento aleatorio “medir el tiempo
que tarda una persona en dar una vuelta a una
cancha de fútbol“, define una variable aleatoria
discreta y una continua.
13. Dadas las variables aleatorias continuas:
X ~ N(4, 6)
Y ~ N(–4, 4)
Z ~ N(2, 8)
responde las siguientes preguntas.
a. ¿Cuál de las tres variables aleatorias tiene mayor
probabilidad de tomar un valor positivo?
b. ¿Cuál de las tres variables aleatorias tiene
menor probabilidad de tomar un valor menor
que 4?
c. ¿En cuál de las tres variables aleatorias la gráfica
de su función densidad es más ancha?
d. ¿En cuál de las tres variables aleatorias la gráfica
de su función densidad está desplazada más
hacia la derecha?
14. Esboza la gráfica de una distribución normal
estándar para una variable alatoria X, y pinta el
área bajo la curva que representa las siguientes
probabilidades.
a. P(x = 2)
b. P(x < 3)
c. P(x > 0)
d. P(x G 0,12)
15. Sea Z ~ N(0, 1). Usando la tabla de la página 429,
calcula las siguientes probabilidades.
a. P(Z < 0,08)
b. P(Z > 0,49)
c. P(0,7 < Z < 1,64)
d. P(–2,15 < Z)
e. P(–2,74 > Z)
f. P( 0,8 < Z < 1,25)
16. En el 4º medio A, los resultados de una prueba
tienen una distribución normal con media
5,2 y desviación estándar 0,6. En el 4º medio B,
los resultados de la misma prueba se
distribuyen N(5,7; 0,4).
a. ¿En qué curso los resultados de la prueba son
más dispersos?, ¿cómo lo supiste?
b. ¿En qué curso es más probable encontrar
alumnos con una nota superior a 6,0? Explica
cómo lo resolviste.
17. La variable aleatoria X tiene distribución
binomial X ~ B(120; 0,3). Calcula la probabilidad
de que X tome un valor menor que 46.
2. A partir de lo que han realizado hasta el momento, y de lo que observan en el histograma,
respondan las siguientes preguntas.
a. ¿Cuál es el tamaño de la población total?, ¿cuál es el tamaño de las muestras seleccionadas?
b. ¿Cuántas muestras utilizaron para representar la distribución de medias muestrales?, ¿qué
porcentaje del total de muestras de ese tamaño, posibles de extraer, utilizaron? Expliquen cómo
lo calcularon.
c. ¿Cómo es la distribución de medias muestrales?, ¿qué valores tienen más probabilidades de
ocurrir?, ¿cuáles tienen menos?, ¿qué forma tiene la distribución?
d. A partir de lo anterior, ¿qué tipo de distribución creen que tienen las medias muestrales?
Justifiquen su respuesta.
3. A partir de la misma población anterior, representen la distribución de las medias muestrales en
que las muestras sean todos los números que estén en una fila. Luego, respondan.
a. ¿Cuántas muestras utilizaron?, ¿de qué tamaño son?
b. Expliquen, paso a paso, cómo construyeron el histograma que representa la distribución de medias
muestrales.
c. ¿Qué forma tiene la distribución de medias muestrales?, ¿qué ocurre en los valores centrales?, ¿y en
los extremos?
d. ¿En qué se parece esta distribución a la obtenida antes?, ¿en qué se diferencian ambas? Comenten.
e. ¿Qué tipo de distribución creen que tienen las medias muestrales en este caso?, ¿por qué?
4. Consideren una población en la que hay 20 números aleatorios entre 1 y 20.
a. Utilicen GeoGebra para representar la población anterior. ¿Cómo lo hicieron?
b. Construyan la distribución de medias muestrales seleccionando 20 muestras de tamaño 2. Luego,
construyan otra distribución de medias muestrales a partir de 20 muestras de tamaño 4. ¿En qué se
parecen y en que se diferencian las distribuciones que obtuvieron?
c. Calculen el promedio de las medias muestrales en ambos casos, y también la media poblacional.
¿En cuál de las distribuciones el promedio es más cercano a la media poblacional?, ¿por qué creen
que ocurre eso?
d. ¿Qué sucede con la distribución de las medias muestrales a medida que el tamaño de las muestras
aumenta? Verifiquen su respuesta representando la distribución de medias muestrales para 10
muestras de tamaños 6, 10 y 12.
e. Para cada una de las distribuciones de la pregunta anterior, determinen el promedio de las medias
muestrales. ¿En cuál distribución su promedio es más cercano al de la media poblacional?, ¿en cuál
distribución su valor es el más alejado?

1. Considera la población conformada por el
conjunto de números naturales menores que 5.
a. ¿Qué tamaño tiene la población?
b. Escribe una lista con todas las muestras
de tamaño 2, con reposición, que pueden
extraerse de la población anterior. ¿Cuántas
muestras obtuviste?
c. Construye la distribución de medias muestrales
para todas las muestras de tamaño 2.
d. ¿Cuál es la media de la distribución?
2. Pide a 3 compañeros que cada uno diga 3
números del 1 al 10, al azar, y escríbelos en
tu cuaderno. Luego, realiza las siguientes
actividades.
a. Escribe 20 muestras de tamaño 2 de la
población anterior y calcula las medias
muestrales.
b. Construye la distribución de medias
muestrales para las muestras de tamaño 2 que
seleccionaste.
c. ¿Cuál es el promedio de las medias muestrales
de la distribución que construiste?, ¿cómo es
este valor respecto de la media poblacional?
3. Conexión con la bioestadística La masa
de los recién nacidos en un hospital sigue una
distribución normal N(3,01; 0,3) en kilogramos.
a. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la
población?
b. Al seleccionar una muestra de 25 recién
nacidos, ¿cuál es la media y la desviación
estándar de la muestra?
c. ¿Qué tipo de distribución tiene la media de la
muestra?
d. ¿Cuál es la probabildad de que al elegir
una nueva muestra de 25 recién nacidos el
promedio del peso de ellos se inferior a 3 kg.?
e. ¿Cuál es la probabildad de que al elegir
una nueva muestra de 25 recién nacidos el
promedio del peso de ellos esté entre 2,9 kg y
3,1 kg?
4. Lanza un dado 5 veces y registra los valores que
obtuviste. Luego construye la distribución de
medias muestrales considerando 20 muestras
del tamaño que se indica, en cada caso.
Considera que las muestras son con reposición.
a. Tamaño 2.
b. Tamaño 3.
c. Tamaño 4.
d. Tamaño 5.
5. La edad a la que contraen matrimonio los hombres
de una ciudad es una variable aleatoria que se
puede aproximar por una distribución normal de
media 35 años y desviación estándar de 5 años. Se
elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres
de dicha ciudad. Sea X la media muestral de la
edad de casamiento. ¿Cuáles son la media y la
varianza de X? Explica cómo lo calculaste.
6. Uno de los objetivos de un estudio sobre los
hábitos deportivos es conocer el promedio de
horas que corren las personas diariamente.
a. Por estudios previos se sabe que la desviación
estándar del nº de horas que corre un persona
diariamente es 0,3. Para realizar
la estimación
al 95 % de confianza
con un margen
de error
máximo
de 0,01, ¿cuál es el tamaño
necesario
de la muestra?
b. ¿Qué ocurre
con el tamaño
muestral
si se
aumenta
el nivel de confianza
a un 99 %, manteniendo
el margen
de error? Justifica.
c. ¿Qué sucede
con la amplitud
del intervalo
en el
caso anterior?
8. El número
de horas diarias
que dedican
a ver
televisión
los niños de cierta
ciudad
es una
variable
aleatoria
con distribución
normal,
cuya
desviación
estándar
es 1,5. Se toma una muestra
al azar de 10 niños y se registra
el número
de
horas que vieron
televisión
un día en particular.
Los valores
son:
6,0 3,4 5,6 6,3 6,4
5,3 5,4 5,0 5,2 5,5
a. Determina el intervalo
de 90 % de confianza
para el número
medio de horas diarias
que ven
televisión
los niños de esa ciudad.
¿Qué amplitud
tiene este intervalo?
b. Si el margen
de error hubiese
sido de 1 hora,
¿Cuál sería el nivel de confianza
que se tendría?
c. ¿Qué tamaño
muestral
se necesitaría si se
considera un margen
de error igual al considerado
en la pregunta
a, y un nivel de confianza
igual al de la pregunta
b?
9. Con la finalidad
de conocer
el gasto estimado
en
útiles
escolares
durante
un año académico,
se
seleccionó
una muestra
aleatoria
simple
de 59
escolares.
En promedio,
los 59 estudiantes
gastaron
$ 81 960 y la desviación
estándar
fue
de $ 28 320.
a. ¿Cuál es el intervalo
de confianza
al 95 % para
el gasto promedio
en útiles
escolares
durante
un año académico?
b. ¿Qué amplitud
tiene el intervalo
que obtuviste
en la pregunta anterior? Explica.
10. La expresión
s
√n
se conoce
como error estándar.
a. ¿Qué ocurre
con el valor de esta expresión
si
aumenta
el tamaño
de la muestra?
b. Al aumentar
el tamaño
de la muestra,
¿qué
sucede con la amplitud
del intervalo?
c. Al escoger otra población con una desviación
estándar mayor, ¿qué ocurre
con la amplitud
del intervalo
si mantenemos el tamaño de la
muestra?
d. ¿Qué relación
tiene la amplitud
del intervalo
con el error estándar?
e. Patricio dice que si tenemos dos poblaciones
con diferente desviación estándar, y en ambas
extraemos una muestra del mismo tamaño,
podemos saber de antemano en cuál el error
estándar será mayor. ¿Estás de acuerdo con
Patricio?, ¿por qué?
11. Una marca de artículos
deportivos
está interesada
en conocer
el promedio
de edad de sus clientes.
Una muestra
aleatoria
de 25 clientes
arrojó
una edad promedio
de 19 años, con una desviación
estándar
de 3 años. Determina el intervalo
al 95 % de confianza
para la edad promedio
de
los clientes
y su amplitud.
12. Las siguientes
notas corresponden
a 12 de los
45 estudiantes de un curso. Si se sabe que la
desviación estándar poblacional es igual a 1,23,
observa y responde:
5,4 3,6 6,8 4,2 5,5 5,5
5,9 3,6 7,0 3,3 6,1 6,3
a. Calcula el intervalo
de 95 % y 99 % de confianza
para el promedio
total del curso.
b. ¿En cuál de los intervalos anteriores la amplitud
del intervalo es más pequeña?, ¿por qué?
c. Determina el margen
de error que se comete
en cada caso.
d. ¿De qué tamaño
debería
ser la muestra
si se
considera un margen
de error de 0,5 con un
99 % de confianza?
e. ¿Qué ocurre con la amplitud del intervalo
si en vez de seleccionar 12 muestras
seleccionamos 15?
23. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la
distribución, respectivamente?
A. 25 y 0,6
B. 15 y 0,55
C. 25 y 2,45
D. 15 y 2,45
E. 25 y 0,55
24. Si se selecciona una muestra de tamaño 20,
¿cuál es la media y la desviación estándar
aproximados de la muestra?
A. Media: 15; desviación estándar: 0,55
B. Media: 15; desviación estándar: 2,45
C. Media: 25; desviación estándar: 0,55
D. Media: 25; desviación estándar: 2,45
E. Media: 25; desviación estándar: 0,6
25. Al seleccionar al azar un elemento de la muestra,
¿Cuál es la probabilidad de que una muestra
cualquiera tenga una media inferior a 14,4?
A. 0,07493
B. 0,1377
C. 0,42465
D. 0,57535
E. 0,92507
26. La masa media de una muestra elegida al azar de
196 manzanas es de 320 g, y la desviación típica
es de 35 g. ¿Cuál es el intervalo de confianza
aproximado de la media poblacional para un
nivel de confianza del 95 %?
A. [315,1; 324,9]
B. [319,65; 320,35]
C. [315,1; 320,35]
D. [315,1; 319,65]
E. [319,65; 324,9]
27. ¿Cuál es la probabilidad de que la media
muestral de una población con N(125, 7) se
encuentre en el intervalo [120,952; 127,445], si el
tamaño de la muestra es 25 y su media es 124,2?
A. 95 %
B. 96 %
C. 97 %
D. 98 %
E. 99 %
28. Una población se distribuye en forma normal.
¿Qué tamaño debe tener una muestra para
que, con un nivel de confianza del 90 %, el error
estándar no supere 90?
(1) La media de la muestra es 320.
(2) La desviación estándar de la población es 32.
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
C. Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
E. Se requiere información adicional.
29. ¿Cuál es la desviación estándar de una muestra
seleccionada al azar, sin reposición, de una
población que tiene distribución normal N(9, 2)?
(1) La población tiene tamaño 340.
(2) La muestra tiene tamaño 36.
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
C. Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
E. Se requiere información adicional.
1. Considera el conjunto de números enteros
positivos que son divisores de 12.
a. Escribe la población por extensión. ¿Cuál es
su tamaño?
b. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 pueden
extraerse de la población, con reposición?
c. Construye la distribución de medias muestrales
de todas las muestras de tamaño 2 que
pueden extraerse de la población anterior.
d. ¿Cuál es el promedio de las medias muestrales?,
¿cómo es ese valor en relación con la media de
la población? Explica.
2. Determina la desviación estándar de una
muestra de tamaño dado extraída, con
reposición y de una población con distribución
normal cuyos parámetros son los indicados, en
cada caso.
a. Tamaño de la muestra: 25; población con
distribución N(120, 12).
b. Tamaño de la muestra: 36; población con
distribución N(31 750, 300).
c. Tamaño de la muestra: 144; población con
distribución N(9 840, 168).
d. Tamaño de la muestra: 576; población con
distribución N(865, 72).
3. Una variable aleatoria X tiene media igual a 12.
a. ¿Es posible que al extraer una muestra de
tamaño 10, el promedio de estos datos sea un
número distinto de 12? Justifica tu respuesta.
b. ¿Es posible que al tomar una muestra de
tamaño 10 000, el promedio de los datos sea
igual a 4?, ¿por qué?
c. Explica qué pasa con los promedios de las
muestras a medida que el tamaño de la
muestra aumenta.
4. Explica con tus palabras el teorema del
límite central.
5. Considerando como población el conjunto
{1, 2, 3, 4}, construye una distribución de
medias muestrales de las muestras, extraídas
con reposición, del tamaño que se indica en
cada caso.
a. 12 muestras de tamaño 2.
b. 15 muestras de tamaño 3.
6. La estatura de un grupo de personas sigue una
distribución normal N(1,67; 0,22) en metros.
a. Al seleccionar una muestra de 40 personas,
¿cuál es la media y la desviación estándar del
promedio de esta muestra?
b. ¿Qué tipo de distribución tiene la media de la
muestra? ¿por qué?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una
muestra, su media sea inferior a 1,70 m?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una
muestra, su media sea mayor a 1,55 m e inferior
a 1,70 m?
7. Una variable aleatoria tiene distribución
binomial B(120, 0,4).
a. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de
la distribución?
b. Si se selecciona una muestra de tamaño 64,
¿cuál es, aproximadamente, la media y la
desviación estándar de la muestra?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una
muestra, su media se inferior a 3?
8. La puntuación media obtenida por una muestra
de 81 alumnos de 4º medio en un ensayo PSU
fue 506 puntos. Suponiendo que la distribución
de las puntuaciones de la población es normal,
con desviación estándar igual a 110 puntos, ¿cuál
es el intervalo de confianza para la media de la
población con un nivel de confianza del 95 %?
9. La masa de los usuarios de un gimnasio tiene
una media desconocida y una desviación
estándar de 5,4 kg. Alberto toma una muestra
aleatoria de 100 usuarios y obtiene una media
de 60 kg. Luego, Alberto asegura que “la masa
media de un usuario de ese gimnasio está
comprendida entre 58,6 kg y 61,39 kg”. ¿Con qué
probabilidad esta afirmación es correcta?
10. Se ha estudiado el número de horas semanales
dedicadas a practicar deporte por jóvenes
entre 14 y 18 años, obteniéndose una variable
aleatoria con distribución normal y desviación
estándar igual a una hora. Si se toma una muestra
aleatoria de 64 jóvenes entre 14 y 18 años, resulta
que practican deporte una media de 6 horas
semanales.
a. ¿Cuál es el error de estimación del tiempo
medio que practican deporte los jóvenes, con
un nivel de confianza del 98 %?
b. ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse
para que el error en la estimación sea menor
que media hora, con un nivel de confianza
del 95 %?
11. Una muestra
aleatoria
de 81 televisores
reportó
que el intervalo
de confianza
para el tiempo
promedio
de presentación
de fallas
técnicas
(en
años) es de [2,113; 2,287]. Considerando que la
desviación
estándar
es de 0,4 años, ¿cuál es el
nivel de confianza
de este intervalo?
12. Las longitudes de unos pernos siguen una
distribución normal de media desconocida y
desviación estándar 2 mm. Se toma una muestra
de tamaño 25 y se obtiene una longitud media
de 38 mm. Andrea afirma que, con un nivel de
confianza del 95 %, la media de la población es
40 mm. ¿Estás de acuerdo con ella? Justifica.
Marca la opción correcta en los ítems 13 a 15.
13. Una población tiene distribución normal
N(60, 36). Al seleccionar una muestra de 9
individuos, ¿cuál es la media y la desviación
estándar de la muestra, respectivamente?
A. 60 y 6
B. 10 y 6
C. 60 y 12
D. 60 y 4
E. 10 y 36
14. Una población tiene distribución normal con
desviación estándar s. Se extrae una muestra
de tamaño n y la media muestral es x. Si con un
nivel de confianza k se obtiene un intervalo de
confianza de amplitud A, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta?
I. Al aumentar el valor de k, A también aumenta.
II. Al aumentar el valor de n, A también aumenta.
III. Al aumentar el valor de A, la probabilidad de
encontrar la media poblacional en el intervalo
es mayor.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo I y III
D. Solo II y III
E. I, II y III
15. Se ha obtenido que el intervalo de confianza
de la media poblacional, considerando un nivel
de confianza del 95 %, es [6,66; 8,34]. ¿Cuál es,
respectivamente, la media y el tamaño de la
muestra que se ha estudiado para obtener el
intervalo señalado? Considera que la población
se distribuye en forma normal con desviación
estándar igual a 3.
A. 7,5 y 7
B. 7 y 7,5
C. 7,5 y 49
1. Considera la siguiente función definida en el
intervalo [0, 5].
f(x) = 0,2
a. Construye la gráfica de f.
b. Demuestra que f puede definir una función de
densidad de una variable aleatoria continua.
c. ¿Cuál es el valor de P(X = 3)?
d. ¿Cuál es el valor de P(1 < X < 3)?
2. Sea Z una variable aleatoria continua con
distribución normal estándar. Calcula las
siguientes probabilidades.
a. P(z < 1,23)
b. P(z > 1,23)
c. P(z < –1,32)
d. P(z > –0,09)
e. P(–2 < z < 3,5)
f. P(1,44 < z < 3,14)
3. Sea X una variable aleatoria continua con
distribución normal, cuya media es 30 y su
desviación estándar es 5. Calcula las
siguientes probabilidades.
a. P(x < 39)
b. P(x > 29)
c. P(x < 26)
d. P(x > 40)
e. P(39 < x < 45)
f. P(23 < x < 37)
4. En una prueba, cada pregunta tiene 4
alternativas, de las cuales solo una es correcta.
Si la prueba tiene 100 preguntas y los alumnos
aprueban con más de 50 respuestas correctas,
¿cuál es la probabilidad de que un alumno
apruebe marcando todas las alternativas al azar?
5. La estatura, en centímetros, de las mujeres
mayores de 15 años en Chile tiene distribución
normal con varianza 5 cm. Si se tomó una
muestra de 49 mujeres mayores de 15 años y
el promedio de sus estaturas fue 168 cm, ¿se
puede asegurar con un nivel de confianza del
95 % que el promedio de la estatura de las
mujeres en Chile es mayor que 165 cm?
Justifica tu respuesta.
6. Considera el conjunto de los números enteros
positivos pares de una cifra.
a. Escribe el conjunto por extensión.
b. Determina la media y la desviación estándar
del conjunto anterior.
c. ¿Cuántas muestras de tamaño 3 puedes
obtener del conjunto anterior si son con
reposición? Escríbelas.
d. Construye la distribución de las medias
muestrales para muestras de tamaño 3.
e. ¿Cuál es la media de la distribución?, ¿y la
desviación estándar?
7. Si X ~ B(50; 0,5), encuentra aproximaciones
normales para P(X < 20), P(X > 25) y
P(10 < X < 30).
8. Para estimar la cantidad de años de escolaridad
de la población mayor de 30 años de una
comuna, se decide tomar una muestra de 500
personas. Se sabe que la desviación estándar de
la población es 3 años y la media de la muestra
es 8 años. ¿Cuál es el error porcentual con un
95 % de confianza?
9. Uno de los objetivos de un estudio acerca de
los hábitos alimenticios es conocer la cantidad
de personas que consumen comida chatarra al
menos una vez a la semana.
a. Para realizar la estimación al 95 % de confianza,
con un margen de error máximo de 0,01 y un
desviación estándar de 0,5, ¿cuál es el tamaño
necesario de la muestra?
b. ¿Qué ocurre con el tamaño muestral si se
aumenta el nivel de confianza a un 99 %,
manteniendo el margen de error? Justifica
tu respuesta.
c. ¿Qué sucede con la amplitud del intervalo en el
caso anterior?, ¿por qué crees que ocurre esto?