TEORÍA DE CONJUNTOS , OPERACIONES , PERTENENCIA E INCLUSIÓN EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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OBJETIVOS:
• Establecer correctamente la noción de conjunto y su notación.
• Utilizar adecuadamente los símbolos de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos adecuadamente.
• Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal.
• Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.

Noción de Conjunto
Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados.

Ejemplos:
• Los días de la semana
• Los países del continente americano.
• Los jugadores de un equipo de fútbol.

Notación
Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas por comas y encerrados con llaves.

Ejemplo: A = los días de la semana
B = a, e, i, o, u

Relación de Pertenencia ()
Se establece esta relación sólo de “integrante” a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado.

“….pertenece a …..” : 
“… no pertenece a ..”: 

Esto quiere decir que dado un “integrante u elemento” y un conjunto
Integrante  conjunto
u elemento 

Ejemplo: C = 1,2, 1,2, 5, 16
• 2  C
• 8  C
• 1,2  C
• 5  C

incorrecto

Determinación de un Conjunto
Consiste en precisar correctamente que “elementos” forman parte del conjunto. Puede hacerse de 2 formas:

a) Por Extensión o forma tabular.
Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes

Ejemplo: A = a, e, i, o, u
C = 2,4,6,8

Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él.

De este modo en el conjunto
A = a,e,i,o,u = a,o,u,i,e
No todos los conjuntos pueden ser expresados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación.

b) Por Comprensión o forma constructiva
Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Esquema /
(se lee “tal que”)

A = ……………………..

Regla de Restricción
Correspondencia y/o característica
o forma general (propiedad común)
del elemento
B = n/n es una vocal
C = n²-1 / n  ZZ ,1  n  7

CONJUNTOS NUMERICOS
1. Conjunto de los números naturales
IN = 1,2,3,4…. EJM 17  IN
IN O = IN* = 0,1,2,3,….
Observación
Cero (0) es natural

2. Conjunto de los Números Enteros
ZZ = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
 ZZ , – 24  ZZ

3. Conjunto de los Números Racionales
Q = a/b / a  ZZ  b ZZ  b  0
3  Q porque : 3 =
0,5  Q porque 0,5 =
0,333…  Q porque 0,333… =
 = 3,141592…  Q porque  
Aplicación I
Dado el conjunto
B = 1, , , 2 1, 1,2,3

Indicar que proposiciones son verdaderas o falsas
*   B * 1  B
* 1  B * 3  B
* 1,2  B *   B
Aplicación II
Determinar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos
P = 2, 6, 12, 20,…, 10100
Q = 3x+1/x ZZ  – 3 < x < 3 Cardinal de un Conjunto Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto A y se denota como n (A) ó card (A) Ejemplo: A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5 P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4 Número Ordinal Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido. Notación: Ord (x) : número ordinal de x S = 7, a, , 13  ord (a) = 2, ord () = 3 Cuantificadores a) Universal: Se denota por “” y se lee “para todo” o “para cualquier” Si P(x) es una función proposicional, , “ x  A; P(x)” es una proposición que será verdadera cuando para todos los valores de x  a se cumpla P(x) Ejemplo: Si A = 2,4,6,8 P(x) = x es un número par P(y) = 3y – 2 > 4
Luego  x  A: x es un  par (V)
 y  A: 3y – 2>4 (F)

b. Existencial. Se denota por “” y se lee “existe por lo menos un” Si P(x) es una función proposicional, “ x  A/P(x)” es una proposición que será verdadera si existe por lo menos un elemento de A, que cumple P (x)

Ejemplo
Si: B = 7,5,4,1
P(x) = x es un número impar
P(y) = (y-4)² = 4
Luego:
 x B/x es impar (V)
 y B/(y-4)² = 4 (F)

Negación de los Cuantificadores

(xA : P(x))   x A/ P(x)
(xA / P(x))   x A:  P(x)

Diagramas de Venn – Euler
Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano limitado por una figura geométrica cerrada en cuyo interior se indican los “elementos” que forman el conjunto

Ejemplo: A a,b,c,d,e
A
. a . b
. c . d
. e

Diagrama (Lewis – Carroll)
Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor de “Alicia en el país de las Maravillas” utilizando un lenguaje lógico – matemático utiliza el Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo partición del universo.

Ejemplo:
H : Hombres
M : Mujeres
S : Solteros
C : Casados
F : Fuman

Diagrama Lineal – Hasse
Utiliza segmentos de línea y es utilizado en conjuntos transfinitos e infinitos

Ejemplo:

Diagrama Lineal Diagrama Hasse

Relación de Inclusión ()

Subconjunto  Conjunto
Conjunto  Conjunto

Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los “elementos” del primero forman parte del segundo conjunto.

 : “incluido o contenido”
A  B: “A esta contenido en B”
“A es subconjunto en B”
“B contiene a A”

A  B   x  A : x  A  x  B

Observación:
El vacío está incluído en cualquier conjunto.

Conjuntos comparables
Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro.

A  B  (A  B  A  B) v (B  A  B A)

Ejemplo: Dados los conjuntos:
A = 3,5 B = 1,2,3,4,5,6,7
C = 2,4,6,7 D = 4,7

Son conjuntos comparables: A y B
B y C; B y D; C y D

Conjuntos Iguales
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos “elementos”.

A = B  A  B  B  A

Ejemplo:
A = 3n + 2/n  ZZ, 1  n  4
B = 5,14,8,11
Se observa A = B

Aplicación
Dados los conjuntos A y B guales y C y D iguales donde
A = a+2, a+1 C = b+1, c+1
B = 7-a, 8-a D = b+2, 4
Hallar: a+b+c
Conjuntos Disjuntos o Ajenos
Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común
Ejemplo:
C = x / x es un hombre
D = x / x es una mujer
 C y D son disjuntos
– Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán diferentes.
– Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre serán disjuntos.

Ejemplo:
E = 5,2,a,b , F = 4,3,c,d
E y F son disjuntos  E  F
G = 1,3,c,d,7, H = 2,8,e,f,c
G  H pero G y H no son disjuntos
Conjuntos Coordinables o Equipotentes
Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos).

Ejemplo
A = Lima, Caracas, Bogota, Santiago
B = Perú, Venezuela, Colombia, Chile

Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca:
“…. es capital de ….”
De ahí que A y B son coordinables, luego: n (A) = n (B)

Clases de Conjuntos
Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen según esto tenemos:

Finito: Si posee una cantidad limitada de “elementos” es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.

Ejemplo:
N = 3n + 2 / n  ZZ  1  n  4
N es finito pues n (N) =4
P = x/x es un día de la semana
P es finito pues n (U) = 7
Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de “elementos”. Ejm:
M = x/x  Q  1 < x  2
M es infinito pues n (M) = …?

Conjuntos Especiales
1. Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de “elementos”.
Notación ;  .
Ejm.:
A = x/o < x < 5  x² = 100 =   =  * A :   A *    *     2. Unitario o Singleton (singular) Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. B = x/x > 0  x² = 9 = 3

Aplicación: Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcule a + b + c.
A = (2a + b); c
B = (2c – 7); (5b + 2)

3. Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U.

Ejemplo:
A = 2,6,10,12
B = x+3/x es impar  0 <x< 10

Podrán ser conjuntos universales para A y B
U = x/x IN  x < 13
U = 0,2,4,6,8,….

4. Conjunto de Conjuntos: También se le denomina familia de conjuntos o clase de conjuntos y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
Ejemplo:
C = 2,3, 3, a, 6,b, 
D = a,b,c, 2,3,6, 6, c, 8
Se observa que:
C es familia de conjuntos
D no es familia de conjuntos

5. Potencia
El Conjunto de Potencia de A, llamado también “Conjunto de Partes de A”, es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A.
Notación P(A)

Ejemplo: A = x,y
P(A) = , x, y, x,y
n (P(A)) = 4
* Los subconjuntos , x, y son denominados propios.

Nº subconj. = n (P(A)) = 2n(A)
A

Ejemplo:
B = x/x es primo y x < 10
B = 2,3,5,7  n (B) = 4

Nº subconj. = 2n(A) – 1
Propios A

6. Par Ordenado
Es un conjunto de 2 elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados.
Notación (a, b)
Se lee “par ordenado a, b”
a: 1º componente
b: 2º componente

(a,b) = (c,d)  a = c  b = d

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión (U): La unión de 2 o más conjuntos es aquel conjunto conformado por la agrupación de todos los elementos de los conjuntos que intervienen.
A U B = x/x  A  x  B

Ejemplo: A = 2,3,5, B = 1,7,5
 A U B = 2,3,5,1,7

Si: A  B  A U B = B

Intersección () La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B” a la vez.
A  B = x/x  A  x  B

Ejemplo: A = 2,3,4,5,6
B = 4,6,7,9
 A  B = 4,6

Si A  B  A  B = A
Si A y B son disjuntos, A  B = 

Diferencia (-) El conjunto diferencia (A-B) es aquel que esta formado únicamente por los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.

A – B = x/x  A  x  B

Ejemplo A = 2,4,5,6,7,8
B = 1,3,6,7,9
 A – B = 2,4,5,8
B – A = 1,3,9

Si A  B  A  B = B – A
Si A y B disjuntos, A  B = A U B

Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos.

A  B = x/x  (A U B)  x  (A B)

Ejemplo:
A = 8,7,6,5,4,2
B = 9,7,6,3,1
 A  B = 2,4,5,8,1,3,9

Si A  B  A  B = B – A
Si A y B disjuntos, A  B = A U B

Complemento de A (CA, Ac, , A´)
El complemento de A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no al conjunto A.

Ac = A´ = x/x  U  x  A = U –A

Ejemplo
U = x/x  IN , x < 8
A = 1,3,4
Ac = 0,2,5,6,7

Conjunto Producto o Producto Cartesiano (X)
Dados dos conjuntos A y B se define el conjunto producto como:

A x B = (a,b)/a  A  b  B

Leyes del Algebra de Conjuntos

1. Idempotencia
A U A = A
A  A = A

2. Conmutativa
A U B = B U A
A  B = B  A
3. Asociativa
(A U B) UC = A U (B U C)
(A  B)  C = A  (B  C)

4. Distributiva
A U (B  C) = (A U B)  (A U C)
A  (B U C) = (A  B) U (A  C)

5. De Morgán
(A U B)´ = A´  B´
(A  B)´ = A´ U B´
6. Del Complemento
A U A´ = U
A  A´ = 
(A´)´ = A

7. De la Unidad
A  U = U A  U = A
A   = A A   = 

8. De Absorción
A U (A  B) = A
A  (A U B) = A
A U (A´  B) = A U B
A  (A´ U B) = A  B

9. Diferencia
A – B = A  B´

10. Adicional
(U)´ = 
()´ = U

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dados los conjuntos unitarios
A = 90, a.b
B = a+b, 23
Hallar la diferencia entre a y b

Resolución
Dados que los conjuntos A y B
Son unitarios se debe cumplir:
A = 90, a.b  a.b = 90 ….(1)

B = 23, a+b  a+b = 23 …(2)

Resolviendo:
a = 18 ; b = 5 ; a – b = 3

2. Hallar el cardinal de A si
A = 0,1,1,2,3,5,8,…. 55

Resolución
Observamos en los elementos del conjunto A
Se verificará la suma de 2 términos consecutivos da como resultado el tercer término.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
 n (A) = 10

3. Dado el conjunto
A = 5,3 3, 7, 9,11, 14
¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
I. 5  A IV. 3  A
II. 3  A V. 9,11  A
III. 7,14  A VI.   A

Resolución
I. 5  a (V)
II. 3 = A (V)
III. 7,14  A (F) ya que la relación  se da sólo entre integrante (singular y su conjunto)
IV. 3  A (V)
V. 9,11  A (F)
Puesto que 9,11 es un integrante para A y la relación integrante conjunto se da solo en pertenencia
VI.   A (V)
Puesto que el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto

4. Si A = B
Calcular ab
A = 3a-8, 44
B = 10, ba – 20

Resolución
Si A = B
3a – 8, 44 = 10, ba – 20

3a – 8 = 10  3a = 18  a = 6
44 = ba – 20  ba = 64

Reemplazando: b6 = 64 =26
a = 6
b = 2
 ab = 6² = 36 Rpta.

5. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto M?
M = x/x  ZZ ; -7 < 4 x + 1 < 21
Resolución
-7 < 4x + 1 < 21
-8 < 4x < 20
-2 < x < 5  x = -1, 0, 1, 2, 3, 4
M = -1,0,1,2,3,4  n (M) = 6

Nº sub
conjuntos = 2n(M)–1 = 26-1 = 63 Rpta.
propios de
M

6. Indicar el cardinal del conjunto

Resolución
Para calcular el cardinal del conjunto R. Habrá que saber cuantos valores toma x de acuerdo a las restricciones dadas en el conjunto R.
Para x < 17 y que verifique que entonces x = 2, 11 solamente Luego R = 2,11  n(R) = 2 Rpta. 7. Dados el conjunto A = a a, , cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas. I. a  A  a  A II. a  A  a  A III.   A    A IV.   A    A V. a,  A  a,  A Resolución I. a  A  a A ; pq (V) P q VV II. a  A  a A ; pq (F) P q VF III.   A   A ; pq (F) P q VF IV.   A    A ; pq (V) P q VV V. a,  A  a,  A pq (V) VV Rpta. 3 son verdaderas 8. En un salón de clase de 100 alumnos, hay diez hombres provincianos, hay 40 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 a número de hombre limeños. ¿Cuántos hombre hay en el aula? Resolución Utilizando diagrama CARROLL Provincianos Limeños 10 X Hombres X+10 40 Mujeres U: 100 Del Total 10 + x + x +10 + 40 = 100 2x+60 = 100  x = 20  nº hombres = 10 + x = 30 Rpta 9. Un conjunto tiene 1024 subconjunto en total. ¿Cuántos subconjuntos de 6 elementos tendrá? Resolución Sabemos que: Nº subconjuntos de A = 2n(A) Por datos: 1024 = 2n(A) 210 = 2n(A) entonces n (A) = 10  Nº Subconjuntos de 6 elementos 1. Si: Indicar las proposiciones que son verdaderas. I. a  A  {a, b}  A II. {}  A  {}  A III.   A    A A) solo I B) solo II C) solo III D) II y IV E) II y III 2. Dados los conjuntos: Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones. I.  x  A / x²  5 > 4
II.  x  (A  B) / 2x + 5 < 8
III.  x  (A  B) / x²  B

A) VVF B) FVF C) VFV
D) VFF E) VVV

3. Sea
Calcule la suma de elementos del conjunto B; si

A) 1000 B) 1296 C) 1312
D) 1424 E) 1528

4. Halle el cardinal del conjunto B e indicar el número de subconjuntos ternarios que tiene.

A) 48 B) 42 C) 63
D) 56 E) 45

5. Dados los conjuntos unitarios
A = {a + b; a + 2b3; 12} y
B = {xy ; yx ; 16};
halle el valor de (x + y + a² + b)

A) 81 B) 92 C) 96
D) 87 E) 90

6. Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si:
D = {(x² 1)Z / 0 < x  4}

A) 132 B) 126 C) 105
D) 124 E) 120

7. Si:
n [P(A)]= 128; n[P(B)]= 32 y
n [P(AB)] = 8

Halle el cardinal de P(AB) sumado con el cardinal de:

C =

A) 521 B) 517 C) 519
D) 512 E) 520

8. Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener?

A) 512 B) 246 C) 247
D) 503 E) 502

9. El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá?

A) 64 B) 56 C) 48
D) 21 E) 35

10. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además:

n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y
n(AB) = 2P  2

Halle n(AB)

A) 14 B) 16 C) 18
D) 17 E) 20

11. Sean los conjuntos A  E ; B  E y C  E; E conjunto universal, tal que:

E = {x Z+ / x < 10} A = AB = {x  E / x  9  x > 2}
BC = {3}
BC = {x  E / x  7}
AC =

Determinar n(A) + n(B) + n(C)

A) 9 B) 12 C) 10
D) 13 E) 11

12. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones:
* A  B  B  A
* si x  C  x  B

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

I) A y B son disjuntos
II) (A  B)  C
III) C  (A  B)
IV) C  (A  B)

A) FVVF B) FFVV C) FFFF
D) VFVF E) FFFV

13. Sean A y B dos conjuntos finitos tales que:

* A  B = 
* n(B) = 2 . n(A)
* tiene 128 subconjuntos.

El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos propios de A en 993.
¿Cuántos subconjuntos propios tiene ?

A) 281 B) 2101 C) 2111
D) 2121 E) 2131

14. Dados los conjuntos:

Halle: n[(AB) ]

A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

15. Para los conjuntos A, B y C afirmamos:

I. Si A  B  C 
II. A 
III.
IV. Si
V.
Son verdaderas:
A) todas
B) solo II y III
C) todas excepto V
D) solo II, III, IV y V
E) solo I, II y V

16. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine n(AB)

A) 14 B) 13 C) 12
D) 11 E) 10

17. Sean A, B y C conjuntos no vacíos diferentes dos a dos, tales que:

Al simplificar:
[B(C  A)]  [A  (B  C)] se obtiene:

A) A B) B C) A  B
D) A  C E) 

18. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:

A) A  B B) A 
C) D)
E) 

19. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por:

I) [A(BC)]  [C  D]
II) (A  B)  (B  C)
III) [(A  D)  C]  [A  (BC)]

A) solo I B) solo II
C) solo I y II D) solo II y III
E) todos

20. Dado 3 conjuntos A; B y C:
Si n(A) = m ; n(B) = m + r
n(C) = m + 2r ; además:
n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896
Se sabe además que A, B y C son disjuntos.
Calcule n(A  B  C)

A) 16 B) 22 C) 24
D) 32 E) 48